5.4 专题：平抛运动与斜面和曲面相结合的问题及临界极值问题 讲义-2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

目录 第06课时　平抛运动与斜面和曲面相结合的问题及临界极值问题 1 考点一　与斜面和曲面关联的平抛运动 1 考点二　平抛运动的临界极值问题 2 考点三　类平抛运动 3 考点四　多物体抛体与抛体相遇问题 4 巩固训练·提升能力 5 第06课时　平抛运动与斜面和曲面相结合的问题及临界极值问题 考点一　与斜面和曲面关联的平抛运动 例题分析·考点题型 【例题1】（多选） 如图所示，斜面倾角为，位于斜面底端正上方的小球以初速度为正对斜面顶点水平抛出，小球到达斜面所用的时间为，重力加速度为，下列两种情况分析正确的是 A. 若小球垂直击中斜面，则 B. 若小球垂直击中斜面，则 C. 若小球以最小位移到达斜面，则 D. 若小球以最小位移到达斜面，则 【变式训练1】（多选）如图所示，在斜面的点以速度平抛一小球，经时间落到斜面上的点。若在点将此小球以速度水平抛出，经落到斜面上的点，则以下判断正确的是(    ) A. B. C. D. 【变式训练2】（多选）如图所示为一半球形的坑，其中坑边缘两点、与圆心等高且在同一竖直平面内。现甲、乙两位同学分别站在、两点，同时将两个小球以、的速度沿图示方向水平抛出，发现两球刚好落在坑中同一点，已知，忽略空气阻力。则下列说法中正确的是(    ) A. 两球抛出的速率之比为 B. 若仅增大，则两球将在落入坑中之前相撞 C. 两球的初速度无论怎样变化，只要落在坑中的同一点，两球抛出的速率之和不变 D. 若仅从点水平抛出小球，改变小球抛出的速度，小球可能垂直坑壁落入坑中 考点二　平抛运动的临界极值问题 例题分析·考点题型 【例题1】（多选）某游乐场内地面上有一个半径为的圆形跑道，高为的平台边缘上的点在地面上点的正上方，与跑道的圆心的距离为，、、和处于同一水平线上，如图所示。跑道上有一辆小车高度忽略不计在做圆周运动，现从点以初速度水平抛出一个小沙袋，使其落入小车中沙袋所受空气阻力不计，重力加速度为。则(    ) A. 要使沙袋落入小车中，小沙袋初速度的最大值为 B. 要使沙袋落入小车中，小沙袋初速度的最小值为 C. 要使沙袋落入处的小车中，小沙袋初速度的大小为 D. 要使沙袋落入处的小车中，小沙袋初速度的大小可能为 【变式训练1】（多选）如图所示，某同学将一小球从点水平抛出，初速度与挡板所在的竖直平面垂直，小球下落时恰好通过挡板顶端点，最终落在水平地面上的点。已知、两点与点之间的水平距离相等，不计空气阻力，取，下列说法正确的是(    ) A. 挡板的高度为 B. 挡板的高度为 C. 小球在空中运动的时间为 D. 小球在空中运动的时间为 【变式训练2】（多选）如图所示，在一次比赛中，中国女排运动员朱婷将球在边界处正上方正对球网水平向前击出，球刚好过网落在图中位置不计空气阻力，相关数据如图所示，下列说法中正确的是(    ) A. 击球点高度与球网高度之间的关系为 B. 若保持击球高度不变，球的初速度满足，一定落在对方界内 C. 任意降低击球高度仍大于，只要击球初速度合适，球一定能落在对方界内 D. 任意增加击球高度，只要击球初速度合适，球一定能落在对方界内 考点三　类平抛运动 例题分析·考点题型 【例题1】（多选）如图所示，在倾角为的足够大的光滑斜面上，将小球、同时沿水平方向以相同的速率相对抛出。已知初始时、在同一水平面上，不计空气阻力，下列说法正确的是(    ) A. 抛出后的一段时间内，的运动轨迹是直线 B. 抛出后的一段时间内，的运动轨迹是抛物线 C. 无论速率为多少，、一定能相遇 D. 无论速率为多少，、不可能相遇 【变式训练1】（多选）一足够大且光滑的矩形斜面，倾角为，高为，现有一小球在处沿平行于底边的初速度滑上斜面，最后从处离开斜面。已知重力加速度大小为。下列说法正确的是(    ) A. 小球的运动轨迹为抛物线 B. 小球的加速度为 C. 小球从处到达处所用的时间为 D. 小球从处到达处的位移为 【变式训练2】（多选）如图所示，在风洞实验室中，从点以水平速度向左抛出一个质量为的小球，小球抛出后所受空气作用力沿水平方向，其大小为，经过一段时间小球运动到点正下方的点处，重力加速度为，在此过程中以下说法正确的是(    ) A. 到所用时间是 B. 小球的最大速率为 C. 小球离连线的最远距离为 D. 、两点间的距离 考点四　多物体抛体与抛体相遇问题 例题分析·考点题型 【例题1】（多选）A、两个物体可视为质点，分别从、两点做平抛运动，落到水平地面上的同一点，运动轨迹如图所示。设它们从、两点抛出的初速度分别为、，从抛出至落到水平地面的时间分别为、，则下列判断正确的是(    ) A. B. C. D. 【变式训练1】（多选）如图所示，、两个小球从不同高度同时沿相反方向水平抛出，其平抛运动轨迹的交点为，则以下说法正确的是(    ) A. 球先落地 B. 、两球同时落地 C. 、两球在点相遇 D. 无论两球初速度大小多大，两球总不能相遇 【变式训练2】（多选）如图所示，同一竖直平面内有四分之一圆环和倾角为的斜面，、两点与圆环的圆心等高。现将甲、乙小球分别从、两点以初速度、沿水平方向同时抛出，两球恰好在点相碰不计空气阻力，已知，，下列说法正确的是(    ) A. 初速度、大小之比为 B. 若大小变为原来的两倍，让两球仍在竖直面相遇，则应增大到原来倍 C. 若大小变为原来的一半，则甲球恰能落在斜面的中点 D. 若要甲球垂直击中圆环，则应变为原来的倍 巩固训练·提升能力 一、单选题。 1.如图所示，斜面体固定在水平面上，可视为质点的小球从点正上方的点水平抛出，恰击中点，此时速度方向与水平方向的夹角为。已知、的高度差为，、的高度差为，、间的距离为，则的值为(    ) A. B. C. D. 2.如图所示，某物体可视为质点以水平初速度抛出，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角的斜面上取，由此计算出物体的水平位移和水平初速度分别是(    ) A. B. C. D. 3.如图所示，在竖直放置的半圆形容器的中心点分别以水平初速度、抛出两个小球可视为质点，最终它们分别落在圆弧上的点和点，已知与互相垂直，且与竖直方向成角，则两小球初速度之比为(    ) A. B. C. D. 4.春风尔来为阿谁，蝴蝶忽然满芳草。随着气温的不断回升，各个公园都展现出春意盎然的盛景。人们纷纷走出家门，游玩踏青。在公园里，套圈是一项很受欢迎的游戏，规则要求每次从同一位置水平抛出圆环，套住与圆环中心水平距离为的高的竖直水瓶宽度忽略不计，即可获得奖品。一身高的同学从距地面高度水平抛出圆环，圆环半径为，设圆环始终水平，则要想套住水瓶，他水平抛出的速度可能为(    ) A. B. C. D. 5.如图所示，在一次空地演习中，离地高处的飞机以水平速度发射一颗炮弹欲轰炸地面目标，反应灵敏的地面拦截系统同时以速度竖直向上发射炮弹拦截。设拦截系统与飞机的水平距离为，不计空气阻力。若拦截成功，则，的关系应满足(    ) A. B. C. D. 6.如图所示，倾角、高度的光滑斜面固定在水平地面上，一可视为质点的小球从光滑斜面上的点以水平初速度射出，从点离开斜面，重力加速度，，，忽略空气阻力，则小球在斜面上的运动时间为 A. B. C. D. 7.丢沙包游戏是孩子们特别喜欢的活动。一儿童在高度为的处以某一速度将沙包水平投出，沙包正好垂直穿过前方框架中的圆洞，圆洞的圆心离地高度为，如图所示。已知框架倾角为，沙包可看作质点，不计空气阻力，重力加速度取，，。下列选项不正确的是(    ) A. 沙包的出手速度大小为 B. 沙包从到的飞行时间为 C. 沙包穿过圆洞时的速度大小为 D. 出手点距点的直线距离为 8.如图所示，一竖直圆弧形槽固定于水平地面上，为圆心，为沿水平方向的直径。若在点以初速度沿方向平抛一小球，小球将击中槽壁上的最低点点；若点小球抛出的同时，在点以初速度沿方向平抛另一相同质量的小球并也能击中点，已知，且不计空气阻力，则(    ) A. 两小球同时落到点 B. 两小球初速度大小之比为 C. 两小球落到点时的速度方向与线夹角相等 D. 两小球落到点时的瞬时速率之比为 9.如图所示，某工厂中产品被无初速度地放在水平传送带左端，经传送带传输至右端后，平抛落入地面上的收集装置中。传送带上表面距地面高度为，收集装置入口宽度为，高度为，传送带右端到收集装置左端的水平距离为，产品与传送带之间的动摩擦因数为，传送带长度为，传送带运转速度可调，已知重力加速度取。下列说法正确的是(    ) A. 产品在传送带上的运动一定是先加速后匀速 B. 若，产品到达传送带右端的时间为 C. 要保证产品能够落入收集装置中且不碰到收集装置侧壁，传送带的速度至少是 D. 落入收集装置中且不碰到侧壁的产品在空中平抛的时间均不相同 10.如图所示，光滑斜面为边长的正方形，斜面与水平面的倾角为。现将一小球从处水平向左射出，小球沿斜面恰好到达底端点。重力加速度取，则下列说法正确的是(    ) A. 小球在斜面上运动的时间为 B. 小球在点的速度大小为 C. 小球在点的速度大小为 D. 小球的速度变化量大小为 二、计算题。 11.如图所示，倾角的斜面固定在水平地面上，一小球可视为质点以一定的初速度从斜面底端正上方某处水平抛出，经的时间，小球恰好垂直击中斜面。不计空气阻力，重力加速度取，，，求： 小球抛出时的初速度大小； 小球从抛出到击中斜面过程的位移大小； 小球抛出点到斜面底端的高度。 12.如图甲是运动员跳台滑雪时的场景，其运动示意图如图乙所示。运动员在雪道上获得一定初速度后从跳台末端点水平飞出，并在空中飞行一段距离后着陆，已知雪道斜坡的长度，与水平面的夹角，不计空气阻力。 若运动员以初速度离开跳台后，着陆在水平雪道上的点，求运动员在该过程中的水平位移的大小； 若运动员离开跳台后，想先落到斜坡上做缓冲，则运动员离开跳台的初速度的大小不能超过多少； 运动员以初速度离开跳台直接落在斜坡上点，求间的距离。 13.如图所示，在水平台的右侧有半径、圆心角的粗糙圆弧轨道固定在地面上，圆弧轨道末端与长木板上表面平滑对接但不粘连，静止在水平地面上。质量的小物块从固定水平台右端点以的初速度水平抛出，运动至点时恰好沿切线方向进入圆弧轨道，至点时对圆弧轨道的压力大小为，之后小物块滑上木板，最终恰好未从木板上滑下。已知木板质量，小物块与木板间的动摩擦因数，木板与地面间的动摩擦因数，重力加速度取，，，忽略空气阻力，最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，求： 、两点间的竖直高度差； 小物块滑上木板时，木板的加速度大小； 木板的长度。 14.如图所示，房顶的高度，竖直墙的高度，墙到房子的距离，墙外公路封闭路段的宽度，使小球视为质点从房顶水平飞出后落在墙外的马路上。取重力加速度大小，马路、墙根与房子的底部在同一水平面上，忽略墙的厚度，不计空气阻力。 求小球在空中运动的时间； 要使小球落到墙外的马路上，求小球抛出时的速度大小应满足的条件。 15.在一次无人机“空投”演习中，无人机携带的物资需投放到沿坡路行驶货车的车厢中。已知坡路的倾角，货车在坡路底端，无人机以的速度水平匀速飞行，当经过坡底正上方时自由释放所带物资，同时货车启动并沿坡面直线行驶。当货车前进时，物资恰好落入车厢内。已知物资与货车始终处于同一竖直平面，重力加速度，不计空气阻力，求： 物资释放时离货车的高度 物资落入车厢时速度与水平方向夹角的正切值。 12 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 目录 第06课时　平抛运动与斜面和曲面相结合的问题及临界极值问题 1 考点一　与斜面和曲面关联的平抛运动 1 考点二　平抛运动的临界极值问题 3 考点三　类平抛运动 6 考点四　多物体抛体与抛体相遇问题 8 巩固训练·提升能力 10 第06课时　平抛运动与斜面和曲面相结合的问题及临界极值问题 考点一　与斜面和曲面关联的平抛运动 必备知识·回顾梳理 常见的运动情形和分析方法 运动情形 分析方法 对着斜面抛：从空中水平抛出垂直落到斜面上，速度偏转角与斜面倾角互余，即α＋θ＝ 分解速度，构建速度三角形 vx＝v0，vy＝gt tan α＝＝ tan θ＝＝ 顺着斜面抛：从斜面某点水平抛出又落到斜面上，斜面的倾角等于位移与水平方向的夹角 分解位移，构建位移三角形 x＝v0t y＝gt2 tan θ＝＝ 对着斜面抛：从斜面外水平抛出，要求以最短位移打到斜面，位移的方向与斜面垂直，即α＋θ＝ 分解位移 x＝v0t，y＝gt2 tan θ＝＝ tan α＝＝ 与斜面相切：从斜面外水平抛出，沿斜面方向落入斜面，其合速度方向沿斜面方向 分解速度 vx＝v0，vy＝gt tan α＝＝ 例题分析·考点题型 【例题1】（多选） 如图所示，斜面倾角为，位于斜面底端正上方的小球以初速度为正对斜面顶点水平抛出，小球到达斜面所用的时间为，重力加速度为，下列两种情况分析正确的是 A. 若小球垂直击中斜面，则 B. 若小球垂直击中斜面，则 C. 若小球以最小位移到达斜面，则 D. 若小球以最小位移到达斜面，则 【答案】AC  【解析】解： 若小球垂直击中斜面时速度与竖直方向的夹角为，则，解得，故A正确，B错误； 过抛出点作斜面的垂线，如图所示： 当小球落在斜面上的点时，位移最小，设运动的时间为，则水平方向：；竖直方向：，根据几何关系有，即有，解得，故C正确，D错误。 故选AC。 【变式训练1】（多选）如图所示，在斜面的点以速度平抛一小球，经时间落到斜面上的点。若在点将此小球以速度水平抛出，经落到斜面上的点，则以下判断正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】AD  【解析】根据  ，  ， ，解得 ，可知 ，选项A正确，B错误； 因 ，可知 ，选项C错误，D正确。 故选AD。 【变式训练2】（多选）如图所示为一半球形的坑，其中坑边缘两点、与圆心等高且在同一竖直平面内。现甲、乙两位同学分别站在、两点，同时将两个小球以、的速度沿图示方向水平抛出，发现两球刚好落在坑中同一点，已知，忽略空气阻力。则下列说法中正确的是(    ) A. 两球抛出的速率之比为 B. 若仅增大，则两球将在落入坑中之前相撞 C. 两球的初速度无论怎样变化，只要落在坑中的同一点，两球抛出的速率之和不变 D. 若仅从点水平抛出小球，改变小球抛出的速度，小球可能垂直坑壁落入坑中 【答案】AB  【解答】A.由于两球抛出的高度相等，则运动时间相等，，由几何关系可知，所以两球抛出的速率之比为，故A正确； B.由，可知，若仅增大，时间减小，所以两球将在落入坑中之前相撞，故B正确； C.要使两小球落在坑中的同一点，必须满足与之和与时间的乘积等于半球形坑的直径，即，落点不同，竖直方向位移就不同，也不同，所以两球抛出的速度之和不是定值，故C错误； D.由平抛运动速度的反向延长线过水平位移的中点可知，若仅从点水平抛出小球，改变小球抛出的速度，小球不可能垂直坑壁落入坑中，故D错误。 故选AB。 考点二　平抛运动的临界极值问题 必备知识·回顾梳理 1、临界特征 (1)有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，表明题述的过程中存在着临界点。 (2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起、止”点，而这些起、止点往往就是临界点。 (3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这个极值点往往是临界点。 2、平抛运动临界极值问题的分析方法 (1)确定研究对象的运动性质。 (2)根据题意确定临界状态。 (3)确定临界轨迹，画出轨迹示意图。 (4)应用平抛运动的规律，结合临界条件列方程求解。　　 例题分析·考点题型 【例题1】（多选）某游乐场内地面上有一个半径为的圆形跑道，高为的平台边缘上的点在地面上点的正上方，与跑道的圆心的距离为，、、和处于同一水平线上，如图所示。跑道上有一辆小车高度忽略不计在做圆周运动，现从点以初速度水平抛出一个小沙袋，使其落入小车中沙袋所受空气阻力不计，重力加速度为。则(    ) A. 要使沙袋落入小车中，小沙袋初速度的最大值为 B. 要使沙袋落入小车中，小沙袋初速度的最小值为 C. 要使沙袋落入处的小车中，小沙袋初速度的大小为 D. 要使沙袋落入处的小车中，小沙袋初速度的大小可能为 【答案】AC  【解答】沙袋从点被抛出后做平抛运动，由 ， 得落地时间 ， 当小车位于点时，有， 解得小沙袋的最小初速度 ， 当小车位于或点时，有 ， 解得初速度 ， 当小车位于点时，有， 小沙袋被抛出时的初速度最大，可解得 。 故AC正确，BD错误。 【变式训练1】（多选）如图所示，某同学将一小球从点水平抛出，初速度与挡板所在的竖直平面垂直，小球下落时恰好通过挡板顶端点，最终落在水平地面上的点。已知、两点与点之间的水平距离相等，不计空气阻力，取，下列说法正确的是(    ) A. 挡板的高度为 B. 挡板的高度为 C. 小球在空中运动的时间为 D. 小球在空中运动的时间为 【答案】AD  【解析】设小球从到时间为  ，从到时间为  ，小球竖直方向做自由落体运动，则有  ， ，因为、两点与挡板的水平距离相等，根据 ，可知 ，解得  ，小球在空中运动的时间为  ，故AD正确，BC错误。 【变式训练2】（多选）如图所示，在一次比赛中，中国女排运动员朱婷将球在边界处正上方正对球网水平向前击出，球刚好过网落在图中位置不计空气阻力，相关数据如图所示，下列说法中正确的是(    ) A. 击球点高度与球网高度之间的关系为 B. 若保持击球高度不变，球的初速度满足，一定落在对方界内 C. 任意降低击球高度仍大于，只要击球初速度合适，球一定能落在对方界内 D. 任意增加击球高度，只要击球初速度合适，球一定能落在对方界内 【答案】AD  【解析】A.做平抛运动的球在水平方向上做匀速直线运动，水平位移为和所用的时间比为，则竖直方向上，根据，有，解得，故A正确； B.若保持击球高度不变，要想球落在对方界内，且既不能出界，又不能触网，根据，得，则平抛运动的最大初速度，根据，得，则平抛运动的最小初速度，故B错误； C.任意降低击球高度仍大于，会有一临界情况，此时球刚好触网又刚好压界，若小于该临界高度，速度大会出界，速度小会触网，所以击球高度比网高，不一定能将球发到对方界内，故C错误； D.任意增加击球高度，只要击球初速度合适，球一定能落到对方界内，故D正确。 故选AD． 考点三　类平抛运动 必备知识·回顾梳理 1.类平抛运动的概念与受力特点：凡是合外力恒定且垂直于初速度方向的运动都可以称为类平抛运动。 2.类平抛运动的特点 (1)初速度的方向不一定是水平方向，合力的方向也不一定是竖直向下，但合力的方向应与初速度方向垂直。 (2)加速度不一定等于重力加速度g，但应恒定不变。 3.类平抛运动的分析方法 (1)类平抛运动可看成是沿初速度方向的匀速直线运动和垂直初速度方向的由静止开始的匀加速直线运动的合运动。 (2)处理类平抛运动的方法和处理平抛运动的方法类似，但要分析清楚加速度的大小和方向。 4.类平抛运动的规律 初速度v0方向上：vx＝v0，x＝v0t。 合外力方向上：a＝，vy＝at，y＝at2。 例题分析·考点题型 【例题1】（多选）如图所示，在倾角为的足够大的光滑斜面上，将小球、同时沿水平方向以相同的速率相对抛出。已知初始时、在同一水平面上，不计空气阻力，下列说法正确的是(    ) A. 抛出后的一段时间内，的运动轨迹是直线 B. 抛出后的一段时间内，的运动轨迹是抛物线 C. 无论速率为多少，、一定能相遇 D. 无论速率为多少，、不可能相遇 【答案】BC  【解析】由于小球在斜面上均受到沿着斜面向下的重力的分力，未相遇前，、在斜面上做类平抛运动，运动轨迹为抛物线，选项A错误，B正确； 由于两小球沿平行斜面向下的加速度相同，运动情形相同，故两小球无论速率为多少总能相遇，选项C正确，D错误。 故选BC。 【变式训练1】（多选）一足够大且光滑的矩形斜面，倾角为，高为，现有一小球在处沿平行于底边的初速度滑上斜面，最后从处离开斜面。已知重力加速度大小为。下列说法正确的是(    ) A. 小球的运动轨迹为抛物线 B. 小球的加速度为 C. 小球从处到达处所用的时间为 D. 小球从处到达处的位移为 【答案】ABC  【解析】A、小球受到重力和支持力两个力作用，合力方向沿斜面向下，合力大小为，与初速度方向垂直，故小球做类平抛运动，其运动轨迹为抛物线，故A正确； B、根据牛顿第二定律得：，可得小球的加速度，故B正确； C、小球沿斜面向下的位移为，根据，解得小球从处到达处运动时间，故C正确； D、小球在沿初速度方向的位移，则小球从处到达处的位移，故D错误。 故选：。 【变式训练2】（多选）如图所示，在风洞实验室中，从点以水平速度向左抛出一个质量为的小球，小球抛出后所受空气作用力沿水平方向，其大小为，经过一段时间小球运动到点正下方的点处，重力加速度为，在此过程中以下说法正确的是(    ) A. 到所用时间是 B. 小球的最大速率为 C. 小球离连线的最远距离为 D. 、两点间的距离 【答案】CD  【解析】A.将小球的运动沿水平方向向左先减速，然后向右加速回到虚线位置；竖直方向做自由落体运动；水平方向    联立解得 故A错误； B.小球到达点时水平速度为，为最大；竖直速度也为最大，则此时的速度最大，最大速率大于，故B错误； C.根据 解得 故C正确； D.、两点间的距离 故D正确。 故选CD。 考点四　多物体抛体与抛体相遇问题 例题分析·考点题型 【例题1】（多选）A、两个物体可视为质点，分别从、两点做平抛运动，落到水平地面上的同一点，运动轨迹如图所示。设它们从、两点抛出的初速度分别为、，从抛出至落到水平地面的时间分别为、，则下列判断正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】AD  【解析】解：、根据平抛运动在竖直方向上为自由落体运动可得：，解得：； 由于下落的高度大于下落的高度，则，故A正确、B错误； 、根据水平方向的运动规律可得平抛初速度：，由于下落的高度大于下落的高度、的水平位移小于的水平位移，则，故C错误、D正确。 故选：。 【变式训练1】（多选）如图所示，、两个小球从不同高度同时沿相反方向水平抛出，其平抛运动轨迹的交点为，则以下说法正确的是(    ) A. 球先落地 B. 、两球同时落地 C. 、两球在点相遇 D. 无论两球初速度大小多大，两球总不能相遇 【答案】AD  【解答】平抛运动竖直方向是自由落体运动，运动时间，由题可知，球位置比球位置高，故运动时间较长，同时释放，球先落地，故B错误，A正确； 同时释放，到达同一时刻过程下落的高度相同，故无论多大初速度，同一时刻不会在同一高度位置，即不会相遇，故C错误，D正确。 故选AD。 【变式训练2】（多选）如图所示，同一竖直平面内有四分之一圆环和倾角为的斜面，、两点与圆环的圆心等高。现将甲、乙小球分别从、两点以初速度、沿水平方向同时抛出，两球恰好在点相碰不计空气阻力，已知，，下列说法正确的是(    ) A. 初速度、大小之比为 B. 若大小变为原来的两倍，让两球仍在竖直面相遇，则应增大到原来倍 C. 若大小变为原来的一半，则甲球恰能落在斜面的中点 D. 若要甲球垂直击中圆环，则应变为原来的倍 【答案】AD  【解析】A.两小球竖直位移相同，则运动时间相同，初速度  、  大小之比为 故A正确； B.若让两球仍在竖直面相遇，则 其中 ，  若  大小变为原来的两倍，则时间变为原来的一半，要能相遇，则球的速度  要增大为原来的倍，故B错误； C.甲球落在、两点时的竖直位移之比为 根据  可知甲球落在、两点时的时间之比为 甲球落在、两点时的水平位移之比为 根据  可知甲球落在、两点时的初速度大小之比为 故若  大小变为  ，则甲球恰能落在斜面的中点，故C错误； D.若要甲球垂直击中圆环，则击中时的速度方向一定过点，且根据平抛运动规律的推论可知点为甲球水平位移的中点，故甲球落点到点的水平距离为 竖直距离为 结合在点相碰 ，  根据 解得 ，  所以若要甲球垂直击中圆环，则  应变为原来的  倍，故D正确。 故选AD。 巩固训练·提升能力 一、单选题。 1.如图所示，斜面体固定在水平面上，可视为质点的小球从点正上方的点水平抛出，恰击中点，此时速度方向与水平方向的夹角为。已知、的高度差为，、的高度差为，、间的距离为，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】小球从到做平抛运动，竖直方向，水平方向，，联立解得，故选A。 2.如图所示，某物体可视为质点以水平初速度抛出，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角的斜面上取，由此计算出物体的水平位移和水平初速度分别是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解答】物体撞在斜面上时竖直分速度， 根据平行四边形定则知，，解得， 则水平位移，故C正确，ABD错误。 故选C。 3.如图所示，在竖直放置的半圆形容器的中心点分别以水平初速度、抛出两个小球可视为质点，最终它们分别落在圆弧上的点和点，已知与互相垂直，且与竖直方向成角，则两小球初速度之比为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解答】由几何关系可知，的竖直位移为：，水平位移为：； 的竖直位移为：，水平位移为： 由平抛运动的规律可知：， 解得： 则 故选：． 4.春风尔来为阿谁，蝴蝶忽然满芳草。随着气温的不断回升，各个公园都展现出春意盎然的盛景。人们纷纷走出家门，游玩踏青。在公园里，套圈是一项很受欢迎的游戏，规则要求每次从同一位置水平抛出圆环，套住与圆环中心水平距离为的高的竖直水瓶宽度忽略不计，即可获得奖品。一身高的同学从距地面高度水平抛出圆环，圆环半径为，设圆环始终水平，则要想套住水瓶，他水平抛出的速度可能为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】根据，得，则水平抛出物体的最大速度为，平抛出物体的最小速度为，则有。 故选C。 5.如图所示，在一次空地演习中，离地高处的飞机以水平速度发射一颗炮弹欲轰炸地面目标，反应灵敏的地面拦截系统同时以速度竖直向上发射炮弹拦截。设拦截系统与飞机的水平距离为，不计空气阻力。若拦截成功，则，的关系应满足(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解答】炮弹运行的时间，在这段时间内飞机发射炮弹在竖直方向上的位移大小为：； 拦截炮弹在这段时间内向上的位移大小为：； 则， 所以有：； 故ABC错误，D正确。 故选D。 6.如图所示，倾角、高度的光滑斜面固定在水平地面上，一可视为质点的小球从光滑斜面上的点以水平初速度射出，从点离开斜面，重力加速度，，，忽略空气阻力，则小球在斜面上的运动时间为 A. B. C. D. 【答案】C  【解析】小球沿垂直于初速度方向的加速度大小， 小球沿垂直于初速度方向的位移大小， 小球从点运动到点所用的时间，故C项正确。 故选C。 7.丢沙包游戏是孩子们特别喜欢的活动。一儿童在高度为的处以某一速度将沙包水平投出，沙包正好垂直穿过前方框架中的圆洞，圆洞的圆心离地高度为，如图所示。已知框架倾角为，沙包可看作质点，不计空气阻力，重力加速度取，，。下列选项不正确的是(    ) A. 沙包的出手速度大小为 B. 沙包从到的飞行时间为 C. 沙包穿过圆洞时的速度大小为 D. 出手点距点的直线距离为 【答案】C  【解答】沙包在空中做平抛运动，则，，又，，联立知，沙包从到的飞行时间，沙包出手时的速度大小，出手点距点的直线距离，则沙包穿过圆洞时的速度大小，故C错误，符合题意，ABD正确，不符合题意。 8.如图所示，一竖直圆弧形槽固定于水平地面上，为圆心，为沿水平方向的直径。若在点以初速度沿方向平抛一小球，小球将击中槽壁上的最低点点；若点小球抛出的同时，在点以初速度沿方向平抛另一相同质量的小球并也能击中点，已知，且不计空气阻力，则(    ) A. 两小球同时落到点 B. 两小球初速度大小之比为 C. 两小球落到点时的速度方向与线夹角相等 D. 两小球落到点时的瞬时速率之比为 【答案】B  【解析】解：两球平抛运动的高度不同，根据得：，知高度不同，平抛运动的时间不等，则两球不能同时落到点，故A错误； B.点抛出的小球高度为，水平位移为，点抛出的小球高度，水平位移，根据，得：，因为两球的水平位移之比为，下降的高度之比为：，则初速度大小之比为：，故B正确； C.平抛运动某时刻速度方向与水平方向夹角的正切值是位移方向与水平方向夹角正切值的倍，两球落在点，位移方向与水平方向的夹角不等，则速度方向与水平方向的夹角不等，可知两小球落到点时的速度方向与线的夹角不等，故C错误； D.设、两点抛出球落到点时的瞬时速率分别为、，，，则，故D错误。 故选：。 9.如图所示，某工厂中产品被无初速度地放在水平传送带左端，经传送带传输至右端后，平抛落入地面上的收集装置中。传送带上表面距地面高度为，收集装置入口宽度为，高度为，传送带右端到收集装置左端的水平距离为，产品与传送带之间的动摩擦因数为，传送带长度为，传送带运转速度可调，已知重力加速度取。下列说法正确的是(    ) A. 产品在传送带上的运动一定是先加速后匀速 B. 若，产品到达传送带右端的时间为 C. 要保证产品能够落入收集装置中且不碰到收集装置侧壁，传送带的速度至少是 D. 落入收集装置中且不碰到侧壁的产品在空中平抛的时间均不相同 【答案】C  【解析】A. 当产品恰好没有掉出收集装置，下落高度为 ，解得 = 。设产品到达收集装置右侧壁的速度为因为 ，可得 = ，依题意，根据牛顿第二定律可得产品在传送带上加速时的加速度为，解得 ，假设产品在传送带上一直加速，则有 ，可得 <，可知：产品在传送带上的运动可能是先加速后匀速，也可能是一直加速，故A错误； B. 依题意，根据牛顿第二定律可得产品在传送带上加速时的加速度为，解得 ， 产品加速达到传送带速度时，所需时间为，解得， 运动的位移为。 故产品在传送带上先加速后匀速，设匀速阶段所用时间为，有，解得。 则产品到达传送带右端的时间为，故 B错误； C. 产品离开传送带后，做平抛运动，当产品恰能落入收集装置，下落高度为 ，解得 = ，因为，可得 =，故C正确； D. 产品落入收集装置中且不碰到侧壁，有 = ，在空中平抛的时间t=0.5s ，都相同，故 D错误。 10.如图所示，光滑斜面为边长的正方形，斜面与水平面的倾角为。现将一小球从处水平向左射出，小球沿斜面恰好到达底端点。重力加速度取，则下列说法正确的是(    ) A. 小球在斜面上运动的时间为 B. 小球在点的速度大小为 C. 小球在点的速度大小为 D. 小球的速度变化量大小为 【答案】B  【解答】小球做类平抛运动，加速度大小为，根据类平抛运动规律：，，解得：，，故A错误，B正确； C. 小球在点的速度大小，故C错误； D. 小球的速度变化量，故D错误。 二、计算题。 11.如图所示，倾角的斜面固定在水平地面上，一小球可视为质点以一定的初速度从斜面底端正上方某处水平抛出，经的时间，小球恰好垂直击中斜面。不计空气阻力，重力加速度取，，，求： 小球抛出时的初速度大小； 小球从抛出到击中斜面过程的位移大小； 小球抛出点到斜面底端的高度。 【答案】解：设小球击中斜面时的竖直分速度大小为  ，小球在空中做平抛运动，竖直方向有  因小球垂直击中斜面，由几何关系有  解得小球抛出时的初速度大小  水平方向有  竖直方向有  则小球从抛出到击中斜面过程的位移大小  设小球抛出点到斜面底端的高度为  ，由几何关系有  解得  12.如图甲是运动员跳台滑雪时的场景，其运动示意图如图乙所示。运动员在雪道上获得一定初速度后从跳台末端点水平飞出，并在空中飞行一段距离后着陆，已知雪道斜坡的长度，与水平面的夹角，不计空气阻力。 若运动员以初速度离开跳台后，着陆在水平雪道上的点，求运动员在该过程中的水平位移的大小； 若运动员离开跳台后，想先落到斜坡上做缓冲，则运动员离开跳台的初速度的大小不能超过多少； 运动员以初速度离开跳台直接落在斜坡上点，求间的距离。 【答案】解：运动员离开跳台后做平抛运动，水平方向上有 竖直方向上有 联立解得 运动员离开跳台后恰好落在斜坡底端时，初速度最大，设运动时间为，水平位移为，竖直位移为 由几何关系可得， 由平抛运动规律可得， 联立解得 运动员以初速度离开跳台直接落在斜坡上点，设运动时间为，水平位移为，竖直位移为 由平抛运动规律可得， 由几何关系可得 间的距离 联立解得。 答：运动员在该过程中的水平位移的大小为； 运动员离开跳台的初速度的大小不能超过； 间的距离为。  13.如图所示，在水平台的右侧有半径、圆心角的粗糙圆弧轨道固定在地面上，圆弧轨道末端与长木板上表面平滑对接但不粘连，静止在水平地面上。质量的小物块从固定水平台右端点以的初速度水平抛出，运动至点时恰好沿切线方向进入圆弧轨道，至点时对圆弧轨道的压力大小为，之后小物块滑上木板，最终恰好未从木板上滑下。已知木板质量，小物块与木板间的动摩擦因数，木板与地面间的动摩擦因数，重力加速度取，，，忽略空气阻力，最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，求： 、两点间的竖直高度差； 小物块滑上木板时，木板的加速度大小； 木板的长度。 【答案】设物块运动到点的竖直速度为，、两点的竖直高度差为，运动至点时恰好沿切线方向进入圆弧轨道，则 解得 竖直方向有 解得； 小物块滑上木板时，设木板的加速度为，对木板由牛顿第二定律得 代入数据解得； 小物块滑上木板时，设小物块的加速度为，初速度为，最后共速为，对小物块由牛顿第二定律得 解得 至点时对圆弧轨道的压力大小为，根据牛顿第三定律可知，受到的支持力也是，对小物块在点由牛顿第二定律得 解得 设达到共速的时间为，则有 解得， 设此过程的小物块的位移为，木板的是位移为，木板的长度为，则有 解得木板的长度。  14.如图所示，房顶的高度，竖直墙的高度，墙到房子的距离，墙外公路封闭路段的宽度，使小球视为质点从房顶水平飞出后落在墙外的马路上。取重力加速度大小，马路、墙根与房子的底部在同一水平面上，忽略墙的厚度，不计空气阻力。 求小球在空中运动的时间； 要使小球落到墙外的马路上，求小球抛出时的速度大小应满足的条件。 【答案】解：根据题意有 解得。 若当小球以大小为的速度抛出时，小球刚好过墙的最高点，如图甲所示， 设小球从房顶运动到墙的最高点所用的时间为，有 解得 若当小球以大小为的速度抛出时，刚好落到马路的外边界，如图乙所示， 设小球在空中运动的时间为， 有 解得 因此，小球抛出时的速度大小应满足的条件为。  15.在一次无人机“空投”演习中，无人机携带的物资需投放到沿坡路行驶货车的车厢中。已知坡路的倾角，货车在坡路底端，无人机以的速度水平匀速飞行，当经过坡底正上方时自由释放所带物资，同时货车启动并沿坡面直线行驶。当货车前进时，物资恰好落入车厢内。已知物资与货车始终处于同一竖直平面，重力加速度，不计空气阻力，求： 物资释放时离货车的高度 物资落入车厢时速度与水平方向夹角的正切值。 【答案】解：设物资经时间恰落入车厢水平方向：由 可得 竖直方向：由 可得 由可得  12 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 目录 第06课时　平抛运动与斜面和曲面相结合的问题及临界极值问题 1 考点一　与斜面和曲面关联的平抛运动 1 考点二　平抛运动的临界极值问题 3 考点三　类平抛运动 4 考点四　多物体抛体与抛体相遇问题 5 巩固训练·提升能力 6 第06课时　平抛运动与斜面和曲面相结合的问题及临界极值问题 考点一　与斜面和曲面关联的平抛运动 必备知识·回顾梳理 常见的运动情形和分析方法 运动情形 分析方法 对着斜面抛：从空中水平抛出垂直落到斜面上，速度偏转角与斜面倾角互余，即α＋θ＝ 分解速度，构建速度三角形 vx＝v0，vy＝gt tan α＝＝ tan θ＝＝ 顺着斜面抛：从斜面某点水平抛出又落到斜面上，斜面的倾角等于位移与水平方向的夹角 分解位移，构建位移三角形 x＝v0t y＝gt2 tan θ＝＝ 对着斜面抛：从斜面外水平抛出，要求以最短位移打到斜面，位移的方向与斜面垂直，即α＋θ＝ 分解位移 x＝v0t，y＝gt2 tan θ＝＝ tan α＝＝ 与斜面相切：从斜面外水平抛出，沿斜面方向落入斜面，其合速度方向沿斜面方向 分解速度 vx＝v0，vy＝gt tan α＝＝ 例题分析·考点题型 【例题1】（多选） 如图所示，斜面倾角为，位于斜面底端正上方的小球以初速度为正对斜面顶点水平抛出，小球到达斜面所用的时间为，重力加速度为，下列两种情况分析正确的是 A. 若小球垂直击中斜面，则 B. 若小球垂直击中斜面，则 C. 若小球以最小位移到达斜面，则 D. 若小球以最小位移到达斜面，则 【变式训练1】（多选）如图所示，在斜面的点以速度平抛一小球，经时间落到斜面上的点。若在点将此小球以速度水平抛出，经落到斜面上的点，则以下判断正确的是(    ) A. B. C. D. 【变式训练2】（多选）如图所示为一半球形的坑，其中坑边缘两点、与圆心等高且在同一竖直平面内。现甲、乙两位同学分别站在、两点，同时将两个小球以、的速度沿图示方向水平抛出，发现两球刚好落在坑中同一点，已知，忽略空气阻力。则下列说法中正确的是(    ) A. 两球抛出的速率之比为 B. 若仅增大，则两球将在落入坑中之前相撞 C. 两球的初速度无论怎样变化，只要落在坑中的同一点，两球抛出的速率之和不变 D. 若仅从点水平抛出小球，改变小球抛出的速度，小球可能垂直坑壁落入坑中 考点二　平抛运动的临界极值问题 必备知识·回顾梳理 1、临界特征 (1)有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，表明题述的过程中存在着临界点。 (2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起、止”点，而这些起、止点往往就是临界点。 (3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这个极值点往往是临界点。 2、平抛运动临界极值问题的分析方法 (1)确定研究对象的运动性质。 (2)根据题意确定临界状态。 (3)确定临界轨迹，画出轨迹示意图。 (4)应用平抛运动的规律，结合临界条件列方程求解。　　 例题分析·考点题型 【例题1】（多选）某游乐场内地面上有一个半径为的圆形跑道，高为的平台边缘上的点在地面上点的正上方，与跑道的圆心的距离为，、、和处于同一水平线上，如图所示。跑道上有一辆小车高度忽略不计在做圆周运动，现从点以初速度水平抛出一个小沙袋，使其落入小车中沙袋所受空气阻力不计，重力加速度为。则(    ) A. 要使沙袋落入小车中，小沙袋初速度的最大值为 B. 要使沙袋落入小车中，小沙袋初速度的最小值为 C. 要使沙袋落入处的小车中，小沙袋初速度的大小为 D. 要使沙袋落入处的小车中，小沙袋初速度的大小可能为 【变式训练1】（多选）如图所示，某同学将一小球从点水平抛出，初速度与挡板所在的竖直平面垂直，小球下落时恰好通过挡板顶端点，最终落在水平地面上的点。已知、两点与点之间的水平距离相等，不计空气阻力，取，下列说法正确的是(    ) A. 挡板的高度为 B. 挡板的高度为 C. 小球在空中运动的时间为 D. 小球在空中运动的时间为 【变式训练2】（多选）如图所示，在一次比赛中，中国女排运动员朱婷将球在边界处正上方正对球网水平向前击出，球刚好过网落在图中位置不计空气阻力，相关数据如图所示，下列说法中正确的是(    ) A. 击球点高度与球网高度之间的关系为 B. 若保持击球高度不变，球的初速度满足，一定落在对方界内 C. 任意降低击球高度仍大于，只要击球初速度合适，球一定能落在对方界内 D. 任意增加击球高度，只要击球初速度合适，球一定能落在对方界内 考点三　类平抛运动 必备知识·回顾梳理 1.类平抛运动的概念与受力特点：凡是合外力恒定且垂直于初速度方向的运动都可以称为类平抛运动。 2.类平抛运动的特点 (1)初速度的方向不一定是水平方向，合力的方向也不一定是竖直向下，但合力的方向应与初速度方向垂直。 (2)加速度不一定等于重力加速度g，但应恒定不变。 3.类平抛运动的分析方法 (1)类平抛运动可看成是沿初速度方向的匀速直线运动和垂直初速度方向的由静止开始的匀加速直线运动的合运动。 (2)处理类平抛运动的方法和处理平抛运动的方法类似，但要分析清楚加速度的大小和方向。 4.类平抛运动的规律 初速度v0方向上：vx＝v0，x＝v0t。 合外力方向上：a＝，vy＝at，y＝at2。 例题分析·考点题型 【例题1】（多选）如图所示，在倾角为的足够大的光滑斜面上，将小球、同时沿水平方向以相同的速率相对抛出。已知初始时、在同一水平面上，不计空气阻力，下列说法正确的是(    ) A. 抛出后的一段时间内，的运动轨迹是直线 B. 抛出后的一段时间内，的运动轨迹是抛物线 C. 无论速率为多少，、一定能相遇 D. 无论速率为多少，、不可能相遇 【变式训练1】（多选）一足够大且光滑的矩形斜面，倾角为，高为，现有一小球在处沿平行于底边的初速度滑上斜面，最后从处离开斜面。已知重力加速度大小为。下列说法正确的是(    ) A. 小球的运动轨迹为抛物线 B. 小球的加速度为 C. 小球从处到达处所用的时间为 D. 小球从处到达处的位移为 【变式训练2】（多选）如图所示，在风洞实验室中，从点以水平速度向左抛出一个质量为的小球，小球抛出后所受空气作用力沿水平方向，其大小为，经过一段时间小球运动到点正下方的点处，重力加速度为，在此过程中以下说法正确的是(    ) A. 到所用时间是 B. 小球的最大速率为 C. 小球离连线的最远距离为 D. 、两点间的距离 考点四　多物体抛体与抛体相遇问题 例题分析·考点题型 【例题1】（多选）A、两个物体可视为质点，分别从、两点做平抛运动，落到水平地面上的同一点，运动轨迹如图所示。设它们从、两点抛出的初速度分别为、，从抛出至落到水平地面的时间分别为、，则下列判断正确的是(    ) A. B. C. D. 【变式训练1】（多选）如图所示，、两个小球从不同高度同时沿相反方向水平抛出，其平抛运动轨迹的交点为，则以下说法正确的是(    ) A. 球先落地 B. 、两球同时落地 C. 、两球在点相遇 D. 无论两球初速度大小多大，两球总不能相遇 【变式训练2】（多选）如图所示，同一竖直平面内有四分之一圆环和倾角为的斜面，、两点与圆环的圆心等高。现将甲、乙小球分别从、两点以初速度、沿水平方向同时抛出，两球恰好在点相碰不计空气阻力，已知，，下列说法正确的是(    ) A. 初速度、大小之比为 B. 若大小变为原来的两倍，让两球仍在竖直面相遇，则应增大到原来倍 C. 若大小变为原来的一半，则甲球恰能落在斜面的中点 D. 若要甲球垂直击中圆环，则应变为原来的倍 巩固训练·提升能力 一、单选题。 1.如图所示，斜面体固定在水平面上，可视为质点的小球从点正上方的点水平抛出，恰击中点，此时速度方向与水平方向的夹角为。已知、的高度差为，、的高度差为，、间的距离为，则的值为(    ) A. B. C. D. 2.如图所示，某物体可视为质点以水平初速度抛出，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角的斜面上取，由此计算出物体的水平位移和水平初速度分别是(    ) A. B. C. D. 3.如图所示，在竖直放置的半圆形容器的中心点分别以水平初速度、抛出两个小球可视为质点，最终它们分别落在圆弧上的点和点，已知与互相垂直，且与竖直方向成角，则两小球初速度之比为(    ) A. B. C. D. 4.春风尔来为阿谁，蝴蝶忽然满芳草。随着气温的不断回升，各个公园都展现出春意盎然的盛景。人们纷纷走出家门，游玩踏青。在公园里，套圈是一项很受欢迎的游戏，规则要求每次从同一位置水平抛出圆环，套住与圆环中心水平距离为的高的竖直水瓶宽度忽略不计，即可获得奖品。一身高的同学从距地面高度水平抛出圆环，圆环半径为，设圆环始终水平，则要想套住水瓶，他水平抛出的速度可能为(    ) A. B. C. D. 5.如图所示，在一次空地演习中，离地高处的飞机以水平速度发射一颗炮弹欲轰炸地面目标，反应灵敏的地面拦截系统同时以速度竖直向上发射炮弹拦截。设拦截系统与飞机的水平距离为，不计空气阻力。若拦截成功，则，的关系应满足(    ) A. B. C. D. 6.如图所示，倾角、高度的光滑斜面固定在水平地面上，一可视为质点的小球从光滑斜面上的点以水平初速度射出，从点离开斜面，重力加速度，，，忽略空气阻力，则小球在斜面上的运动时间为 A. B. C. D. 7.丢沙包游戏是孩子们特别喜欢的活动。一儿童在高度为的处以某一速度将沙包水平投出，沙包正好垂直穿过前方框架中的圆洞，圆洞的圆心离地高度为，如图所示。已知框架倾角为，沙包可看作质点，不计空气阻力，重力加速度取，，。下列选项不正确的是(    ) A. 沙包的出手速度大小为 B. 沙包从到的飞行时间为 C. 沙包穿过圆洞时的速度大小为 D. 出手点距点的直线距离为 8.如图所示，一竖直圆弧形槽固定于水平地面上，为圆心，为沿水平方向的直径。若在点以初速度沿方向平抛一小球，小球将击中槽壁上的最低点点；若点小球抛出的同时，在点以初速度沿方向平抛另一相同质量的小球并也能击中点，已知，且不计空气阻力，则(    ) A. 两小球同时落到点 B. 两小球初速度大小之比为 C. 两小球落到点时的速度方向与线夹角相等 D. 两小球落到点时的瞬时速率之比为 9.如图所示，某工厂中产品被无初速度地放在水平传送带左端，经传送带传输至右端后，平抛落入地面上的收集装置中。传送带上表面距地面高度为，收集装置入口宽度为，高度为，传送带右端到收集装置左端的水平距离为，产品与传送带之间的动摩擦因数为，传送带长度为，传送带运转速度可调，已知重力加速度取。下列说法正确的是(    ) A. 产品在传送带上的运动一定是先加速后匀速 B. 若，产品到达传送带右端的时间为 C. 要保证产品能够落入收集装置中且不碰到收集装置侧壁，传送带的速度至少是 D. 落入收集装置中且不碰到侧壁的产品在空中平抛的时间均不相同 10.如图所示，光滑斜面为边长的正方形，斜面与水平面的倾角为。现将一小球从处水平向左射出，小球沿斜面恰好到达底端点。重力加速度取，则下列说法正确的是(    ) A. 小球在斜面上运动的时间为 B. 小球在点的速度大小为 C. 小球在点的速度大小为 D. 小球的速度变化量大小为 二、计算题。 11.如图所示，倾角的斜面固定在水平地面上，一小球可视为质点以一定的初速度从斜面底端正上方某处水平抛出，经的时间，小球恰好垂直击中斜面。不计空气阻力，重力加速度取，，，求： 小球抛出时的初速度大小； 小球从抛出到击中斜面过程的位移大小； 小球抛出点到斜面底端的高度。 12.如图甲是运动员跳台滑雪时的场景，其运动示意图如图乙所示。运动员在雪道上获得一定初速度后从跳台末端点水平飞出，并在空中飞行一段距离后着陆，已知雪道斜坡的长度，与水平面的夹角，不计空气阻力。 若运动员以初速度离开跳台后，着陆在水平雪道上的点，求运动员在该过程中的水平位移的大小； 若运动员离开跳台后，想先落到斜坡上做缓冲，则运动员离开跳台的初速度的大小不能超过多少； 运动员以初速度离开跳台直接落在斜坡上点，求间的距离。 13.如图所示，在水平台的右侧有半径、圆心角的粗糙圆弧轨道固定在地面上，圆弧轨道末端与长木板上表面平滑对接但不粘连，静止在水平地面上。质量的小物块从固定水平台右端点以的初速度水平抛出，运动至点时恰好沿切线方向进入圆弧轨道，至点时对圆弧轨道的压力大小为，之后小物块滑上木板，最终恰好未从木板上滑下。已知木板质量，小物块与木板间的动摩擦因数，木板与地面间的动摩擦因数，重力加速度取，，，忽略空气阻力，最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，求： 、两点间的竖直高度差； 小物块滑上木板时，木板的加速度大小； 木板的长度。 14.如图所示，房顶的高度，竖直墙的高度，墙到房子的距离，墙外公路封闭路段的宽度，使小球视为质点从房顶水平飞出后落在墙外的马路上。取重力加速度大小，马路、墙根与房子的底部在同一水平面上，忽略墙的厚度，不计空气阻力。 求小球在空中运动的时间； 要使小球落到墙外的马路上，求小球抛出时的速度大小应满足的条件。 15.在一次无人机“空投”演习中，无人机携带的物资需投放到沿坡路行驶货车的车厢中。已知坡路的倾角，货车在坡路底端，无人机以的速度水平匀速飞行，当经过坡底正上方时自由释放所带物资，同时货车启动并沿坡面直线行驶。当货车前进时，物资恰好落入车厢内。已知物资与货车始终处于同一竖直平面，重力加速度，不计空气阻力，求： 物资释放时离货车的高度 物资落入车厢时速度与水平方向夹角的正切值。 12 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $