专题4.5 利用三角形全等测距离（举一反三讲义）数学新教材北师大版七年级下册

专题4.5 利用三角形全等测距离（举一反三讲义） 【新教材北师大版】 【题型1 测量池塘两端距离问题】 1 【题型2 测量河宽（两岸距离）问题】 3 【题型3 利用卡钳测量工件内径问题】 5 【题型4 测量隧道、峡谷等无法直接到达的两点距离】 7 【题型5 利用影子、标杆构造全等测高度/距离】 8 【题型6 利用全等设计测量方法】 10 【题型7 判断测量方案是否正确】 12 【题型1 测量池塘两端距离问题】 【例1】（24-25八年级上·广西南宁·月考）为了测量一池塘两端A，B的距离，三个数学研究小组设计了不同的可行性方案，如池塘示意图，他们在池塘西岸的点A处测得池塘点B恰好在点A的正东方向，测量方案如下表 课题 测量池塘两端A，B的距离 池塘示意图：   工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺，激光笔 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 ①从A点出发，向北走到C点；②测得， ①从A点出发，向北走到O点插上一根标杆； ②继续向北走相同的距离到达D点； ③再向西走到E点，使B，O，E三点共线； ④测得 ①将标杆垂直立在池塘岸边的点A处，再将激光笔固定在标杆的顶部F处； ②调整激光笔与标杆的夹角，使其射出的光线正好落在池塘对岸的点B； ③保持标杆与激光笔的夹角不变，转动标杆，使激光笔射出的光线落在同岸的点G，此时； ④测得：数据1：； 数据2：． 测量示意图          (1)第一小组测得即的距离，证明方法如下： 证明： (转右框) (理由：______) (2)请用第二小组的方案，求出池塘两端A，B的距离； (3)其他小组的同学发现，第三小组方案的第④步只用其中一个数据就可以求出池塘两端A，B的距离，请你在第④步中选择一个有效数据求出池塘两端A，B的距离． 【变式1-1】如图，某公园有一个假山林立的池塘．A，B两点分别位于这个池塘的两端，为测量出池塘的宽，小明想到了用三角形全等的方法：在池塘的两端分别系上两根绳子、，两根绳子相交处记为点C，满足，．连接，则线段的长即为A，B两点间的距离，此处判定三角形全等的依据是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】某数学兴趣小组的同学用数学知识测一池塘的长度，他们所绘如图所示，点，，，在直线上（点，之间不能直接测量，为池塘的长度），点，在的异侧，且，，测得．若，，则池塘的长度为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25八年级上·全国·期中）如图，为了测量池塘两侧A、B间的距离，在B点同侧选取点C，经测量，然后在的一侧找到一点D，使得为的平分线，且，若的长为8米，则池塘两侧A、B之间的距离为___________． 【题型2 测量河宽（两岸距离）问题】 【例2】（25-26八年级上·河南南阳·月考）汴河是北宋东京（今开封）的核心水运河道，清明上河园是依托《清明上河图》复原的河南标志性人文景区，园内汴河段保留了宋代河道风貌． 活动主题 测量河南开封汴河清明上河园段的宽度 方案 方案① 方案② 测量示意图 点B为清明上河园古码头，点A为汴河对岸宋代虹桥遗址基座，A在B正南方；C为观测点，D为辅助点． 点B为清明上河园古码头，点A为汴河对岸宋代古碑，E为清明上河园文创展示区，F为端点． 测量说明 如图1，观测者从汴河对岸宋代虹桥遗址基座（点A）出发，沿与直线成角的方向前进至点C，在点C处测得，测量出的长度． 如图2，观测者从汴河岸宋代古碑（点A）出发向正东走到清明上河园文创展示区（点E），G是的中点，从点E沿垂直于的方向走至点F，直到B、G、F在一条直线上，测量出的长度． 测量结果 ，，． ，，． (1)根据方案①，河宽的长度为_______米； (2)方案②的灵感来源于古希腊哲学家泰勒斯，他们认为的长就是所求河宽的长，请你根据所学的知识，给出证明． 【变式2-1】如图，甲，乙两军区进行军事演练，乙军区在河东岸处，因不知河宽，甲军的狙击手在处很难瞄准乙军军营，于是甲军连长站在西岸的点处，调整好自己的帽子，使视线恰好擦着帽舌边缘看到乙军军营处，然后他后退到点，这时他的视点恰好落在处，此时他只需测量脚站的点和点的距离，即可知道狙击手与乙军军营的距离，他判断的依据是(    ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，彭彭和欢欢去郊外游玩，他们想测量点N到河对岸的点M之间的距离，彭彭在点N的同侧选择了一点G，测得，，欢欢在点P处放了一块石头，使．要想测得点M，N之间的距离，有下列四种方案：①测量的长；②测量的长；③测量的度数；④在的下方作，交射线于点Q，测量的长．你认为正确的是______．（填序号） 【变式2-3】（24-25七年级下·河南周口·期末）如图，在一次实践活动中，小明为了完成测量河宽的任务，在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，设计出以下方案：他站在河岸上的点C处，先面向河对岸的建筑物方向竖直站好，手举手电筒使手电筒的光线正好落在河对岸的建筑物底部点B处；然后转过身保持刚才的姿势，这时光线落在河岸的点D处（即），最后他用步测的办法量出点C与点D之间的距离为，求河宽的长． 【题型3 利用卡钳测量工件内径问题】 【例3】如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为、的中点，只要量出的长度，就可以知道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（   ） A．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两点确定一条直线 D．两点之间线段最短 【变式3-1】如图所示小明设计了一种测零件内径的卡钳，问：在卡钳的设计中，要使应满足下列的哪个条件？（） A． B． C． D．且 【变式3-2】卡钳是一个测量工件内槽宽的工具．如图，师傅通常把两根钢条，的中点连在一起，就可以做成一个简易卡钳．只要量得的长度，就可知工件的内径是否符合标准．请结合题意及图示，用符号语言写出已知和求证，并完成证明． 已知： 求证： 证明： 【变式3-3】【实践与探究】测量距离 活动1：用“卡钳”工具测定工件内槽的宽 如图1，卡钳是由两根钢条组成，点为，的中点．如果，则 cm．其原理是运用了三角形全等判定方法中的 ．（填“”或“”或“”或“”） 活动2：测量隔着池塘的两点，之间的距离 如图2，小聪设计的测量隔着池塘的两点，之间距离的具体操作如下： （1）将标杆垂直立在池塘岸边的点处，再将激光笔固定在标杆的顶部处； （2）调整激光笔与标杆的夹角，使其射出的光线正好落在池塘对岸的点处； （3）保持标杆与激光笔的夹角不变，转动标杆，这时激光笔射出的光线落在同岸的点处； （4）测量 的长即为，之间的距离．请你用学过的知识说明通过以上步骤能测出，之间距离的道理． 【题型4 测量隧道、峡谷等无法直接到达的两点距离】 【例4】如图，有一座小山，现要在小山A、B的两端开一条隧道，为了知道A、B两端的距离，测量人员先过点A作直线AC⊥AB，再在BA的延长线上找一点D，使∠ACB=∠ACD，这时只要量出AD的长，就知道AB的长，请你证明测量人员做法的正确性． 【变式4-1】如图，有一座小山，现要在小山，的两端开一条隧道，施工队要知道，两端的距离，于是先在平地上取一个可以直接到达点和点的点，连接并延长到，使，连接并延长到，使，连接．经测量，，的长度分别为，，，则，之间的距离为______； 【变式4-2】（24-25八年级下·广东佛山·期末）【项目主题】测量距离 【项目背景】如图1，、两点被大山阻隔（、两点距离不可直接测得）．为了改善山区的交通，现拟开凿一条贯穿、的隧道，修建一条高速公路． 【实践操作】 方案一：如图2，某工程队分别以、两点为起点，朝同一方向行进相同距离，分别到达点、．测量、两点之间线段的长度，即为、两点的距离． 【问题解决】 (1)请你说明方案一的合理性； (2)请你设计与方案一不同的方案，在答题卡上画出几何图形，并表示出、两点间的距离（为使表达简洁，需要测量的角建议用、、等表示）． 【变式4-3】某地在山区修建高速公路时挖通一条隧道．为估测这条隧道的长度（如图），需测出这座山，间的距离．请你设计测量方案，解答问题，并说明设计理由．    【题型5 利用影子、标杆构造全等测高度/距离】 【例5】（24-25七年级下·山西太原·月考）在学完“利用三角形全等测距离”这节课后，某校“综合与实践”小组的同学利用所学的知识“测量学校旗杆的高度”，活动报告如下： 活动主题 内容 课题 利用三角形全等测量旗杆的高度 测量工具 标杆、皮尺、测角仪等测量工具 方案设计 说明：旗杆垂直于水平地面，在水平地面上选一点，使得点到旗杆底部点的距离刚好等于标杆的长度，在点处测得旗杆顶部点的仰角，从点出发沿着射线的方向向前行走，将标杆垂直于水平地面，移动标杆的位置，在点处测得标杆顶点的仰角，用皮尺测出线段的长度，、、、、在同一竖直平面内． 测量数据 ，，米． 结果 ．．． 请你根据“综合与实践”小组同学的测量方案及测量数据，求出旗杆的高度． 【变式5-1】如图，某校学生为测量点到河对面的目标之间的距离，他们在点同侧选择了一点，测得，，然后在处立了标杆，使，为了测量，之间的距离，他们应该（    ）    A．直接测量的长 B．测量的长 C．测量的度数 D．先作，交于点，再测量的长 【变式5-2】如图，太阳光线与是平行的，同一时刻垂直于地面的两根木杆在太阳光照射下的影子一样长，那么这两根木杆高度相同，这利用了全等的性质，其中判断的依据是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，太阳光下有两根垂直于地面的等长竹竿与，且两根竹竿的影子分别为和，已知太阳光线．小明同学经过探究得结论：．请问他的结论正确吗？请给出理由． 【题型6 利用全等设计测量方法】 【例6】（25-26八年级上·山西临汾·期末）下面为“科技闪耀”数学兴趣小组在完成项目式学习“测量公路弯道改直后的长度”之后撰写的项目报告，根据报告内容完成相应任务． 项目主题 测量公路弯道改直后的长度 项目背景 某地一段绕山公路，由于弯度较大，易发生交通事故．“科技闪耀”数学兴趣小组拟设计并向市政部门提出改造方案——将这段弯道公路改直．于是在弯道两端确定两点，，作为改直部分的起点与终点．为顺利完成设计，需实地测量的长度，但受地势限制，无法直接测量 驱动问题 如何利用数学知识或数学原理测量公路弯道改直后的长度？ 测量方案 测量步骤： 1．升空无人机到达处，此时可直接看见，两点； 2．用激光测距仪分别测量处到和的距离，用测角仪测量处观察点的俯角（水平线与视线的夹角），并测量观察，两点的视角； 3．沿方向（与平行）以的速度匀速飞行，到达处，继续用激光测距仪测量处到的距离，用测角仪测量处观察点的俯角． 说明：点，，在同一条直线上，点，，，，在同一竖直平面内 记录数据 ，，，，， …… …… 任务： (1)图中与全等吗？若全等，请予以证明；若不全等，请说明理由． (2)请计算的长度． 【变式6-1】（24-25七年级下·陕西汉中·期末）学习《利用三角形全等测距离》后，数学兴趣小组同学就“测量河两岸A，B两点间距离”这一问题，设计了如下方案． 课题 测量河两岸A，B两点间距离 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 ①在点B所在河岸同侧的平地上取点和点，使得点在一条直线上，且（）； ②测得 ③在的延长线上取点，使得 ④测得的长度为30米． (1)两点间距离是____________米． (2)请你说明方案正确的理由． 【变式6-2】朵朵站在河边的点处，观察河对面（正北方向）点处的一棵大树，她想知道自己距离大树有多远，可身边没有测量工具，于是她运用本学期学到的知识设计了如下方案：她以相同的步子向正西方向走了50步到达一电线杆点处，接着继续向正西方向走了50步到达点处，然后再向正南方向行走，当看到电线杆，大树与自己现在所处的位置在同一直线上时停止，朵朵一共走了140步．    (1)根据题意，画出朵朵测量方案的示意图； (2)如果朵朵一步大约，请计算朵朵在点处时与点处的这棵大树的距离，并说明理由． 【变式6-3】（25-26八年级上·河南信阳·月考）综合与实践 问题情境：如图1，学校有一块三角形空地，其中米，米，米．点D在边上，点E在边上，米，米，在范围内种植谷物，在剩余空地上需要分割出一块三角形空地种植玉米（点C为种植玉米三角形空地的一个顶点），其面积与种植谷物的面积相同． (1)种植谷物的面积为___________平方米； (2)可以利用全等三角形面积相等的方法设计方案： ①如图2，在边上取一点G，在边上选取点H，当时，即可使种植玉米的面积与种植谷物的面积相同，求此时的长； ②还有其他全等情况也符合设计要求（点G在边上，点H在边上），请直接写出其他符合设计要求的方案中的长：___________米； (3)还可以利用中线分割的方法设计方案：如图3，选取的中点P，连接，选取的中点Q，连接，则即为符合条件的种植玉米的三角形空地．请说明此方法的正确性． 【题型7 判断测量方案是否正确】 【例7】如图，小明站在堤岸凉亭点处，正对他的点停有一艘游艇，他想知道凉亭与这艘游艇之间的距离，于是制定了如下测量方案． 课题 测量凉亭与游艇之间的距离 测量工具 皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 小明沿堤岸走到电线杆旁； 再往前走相同的距离，到达点（即）； 然后他向左直行，当看到电线杆与游艇在一条直线上时停下来． 测量结果 ，，米 (1)凉亭与游艇之间的距离是______米； (2)请你说明小明做法的正确性． 【变式7-1】（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·月考）如图，为一面墙，梯子斜靠在墙面上，为了方便测量梯子顶部A距离地面的高度小明设计的方案如下： ①测量的角度；②使梯子缓慢下滑，使得______，标记此时梯子的底端点D；③此时______的长度即为梯子顶部A距离地面的高度． (1)补全设计方案，并说明小明设计方案的正确性； (2)测得，，求梯子底端向后滑动的距离． 【变式7-2】如图，为一面墙，梯子斜靠在墙面上，为了方便测量梯子顶部A距离地面的高度小航设计的方案如下： ①测量的角度；②使梯子缓慢下滑，使得∠___________=，标记此时梯子的底端点D；③此时___________的长度即为梯子顶部A距离地面的高度． (1)补全设计方案，并说明小航设计方案的正确性； (2)测得，，求梯子下滑的高度. 【变式7-3】（25-26七年级上·山东东营·期中）综合与实践某校“综合与实践”小组开展了测量游乐园秋千高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如表． 课题 测量游乐园秋千 成员 组长：小明组员：小华、小丽、小红 工具 卷尺（受卷尺长度限制，无法直接测量秋千长度），量角器 测量示意图 如图所示，平台B处荡秋千到平台C处，垂直于地面，点A为秋千静止时在上的位置．过平台B、C分别作的垂线段、，即于点D，于点E． 测量数据 测量项目 测量大小 点B距地面高度 的长度 的长度 的太小 (1)猜想与的关系，并说明理由； (2)根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出秋千的长度． (3)请求出秋千离地面的最小距离． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.5 利用三角形全等测距离（举一反三讲义） 【新教材北师大版】 【题型1 测量池塘两端距离问题】 1 【题型2 测量河宽（两岸距离）问题】 5 【题型3 利用卡钳测量工件内径问题】 9 【题型4 测量隧道、峡谷等无法直接到达的两点距离】 12 【题型5 利用影子、标杆构造全等测高度/距离】 15 【题型6 利用全等设计测量方法】 19 【题型7 判断测量方案是否正确】 25 【题型1 测量池塘两端距离问题】 【例1】（24-25八年级上·广西南宁·月考）为了测量一池塘两端A，B的距离，三个数学研究小组设计了不同的可行性方案，如池塘示意图，他们在池塘西岸的点A处测得池塘点B恰好在点A的正东方向，测量方案如下表 课题 测量池塘两端A，B的距离 池塘示意图：   工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺，激光笔 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 ①从A点出发，向北走到C点；②测得， ①从A点出发，向北走到O点插上一根标杆； ②继续向北走相同的距离到达D点； ③再向西走到E点，使B，O，E三点共线； ④测得 ①将标杆垂直立在池塘岸边的点A处，再将激光笔固定在标杆的顶部F处； ②调整激光笔与标杆的夹角，使其射出的光线正好落在池塘对岸的点B； ③保持标杆与激光笔的夹角不变，转动标杆，使激光笔射出的光线落在同岸的点G，此时； ④测得：数据1：； 数据2：． 测量示意图          (1)第一小组测得即的距离，证明方法如下： 证明： (转右框) (理由：______) (2)请用第二小组的方案，求出池塘两端A，B的距离； (3)其他小组的同学发现，第三小组方案的第④步只用其中一个数据就可以求出池塘两端A，B的距离，请你在第④步中选择一个有效数据求出池塘两端A，B的距离． 【答案】(1)等角对等边 (2)A，B的距离为 (3)选择有效数据：，A，B的距离为 【分析】本题考查全等三角的判定与性质的应用，等角对等边等知识，审清题意读懂测量方法是解题的关键． （1）根据题意由推导使用的定理是等角对等边，从而得解； （2）根据题意使用定理证明，从而得到，从而得解； （3）根据题意使用定理证明，从而得到，从而得解． 【详解】（1）解：由推导使用的定理是等角对等边， 故答案是：等角对等边； （2）解：依题意得：，，， 所以， 所以； （3）选择有效数据：， 因为，，， 所以， 所以． 【变式1-1】如图，某公园有一个假山林立的池塘．A，B两点分别位于这个池塘的两端，为测量出池塘的宽，小明想到了用三角形全等的方法：在池塘的两端分别系上两根绳子、，两根绳子相交处记为点C，满足，．连接，则线段的长即为A，B两点间的距离，此处判定三角形全等的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定； 根据对顶角相等可得，然后可利用证明≌． 【详解】解：在和中，， 所以≌， 即此处判定三角形全等的依据是， 故选：B． 【变式1-2】某数学兴趣小组的同学用数学知识测一池塘的长度，他们所绘如图所示，点，，，在直线上（点，之间不能直接测量，为池塘的长度），点，在的异侧，且，，测得．若，，则池塘的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．由可得，证明得到，推出，即可求解． 【详解】解： ， ， 在和中， ， ， ， ，即， ， ， 故选：B． 【变式1-3】（24-25八年级上·全国·期中）如图，为了测量池塘两侧A、B间的距离，在B点同侧选取点C，经测量，然后在的一侧找到一点D，使得为的平分线，且，若的长为8米，则池塘两侧A、B之间的距离为___________． 【答案】8米 【分析】本题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定与性质．先利用角平分线的性质得出，再利用“”证明，利用全等三角形的性质得出米． 【详解】解：因为为的平分线， 所以， 在和中， ， 所以， 所以米． 故答案为：8米 【题型2 测量河宽（两岸距离）问题】 【例2】（25-26八年级上·河南南阳·月考）汴河是北宋东京（今开封）的核心水运河道，清明上河园是依托《清明上河图》复原的河南标志性人文景区，园内汴河段保留了宋代河道风貌． 活动主题 测量河南开封汴河清明上河园段的宽度 方案 方案① 方案② 测量示意图 点B为清明上河园古码头，点A为汴河对岸宋代虹桥遗址基座，A在B正南方；C为观测点，D为辅助点． 点B为清明上河园古码头，点A为汴河对岸宋代古碑，E为清明上河园文创展示区，F为端点． 测量说明 如图1，观测者从汴河对岸宋代虹桥遗址基座（点A）出发，沿与直线成角的方向前进至点C，在点C处测得，测量出的长度． 如图2，观测者从汴河岸宋代古碑（点A）出发向正东走到清明上河园文创展示区（点E），G是的中点，从点E沿垂直于的方向走至点F，直到B、G、F在一条直线上，测量出的长度． 测量结果 ，，． ，，． (1)根据方案①，河宽的长度为_______米； (2)方案②的灵感来源于古希腊哲学家泰勒斯，他们认为的长就是所求河宽的长，请你根据所学的知识，给出证明． 【答案】(1)20 (2)证明见解析 【分析】本题考查了三角形外角性质，等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定的应用是解题的关键． （1）根据，结合，，得到，利用等角对等边，求河宽的长度即可． （2）证明即可得证． 【详解】（1）解：，，， ， ， ， ． 故答案为：20； （2）证明：是的中点， ， ， ， ， ， ， 答：河宽为20米． 【变式2-1】如图，甲，乙两军区进行军事演练，乙军区在河东岸处，因不知河宽，甲军的狙击手在处很难瞄准乙军军营，于是甲军连长站在西岸的点处，调整好自己的帽子，使视线恰好擦着帽舌边缘看到乙军军营处，然后他后退到点，这时他的视点恰好落在处，此时他只需测量脚站的点和点的距离，即可知道狙击手与乙军军营的距离，他判断的依据是(    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据身高不变可得AB＝PO，视线方向不变可得∠AOB＝∠PQO，然后利用“AAS”证明△ABO和△POQ全等，根据全等三角形对应边相等可得BO＝OQ，从而即可知道狙击手与乙军军营的距离． 【详解】解：根据题意知AB＝PO，AO∥PQ， 所以∠AOB＝∠PQO， 又因为AB⊥BO，PO⊥BQ， 所以∠ABO＝∠POQ＝90°， 在△ABO和△POQ中， ， 所以△ABO≌△POQ（AAS）， 所以BO＝OQ， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的应用，根据题目信息，找出三角形全等的条件是解题的关键． 【变式2-2】如图，彭彭和欢欢去郊外游玩，他们想测量点N到河对岸的点M之间的距离，彭彭在点N的同侧选择了一点G，测得，，欢欢在点P处放了一块石头，使．要想测得点M，N之间的距离，有下列四种方案：①测量的长；②测量的长；③测量的度数；④在的下方作，交射线于点Q，测量的长．你认为正确的是______．（填序号） 【答案】④ 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，判定三角形全等即可求得对应线段相等． 【详解】解：如果， 在和中 则， 即即可测得点M，N之间的距离． 故答案为：④． 【变式2-3】（24-25七年级下·河南周口·期末）如图，在一次实践活动中，小明为了完成测量河宽的任务，在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，设计出以下方案：他站在河岸上的点C处，先面向河对岸的建筑物方向竖直站好，手举手电筒使手电筒的光线正好落在河对岸的建筑物底部点B处；然后转过身保持刚才的姿势，这时光线落在河岸的点D处（即），最后他用步测的办法量出点C与点D之间的距离为，求河宽的长． 【答案】河宽的长为． 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，然后可得，由全等三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：在和中， ， 所以； 所以， 即河宽的长为． 【题型3 利用卡钳测量工件内径问题】 【例3】如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为、的中点，只要量出的长度，就可以知道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（   ） A．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两点确定一条直线 D．两点之间线段最短 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的应用，利用判定三角形全等，进行判断即可． 【详解】解：因为点O为、的中点， 所以 因为， 所以； 所以； 所以依据的数学基本事实是两边及其夹角分别相等的两个三角形全等； 故选B． 【变式3-1】如图所示小明设计了一种测零件内径的卡钳，问：在卡钳的设计中，要使应满足下列的哪个条件？（） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的应用，根据已知条件可用边角边定理判断出全等． 利用全等三角形的判定定理进行推理． 【详解】解：如图，连接， 已知对顶角， 所以根据全等三角形的判定定理可以判定， 由此推断． 故选：D． 【变式3-2】卡钳是一个测量工件内槽宽的工具．如图，师傅通常把两根钢条，的中点连在一起，就可以做成一个简易卡钳．只要量得的长度，就可知工件的内径是否符合标准．请结合题意及图示，用符号语言写出已知和求证，并完成证明． 已知： 求证： 证明： 【答案】见解析 【分析】两边分别对应相等，再加上对顶角相等，可判断出两个三角形全等，且用的是．结合题意及图示，用符号语言写出已知和求证，并完成证明． 【详解】已知：如图，，为的中点． 求证： 证明：如图，连接， 因为，为的中点， 所以， 又因为， 所以． 所以． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 【变式3-3】【实践与探究】测量距离 活动1：用“卡钳”工具测定工件内槽的宽 如图1，卡钳是由两根钢条组成，点为，的中点．如果，则 cm．其原理是运用了三角形全等判定方法中的 ．（填“”或“”或“”或“”） 活动2：测量隔着池塘的两点，之间的距离 如图2，小聪设计的测量隔着池塘的两点，之间距离的具体操作如下： （1）将标杆垂直立在池塘岸边的点处，再将激光笔固定在标杆的顶部处； （2）调整激光笔与标杆的夹角，使其射出的光线正好落在池塘对岸的点处； （3）保持标杆与激光笔的夹角不变，转动标杆，这时激光笔射出的光线落在同岸的点处； （4）测量 的长即为，之间的距离．请你用学过的知识说明通过以上步骤能测出，之间距离的道理． 【答案】活动1：8；；活动2： 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、熟知全等三角形的判定与性质是解题的关键. 活动1：由题意可得，，，再根据对顶角相等可得，即可利用“”证明，可得，即可求解； 活动2：由题意得，，，，利用“”证明，可得，即可求解． 【详解】解：活动1：因为O为、的中点， 所以，， 又因为， 所以， 所以， 故答案为：8，； 活动2：测量的长即为A、B之间距离，证明过程如下： 由题意得，，，， 所以， 在和中， ， 所以， 所以， 即测量的长即为A、B之间距离， 故答案为：． 【题型4 测量隧道、峡谷等无法直接到达的两点距离】 【例4】如图，有一座小山，现要在小山A、B的两端开一条隧道，为了知道A、B两端的距离，测量人员先过点A作直线AC⊥AB，再在BA的延长线上找一点D，使∠ACB=∠ACD，这时只要量出AD的长，就知道AB的长，请你证明测量人员做法的正确性． 【答案】见解析 【分析】由题意易得∠CAB=∠CAD=90°，进而可证△ABC≌△ADC，然后问题可求解． 【详解】证明：因为AC⊥AB， 所以∠CAB=∠CAD=90°． 在△ABC和△ADC中， ， 所以△ABC≌△ADC（ASA）， 所以AB=AD． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的判定定理及性质是解题的关键． 【变式4-1】如图，有一座小山，现要在小山，的两端开一条隧道，施工队要知道，两端的距离，于是先在平地上取一个可以直接到达点和点的点，连接并延长到，使，连接并延长到，使，连接．经测量，，的长度分别为，，，则，之间的距离为______； 【答案】800 【分析】利用“SAS”证明△ABC≌△EDC，然后根据全等三角形的性质得AB=DE=800m． 【详解】解：在△ABC和△EDC中， 所以△ABC≌△EDC（SAS）， 所以AB=DE=800． 故答案为：800． 【点睛】本题考查了全等三角形的应用：一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键． 【变式4-2】（24-25八年级下·广东佛山·期末）【项目主题】测量距离 【项目背景】如图1，、两点被大山阻隔（、两点距离不可直接测得）．为了改善山区的交通，现拟开凿一条贯穿、的隧道，修建一条高速公路． 【实践操作】 方案一：如图2，某工程队分别以、两点为起点，朝同一方向行进相同距离，分别到达点、．测量、两点之间线段的长度，即为、两点的距离． 【问题解决】 (1)请你说明方案一的合理性； (2)请你设计与方案一不同的方案，在答题卡上画出几何图形，并表示出、两点间的距离（为使表达简洁，需要测量的角建议用、、等表示）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查的是平行四边形的判定和性质，全等三角形的应用． （1）证明四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质即可得到结论； （2）在大山外取一点O，连接，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意知，， 所以四边形是平行四边形， 所以； （2）解：如图，在大山外取一点O，连接， 延长到D，使，延长到E，使，测量D、E两点之间线段的长度，即为A、B两点的距离． 在和中，， 所以， 所以． 【变式4-3】某地在山区修建高速公路时挖通一条隧道．为估测这条隧道的长度（如图），需测出这座山，间的距离．请你设计测量方案，解答问题，并说明设计理由．    【答案】见解析 【分析】构造全等三角形，利用全等三角形对应边相等的性质即可求解． 【详解】选择一个合适的地点，连接，，测出和的长度，延长，至，，使，，连接， 在和中， ， ．    【点睛】本题考查了全等三角形在实际生活中的应用．通过对应边相等，将不易测量线段转化为易测量线段是解题关键． 【题型5 利用影子、标杆构造全等测高度/距离】 【例5】（24-25七年级下·山西太原·月考）在学完“利用三角形全等测距离”这节课后，某校“综合与实践”小组的同学利用所学的知识“测量学校旗杆的高度”，活动报告如下： 活动主题 内容 课题 利用三角形全等测量旗杆的高度 测量工具 标杆、皮尺、测角仪等测量工具 方案设计 说明：旗杆垂直于水平地面，在水平地面上选一点，使得点到旗杆底部点的距离刚好等于标杆的长度，在点处测得旗杆顶部点的仰角，从点出发沿着射线的方向向前行走，将标杆垂直于水平地面，移动标杆的位置，在点处测得标杆顶点的仰角，用皮尺测出线段的长度，、、、、在同一竖直平面内． 测量数据 ，，米． 结果 ．．． 请你根据“综合与实践”小组同学的测量方案及测量数据，求出旗杆的高度． 【答案】米 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．通过已知条件，证明，可得，据此即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 答：旗杆的高度为米． 【变式5-1】如图，某校学生为测量点到河对面的目标之间的距离，他们在点同侧选择了一点，测得，，然后在处立了标杆，使，为了测量，之间的距离，他们应该（    ）    A．直接测量的长 B．测量的长 C．测量的度数 D．先作，交于点，再测量的长 【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定及性质解答即可 【详解】解：为了测量，之间的距离，他们应该先作，交于点，再测量的长， 理由：因为，， 所以， 因为，， 所以， 所以， 故选：D    【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：． 【变式5-2】如图，太阳光线与是平行的，同一时刻垂直于地面的两根木杆在太阳光照射下的影子一样长，那么这两根木杆高度相同，这利用了全等的性质，其中判断的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据平行线的性质可得，根据题意可得，，然后利用判定． 【详解】解：， ， 两根木杆的影子一样长， ， 又， 在和中， ， ， 故选：B． 【变式5-3】（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，太阳光下有两根垂直于地面的等长竹竿与，且两根竹竿的影子分别为和，已知太阳光线．小明同学经过探究得结论：．请问他的结论正确吗？请给出理由． 【答案】小明的结论正确，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，证明即可解答． 【详解】解：小明的结论正确， 理由如下：由题意得， ． ， ． 在与中， ， ， ，即， 小明的结论正确． 【题型6 利用全等设计测量方法】 【例6】（25-26八年级上·山西临汾·期末）下面为“科技闪耀”数学兴趣小组在完成项目式学习“测量公路弯道改直后的长度”之后撰写的项目报告，根据报告内容完成相应任务． 项目主题 测量公路弯道改直后的长度 项目背景 某地一段绕山公路，由于弯度较大，易发生交通事故．“科技闪耀”数学兴趣小组拟设计并向市政部门提出改造方案——将这段弯道公路改直．于是在弯道两端确定两点，，作为改直部分的起点与终点．为顺利完成设计，需实地测量的长度，但受地势限制，无法直接测量 驱动问题 如何利用数学知识或数学原理测量公路弯道改直后的长度？ 测量方案 测量步骤： 1．升空无人机到达处，此时可直接看见，两点； 2．用激光测距仪分别测量处到和的距离，用测角仪测量处观察点的俯角（水平线与视线的夹角），并测量观察，两点的视角； 3．沿方向（与平行）以的速度匀速飞行，到达处，继续用激光测距仪测量处到的距离，用测角仪测量处观察点的俯角． 说明：点，，在同一条直线上，点，，，，在同一竖直平面内 记录数据 ，，，，， …… …… 任务： (1)图中与全等吗？若全等，请予以证明；若不全等，请说明理由． (2)请计算的长度． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． （1）由平行得到，，然后证明出； （2）由得到，然后然后求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：．证明如下： 因为， 所以． ，， ， 所以， ． 在和中， ； （2）解：由（1）可知， ． ， ， 即的长度为． 【变式6-1】（24-25七年级下·陕西汉中·期末）学习《利用三角形全等测距离》后，数学兴趣小组同学就“测量河两岸A，B两点间距离”这一问题，设计了如下方案． 课题 测量河两岸A，B两点间距离 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 ①在点B所在河岸同侧的平地上取点和点，使得点在一条直线上，且（）； ②测得 ③在的延长线上取点，使得 ④测得的长度为30米． (1)两点间距离是____________米． (2)请你说明方案正确的理由． 【答案】(1)30 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键． （1）直接猜想两点间距离是米． （2）由三角形内角和定理，得出，进而证明，推出，即可求解． 【详解】（1）解：两点间距离是米； （2）解：， ． ， ． 在和中， ， ． ， ， 米， 即、两点间的距离为30米． 【变式6-2】朵朵站在河边的点处，观察河对面（正北方向）点处的一棵大树，她想知道自己距离大树有多远，可身边没有测量工具，于是她运用本学期学到的知识设计了如下方案：她以相同的步子向正西方向走了50步到达一电线杆点处，接着继续向正西方向走了50步到达点处，然后再向正南方向行走，当看到电线杆，大树与自己现在所处的位置在同一直线上时停止，朵朵一共走了140步．    (1)根据题意，画出朵朵测量方案的示意图； (2)如果朵朵一步大约，请计算朵朵在点处时与点处的这棵大树的距离，并说明理由． 【答案】(1)见详解． (2)20m， 理由见详解． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质的应用，根据全等三角形的判定和性质解题即可． （1）根据题意，画出图形． （2）根据图形，证明，推出，进而得出答案． 【详解】（1）解：根据题意，作图如下：    （2）由题意得知：， ， ， 在和中， ， 所以， 所以． 【变式6-3】（25-26八年级上·河南信阳·月考）综合与实践 问题情境：如图1，学校有一块三角形空地，其中米，米，米．点D在边上，点E在边上，米，米，在范围内种植谷物，在剩余空地上需要分割出一块三角形空地种植玉米（点C为种植玉米三角形空地的一个顶点），其面积与种植谷物的面积相同． (1)种植谷物的面积为___________平方米； (2)可以利用全等三角形面积相等的方法设计方案： ①如图2，在边上取一点G，在边上选取点H，当时，即可使种植玉米的面积与种植谷物的面积相同，求此时的长； ②还有其他全等情况也符合设计要求（点G在边上，点H在边上），请直接写出其他符合设计要求的方案中的长：___________米； (3)还可以利用中线分割的方法设计方案：如图3，选取的中点P，连接，选取的中点Q，连接，则即为符合条件的种植玉米的三角形空地．请说明此方法的正确性． 【答案】(1)6； (2)①米；②6； (3)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形中线的性质，灵活运用各知识点是解答本题的关键． （1）利用三角形的面积公式计算即可； （2）①当时，米，进而可求出的长； ②当时，米，进而可求出的长； （3）根据中线的性质求出的面积，即可判断畅畅的想法是否正确． 【详解】（1）解：因为，米，米， 所以种植谷物的面积（平方米）． 故答案为：6； （2）①因为， 所以米， 所以（米）； ②因为, 则当时， 米， 所以（米）； 故答案为：6 （3）解：因为米，米， 所以（平方米）． 因为P是的中点， 所以平方米． 因为Q是的中点， 所以平方米． 所以， 所以此想法正确． 【题型7 判断测量方案是否正确】 【例7】如图，小明站在堤岸凉亭点处，正对他的点停有一艘游艇，他想知道凉亭与这艘游艇之间的距离，于是制定了如下测量方案． 课题 测量凉亭与游艇之间的距离 测量工具 皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 小明沿堤岸走到电线杆旁； 再往前走相同的距离，到达点（即）； 然后他向左直行，当看到电线杆与游艇在一条直线上时停下来． 测量结果 ，，米 (1)凉亭与游艇之间的距离是______米； (2)请你说明小明做法的正确性． 【答案】(1)； (2)理由见解析． 【分析】（）由的长即可得到凉亭与游艇之间的距离； （）证明三角形全等，即可说明小明做法的正确性； 本题考查了全等三角形在实际生活中的运用，证明是解题的关键． 【详解】（1）凉亭与游艇之间的距离是米， 故答案为：； （2）理由： 因为，， 所以， 在与中， ， 所以， 所以米． 【变式7-1】（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·月考）如图，为一面墙，梯子斜靠在墙面上，为了方便测量梯子顶部A距离地面的高度小明设计的方案如下： ①测量的角度；②使梯子缓慢下滑，使得______，标记此时梯子的底端点D；③此时______的长度即为梯子顶部A距离地面的高度． (1)补全设计方案，并说明小明设计方案的正确性； (2)测得，，求梯子底端向后滑动的距离． 【答案】(1)，，证明见解析 (2)梯子底端向后滑动的距离为． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定， （1）先补全方案，再根据证明，再根据全等三角形的性质得出答案． （2）根据全等三角形的对应边相等可得答案． 【详解】（1）解：补全方案：①测量的角度；②使梯子缓慢下滑，使得，标记此时梯子的底端点D；③此时的长度即为梯子顶部A距离地面的高度． 由题意可知，，， 在和中，， 所以 ， 所以． （2）解：因为， 所以，． 因为，， 所以， 所以． 所以梯子底端向后滑动的距离为． 【变式7-2】如图，为一面墙，梯子斜靠在墙面上，为了方便测量梯子顶部A距离地面的高度小航设计的方案如下： ①测量的角度；②使梯子缓慢下滑，使得∠___________=，标记此时梯子的底端点D；③此时___________的长度即为梯子顶部A距离地面的高度． (1)补全设计方案，并说明小航设计方案的正确性； (2)测得，，求梯子下滑的高度. 【答案】(1)，，说明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定， 对于（1），根据证明，再根据全等三角形的性质得出答案； 对于（2），根据全等三角形的对应边相等可得答案． 【详解】（1）①测量的角度；②使梯子缓慢下滑，使得，标记此时梯子的底端点D；③此时的长度即为梯子顶部A距离地面的高度． 故答案为：，． 由题意可知，，， 在和中，， 所以 ， 所以． （2）由， 所以，． 因为，， 所以（m）． 所以梯子下滑的高度为． 【变式7-3】（25-26七年级上·山东东营·期中）综合与实践某校“综合与实践”小组开展了测量游乐园秋千高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如表． 课题 测量游乐园秋千 成员 组长：小明组员：小华、小丽、小红 工具 卷尺（受卷尺长度限制，无法直接测量秋千长度），量角器 测量示意图 如图所示，平台B处荡秋千到平台C处，垂直于地面，点A为秋千静止时在上的位置．过平台B、C分别作的垂线段、，即于点D，于点E． 测量数据 测量项目 测量大小 点B距地面高度 的长度 的长度 的太小 (1)猜想与的关系，并说明理由； (2)根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出秋千的长度． (3)请求出秋千离地面的最小距离． 【答案】(1)，理由见详解 (2) (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）利用证明即可． （2）利用全等三角形的性质求解即可． （3）根据题干所给数据计算即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 因为于点D，于点E， 所以， 因为平台B处荡秋千到平台C处， 所以， 因为， 所以， 所以， 在和中， ， 所以 （2）解：因为 所以， 在中， （3）由题意知，，， 所以 ， 答：秋千离地面的最小距离为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $