专题01曲线运动（平抛运动、抛体与斜面曲面结合、平面和斜面内圆周运动、圆周运动中的经典模型、竖直平面内的圆周运动）（期中复习讲义）高一物理下学期人教版

专题01 曲线运动（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 关联速度模型 题型02 小船渡河模型 题型03 平抛运动的规律和推论 题型04 平抛运动中的临界问题 题型05 平抛运动与斜面和曲面结合 题型06 几种传动装置 题型07 水平面内的圆周运动 题型08 竖直平面内的绳球模型、杆球模型、轨道模型、管道模型 题型09 斜面上的圆周运动 题型010 圆锥摆、拱桥凹桥、汽车火车转弯、近心运动和离心运动等经典模型 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点、考情规律与易错点 核心考点 知识点 常考题型 考情规律 易错点分析 曲线运动的条件 合力与速度方向的关系；运动轨迹的凹凸性（合力指向轨迹内侧） 选择题、图像题 几乎必考一道判断轨迹的题目；常结合加速度与速度夹角变化考查。 学生常误以为“曲线运动加速度一定变化”（实际是变速，但加速度可恒定，如平抛）。 运动的合成与分解 1.小船渡河（最短时间/最短位移） 2.关联速度（绳、杆连接体） 选择题、计算题 关联速度是难点，通常考查按实际效果分解；小船渡河常考极值条件。 混淆“合速度”与“分速度”，容易将物体实际速度错误地分解到绳长方向上。 平抛运动的基本规律 水平匀速、竖直自由落体；速度角与位移角的正切关系；等时性 选择题、实验题 重点考查落地速度、时间差（由高度决定）；实验题常考确定抛出点位置。 混淆速度偏向角和位移偏向角的关系；忘记重力加速度g的取值或方向。 平抛运动推论 中点定理（速度反向延长线过水平位移中点）；斜面上的平抛 计算题、压轴题 斜面平抛是高频模型，常考“离斜面最远”时刻及落在斜面上的速度方向。 不会利用斜面倾角构建位移或速度的三角函数关系；忽略斜面的约束条件。 圆周运动物理量 线速度、角速度、周期、转速、向心加速度 选择题 皮带传动（线速度相等）和同轴转动（角速度相等）是基础题。 搞不清哪两个量相等，公式（如a=v²/r与a=ω²r）乱代。 向心力与实例分析 水平面转弯（火车/汽车）、竖直圆环（绳模型/杆模型）、圆锥摆 选择题、计算题 竖直圆周的“最高点临界速度”是必考点；水平转弯常考倾斜路面问题。 受力分析漏力（如漏掉支持力或压力）；不会找圆心和半径；混淆绳模型与杆模型临界条件。 离心与向心运动 离心现象的应用与防止；供需关系分析（F供与F需） 选择题 结合生活实例（如雨天甩水、弯道事故、洗衣机脱水）。 不理解“供”与“需”的对应关系；误认为离心运动是“受到离心力”。 复习目标与策略 基于以上考情，复习建议分为三个层次： 目标层次 具体目标 实施策略与方法 基础巩固 (针对后进生) 目标1：100%准确区分基本概念（如匀速圆周运动是变速运动）。 目标2：熟练记忆平抛、圆周的原始公式。 1.每日一默：默写向心力公式、平抛速度公式。 2.绘制思维导图，梳理“曲线运动”知识树。 能力提升 (针对中等生) 目标3：掌握“渡河”和“关联速度”的解题步骤。 目标4：能处理“斜面平抛”和“水平面圆周”的综合题。 1.微专题训练：专门训练“速度分解”模型，强调“沿绳垂直绳”的正交分解。 2.刷题纠偏：限时训练圆周运动临界问题，总结“绳/杆/管道”的临界公式。 思维突破 (针对优等生) 目标5：突破竖直平面圆周与能量（动能定理）的结合。 目标6：理解类平抛（电场中）的迁移思想。 1.模型对比：对比“绳模型”与“杆模型”的最高点受力差异。 2.二级结论：熟记平抛中速度角正切=2倍位移角正切等推论，提升解题速度。 知识点01 关联速度模型 1.关联体：指两个或多个通过不可伸长的绳（或杆） 或 直接接触 等方式连接在一起的物体。 关键特征：连接体之间存在运动约束关系（如绳长不变、接触点速度协调），导致它们的运动相互关联、相互制约。 2.核心处理思想：运动的合成与分解 + 约束条件： 注意：分解依据： 将物体的实际运动（合运动）分解为两个分运动： 沿约束方向（沿绳/杆方向或接触面法线方向）的分运动： 体现约束（绳不可伸长 → 沿绳速度分量相等；接触面无相对法向运动 → 法向速度分量相等）。 垂直约束方向的分运动： 通常是允许相对运动的方向。 3.常见的速度分解模型 情景图示 定量结论 v＝v物cos θ v物′＝v∥＝v物cos θ v∥＝v∥′ 即v物cos θ＝v物′cos α v∥＝v∥′ 即v物cos α＝v物′cos β 知识点02 平抛运动的规律和结论 1.飞行时间:由知,飞行时间取决于下落高度h,与初速度v0无关. 2.水平射程: ,即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定,与其他因素无关. 3.落地速度: ,以θ表示落地速度与x轴正方向间的夹角,有,所以落地速度只与初速度v0和下落高度h有关. 4.速度改变量:物体在任意相等时间内的速度改变量相同,方向恒为竖直向下. 5.平抛运动的两个重要结论 ①做平抛运动的物体在任意时刻(任意位置)处，有. 推导： ②做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过水平位移的中点， 如图所示，即. 推导： 知识点03 平抛运动与斜面、曲面的结合 ：核心思想 模型 思想 内容 斜面 核心关系 垂直打在斜面上 分解速度 速度关系： vx＝v0 vy＝gt v＝ 位移关系： x＝v0t y＝gt2 s＝ tan θ＝＝ → t＝ 平抛再次落在斜面上（位移偏转角） 分解位移 tan θ＝＝ → t＝ 平抛再次落在斜面上（速度偏转角） 角度关系 tan φ＝ ＝ ＝＝2tan θ ，α＝φ－θ 切向落入斜面 分解速度 tan θ＝＝ → t＝ 离斜面最远 角度关系 tan θ＝＝→t＝ 模型 方法 内容 曲面 核心关系 与曲面内切 分解速度 水平：vx＝v0 竖直：vy＝gt tan θ＝＝ → t＝ 从斜面一端射入 由半径和几何关系 h＝gt2，R＋＝v0t 与曲面外切 分解速度 水平：vx＝v0 竖直：vy＝gt tan θ＝＝ → t＝ 知识点04 圆锥摆模型 圆锥摆模型 1. 圆锥摆模型规律总结 (1)圆锥摆的周期 如图摆长为L，摆线与竖直方向夹角为θ。 受力分析，由牛顿第二定律得：mgtanθ＝mr r＝Lsinθ 解得T＝2π＝2π。 (2)结论 ①摆高h＝Lcosθ，周期T越小，圆锥摆转得越快，θ越大。 ②摆线拉力F＝，圆锥摆转得越快，摆线拉力F越大。 ③摆球的加速度a＝gtanθ。 2. 圆锥摆的两种变形 变形1：具有相同锥度角的圆锥摆（摆长不同），如图甲所示。 由a＝gtanθ知A、B的向心加速度大小相等。由a＝ω2r知ωA<ωB，由a＝知vA>vB。 变形2：具有相同摆高、不同摆长和摆角的圆锥摆，如图乙所示。 由T＝2π知摆高h相同，则TA＝TB，ωA＝ωB，由v＝ωr知vA>vB，由a＝ω2r知aA>aB。 注意：解决圆锥摆临界问题的技巧 圆锥摆的临界问题，主要就是与弹力有关的临界问题。 (1)绳子松弛或断开的临界条件是：①绳恰好拉直且没有弹力；②绳上的拉力恰好达最大值。 (2)接触或脱离的临界条件是物体与物体间的弹力恰好为零。 (3)对于火车转弯、半圆形碗内的水平圆周运动有两类临界情况：①摩擦力的方向发生改变；②发生相对滑动。 知识点05 圆周运动中的临界问题 1. 圆周运动常见的临界状态 （1）与绳或杆的弹力有关弹力恰好为0； （2）与静摩擦力有关，静摩擦力达到最大值； （3）绳子恰好断裂，绳子的张力达到最大承受值。 2. 三类情况分析 （1）水平转盘上的物体恰好不发生相对滑动的临界条件是物体与盘间恰好达到最大静摩擦力。 （2）绳子被拉断：绳上拉力恰好为最大承受力等。 （3）与支持面或杆的弹力有关的临界问题：要分析出恰好无支持力这一临界状态下的角速度（或线速度）等。 注意：临界条件的确定：当绳子的拉力达到最大值时，或者物体所受的静摩擦力达到最大静摩擦力时，就会出现临界情况。比如，在圆锥摆中，如果角速度逐渐增大，当绳子拉力达到其所能承受的最大值时，就达到了临界状态。此时，需要根据牛顿第二定律和向心力公式列出方程，结合临界条件来求解相关物理量。在临界状态下，对物体的受力情况和运动状态的分析不准确，导致无法正确列出方程求解。在临界状态下，物体的受力情况可能会发生变化。 知识点06 水平面内圆周运动中的多物体牵连问题 1. 两个质量均为m的木块A、B用恰好伸直的轻绳相连，放在水平圆盘上，A恰好处于圆盘中心。 （1）轻绳出现拉力的临界角速度：对木块B分析， ，。 （2）A、B相对圆盘滑动的临界条件：角速度继续增大，绳子出现拉力，B受最大静摩擦力不变，角速度继续增大，A的静摩擦力继续增大，当增大到最大静摩擦力时，A、B相对于转盘开始滑动。 对木块A分析，；对木块B分析，。解得临界角速度为。 结论：当时，轻绳上拉力为0；当时，A、B相对圆盘发生滑动。 2. 两个质量均为m的木块A、B用恰好伸直的轻绳相连，放在水平圆盘上。 （1）轻绳出现拉力的临界角速度：对木块B分析， ，。 （2）A、B相对圆盘滑动的临界条件：角速度继续增大，绳子出现拉力，B受最大静摩擦力不变，角速度继续增大，A的静摩擦力继续增大，当增大到最大静摩擦力时，A、B相对于转盘开始滑动。 对木块A分析，；对木块B分析，。解得临界角速度为。 结论：当时，轻绳上拉力为0；当时，A、B相对圆盘发生滑动。 3. A、B两物块叠放在转盘上 （1）若，则B先相对转盘发生滑动，临界角速度为。 （2）若，则则A先相对B发生滑动，则A先相对B发生滑动。 题型一 关联速度模型 解｜题｜技｜巧 情景图示 定量结论 v＝v物cos θ v物′＝v∥＝v物cos θ v∥＝v∥′ 即v物cos θ＝v物′cos α v∥＝v∥′ 即v物cos α＝v物′cos β 【典例1】第十一届全国杂技展演于2023年3月在山东省举办，如图所示，水平固定的细长杆上套有一遥控电动小车P，跨过悬挂于O点的轻小光滑圆环的细线一端连接P，另一端悬挂一杂技演员Q。设初始时细线的右边部分与水平方向的夹角为θ，现在遥控作用下使电动小车P开始向左匀速运动，电动小车和演员均可视为质点，不计空气阻力，下列判断正确的是（　　） A．当θ=90°时，杂技演员Q速度不为零 B．当θ=60°时，P、Q的速度大小之比是2∶1 C．在θ向90°增大的过程中，绳子的拉力始终等于演员的重力 D．在θ向90°增大的过程中，演员Q一直处于失重状态 【答案】B 【详解】A．当θ=90°时，即为电动小车P到达O点正下方时，此时演员Q的速度为零，故A错误； B．由题可知，P、Q用同一根细线连接，则电动小车P沿细线方向的速度与演员Q的速度相等，则当θ=60°时则有 解得，故B正确； CD．演员Q从开始运动到最低点的过程中，向下做减速运动，加速度向上，处于超重状态，绳子的拉力始终大于演员的重力，故CD错误。 故选B。 【典例2】如图所示，小车A通过轻绳提升一物块B，某一时刻，连接小车A的轻绳与水平方向的夹角为 ，此时刻小车的速度为v0，则此时物块B的速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将车的速度v0分解为沿绳子方向的速度v绳和垂直绳子方向的速度v1，沿绳子方向的速度v绳和物块B的速度大小相等，根据平行四边形定则有，故选C。 【变式1】如图所示，长为L的直棒一端可绕固定轴O转动，另一端搁在升降平台上，平台以速度v匀速上升，当棒与竖直方向的夹角为α时，棒的角速度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】棒与平台接触点的实际运动即合运动方向是垂直于棒指向左上，如图所示 合速度 沿竖直向上方向上的速度分量等于v，即 所以 故选B。 【变式2】火灾逃生的首要原则是离开火灾现场，如图是火警设计的一种让当事人快捷逃离现场的救援方案：用一根不变形的轻杆MN支撑在楼面平台AB上，N端在水平地面上向右以匀速运动，被救助的人员紧抱在M端随轻杆向平台B端靠近，平台高为h，当时，被救人员向B点运动的速率是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设杆与水平面CD的夹角为，由几何关系可知 即 将杆上N点的速度分解成沿杆的分速度和垂直杆转动的速度 ，由矢量三角形可知 而沿着同一根杆，各点的速度相同，故被救人员向B点运动的速率为。 故选C。 题型二 小船渡河模型 答｜题｜模｜板 模型解读 分运动1 分运动2 合运动 运动 船相对于静水的划行运动 船随水漂流的运动 船的实际运动 速度本质 发动机给船的速度 水流给船的速度 船相对于岸的速度 速度方向 沿船头指向 沿水流方向 合速度方向,轨迹(切线)方向 渡河时间 ①渡河时间只与船垂直于河岸方向的分速度有关,与水流速度无关 ②渡河时间最短:船头正对河岸时,渡河时间最短 (d为河宽) 渡河位移 若v船>v水，当船头方向与上游河岸夹角θ满足v船cos θ＝v水时，合速度垂直河岸，渡河位移最短，且xmin＝d 若v船<v水，合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河．当船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直时，渡河位移最短，且 【典例1】乌江源百里画廊湖水清澈澄深，倒影沉碧，宁静秀丽，两岸峰壁险峻，气势恢宏，断层壁画神秘多姿，鬼斧神工，景观众多，有“山似三峡而水胜三峡，水似漓江而山胜漓江”的美誉，是千里乌江上面美的崖壁画廊。乌江源百里画廊某一段区域的两河岸可视为平行，两岸间距为，假设水的流速恒为，且平行河岸，小船在静水中的航行速度大小恒为，现保持小船在静水中的速度从点以最短时间渡河，则（　　） A．小船在点的正对岸靠岸 B．小船渡河的最短时间为 C．小船运动的合速度大小为 D．小船平行于河岸方向运动的位移大小为 【答案】CD 【详解】A．当小船在静水中的速度垂直河岸渡河时，渡河时间最短，但由于水流的作用，小船会向下游运动，不能在A点的正对岸靠岸，故A错误； B．小船渡河的最短时间为，故B错误； C．小船运动的合速度大小为，故C正确； D．小船平行于河岸方向运动的位移大小为，故D正确。 故选CD。 【典例2】如图所示，甲、乙两个小组分乘两只小船渡一条宽度为的河，各处水流速度均向右且等大恒定，船在静水中的速率均为，渡河时船头朝向与河岸夹角均为，其中甲船恰好抵达正对岸的A点，则（　　） A．甲船渡河时间比乙船短 B．乙船渡河时间为 C．两船都抵达对岸时，间距增大了 D．如果河水流速增大，甲船调整航向一定还能到达A点 【答案】BC 【详解】AB．甲船和乙船垂直河岸方向的速度均为，渡河时间均为，故A错误，B正确； C．两船沿河岸方向都在随着水流运动，沿河岸方向的相对速度大小为，都抵达对岸时，间距增大了，故C正确； D．如果河水流速大于v，则甲船调整航向不能到达A点，故D错误。 故选BC。 【变式1】如图所示，一条小河的水流方向平行于河岸，水流速度大小为2m/s，甲、乙两船相对静水的速度均为1m/s。已知甲船以最小的位移渡河，乙船以最短的时间渡河。则甲、乙两船（　　） A．渡河的时间之比为 B．渡河的时间之比为 C．渡河的位移之比为 D．渡河的位移之比为 【答案】D 【详解】AB．甲船渡河的时间为 乙船渡河的时间为 所以渡河的时间之比为，故AB错误； CD．甲船的位移为，乙船的位移大小为 所以二者之比为，故C错误，D正确。 故选D。 【变式2】如图所示，一船在静水中的速度大小恒定，水流速度大小恒定且方向沿着河岸向右，小船船速小于水流速度，河岸宽度恒定为d。小船从O点开始渡河，图中OA垂直于河岸，AB=BC=L。已知当小船划行方向垂直于河岸时，小船正好航行到B点，运动时间为tB。下列说法中正确的是（　　） A．小船速度大小与水流速度大小之比为 B．若小船的划行方向沿OB方向，则小船最终会航行到BC之间的某一点 C．若小船改变划行方向，最终到达对岸C点，运动时间为tC，则tC=2tB D．若小船改变划行方向，离A点最近的距离为 【答案】D 【详解】A．，则小船速度大小与水流速度大小之比为，故A错误； B．如图所示 ，， 此时过河时间 则代入得水平位移 即小船最终会航行到C点右侧，故B错误； C．如图所示 则，即 则，即 故C错误； D．如图所示 ，则 离A点最近的距离为 故D正确。 故选D。 题型三 平抛运动的规律和推论 答｜题｜模｜板 平抛运动的两个重要结论 ①做平抛运动的物体在任意时刻(任意位置)处，有. 推导： ②做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过水平位移的中点， 如图所示，即. 推导： 【典例1】如图为湖边一倾角为30°的大坝的横截面示意图，水面与大坝的交点为O。一人站在A点处以速度沿水平方向扔小石块，已知AO＝40m，重力加速度，忽略人的身高，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．若m/s，则石块一定落入水中 B．若石块不能落入水中，则石块落点到A点的距离与初速度成正比 C．若石块能落入水中，落水时速度与水平面的夹角的正切值与初速度的乘积为定值 D．若石块不能落入水中，则石块落到斜面上时速度方向与斜面的夹角与无关 【答案】ACD 【详解】A．若石块恰能落到O点，则由， 解得，则若m/s，则石块一定落入水中，A正确； BD．若石块不能落入水中，则， 解得 石块落点到A点的距离与初速度平方成正比，此时石块落到斜面上时速度方向与水平方向的夹角为定值，则石块落到斜面上时速度方向与斜面的夹角与无关B错误，D正确； C．若石块能落入水中，则运动时间 落水时速度与水平面的夹角的正切值 可得为定值，C正确。 故选ACD。 【典例2】如图所示，AB为竖直放置的半圆环ACB的水平直径，O为半圆环圆心，C为环上的最低点，环半径为R，两个质量相同的小球分别从A点和B点以初速度和水平相向抛出，初速度为的小球落到a点所用时间为，初速度为的小球落到b点所用时间为，a点高度大于b点高度，不计空气阻力。则下列判断正确的是（    ） A．两小球的初速度一定有 B．两小球落到圆环上所用的时间满足 C．不论和满足什么关系，两小球都不会垂直打在圆环上 D．若两小球同时水平抛出，不论和满足什么关系，两小球都能在空中相遇 【答案】BC 【详解】AB. 根据，因为b下落高度大，所以b平抛运动的时间长，即有 水平位移 由图中b的水平位移小，所以b球的初速度小于a球的初速度，即，故A错误，B正确； C. 设速度与水平方向的夹角α，位移与水平方向的夹角β，有 可以证明速度反向延长线交水平位移的中点，若该选项中假设小球垂直打在圆环上，则速度反向延长线交点在圆心，但不是水平位移的中点，故C正确； D. 如果两球的初速度非常小，两球不能在空中相遇，如图所示 故D错误。 故选BC。 【变式1】如图所示，一质量为的小物块以初速度从粗糙水平桌面上某处开始运动，经时间后以速度飞离桌面，最终落在水平地面上。物块与桌面间的动摩擦因数，桌面高，不计空气阻力，取重力加速度。求： (1)小物块在离开桌面后直至落地的运动时间； (2)小物块落地点距飞出点的水平距离； (3)小物块的初速度的大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）小物块离开桌面后做平抛运动，竖直方向有 得 （2）水平方向有 （3）小物块在水平桌面上运动时，根据牛顿第二定律有 得 由运动学公式有 得 【变式2】如图所示，某人在同一位置先后水平抛出甲、乙两个小球，两小球最终落到同一水平面上，不计空气阻力，则（　　） A．甲球的质量较大 B．乙球的初速度较大 C．甲球下落时间较长 D．该过程甲球的速度变化量较大 【答案】B 【详解】AC．两球在空中做平抛运动，加速度均为重力加速度，与质量无关；由，可得 由于下落高度相同，所以两球在空中运动时间相等，故AC错误； B．水平方向有 由于乙球的水平位移较大，下落时间相等，所以乙球的初速度较大，故B正确； D．根据，由于下落时间相等，所以两球的速度变化量相等，故D错误。 故选B。 题型四 平抛运动中的临界问题 答｜题｜模｜板 1. 最小初速度问题 障碍物临界：轨迹抛物线恰好与障碍物相切。 条件：切点处竖直分速度 vy2=2gh（h为障碍物高度），水平位移 x=v0t。 落入坑洞：轨迹端点与坑洞边界相切，利用位移方程联立几何约束求解 v0范围。 2. 斜面碰撞临界 垂直落至斜面：末速度方向垂直斜面 → vx与 vy满足 tanβ=gt/v0（β为斜面倾角）。 最远撞击点：位移方向与斜面平行 → tanβ=y/x=gt2/v0。 【典例1】飞镖扎气球是一种民间娱乐游戏项目，其示意图如图甲所示，靶面竖直固定，点为镖靶中心，水平、竖直，靶面图如图乙所示。若每次都在空中同一位置点水平射出飞镖，且、、三点在同一竖直平面，忽略空气阻力。关于分别射中靶面、、三点的飞镖，下列说法正确的是（    ）    A．射中点的飞镖射出时的速度最小 B．射中点的飞镖空中飞行时间最长 C．射中点和点的飞镖的位移大小相同 D．射中点的飞镖比射中点的飞镖在空中飞行相同时间内的速度变化更小 【答案】B 【详解】AB．飞镖做平抛运动，由平抛运动的特点知， 解得飞镖飞行时间 飞镖初速度 O、P、Q三点，由题意可知 则 飞镖射中O、P两点的飞镖空中飞行时间相等，射中Q点的飞镖空中飞行时间最长。又因为，在水平方向上 可得 即射中Q点的飞镖射出时的速度最小，射中P点的飞镖射出时的速度最大，故A错误，B正确； C．射中点和点的飞镖竖直位移相同，但水平位移不同，射中P点的飞镖水平位移更大，所以射中点和点的飞镖的位移大小不同，故C错误； D．射中点的飞镖比射中点的飞镖在空中飞行均做平抛运动，竖直方向上均为自由落体运动，加速度相同，所以相同时间内的速度变化相同，故D错误。 故选B。 【典例2】“套圈儿”是许多人喜爱的一种游戏。如图所示，小孩和大人直立在界外同一位置，在同一竖直线上不同高度先后水平抛出小圆环，并恰好套中前方同一物体，假设圆环的运动可视为平抛运动，则（　　） A．小孩抛出的圆环运动时间较长 B．两人抛出的圆环速度大小相等 C．大人抛出的圆环落地时速度较大 D．大人抛出的圆环速度变化量较大 【答案】D 【详解】A．根据可知，大人抛出的高度高，运动时间长，故A错误； B．根据，可知，大人抛出的圆环运动时间长，抛出的初速度小，故B错误； C．落地速度，其中， 联立可得 由于，当时，v有最小值 因为题目未明确h与x的大小，故无法判断落地速度大小，故C错误； D．速度变化量，由于大人抛出的圆环运动时间长，故大人抛出的圆环速度变化量较大，故D正确。 故选D。 【变式1】乒乓球在我国有广泛的群众基础，并有“国球”的美誉。现讨论乒乓球的发球问题，已知球台长为，网高为，若球在球台边缘点正上方某高度处，以一定的水平速度垂直球网发出，如图所示，球恰好在最高点时越过球网。假设乒乓球反弹瞬间前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反，且不考虑乒乓球的旋转和空气阻力，则根据以上信息可以求出（设重力加速度为）（　　） A．发球时球的高度大于 B．球的初速度大小为 C．球从被发出到第一次落在球台上的时间为 D．球从被发出到落到对方球台上的时间为 【答案】BD 【详解】A．由于乒乓球反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反，且不考虑乒乓球的旋转和空气阻力，所以在整个运动的过程中，乒乓球的能量是守恒的，由于球恰好在最高点时越过球网，所以根据能量守恒可得，在发球时的高度即为球网的高度h，故A错误； B．在乒乓球从发出到刚越过球网的时刻，在水平方向上，乒乓球一直是匀速直线运动，从发球到刚越过球网时的总的时间为2t，根据抛体运动规律可得 解得 则乒乓球的初速度大小为，故B正确； C．由题可知，球从被发出到第一次落在球台上的时间为，故C错误； D．根据运动的对称性可得，球从被发出到落到对方球台上的时间为，故D正确。 故选BD。 【变式2】如图所示，圆柱形水桶放置在水平面上，拧开水龙头，水从离地高为2h放置的水平水管A端流出，刚好从水桶口中心B处无阻挡地落到桶底边沿C处，已知水桶高为h，直径为D，水管的内径为d（），求： (1)水从A点流出时的速度及水管末端A与水桶口中心B之间水平距离； (2)充满整个水管截面的水从水管末端A流出时开始计时，经过多长时间将水桶装满。 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）流出的水做平抛运动，从A点到B点，水平方向上 竖直方向上 从A点到C点，水平方向上 竖直方向上 解得， （2）单位时间流量为 水桶的体积为 则灌满水 解得 除此之外还要计算水从水管末端A流出至B的时间，故整个时间为 题型五 平抛运动与斜面和曲面结合 答｜题｜模｜板 模型 方法 内容 斜面 与曲面内切 分解速度 水平：vx＝v0 竖直：vy＝gt tan θ＝＝ → t＝ 从斜面一端射入 由半径和几何关系 h＝gt2，R＋＝v0t 与曲面外切 分解速度 水平：vx＝v0 竖直：vy＝gt tan θ＝＝ → t＝ 模型 思想 内容 斜面 核心关系 垂直打在斜面上 分解速度 速度关系： vx＝v0 vy＝gt v＝ 位移关系： x＝v0t y＝gt2 s＝ tan θ＝＝ → t＝ 平抛再次落在斜面上（位移偏转角） 分解位移 tan θ＝＝ → t＝ 平抛再次落在斜面上（速度偏转角） 角度关系 tan φ＝ ＝ ＝＝2tan θ ，α＝φ－θ 切向落入斜面 分解速度 tan θ＝＝ → t＝ 离斜面最远 角度关系 tan θ＝＝→t＝ 【典例1】如图为一半圆柱面的截面，为半圆的水平直径，从点以水平初速度抛出一小球，经小球落在半圆柱面上点（图中未画出），若不考虑反弹，下列判断中不正确的是（　　） A．半圆的半径为 B．小球刚到点的速度方向与水平方向夹角的正切值为1 C．小球从点运动到点的过程中，速度变化的方向竖直向下 D．选择合适的初速度，小球可以直接垂直打在半圆柱面上 【答案】D 【详解】根据题意画出小球的运动轨迹，如图所示 A．根据题意可知，小球的水平位移为 竖直位移为 由平抛运动规律可知，位移与水平方向夹角的正切值为 根据几何关系可知 则 可得 则半圆的半径为，故A正确； B．速度偏转角的正切值为， 联立解得，故B正确； C．对平抛运动由，小球从点运动到点的过程中，速度变化的方向跟重力加速度的方向相同，竖直向下，故C正确； D．当小球垂直打在半圆柱面上时，速度的反向延长线过圆心，根据几何关系可知，速度与水平方向的夹角和位移与水平方向夹角的关系为 根据平抛运动规律又有 联立可知，满足此关系的和无解，则不论初速度多大，小球都不可能垂直打在半圆壁上，故D错误。 故选D。 【典例2】如图所示为固定的半圆形竖直轨道，AB为水平直径，O为圆心，哪吒和敖丙在A点同时水平踢出两个毽子（可视为质点），初速度分别为，落在轨道上的C、D两点，OC、OD连线与竖直方向的夹角均为，忽略空气阻力，则（　　） A．两个毽子不会同时落到轨道上 B． C．两个毽子速度变化量方向不相同 D．落在D点毽子的速度的反向延长线一定过O点 【答案】B 【详解】A．由分析可知，两个毽子均为平抛运动，由几何关系，两毽子竖直方向的位移相等为 可得 则两个毽子会同时落到轨道上，A选项错误； B．由两毽子平抛运动水平方向位移为 可知，B选项正确； C．由平抛运动仅受重力，故加速度始终为竖直方向，速度变化量公式 可知速度变化量方向与加速度方向一致，故两个毽子速度变化量方向相同，C选项错误； D．由平抛运动推论，末速度的反向延长线与轴的交点为水平位移的中点，由几何关系可知O点不是水平位移中点，则落在D点毽子的速度的反向延长线一定不过O点，D选项错误。 故选B。 【变式1】如图所示，两小球a、b分别从斜面长度为的斜面底端以某角度斜向上抛出，分别落到斜面顶端和距底端处，且在落点的速度均沿水平方向。不计空气阻力，下列判断正确的是（　　） A．小球a、b抛出时的初速度方向相同 B．小球a、b在空中飞行时间之比为5∶2 C．小球a、b抛出时的初速度大小之比为5∶2 D．小球a、b在空中飞行速度的变化率之比为 【答案】A 【详解】A．小球a、b的运动可视为平抛运动的逆过程，设斜面倾角为，根据平抛运动推论可知，小球落到斜面的速度与水平方向的夹角满足 可知为定值，则小球落到斜面的速度方向相同，即小球a、b抛出时的初速度方向相同，故A正确； B．小球a、b的运动可视为平抛运动的逆过程，对小球a竖直方向有 对小球b竖直方向有 可得小球a、b在空中飞行时间之比为，故B错误； C．设小球抛出时的速度为v，根据 可知小球a、b抛出时的初速度大小之比满足，故C错误； D．速度的变化率等于加速度，两球在空中的加速度均为重力加速度，则小球a、b在空中飞行速度的变化率之比为，故D错误。 故选A。 【变式2】第25届冬奥会在2026年2月6日至22日在意大利米兰和科尔蒂纳丹佩佐联合举行，跳台滑雪是冬奥会中最具观赏性的项目之一，其简化图如图所示，跳台滑雪赛道由助滑道，着陆坡，减速停止区三部分组成，B点处对应圆弧半径为。比赛中质量的运动员从A点由静止下滑，运动到B点后水平飞出，落在着陆坡的C点，已知运动员在空中的飞行时间为，着陆坡的倾角，重力加速度，忽略空气阻力影响，求： (1)运动员从B点水平飞出的速度大小为多少？ (2)运动员从B点飞出后离斜面最远时速度是多少？ (3)运动员从B点飞出后经多长时间离斜面最远？ (4)运动员离斜面最远时的最远距离是多少？ 【答案】(1)30m/s (2)37.5m/s (3)2.25s (4)20.25m 【详解】（1）运动员从B运动到C的过程中做平抛运动，竖直方向上有 水平方向上做匀速运动，有 落在C点时，有 代入数据后可解得 （2）当运动员离斜面最远时，速度方向与斜面平行，此时的合速度为 （3）当运动员离斜面最远时， 所以 解得 （4）将运动员的运动分解为沿斜面方向与垂直斜面方向，则离斜面最远时垂直斜面方向上的速度减为0，此方向上的初速度分量为 垂直斜面方向的加速度大小为 所以离斜面的最远距离为 题型六 几种传动装置 答｜题｜模｜板 类型 模型 模型核心 应用规律 皮带传动 皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等(方向不同)，即vA＝vB 角速度与半径成反比： ， 周期与半径成正比： 摩擦传动 两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等(方向不同)，即vA＝vB 角速度与半径成反比与齿轮齿数成反比∶ ， 周期与半径成正比，与齿轮齿 数成正比： 齿轮传动 同轴 传动 绕同一转轴转动的物体，角速度相同，ωA＝ωB，由v＝ωr知v与r成正比 线速度与半径成正比： 【典例1】如图所示为太空漫步机，连接脚踏板的杆绕O点转动，A、B为杆上两点。在摆动时，A、B的角速度和线速度分别为、和、，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A、B两点同轴转动，则角速度相等，即； 因，根据，可知。 故选C。 【典例2】变速自行车靠变换齿轮组合来改变行驶速度。如图是某一变速车齿轮转动结构示意图，图中A轮有48齿，B轮有42齿，C轮有18齿，D轮有12齿，则（　　） A．该车可变换两种不同挡位 B．该车可变换四种不同挡位 C．当B轮与C轮组合时，两轮的角速度之比 D．当A轮与D轮组合时，两轮的角速度之比 【答案】BD 【详解】AB．A轮通过链条分别与C、D连接，自行车可有两种速度，B轮分别与C、D连接，又可有两种速度，所以该车可变换4种挡位，故A错误，B正确； C．同缘传动边缘点线速度相等，前齿轮的齿数与转动圈数的乘积等于后齿轮齿数与转动圈数的乘积，当B轮与C轮组合时，两轮边缘线速度大小相等， 解得 又因为A轮与B轮同轴转动，；C轮与D轮同轴，， 所以两轮的角速度之比，故C错误； D．由C同理可知，当A轮与D轮组合时， 解得，即，故D正确； 故选BD。 【变式1】如图所示是自行车的大齿轮、小齿轮和后轮，分别为它们边缘上的点。的线速度大小分别为，角速度大小分别为。将自行车后轮架起，转动脚踏板，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】AB．A、B两点在同一条链条上，所以 由 因为 可得 联立有，故A错误，B正确； CD．B、C两点在同一个圆盘上，所以 由 因为 结合可得 联立有，故CD错误。 故选B。 【变式2】如图甲所示，野外骑行在近几年越来越流行，越来越受到人们的青睐，对于自行车的要求也在不断的提高，很多都是可变速的。不管如何变化，自行车装置和运动原理都离不开圆周运动。结合自行车实际情况，下列物理学的相关说法正确的是（　　） A．图乙中前轮边缘处A、B、C、D四个点的线速度相同 B．大齿轮与小齿轮的齿数如图丙所示，则大齿轮转1圈，小齿轮转3圈 C．图乙中大齿轮边缘处E点和小齿轮边缘处F点角速度相同 D．在大齿轮处的角速度不变的前提下，增加小齿轮的齿数，自行车的速度将变小 【答案】BD 【详解】A．图乙中前轮边缘处A、B、C、D四个点的线速度大小相等，方向不同，故A错误； B．大齿轮与小齿轮通过链条连接，线速度大小相等，设相邻齿间弧长为s，齿数为N，转速为n，根据 可知 则大齿轮转1圈，小齿轮转3圈，故B正确； C．图乙中大齿轮边缘处E点和小齿轮边缘处F点线速度大小相同，角速度不同，故C错误； D．在大齿轮处的角速度不变的前提下，增加小齿轮的齿数，小齿轮的半径增大，角速度变小，则后轮角速度变小，后轮线速度变小，自行车的速度将变小，故D正确。 故选BD。 题型七 水平面内的圆周运动 答｜题｜模｜板 一、水平面内的圆周运动 1. 物体间恰好不发生相对滑动 的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力。 如果只是摩擦力提供向心力，则有F＝m，静摩擦力的方向一定指向圆心； 汽车转弯时，只由摩擦力提供向心力Ffm＝m 2. 水平转盘上运动物体模型 （1）如果只有摩擦力提供向心力，物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力，则最大静摩擦力Fm＝，方向指向圆心。 （2）如果水平方向除受摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其临界情况要根据题设条件进行判断，如判断某个力是否存在以及这个力存在时的方向(特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等)。 【典例1】如图所示，转轴通过餐桌中心的可旋转圆盘上有一个小碟子（可视为质点）随圆盘一起匀速转动，下列说法正确的是（　　） A．小碟子做匀变速曲线运动 B．圆盘对小碟子没有摩擦力 C．小碟子所受的摩擦力方向与小碟子运动方向相反 D．小碟子所受合外力不为零 【答案】D 【详解】A．小碟子的加速度为向心加速度，方向不断变化，不是匀变速运动，故A错误； B．小碟子相对桌面有向外的运动趋势，并且摩擦力提供小碟子做圆周运动的向心力，则受静摩擦力，故B错误； C．小碟子所受摩擦力提供圆周运动的向心力，指向圆心，与运动方向垂直，故C错误； D．小碟子做匀速圆周运动，所受合外力提供向心力，不为零，故D正确。 故选D。 【典例2】如图，置于圆形水平转台边缘的小物块随转台转动，当转速缓慢增加达到某一数值时，物块恰好滑离转台开始做平抛运动。现测得转台半径R=0.8m，离水平地面的高度H=0.8m，物块平抛落地过程水平位移的大小s=0.8m。设物块与转台间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g=10m/s2。则可得（　　） A．物块刚离开转台时的速度大小v0=1m/s B．物块刚离开转台时的速度大小v0=4m/s C．物块与转台间的动摩擦因数μ=0.2 D．物块与转台间的动摩擦因数μ=0.5 【答案】D 【详解】AB．由于物块离开转台后做平抛运动，则， 联立解得，故AB错误； CD．根据摩擦力提供向心力有 解得，故C错误，D正确。 故选D。 【变式1】如图，两个质量均为m的小木块a和b（可视为质点）放在水平圆盘上，a与转轴的距离为l，b与转轴的距离为2l，a和b跟随圆盘以角速度绕转动，下列说法正确的是（　　） A．a、b的向心加速度 B．a、b的转动周期 C．a、b所受的静摩擦力 D．a、b的线速度 【答案】A 【详解】A．a、b共轴转动，角速度相同，a、b转动半径分别为l和2l，由得，故A正确； B．由，ω相同，得，故B错误； D．由得，故D错误； C．两个木块都由静摩擦力提供向心力，由得，故C错误。 故选A。 【变式2】如图所示，叠放在水平转台上的物体、及物体能随转台一起以角速度匀速转动，物体、、的质量分别为2m、m、m，各接触面间的动摩擦因数都为，物体和离转台中心的距离分别为和。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，物体、、均可视为质点，重力加速度大小为，下列说法正确的是（　　） A．物体对物体的摩擦力可能为 B．物体对物体的摩擦力为 C．转台的角速度需要满足 D．若转台的角速度缓慢增大，则最先滑动的是物体 【答案】AC 【详解】C．对物体C，最大静摩擦力提供向心力 解得 故转台角速度需满足，C正确； A．物体A做圆周运动的向心力由B对A的静摩擦力提供，即 当时， 此角速度小于C的最大允许角速度，故摩擦力可能为，A正确； B．物体B对A的摩擦力应为A的向心力，而非，B错误； D．C的最大允许角速度最小，故角速度增大时最先滑动的是C，D错误； 故选AC。 题型八 竖直平面内的绳球模型、杆球模型、轨道模型、管道模型 答｜题｜模｜板 轻绳模型(最高点无支撑) 轻杆模型(最高点有支撑) 实例 球与绳连接、水流星、沿内轨道运动的“过山车”等 球与杆连接、球在光滑管道中运动等 图示 受力示意图 F弹向下或等于零 F弹向下、等于零或向上 力学方程 mg＋F弹＝m mg±F弹＝m 临界特征 F弹＝0 mg＝m 即vmin＝ v＝0 即F向＝0 F弹＝mg 讨论分析 (1)最高点，若v≥，F弹＋mg＝m，绳或轨道对球产生弹力F弹 (2)若v<，则不能到达最高点，即到达最高点前小球已经脱离了圆轨道 (1)当v＝0时，F弹＝mg，F弹背离圆心 (2)当0<v<时，mg－F弹＝m，F弹背离圆心并随v的增大而减小 (3)当v＝时，F弹＝0 (4)当v>时，mg＋F弹＝m，F弹指向圆心并随v的增大而增大 【典例1】如图所示，轻杆的一端有一个小球，另一端有光滑的固定轴，现给球一初速度，使杆和球一起绕轴在竖直平面内转动，不计空气阻力，用表示球到达最高点时杆对球的作用力，则（    ） A．一定是拉力 B．一定是支持力 C．一定等于0 D．可能是拉力，可能是支持力，也可能等于零 【答案】D 【详解】设杆的长度为L，在最高点时杆对小球的作用力为F，由圆周运动公式 若在最高点的速度，此时小球靠重力提供向心力，杆的作用力为零，若最高点的速度，则杆表现为拉力，若最高点的速度，则杆表现为支持力。因此可能是拉力，可能是支持力，也可能等于零。 故选D。 【典例2】如图所示，竖直面内固定有圆形管道，现将一沾有墨水的小球从管道内最低点沿管道切线方向水平弹出，在小球完整运动一圈后，管道内部分区域将沾上墨水。小球直径略小于管道内径，不计小球所受的摩擦力和墨水质量。用实线表示管道内沾上墨水的部分，虚线表示管道内未沾上墨水的部分，则下列情形中，可能出现的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】小球运动过程中，沿半径方向合力始终需要指向圆心，故小球在圆心以下区域运动时，必为外侧管道提供支持力，从而沾上墨水。 故AC正确。 【变式1】如图甲所示，轻杆一端与O点相连，另一端固定质量为m的小球。现让小球在竖直平面内做圆周运动，小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，速度大小为v，其图像如图乙所示。则（） A．小球做圆周运动的半径 B．当地的重力加速度大小 C．时，小球受到的弹力方向向上 D．时，小球受到的弹力大小与重力大小相等 【答案】BD 【详解】A．由图乙知，当时弹力大小与小球重力等大，即 当时，根据牛顿第二定律有，联立解得 、，故A错误，故B正确； C．由图可知当时，杆对小球弹力方向向上；当时，杆对小球弹力方向向下，所以当时，杆对小球弹力方向向下，故C错误； D．当时，由牛顿第二定律有，整理得 ，联立以上各式可知小球受到的弹力大小等于mg，故D正确。 故选BD。 【变式2】我国航天员在“天宫课堂”中演示了多种有趣的实验，提高了青少年科学探索的兴趣。某同学设计了如下实验：细绳一端固定，另一端系一小球，给小球一初速度使其在竖直平面内做圆周运动。对于两地实验说法正确的是（　　） A．在“天宫”，小球在最高点的速度最小 B．在“天宫”，小球的向心加速度最小为 C．在地面，细绳对小球的拉力最小为 D．在地面，小球的向心力最小为 【答案】D 【详解】AB．在“天宫”，小球在竖直面内做匀速圆周运动，则在各点的速度大小相等，向心加速度最小趋近于零，AB错误； CD．在地面，小球运动到最高点时，当小球的重力等于向心力时，细绳对小球的拉力最小，最小值为零，此时小球的向心力最小为mg，C错误，D正确。 故选D。 题型九 斜面上的圆周运动 答｜题｜模｜板 1. 模型解读：在斜面上做圆周运动的物体，因所受的控制因素不同，如静摩擦力控制、绳控制、杆控制，物体的受力情况和所遵循的规律也不相同。 2. 分析方法 物体在斜面上做圆周运动时，确定约束类型（凹槽/绳牵引）→正交分解（沿斜面和垂直斜面）→列法向方程→求临界参数。如下图所示，设斜面的倾角为θ，重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力相等，物体运动到斜面任意位置时由斜面内指向圆心方向的合力提供向心力。 【典例1】如图所示，在倾角为的光滑斜面上，有一根长为的细绳，一端固定在O点，另一端系一质量为的小球，沿斜面做圆周运动，取，小球在A点最小速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知，小球恰好过A点时的速度最小，即小球过A点时绳子上的拉力恰好为零时，此时小球做圆周运动的向心力完全由小球重力沿斜面向下的分力来提供，由牛顿第二定律有 解得 故选B。 【典例2】如图所示，在倾角为的足够大的固定斜面上，一长度为L的轻杆一端可绕斜面上的O点自由转动，另一端连着一质量为m的小球（视为质点）。现使小球从最低点A以速率v开始在斜面上做圆周运动，通过最高点B。重力加速度大小为g，轻杆与斜面平行，不计一切摩擦。下列说法正确的是（　　） A．小球通过A点时所受轻杆的作用力大小为 B．小球通过B点时的最小速度为 C．小球通过A点时斜面对小球的支持力与小球的速度无关 D．若小球以的速率通过B点时突然脱落而离开轻杆，则小球到达与A点等高处时与A点间的距离为2L 【答案】ACD 【详解】A．小球在A点受到重力、斜面的支持力以及杆的拉力，由向心力公式可得 可得 故A正确； B．杆可以为小球提供支持力，所以小球经过最高点B时的最小速度为零，故B错误； C．斜面对小球的支持力始终等于重力沿垂直于斜面方向的分量，与小球的速度无关，故C正确； D．经分析可知小球经过B点脱落后在斜面上作类平抛运动，在水平方向做匀速直线运动，在沿斜面方向做初速度为零的匀加速度直线运动。沿斜面方向根据牛顿第二定律 由位移公式可知 水平方向 故D正确。 故选ACD。 【变式1】倾角θ的光滑斜面上的O点固定有一根长为L的轻质细线，细线的另一端拴住质量为m的小球（视为质点），P点钉有一颗光滑钉子（），如图所示．现将小球拉至与O点等高的A点由静止释放，释放前细线刚好拉直，之后小球恰能绕钉子做半径为R的完整圆周运动．则下列说法中正确的是（  ）    A．由题意判断可得 B．小球刚被释放后的加速度大小为 C．细线碰到钉子之前，小球在运动过程中合外力全部提供向心力 D．细线碰到钉子以后，小球在运动过程中的最小速率为 【答案】B 【详解】小球恰能绕钉子做半径为R的完整圆周运动，则，小球从静止释放至运动到最高点的过程中，只有重力做功，因而机械能守恒，则根据机械能守恒定律得，解得，A错误；小球刚被释放时，由于绳子的拉力为零，故在沿斜面方向上的合力为，故加速度，B正确；细线碰到钉子之前，由于小球做变速圆周运动，所以其合力不是全部提供向心力，其中一部分充当切向加速度，用来改变小球的速度，C错误；细线碰到钉子以后，在R圆周的最高点速度并且重力沿斜面向下的分力完全充当向心力时，速度最小，最小为，D错误． 【点睛】本题可类比与在竖直方向上的圆周运动，不同的是在竖直方向上的圆周运动最高点的临界条件是重力完全充当向心力，而本题在最高点时的临界条件是充当向心力． 【变式2】如图1所示，倾斜圆盘与水平面的夹角，可绕过圆心且垂直于圆盘的转轴匀速转动。在圆盘平面内以为原点建立平面直角坐标系，轴沿水平方向，轴沿盘面向上。圆盘上的小滑块始终与圆盘保持相对静止，其所受摩擦力在、轴的分力、的关系如图2所示。则下列说法正确的是（　　） A．滑块在最高点最容易发生相对滑动 B．运动过程中摩擦力的最大值是9N C．滑块所受的重力等于4N D．滑块与圆盘之间的动摩擦因数至少为 【答案】BD 【详解】A．滑块做匀速圆周运动，向心力由摩擦力、重力分力的合力提供。最高点：重力沿斜面向下的分力与向心力方向相同，摩擦力，此时摩擦力最小。 最低点：重力沿斜面向下的分力与向心力方向相反，摩擦力，此时摩擦力最大，显然滑块在最低点最容易达到最大静摩擦力而发生相对滑动。A错误。 B．设图2中圆与正方向的交点为，可知 求得 滑块运动至最低点时，所受的静摩擦力最大，方向指向圆心，此时，可知运动过程中摩擦力的最大值，B正确。 C．根据图2知，当滑块在轴最低点时，，此时摩擦力仅沿轴方向，有 当滑块在轴最高点时，， 则， 联立求得滑块所受的重力，C错误。 D．结合前面分析知，最大静摩擦力，正压力 动摩擦因数满足： 得，D正确。 故选BD。 题型十 圆锥摆、拱桥凹桥、汽车火车转弯、近心运动和离心运动等经典模型 答｜题｜模｜板 概述 如图所示为凹形桥模型．当汽车通过凹形桥的最低点时，向心力F向＝FN－mg＝m 规律 桥对车的支持力FN＝mg＋m＞mg，汽车处于超重状态 概述 如图所示为拱形桥模型．当汽车通过拱形桥的最高点时，向心力F向＝mg－FN＝m 规律 桥对车的支持力FN＝mg－m＜mg，汽车处于失重状态．若v＝，则FN＝0，汽车将脱离桥面做平抛运动 【典例1】在东北严寒的冬天，有一项“泼水成冰”的游戏，具体操作是把一杯滚烫的开水按一定的弧线均匀快速地泼向空中，泼洒出的小水珠和热气被瞬间凝结成冰而形成壮观的场景。如图甲所示是某人玩泼水成冰游戏的精彩瞬间，图乙为其示意图，假设泼水过程中杯子做逆时针匀速圆周运动。下列说法正确的是（　　） A．P位置的小水珠速度方向沿a方向 B．水珠做离心运动是由于合外力大于所需向心力 C．P、Q两位置，杯子的线速度相同 D．P、Q两位置，杯子的角速度相同 【答案】D 【详解】A．杯子做逆时针匀速圆周运动，则P位置的小水珠速度方向沿b方向，故A错误； B．水珠做离心运动是由于合外力小于所需向心力，故B错误； C．杯子做匀速圆周运动，在P、Q两位置，杯子的线速度大小相等，方向不同，故C错误； D．杯子做匀速圆周运动，在P、Q两位置，杯子的角速度相同，故D正确。 故选D。 【典例2】如图所示，体积很小的两个小球通过轻绳悬于同一点，均以正下方的点为圆心在同一水平面内做匀速圆周运动。已知小球的质量分别为、，轻绳、与竖直方向的夹角分别为，两点的高度差为，当地的重力加速度，忽略空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．小球的运动轨迹半径为 B．轻绳的拉力大小为 C．小球的线速度大小均为 D．小球的角速度大小均为 【答案】BD 【详解】A．根据几何关系可知小球的运动轨迹半径为，故A错误； B．根据分析可知球在竖直方向受力平衡，即轻绳的拉力大小为，故B正确； C．两球均做匀速圆周运动，则合外力提供向心力，即 解得 则小球的线速度大小分别为，，故C错误； D．根据 可得小球的角速度大小分别为，，故D正确。 故选BD。 【变式1】如图甲所示，汽车后备箱水平放置一内装圆柱形工件（长度远小于汽车后备箱）的木箱，工件截面和车的行驶方向垂直，图甲是车尾的截面图，当汽车以恒定速率从直道通过图乙所示的三个半径依次变小的水平圆弧形弯道A、B、C时，木箱及箱内工件均保持相对静止。已知每个圆柱形工件的质量为m。重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．汽车在直道上时，M对P的支持力大小为 B．汽车过A、B、C三点时，P的角速度依次减小 C．汽车过A、B两点时，P的合力依次增大 D．汽车过A、C两点时，P的向心加速度相同 【答案】C 【详解】A．汽车在直道上时，根据几何关系，M、Q对P的支持力与竖直方向的夹角均为，分析P的受力，根据受力平衡可得 解得，故A错误； B．水平圆弧形弯道、、处的半径依次变小，汽车速率不变，由可知P的角速度依次变大，故B错； C．汽车过、两点时，汽车以恒定速率通过，P所受的合力提供向心力即而半径依次变小，所以P的合力依次增大，故C正确； D．汽车的向心加速度为 可知汽车过A、C两点时，速率不变，弯道对应的半径变小，所以P的向心加速度依次变大，故D错误。 故选C。 【变式2】如图所示，有关生活中圆周运动的实例分析，下列说法正确的是（　　） A．火车转弯的速度超过规定速度时，火车轮缘会挤压内轨 B．飞机在水平面内做匀速圆周运动时，空气对飞机的作用力大于重力 C．汽车减速通过凹形桥面最低点时，汽车受到的合外力竖直向上 D．衣服随着洗衣机滚筒一起匀速转动时，在最高点的向心加速度最小 【答案】B 【详解】A．火车转弯若超过规定速度行驶时，火车将做离心运动，则外轨将会对火车轮缘会有挤压作用，即火车轮缘会挤压外轨，故A错误； B．飞机在水平面内做匀速圆周运动时，空气对飞机的作用力竖直向上的分力等于重力，所以空气对飞机的作用力大于重力，故B正确； C．汽车减速通过凹形桥最低点，则汽车除受竖直方向的重力和支持力外，还受与运动方向相反（最低点切线方向）的阻力，合外力不是竖直向上，故C错误； D．根据 可知，衣服随着洗衣机滚筒一起匀速转动时，在任意位置的向心加速度大小均相等，故D错误。 故选B。 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．如图，当秋千从高处荡到图示位置时，秋千座椅的速度方向是图中的（　　） A．1方向 B．2方向 C．3方向 D．4方向 【答案】B 【详解】当秋千从高处荡到图示位置时，秋千座椅的速度方向沿切线方向，与半径方向垂直，所以秋千座椅的速度方向是图中的2方向。 故选B。 2．如图是一种新型钟表，钢铁小球在电磁力的作用下在倾斜的表盘上与表盘间隔一定距离做半径为10cm的匀速圆周运动，小球每转动一周，时钟跳跃一分钟，对于时钟下列说法正确的是（　　） A．小球所受电磁力与重力等大反向 B．小球的转速是转每秒 C．小球的角速度是弧度每秒 D．小球的线速度是米每秒 【答案】D 【详解】A．对小球进行受力分析可知，小球受到重力和电磁力的作用，由于小球做匀速圆周运动，需要向心力，故合力不为零，所以电磁力与重力不可能等大反向。故A错误； B．由题意可知，小球做匀速圆周运动的周期为 所以小球的转速是，故B错误； C．小球的角速度是，故C错误； D．小球做匀速圆周运动的半径为 则小球的线速度是，故D正确。 故选D。 3．如图所示，汽车通过凹形桥的最低点时（　　） A．为了防止爆胎，汽车应高速驶过 B．汽车受到重力、支持力、向心力 C．桥对汽车的支持力与汽车的重力大小相等 D．汽车所需的向心力由汽车受到的支持力和重力的合力提供 【答案】D 【详解】BD．汽车受到竖直向下的重力和竖直向上的支持力，汽车所需的向心力由汽车受到的支持力和重力的合力提供，故B错误，D正确； C．设路面对汽车的支持力为N，在最低点，根据牛顿第二定律有 所以 所以桥对汽车的支持力大于汽车的重力，故C错误； A．为了防止爆胎，应使路面对汽车的支持力N小一些，由以上分析可知应该减小车速，故A错误。 故选D。 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 4．质点做平抛运动的初速度为v1，3s末的速度为v2。下列四个图中能够正确反映抛出1s末、2s末、3s末速度矢量的示意图是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】平抛运动水平方向的分运动是匀速直线运动，水平方向分速度不变，在竖直方向上做自由落体运动，由Δv=gt知，相同时间内速度变化量相同，且方向竖直向下。 故选D。 5．如图所示，一枚礼花弹在空中点爆炸后分成、两块（均可视为质点），水平向左飞出，斜向右下飞出。若、在水平地面上的落点到点的距离相等，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．、同时落地 B．先落地 C．分开瞬间的速度一定小于的速度 D．刚要落地时、的速度大小相等 【答案】C 【详解】AB．为平抛，竖直方向初速度为零；为斜向下抛，具有竖直方向初速度，下落相同的高度时，由可知，的运动时间比的运动时间短，故AB错误； C．由题意可知、的水平位移相等，的运动时间比的运动时间短，由可得初速度的水平分量大于的初速度，因此的初速度一定小于的初速度，故C正确； D．因为的初速度大于的初速度，由 落地速度，所以刚要落地时的速度大于的速度，故D错误。 故选C。 6．2025年春节联欢晚会上最大的亮点莫过于机器人和真人一起跳舞，也标志中国的人形机器人处于国际领先水平。如图为机器人在竖直平面上转动手帕的情景，已知手帕直径约为40cm。要想把该手帕在竖直平面内以帕中心为转轴转动起来，重力加速度g取10m/s2，则需提供的最小转速约为（　　） A．0.61r/s B．0.79r/s C．1.12r/s D．1.41r/s 【答案】C 【详解】选取手帕边缘的一个质量为m的质点为研究对象，则要想经过最高点则需满足， 代入数据解得 故选C。 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 7．如图所示，半径为的竖直圆筒绕中心轴线以恒定的转速匀速转动。一子弹以水平速度沿圆筒直径方向从左侧射入圆筒，从右侧射穿圆筒后发现两弹孔在同一竖直线上且相距为，则圆筒转动的角速度可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】子弹做平抛运动，在竖直方向上 可得子弹在圆筒中运动的时间 因子弹从右侧射穿圆筒后发现两弹孔在同一竖直线上,则圆筒转过的角度为（n=1、2、3...） 则角速度为 故选AC。 8．如图所示，小球从倾角的斜面底端的正上方以的速度水平抛出，飞行一段时间后，恰好垂直撞在斜面上，求：（，） (1)小球在空中飞行时间和撞击斜面的速度大小； (2)抛出点距斜面底端的高度。 【答案】(1)1.6s，20m/s (2)27.2m 【详解】（1）由题图可知，小球垂直撞在斜面上时，速度满足， 故小球在空中飞行时间为 撞击斜面的速度大小为 （2）小球竖直方向做自由落体运动，故 水平方向做匀速直线运动，故 由几何关系可知 故抛出点距斜面底端的高度为 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 曲线运动（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 关联速度模型 题型02 小船渡河模型 题型03 平抛运动的规律和推论 题型04 平抛运动中的临界问题 题型05 平抛运动与斜面和曲面结合 题型06 几种传动装置 题型07 水平面内的圆周运动 题型08 竖直平面内的绳球模型、杆球模型、轨道模型、管道模型 题型09 斜面上的圆周运动 题型010 圆锥摆、拱桥凹桥、汽车火车转弯、近心运动和离心运动等经典模型 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点、考情规律与易错点 核心考点 知识点 常考题型 考情规律 易错点分析 曲线运动的条件 合力与速度方向的关系；运动轨迹的凹凸性（合力指向轨迹内侧） 选择题、图像题 几乎必考一道判断轨迹的题目；常结合加速度与速度夹角变化考查。 学生常误以为“曲线运动加速度一定变化”（实际是变速，但加速度可恒定，如平抛）。 运动的合成与分解 1.小船渡河（最短时间/最短位移） 2.关联速度（绳、杆连接体） 选择题、计算题 关联速度是难点，通常考查按实际效果分解；小船渡河常考极值条件。 混淆“合速度”与“分速度”，容易将物体实际速度错误地分解到绳长方向上。 平抛运动的基本规律 水平匀速、竖直自由落体；速度角与位移角的正切关系；等时性 选择题、实验题 重点考查落地速度、时间差（由高度决定）；实验题常考确定抛出点位置。 混淆速度偏向角和位移偏向角的关系；忘记重力加速度g的取值或方向。 平抛运动推论 中点定理（速度反向延长线过水平位移中点）；斜面上的平抛 计算题、压轴题 斜面平抛是高频模型，常考“离斜面最远”时刻及落在斜面上的速度方向。 不会利用斜面倾角构建位移或速度的三角函数关系；忽略斜面的约束条件。 圆周运动物理量 线速度、角速度、周期、转速、向心加速度 选择题 皮带传动（线速度相等）和同轴转动（角速度相等）是基础题。 搞不清哪两个量相等，公式（如a=v²/r与a=ω²r）乱代。 向心力与实例分析 水平面转弯（火车/汽车）、竖直圆环（绳模型/杆模型）、圆锥摆 选择题、计算题 竖直圆周的“最高点临界速度”是必考点；水平转弯常考倾斜路面问题。 受力分析漏力（如漏掉支持力或压力）；不会找圆心和半径；混淆绳模型与杆模型临界条件。 离心与向心运动 离心现象的应用与防止；供需关系分析（F供与F需） 选择题 结合生活实例（如雨天甩水、弯道事故、洗衣机脱水）。 不理解“供”与“需”的对应关系；误认为离心运动是“受到离心力”。 复习目标与策略 基于以上考情，复习建议分为三个层次： 目标层次 具体目标 实施策略与方法 基础巩固 (针对后进生) 目标1：100%准确区分基本概念（如匀速圆周运动是变速运动）。 目标2：熟练记忆平抛、圆周的原始公式。 1.每日一默：默写向心力公式、平抛速度公式。 2.绘制思维导图，梳理“曲线运动”知识树。 能力提升 (针对中等生) 目标3：掌握“渡河”和“关联速度”的解题步骤。 目标4：能处理“斜面平抛”和“水平面圆周”的综合题。 1.微专题训练：专门训练“速度分解”模型，强调“沿绳垂直绳”的正交分解。 2.刷题纠偏：限时训练圆周运动临界问题，总结“绳/杆/管道”的临界公式。 思维突破 (针对优等生) 目标5：突破竖直平面圆周与能量（动能定理）的结合。 目标6：理解类平抛（电场中）的迁移思想。 1.模型对比：对比“绳模型”与“杆模型”的最高点受力差异。 2.二级结论：熟记平抛中速度角正切=2倍位移角正切等推论，提升解题速度。 知识点01 关联速度模型 1.关联体：指两个或多个通过不可伸长的绳（或杆） 或 直接接触 等方式连接在一起的物体。 关键特征：连接体之间存在运动约束关系（如绳长不变、接触点速度协调），导致它们的运动相互关联、相互制约。 2.核心处理思想：运动的合成与分解 + 约束条件： 注意：分解依据： 将物体的实际运动（合运动）分解为两个分运动： 沿约束方向（沿绳/杆方向或接触面法线方向）的分运动： 体现约束（绳不可伸长 → 沿绳速度分量相等；接触面无相对法向运动 → 法向速度分量相等）。 垂直约束方向的分运动： 通常是允许相对运动的方向。 3.常见的速度分解模型 情景图示 定量结论 v＝v物cos θ v物′＝v∥＝v物cos θ v∥＝v∥′ 即v物cos θ＝v物′cos α v∥＝v∥′ 即v物cos α＝v物′cos β 知识点02 平抛运动的规律和结论 1.飞行时间:由知,飞行时间取决于下落高度h,与初速度v0无关. 2.水平射程: ,即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定,与其他因素无关. 3.落地速度: ,以θ表示落地速度与x轴正方向间的夹角,有,所以落地速度只与初速度v0和下落高度h有关. 4.速度改变量:物体在任意相等时间内的速度改变量相同,方向恒为竖直向下. 5.平抛运动的两个重要结论 ①做平抛运动的物体在任意时刻(任意位置)处，有. 推导： ②做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过水平位移的中点， 如图所示，即. 推导： 知识点03 平抛运动与斜面、曲面的结合 ：核心思想 模型 思想 内容 斜面 核心关系 垂直打在斜面上 分解速度 速度关系： vx＝v0 vy＝gt v＝ 位移关系： x＝v0t y＝gt2 s＝ tan θ＝＝ → t＝ 平抛再次落在斜面上（位移偏转角） 分解位移 tan θ＝＝ → t＝ 平抛再次落在斜面上（速度偏转角） 角度关系 tan φ＝ ＝ ＝＝2tan θ ，α＝φ－θ 切向落入斜面 分解速度 tan θ＝＝ → t＝ 离斜面最远 角度关系 tan θ＝＝→t＝ 模型 方法 内容 曲面 核心关系 与曲面内切 分解速度 水平：vx＝v0 竖直：vy＝gt tan θ＝＝ → t＝ 从斜面一端射入 由半径和几何关系 h＝gt2，R＋＝v0t 与曲面外切 分解速度 水平：vx＝v0 竖直：vy＝gt tan θ＝＝ → t＝ 知识点04 圆锥摆模型 圆锥摆模型 1. 圆锥摆模型规律总结 (1)圆锥摆的周期 如图摆长为L，摆线与竖直方向夹角为θ。 受力分析，由牛顿第二定律得：mgtanθ＝mr r＝Lsinθ 解得T＝2π＝2π。 (2)结论 ①摆高h＝Lcosθ，周期T越小，圆锥摆转得越快，θ越大。 ②摆线拉力F＝，圆锥摆转得越快，摆线拉力F越大。 ③摆球的加速度a＝gtanθ。 2. 圆锥摆的两种变形 变形1：具有相同锥度角的圆锥摆（摆长不同），如图甲所示。 由a＝gtanθ知A、B的向心加速度大小相等。由a＝ω2r知ωA<ωB，由a＝知vA>vB。 变形2：具有相同摆高、不同摆长和摆角的圆锥摆，如图乙所示。 由T＝2π知摆高h相同，则TA＝TB，ωA＝ωB，由v＝ωr知vA>vB，由a＝ω2r知aA>aB。 注意：解决圆锥摆临界问题的技巧 圆锥摆的临界问题，主要就是与弹力有关的临界问题。 (1)绳子松弛或断开的临界条件是：①绳恰好拉直且没有弹力；②绳上的拉力恰好达最大值。 (2)接触或脱离的临界条件是物体与物体间的弹力恰好为零。 (3)对于火车转弯、半圆形碗内的水平圆周运动有两类临界情况：①摩擦力的方向发生改变；②发生相对滑动。 知识点05 圆周运动中的临界问题 1. 圆周运动常见的临界状态 （1）与绳或杆的弹力有关弹力恰好为0； （2）与静摩擦力有关，静摩擦力达到最大值； （3）绳子恰好断裂，绳子的张力达到最大承受值。 2. 三类情况分析 （1）水平转盘上的物体恰好不发生相对滑动的临界条件是物体与盘间恰好达到最大静摩擦力。 （2）绳子被拉断：绳上拉力恰好为最大承受力等。 （3）与支持面或杆的弹力有关的临界问题：要分析出恰好无支持力这一临界状态下的角速度（或线速度）等。 注意：临界条件的确定：当绳子的拉力达到最大值时，或者物体所受的静摩擦力达到最大静摩擦力时，就会出现临界情况。比如，在圆锥摆中，如果角速度逐渐增大，当绳子拉力达到其所能承受的最大值时，就达到了临界状态。此时，需要根据牛顿第二定律和向心力公式列出方程，结合临界条件来求解相关物理量。在临界状态下，对物体的受力情况和运动状态的分析不准确，导致无法正确列出方程求解。在临界状态下，物体的受力情况可能会发生变化。 知识点06 水平面内圆周运动中的多物体牵连问题 1. 两个质量均为m的木块A、B用恰好伸直的轻绳相连，放在水平圆盘上，A恰好处于圆盘中心。 （1）轻绳出现拉力的临界角速度：对木块B分析， ，。 （2）A、B相对圆盘滑动的临界条件：角速度继续增大，绳子出现拉力，B受最大静摩擦力不变，角速度继续增大，A的静摩擦力继续增大，当增大到最大静摩擦力时，A、B相对于转盘开始滑动。 对木块A分析，；对木块B分析，。解得临界角速度为。 结论：当时，轻绳上拉力为0；当时，A、B相对圆盘发生滑动。 2. 两个质量均为m的木块A、B用恰好伸直的轻绳相连，放在水平圆盘上。 （1）轻绳出现拉力的临界角速度：对木块B分析， ，。 （2）A、B相对圆盘滑动的临界条件：角速度继续增大，绳子出现拉力，B受最大静摩擦力不变，角速度继续增大，A的静摩擦力继续增大，当增大到最大静摩擦力时，A、B相对于转盘开始滑动。 对木块A分析，；对木块B分析，。解得临界角速度为。 结论：当时，轻绳上拉力为0；当时，A、B相对圆盘发生滑动。 3. A、B两物块叠放在转盘上 （1）若，则B先相对转盘发生滑动，临界角速度为。 （2）若，则则A先相对B发生滑动，则A先相对B发生滑动。 题型一 关联速度模型 解｜题｜技｜巧 情景图示 定量结论 v＝v物cos θ v物′＝v∥＝v物cos θ v∥＝v∥′ 即v物cos θ＝v物′cos α v∥＝v∥′ 即v物cos α＝v物′cos β 【典例1】第十一届全国杂技展演于2023年3月在山东省举办，如图所示，水平固定的细长杆上套有一遥控电动小车P，跨过悬挂于O点的轻小光滑圆环的细线一端连接P，另一端悬挂一杂技演员Q。设初始时细线的右边部分与水平方向的夹角为θ，现在遥控作用下使电动小车P开始向左匀速运动，电动小车和演员均可视为质点，不计空气阻力，下列判断正确的是（　　） A．当θ=90°时，杂技演员Q速度不为零 B．当θ=60°时，P、Q的速度大小之比是2∶1 C．在θ向90°增大的过程中，绳子的拉力始终等于演员的重力 D．在θ向90°增大的过程中，演员Q一直处于失重状态 【典例2】如图所示，小车A通过轻绳提升一物块B，某一时刻，连接小车A的轻绳与水平方向的夹角为 ，此时刻小车的速度为v0，则此时物块B的速度大小为（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图所示，长为L的直棒一端可绕固定轴O转动，另一端搁在升降平台上，平台以速度v匀速上升，当棒与竖直方向的夹角为α时，棒的角速度为（　　） A． B． C． D． 【变式2】火灾逃生的首要原则是离开火灾现场，如图是火警设计的一种让当事人快捷逃离现场的救援方案：用一根不变形的轻杆MN支撑在楼面平台AB上，N端在水平地面上向右以匀速运动，被救助的人员紧抱在M端随轻杆向平台B端靠近，平台高为h，当时，被救人员向B点运动的速率是（　　） A． B． C． D． 题型二 小船渡河模型 答｜题｜模｜板 模型解读 分运动1 分运动2 合运动 运动 船相对于静水的划行运动 船随水漂流的运动 船的实际运动 速度本质 发动机给船的速度 水流给船的速度 船相对于岸的速度 速度方向 沿船头指向 沿水流方向 合速度方向,轨迹(切线)方向 渡河时间 ①渡河时间只与船垂直于河岸方向的分速度有关,与水流速度无关 ②渡河时间最短:船头正对河岸时,渡河时间最短 (d为河宽) 渡河位移 若v船>v水，当船头方向与上游河岸夹角θ满足v船cos θ＝v水时，合速度垂直河岸，渡河位移最短，且xmin＝d 若v船<v水，合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河．当船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直时，渡河位移最短，且 【典例1】乌江源百里画廊湖水清澈澄深，倒影沉碧，宁静秀丽，两岸峰壁险峻，气势恢宏，断层壁画神秘多姿，鬼斧神工，景观众多，有“山似三峡而水胜三峡，水似漓江而山胜漓江”的美誉，是千里乌江上面美的崖壁画廊。乌江源百里画廊某一段区域的两河岸可视为平行，两岸间距为，假设水的流速恒为，且平行河岸，小船在静水中的航行速度大小恒为，现保持小船在静水中的速度从点以最短时间渡河，则（　　） A．小船在点的正对岸靠岸 B．小船渡河的最短时间为 C．小船运动的合速度大小为 D．小船平行于河岸方向运动的位移大小为 【典例2】如图所示，甲、乙两个小组分乘两只小船渡一条宽度为的河，各处水流速度均向右且等大恒定，船在静水中的速率均为，渡河时船头朝向与河岸夹角均为，其中甲船恰好抵达正对岸的A点，则（　　） A．甲船渡河时间比乙船短 B．乙船渡河时间为 C．两船都抵达对岸时，间距增大了 D．如果河水流速增大，甲船调整航向一定还能到达A点 【变式1】如图所示，一条小河的水流方向平行于河岸，水流速度大小为2m/s，甲、乙两船相对静水的速度均为1m/s。已知甲船以最小的位移渡河，乙船以最短的时间渡河。则甲、乙两船（　　） A．渡河的时间之比为 B．渡河的时间之比为 C．渡河的位移之比为 D．渡河的位移之比为 【变式2】如图所示，一船在静水中的速度大小恒定，水流速度大小恒定且方向沿着河岸向右，小船船速小于水流速度，河岸宽度恒定为d。小船从O点开始渡河，图中OA垂直于河岸，AB=BC=L。已知当小船划行方向垂直于河岸时，小船正好航行到B点，运动时间为tB。下列说法中正确的是（　　） A．小船速度大小与水流速度大小之比为 B．若小船的划行方向沿OB方向，则小船最终会航行到BC之间的某一点 C．若小船改变划行方向，最终到达对岸C点，运动时间为tC，则tC=2tB D．若小船改变划行方向，离A点最近的距离为 题型三 平抛运动的规律和推论 答｜题｜模｜板 平抛运动的两个重要结论 ①做平抛运动的物体在任意时刻(任意位置)处，有. 推导： ②做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过水平位移的中点， 如图所示，即. 推导： 【典例1】如图为湖边一倾角为30°的大坝的横截面示意图，水面与大坝的交点为O。一人站在A点处以速度沿水平方向扔小石块，已知AO＝40m，重力加速度，忽略人的身高，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．若m/s，则石块一定落入水中 B．若石块不能落入水中，则石块落点到A点的距离与初速度成正比 C．若石块能落入水中，落水时速度与水平面的夹角的正切值与初速度的乘积为定值 D．若石块不能落入水中，则石块落到斜面上时速度方向与斜面的夹角与无关 【典例2】如图所示，AB为竖直放置的半圆环ACB的水平直径，O为半圆环圆心，C为环上的最低点，环半径为R，两个质量相同的小球分别从A点和B点以初速度和水平相向抛出，初速度为的小球落到a点所用时间为，初速度为的小球落到b点所用时间为，a点高度大于b点高度，不计空气阻力。则下列判断正确的是（    ） A．两小球的初速度一定有 B．两小球落到圆环上所用的时间满足 C．不论和满足什么关系，两小球都不会垂直打在圆环上 D．若两小球同时水平抛出，不论和满足什么关系，两小球都能在空中相遇 【变式1】如图所示，一质量为的小物块以初速度从粗糙水平桌面上某处开始运动，经时间后以速度飞离桌面，最终落在水平地面上。物块与桌面间的动摩擦因数，桌面高，不计空气阻力，取重力加速度。求： (1)小物块在离开桌面后直至落地的运动时间； (2)小物块落地点距飞出点的水平距离； (3)小物块的初速度的大小。 【变式2】如图所示，某人在同一位置先后水平抛出甲、乙两个小球，两小球最终落到同一水平面上，不计空气阻力，则（　　） A．甲球的质量较大 B．乙球的初速度较大 C．甲球下落时间较长 D．该过程甲球的速度变化量较大 题型四 平抛运动中的临界问题 答｜题｜模｜板 1. 最小初速度问题 障碍物临界：轨迹抛物线恰好与障碍物相切。 条件：切点处竖直分速度 vy2=2gh（h为障碍物高度），水平位移 x=v0t。 落入坑洞：轨迹端点与坑洞边界相切，利用位移方程联立几何约束求解 v0范围。 2. 斜面碰撞临界 垂直落至斜面：末速度方向垂直斜面 → vx与 vy满足 tanβ=gt/v0（β为斜面倾角）。 最远撞击点：位移方向与斜面平行 → tanβ=y/x=gt2/v0。 【典例1】飞镖扎气球是一种民间娱乐游戏项目，其示意图如图甲所示，靶面竖直固定，点为镖靶中心，水平、竖直，靶面图如图乙所示。若每次都在空中同一位置点水平射出飞镖，且、、三点在同一竖直平面，忽略空气阻力。关于分别射中靶面、、三点的飞镖，下列说法正确的是（    ）    A．射中点的飞镖射出时的速度最小 B．射中点的飞镖空中飞行时间最长 C．射中点和点的飞镖的位移大小相同 D．射中点的飞镖比射中点的飞镖在空中飞行相同时间内的速度变化更小 【典例2】“套圈儿”是许多人喜爱的一种游戏。如图所示，小孩和大人直立在界外同一位置，在同一竖直线上不同高度先后水平抛出小圆环，并恰好套中前方同一物体，假设圆环的运动可视为平抛运动，则（　　） A．小孩抛出的圆环运动时间较长 B．两人抛出的圆环速度大小相等 C．大人抛出的圆环落地时速度较大 D．大人抛出的圆环速度变化量较大 【变式1】乒乓球在我国有广泛的群众基础，并有“国球”的美誉。现讨论乒乓球的发球问题，已知球台长为，网高为，若球在球台边缘点正上方某高度处，以一定的水平速度垂直球网发出，如图所示，球恰好在最高点时越过球网。假设乒乓球反弹瞬间前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反，且不考虑乒乓球的旋转和空气阻力，则根据以上信息可以求出（设重力加速度为）（　　） A．发球时球的高度大于 B．球的初速度大小为 C．球从被发出到第一次落在球台上的时间为 D．球从被发出到落到对方球台上的时间为 【变式2】如图所示，圆柱形水桶放置在水平面上，拧开水龙头，水从离地高为2h放置的水平水管A端流出，刚好从水桶口中心B处无阻挡地落到桶底边沿C处，已知水桶高为h，直径为D，水管的内径为d（），求： (1)水从A点流出时的速度及水管末端A与水桶口中心B之间水平距离； (2)充满整个水管截面的水从水管末端A流出时开始计时，经过多长时间将水桶装满。 题型五 平抛运动与斜面和曲面结合 答｜题｜模｜板 模型 方法 内容 斜面 与曲面内切 分解速度 水平：vx＝v0 竖直：vy＝gt tan θ＝＝ → t＝ 从斜面一端射入 由半径和几何关系 h＝gt2，R＋＝v0t 与曲面外切 分解速度 水平：vx＝v0 竖直：vy＝gt tan θ＝＝ → t＝ 模型 思想 内容 斜面 核心关系 垂直打在斜面上 分解速度 速度关系： vx＝v0 vy＝gt v＝ 位移关系： x＝v0t y＝gt2 s＝ tan θ＝＝ → t＝ 平抛再次落在斜面上（位移偏转角） 分解位移 tan θ＝＝ → t＝ 平抛再次落在斜面上（速度偏转角） 角度关系 tan φ＝ ＝ ＝＝2tan θ ，α＝φ－θ 切向落入斜面 分解速度 tan θ＝＝ → t＝ 离斜面最远 角度关系 tan θ＝＝→t＝ 【典例1】如图为一半圆柱面的截面，为半圆的水平直径，从点以水平初速度抛出一小球，经小球落在半圆柱面上点（图中未画出），若不考虑反弹，下列判断中不正确的是（　　） A．半圆的半径为 B．小球刚到点的速度方向与水平方向夹角的正切值为1 C．小球从点运动到点的过程中，速度变化的方向竖直向下 D．选择合适的初速度，小球可以直接垂直打在半圆柱面上 【典例2】如图所示为固定的半圆形竖直轨道，AB为水平直径，O为圆心，哪吒和敖丙在A点同时水平踢出两个毽子（可视为质点），初速度分别为，落在轨道上的C、D两点，OC、OD连线与竖直方向的夹角均为，忽略空气阻力，则（　　） A．两个毽子不会同时落到轨道上 B． C．两个毽子速度变化量方向不相同 D．落在D点毽子的速度的反向延长线一定过O点 【变式1】如图所示，两小球a、b分别从斜面长度为的斜面底端以某角度斜向上抛出，分别落到斜面顶端和距底端处，且在落点的速度均沿水平方向。不计空气阻力，下列判断正确的是（　　） A．小球a、b抛出时的初速度方向相同 B．小球a、b在空中飞行时间之比为5∶2 C．小球a、b抛出时的初速度大小之比为5∶2 D．小球a、b在空中飞行速度的变化率之比为 【变式2】第25届冬奥会在2026年2月6日至22日在意大利米兰和科尔蒂纳丹佩佐联合举行，跳台滑雪是冬奥会中最具观赏性的项目之一，其简化图如图所示，跳台滑雪赛道由助滑道，着陆坡，减速停止区三部分组成，B点处对应圆弧半径为。比赛中质量的运动员从A点由静止下滑，运动到B点后水平飞出，落在着陆坡的C点，已知运动员在空中的飞行时间为，着陆坡的倾角，重力加速度，忽略空气阻力影响，求： (1)运动员从B点水平飞出的速度大小为多少？ (2)运动员从B点飞出后离斜面最远时速度是多少？ (3)运动员从B点飞出后经多长时间离斜面最远？ (4)运动员离斜面最远时的最远距离是多少？ 题型六 几种传动装置 答｜题｜模｜板 类型 模型 模型核心 应用规律 皮带传动 皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等(方向不同)，即vA＝vB 角速度与半径成反比： ， 周期与半径成正比： 摩擦传动 两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等(方向不同)，即vA＝vB 角速度与半径成反比与齿轮齿数成反比∶ ， 周期与半径成正比，与齿轮齿 数成正比： 齿轮传动 同轴 传动 绕同一转轴转动的物体，角速度相同，ωA＝ωB，由v＝ωr知v与r成正比 线速度与半径成正比： 【典例1】如图所示为太空漫步机，连接脚踏板的杆绕O点转动，A、B为杆上两点。在摆动时，A、B的角速度和线速度分别为、和、，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】变速自行车靠变换齿轮组合来改变行驶速度。如图是某一变速车齿轮转动结构示意图，图中A轮有48齿，B轮有42齿，C轮有18齿，D轮有12齿，则（　　） A．该车可变换两种不同挡位 B．该车可变换四种不同挡位 C．当B轮与C轮组合时，两轮的角速度之比 D．当A轮与D轮组合时，两轮的角速度之比 【变式1】如图所示是自行车的大齿轮、小齿轮和后轮，分别为它们边缘上的点。的线速度大小分别为，角速度大小分别为。将自行车后轮架起，转动脚踏板，则（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图甲所示，野外骑行在近几年越来越流行，越来越受到人们的青睐，对于自行车的要求也在不断的提高，很多都是可变速的。不管如何变化，自行车装置和运动原理都离不开圆周运动。结合自行车实际情况，下列物理学的相关说法正确的是（　　） A．图乙中前轮边缘处A、B、C、D四个点的线速度相同 B．大齿轮与小齿轮的齿数如图丙所示，则大齿轮转1圈，小齿轮转3圈 C．图乙中大齿轮边缘处E点和小齿轮边缘处F点角速度相同 D．在大齿轮处的角速度不变的前提下，增加小齿轮的齿数，自行车的速度将变小 题型七 水平面内的圆周运动 答｜题｜模｜板 一、水平面内的圆周运动 1. 物体间恰好不发生相对滑动 的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力。 如果只是摩擦力提供向心力，则有F＝m，静摩擦力的方向一定指向圆心； 汽车转弯时，只由摩擦力提供向心力Ffm＝m 2. 水平转盘上运动物体模型 （1）如果只有摩擦力提供向心力，物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力，则最大静摩擦力Fm＝，方向指向圆心。 （2）如果水平方向除受摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其临界情况要根据题设条件进行判断，如判断某个力是否存在以及这个力存在时的方向(特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等)。 【典例1】如图所示，转轴通过餐桌中心的可旋转圆盘上有一个小碟子（可视为质点）随圆盘一起匀速转动，下列说法正确的是（　　） A．小碟子做匀变速曲线运动 B．圆盘对小碟子没有摩擦力 C．小碟子所受的摩擦力方向与小碟子运动方向相反 D．小碟子所受合外力不为零 【典例2】如图，置于圆形水平转台边缘的小物块随转台转动，当转速缓慢增加达到某一数值时，物块恰好滑离转台开始做平抛运动。现测得转台半径R=0.8m，离水平地面的高度H=0.8m，物块平抛落地过程水平位移的大小s=0.8m。设物块与转台间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g=10m/s2。则可得（　　） A．物块刚离开转台时的速度大小v0=1m/s B．物块刚离开转台时的速度大小v0=4m/s C．物块与转台间的动摩擦因数μ=0.2 D．物块与转台间的动摩擦因数μ=0.5 【变式1】如图，两个质量均为m的小木块a和b（可视为质点）放在水平圆盘上，a与转轴的距离为l，b与转轴的距离为2l，a和b跟随圆盘以角速度绕转动，下列说法正确的是（　　） A．a、b的向心加速度 B．a、b的转动周期 C．a、b所受的静摩擦力 D．a、b的线速度 【变式2】如图所示，叠放在水平转台上的物体、及物体能随转台一起以角速度匀速转动，物体、、的质量分别为2m、m、m，各接触面间的动摩擦因数都为，物体和离转台中心的距离分别为和。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，物体、、均可视为质点，重力加速度大小为，下列说法正确的是（　　） A．物体对物体的摩擦力可能为 B．物体对物体的摩擦力为 C．转台的角速度需要满足 D．若转台的角速度缓慢增大，则最先滑动的是物体 题型八 竖直平面内的绳球模型、杆球模型、轨道模型、管道模型 答｜题｜模｜板 轻绳模型(最高点无支撑) 轻杆模型(最高点有支撑) 实例 球与绳连接、水流星、沿内轨道运动的“过山车”等 球与杆连接、球在光滑管道中运动等 图示 受力示意图 F弹向下或等于零 F弹向下、等于零或向上 力学方程 mg＋F弹＝m mg±F弹＝m 临界特征 F弹＝0 mg＝m 即vmin＝ v＝0 即F向＝0 F弹＝mg 讨论分析 (1)最高点，若v≥，F弹＋mg＝m，绳或轨道对球产生弹力F弹 (2)若v<，则不能到达最高点，即到达最高点前小球已经脱离了圆轨道 (1)当v＝0时，F弹＝mg，F弹背离圆心 (2)当0<v<时，mg－F弹＝m，F弹背离圆心并随v的增大而减小 (3)当v＝时，F弹＝0 (4)当v>时，mg＋F弹＝m，F弹指向圆心并随v的增大而增大 【典例1】如图所示，轻杆的一端有一个小球，另一端有光滑的固定轴，现给球一初速度，使杆和球一起绕轴在竖直平面内转动，不计空气阻力，用表示球到达最高点时杆对球的作用力，则（    ） A．一定是拉力 B．一定是支持力 C．一定等于0 D．可能是拉力，可能是支持力，也可能等于零 【典例2】如图所示，竖直面内固定有圆形管道，现将一沾有墨水的小球从管道内最低点沿管道切线方向水平弹出，在小球完整运动一圈后，管道内部分区域将沾上墨水。小球直径略小于管道内径，不计小球所受的摩擦力和墨水质量。用实线表示管道内沾上墨水的部分，虚线表示管道内未沾上墨水的部分，则下列情形中，可能出现的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图甲所示，轻杆一端与O点相连，另一端固定质量为m的小球。现让小球在竖直平面内做圆周运动，小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，速度大小为v，其图像如图乙所示。则（） A．小球做圆周运动的半径 B．当地的重力加速度大小 C．时，小球受到的弹力方向向上 D．时，小球受到的弹力大小与重力大小相等 【变式2】我国航天员在“天宫课堂”中演示了多种有趣的实验，提高了青少年科学探索的兴趣。某同学设计了如下实验：细绳一端固定，另一端系一小球，给小球一初速度使其在竖直平面内做圆周运动。对于两地实验说法正确的是（　　） A．在“天宫”，小球在最高点的速度最小 B．在“天宫”，小球的向心加速度最小为 C．在地面，细绳对小球的拉力最小为 D．在地面，小球的向心力最小为 题型九 斜面上的圆周运动 答｜题｜模｜板 1. 模型解读：在斜面上做圆周运动的物体，因所受的控制因素不同，如静摩擦力控制、绳控制、杆控制，物体的受力情况和所遵循的规律也不相同。 2. 分析方法 物体在斜面上做圆周运动时，确定约束类型（凹槽/绳牵引）→正交分解（沿斜面和垂直斜面）→列法向方程→求临界参数。如下图所示，设斜面的倾角为θ，重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力相等，物体运动到斜面任意位置时由斜面内指向圆心方向的合力提供向心力。 【典例1】如图所示，在倾角为的光滑斜面上，有一根长为的细绳，一端固定在O点，另一端系一质量为的小球，沿斜面做圆周运动，取，小球在A点最小速度为（    ） A． B． C． D． 【典例2】如图所示，在倾角为的足够大的固定斜面上，一长度为L的轻杆一端可绕斜面上的O点自由转动，另一端连着一质量为m的小球（视为质点）。现使小球从最低点A以速率v开始在斜面上做圆周运动，通过最高点B。重力加速度大小为g，轻杆与斜面平行，不计一切摩擦。下列说法正确的是（　　） A．小球通过A点时所受轻杆的作用力大小为 B．小球通过B点时的最小速度为 C．小球通过A点时斜面对小球的支持力与小球的速度无关 D．若小球以的速率通过B点时突然脱落而离开轻杆，则小球到达与A点等高处时与A点间的距离为2L 【变式1】倾角θ的光滑斜面上的O点固定有一根长为L的轻质细线，细线的另一端拴住质量为m的小球（视为质点），P点钉有一颗光滑钉子（），如图所示．现将小球拉至与O点等高的A点由静止释放，释放前细线刚好拉直，之后小球恰能绕钉子做半径为R的完整圆周运动．则下列说法中正确的是（  ）    A．由题意判断可得 B．小球刚被释放后的加速度大小为 C．细线碰到钉子之前，小球在运动过程中合外力全部提供向心力 D．细线碰到钉子以后，小球在运动过程中的最小速率为 【变式2】如图1所示，倾斜圆盘与水平面的夹角，可绕过圆心且垂直于圆盘的转轴匀速转动。在圆盘平面内以为原点建立平面直角坐标系，轴沿水平方向，轴沿盘面向上。圆盘上的小滑块始终与圆盘保持相对静止，其所受摩擦力在、轴的分力、的关系如图2所示。则下列说法正确的是（　　） A．滑块在最高点最容易发生相对滑动 B．运动过程中摩擦力的最大值是9N C．滑块所受的重力等于4N D．滑块与圆盘之间的动摩擦因数至少为 题型十 圆锥摆、拱桥凹桥、汽车火车转弯、近心运动和离心运动等经典模型 答｜题｜模｜板 概述 如图所示为凹形桥模型．当汽车通过凹形桥的最低点时，向心力F向＝FN－mg＝m 规律 桥对车的支持力FN＝mg＋m＞mg，汽车处于超重状态 概述 如图所示为拱形桥模型．当汽车通过拱形桥的最高点时，向心力F向＝mg－FN＝m 规律 桥对车的支持力FN＝mg－m＜mg，汽车处于失重状态．若v＝，则FN＝0，汽车将脱离桥面做平抛运动 【典例1】在东北严寒的冬天，有一项“泼水成冰”的游戏，具体操作是把一杯滚烫的开水按一定的弧线均匀快速地泼向空中，泼洒出的小水珠和热气被瞬间凝结成冰而形成壮观的场景。如图甲所示是某人玩泼水成冰游戏的精彩瞬间，图乙为其示意图，假设泼水过程中杯子做逆时针匀速圆周运动。下列说法正确的是（　　） A．P位置的小水珠速度方向沿a方向 B．水珠做离心运动是由于合外力大于所需向心力 C．P、Q两位置，杯子的线速度相同 D．P、Q两位置，杯子的角速度相同 【典例2】如图所示，体积很小的两个小球通过轻绳悬于同一点，均以正下方的点为圆心在同一水平面内做匀速圆周运动。已知小球的质量分别为、，轻绳、与竖直方向的夹角分别为，两点的高度差为，当地的重力加速度，忽略空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．小球的运动轨迹半径为 B．轻绳的拉力大小为 C．小球的线速度大小均为 D．小球的角速度大小均为 【变式1】如图甲所示，汽车后备箱水平放置一内装圆柱形工件（长度远小于汽车后备箱）的木箱，工件截面和车的行驶方向垂直，图甲是车尾的截面图，当汽车以恒定速率从直道通过图乙所示的三个半径依次变小的水平圆弧形弯道A、B、C时，木箱及箱内工件均保持相对静止。已知每个圆柱形工件的质量为m。重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．汽车在直道上时，M对P的支持力大小为 B．汽车过A、B、C三点时，P的角速度依次减小 C．汽车过A、B两点时，P的合力依次增大 D．汽车过A、C两点时，P的向心加速度相同 【变式2】如图所示，有关生活中圆周运动的实例分析，下列说法正确的是（　　） A．火车转弯的速度超过规定速度时，火车轮缘会挤压内轨 B．飞机在水平面内做匀速圆周运动时，空气对飞机的作用力大于重力 C．汽车减速通过凹形桥面最低点时，汽车受到的合外力竖直向上 D．衣服随着洗衣机滚筒一起匀速转动时，在最高点的向心加速度最小 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．如图，当秋千从高处荡到图示位置时，秋千座椅的速度方向是图中的（　　） A．1方向 B．2方向 C．3方向 D．4方向 2．如图是一种新型钟表，钢铁小球在电磁力的作用下在倾斜的表盘上与表盘间隔一定距离做半径为10cm的匀速圆周运动，小球每转动一周，时钟跳跃一分钟，对于时钟下列说法正确的是（　　） A．小球所受电磁力与重力等大反向 B．小球的转速是转每秒 C．小球的角速度是弧度每秒 D．小球的线速度是米每秒 3．如图所示，汽车通过凹形桥的最低点时（　　） A．为了防止爆胎，汽车应高速驶过 B．汽车受到重力、支持力、向心力 C．桥对汽车的支持力与汽车的重力大小相等 D．汽车所需的向心力由汽车受到的支持力和重力的合力提供 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 4．质点做平抛运动的初速度为v1，3s末的速度为v2。下列四个图中能够正确反映抛出1s末、2s末、3s末速度矢量的示意图是（　　） A． B． C． D． 5．如图所示，一枚礼花弹在空中点爆炸后分成、两块（均可视为质点），水平向左飞出，斜向右下飞出。若、在水平地面上的落点到点的距离相等，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．、同时落地 B．先落地 C．分开瞬间的速度一定小于的速度 D．刚要落地时、的速度大小相等 6．2025年春节联欢晚会上最大的亮点莫过于机器人和真人一起跳舞，也标志中国的人形机器人处于国际领先水平。如图为机器人在竖直平面上转动手帕的情景，已知手帕直径约为40cm。要想把该手帕在竖直平面内以帕中心为转轴转动起来，重力加速度g取10m/s2，则需提供的最小转速约为（　　） A．0.61r/s B．0.79r/s C．1.12r/s D．1.41r/s 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 7．如图所示，半径为的竖直圆筒绕中心轴线以恒定的转速匀速转动。一子弹以水平速度沿圆筒直径方向从左侧射入圆筒，从右侧射穿圆筒后发现两弹孔在同一竖直线上且相距为，则圆筒转动的角速度可能为（    ） A． B． C． D． 8．如图所示，小球从倾角的斜面底端的正上方以的速度水平抛出，飞行一段时间后，恰好垂直撞在斜面上，求：（，） (1)小球在空中飞行时间和撞击斜面的速度大小； (2)抛出点距斜面底端的高度。 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $