17.2平行四边形的判定（3知识点+11题型+过关检测）2025-2026学年八年级数学下册同步培优讲义（华东师大版）

17.2 平行四边形的判定 （3知识点+11题型+过关检测） 【题型1 判断能否构成平行四边形】 3 【题型2 添加一个条件成为平行四边形】 7 【题型3 平行四边形的个数】 9 【题型4 求与已知三点组成平行四边形的点的个数】 12 【题型5 证明四边形是平行四边形】 16 【题型6 利用平行四边形的判定与性质求解】 19 【题型7 利用平行四边形性质和判定证明】 23 【题型8 平行四边形性质和判定的应用】 27 【题型9 与三角形中位线有关的求解问题】 31 【题型10 与三角形中位线有关的证明】 36 【题型11 三角形中位线的实际应用】 41 1. 知识与技能：理解并牢记平行四边形的5种判定方法（定义、边、角、对角线相关判定），掌握三角形中位线的定义及定理；能准确表述判定方法和中位线定理，区分平行四边形的判定与性质，熟练掌握各类判定方法的适用场景。 2. 过程与方法：经历“猜想—验证—证明”的探究过程，理解平行四边形判定定理与性质定理的互逆关系，提升合情推理与演绎推理能力；能运用判定方法和中位线定理，解决判断、添加条件、证明、计算及实际应用等问题，培养几何直观和逻辑推理素养。 3. 情感态度与价值观：体会数形结合、转化的数学思想，感受平行四边形判定在生活中的广泛应用；通过动手探究、规范推理，培养严谨的数学思维习惯和合作探究意识，提升对几何知识的学习兴趣和应用能力。03 知识•梳理 知识点1：平行四边形的判定方法（核心重点） 平行四边形的判定方法共5种，其中定义是最基础的判定方法，其余4种均为定理，可结合已知条件灵活选用，注意区分判定与17.1所学的性质（性质是“已知平行四边形，推边角关系”，判定是“已知边角关系，推平行四边形”）。 1. 定义判定法（最基础，必记） 两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 表述：若四边形ABCD中，AB∥CD且AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形（记作“▱ABCD”）。 关键点：必须满足“两组对边分别平行”，缺一不可；定义既是判定方法，也是平行四边形的基本性质，可双向使用。 易错点：不可只凭“一组对边平行”就判定为平行四边形（如梯形只有一组对边平行，不是平行四边形）。 2. 边的判定法（两种，高频考点） （1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 表述：若四边形ABCD中，AB=CD且AD=BC，则四边形ABCD是平行四边形。 （2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（“平行且相等”需同时满足）。 表述：若四边形ABCD中，AB∥CD且AB=CD（或AD∥BC且AD=BC），则四边形ABCD是平行四边形。 关键点：第二种边的判定法，必须同时满足“平行”和“相等”，缺一不可；不可混淆“一组对边平行、另一组对边相等”（这种情况不一定是平行四边形，如等腰梯形）。 3. 角的判定法 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 表述：若四边形ABCD中，∠A=∠C且∠B=∠D，则四边形ABCD是平行四边形。 关键点：可由“两组对角分别相等”推导出“两组对边分别平行”（利用邻角互补，两直线平行），进而结合定义判定平行四边形；较少单独使用，常结合其他判定方法辅助证明。 4. 对角线的判定法 对角线互相平分的四边形是平行四边形。 表述：若四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，且AO=OC、BO=OD，则四边形ABCD是平行四边形。 易错点：不可误认为“对角线相等”“对角线互相垂直”是平行四边形的判定条件（矩形对角线相等、菱形对角线互相垂直，它们是特殊平行四边形，普通平行四边形无此性质）。 知识点2：三角形中位线（核心重点，衔接平行四边形判定） 1. 三角形中位线的定义 连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。 关键点：① 中位线是“线段”，不是直线或射线；② 必须连接“两边中点”，连接顶点与对边中点的线段是中线，不是中位线；③ 一个三角形有3条中位线。 2. 三角形中位线定理（必记、必用） 三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。 表述：若DE是△ABC的中位线（D、E分别是AB、AC的中点），则DE∥BC且DE=½BC。 关键点：① 定理包含两个结论：“平行于第三边”和“等于第三边的一半”，可单独使用其中一个（如只需要平行关系，或只需要长度关系）；② 中位线定理常与平行四边形的判定结合使用，推导线段平行、相等关系。 3. 三角形中位线的补充说明 ① 三角形的中位线把原三角形分成两个相似三角形，相似比为1:2；② 三角形的3条中位线围成的图形是平行四边形（可利用中位线定理和平行四边形判定证明）；③ 中位线定理可用于快速求线段长度、证明直线平行，是几何证明和计算的常用工具。 知识点3：平行四边形判定与性质的区别与联系（易错点突破） 1. 区别 性质：已知四边形是平行四边形 → 推导其边、角、对角线的关系（由“形”推“关系”）； 判定：已知四边形的边、角、对角线关系 → 推导其是平行四边形（由“关系”推“形”）。 2. 联系 判定方法与性质定理互逆（如“平行四边形对边相等”的逆命题是“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”）；解题时常结合使用（如先判定四边形是平行四边形，再利用其性质求角度、线段长度）。 03 知识•梳理 【题型1 判断能否构成平行四边形】 核心思路：紧扣平行四边形的5种判定方法，结合题干给出的条件（边、角、对角线关系），逐一匹配判定条件，只要满足任意一种判定方法，即可构成平行四边形；若均不满足，则不能构成。 【典例1】．依据图中所标数据，能判定四边形为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定定理分别判断即可． 【详解】解：A、∵，， ∴一组对边平行，另一组对边不平行， ∴图中的四边形不一定是平行四边形，故A不符合题意； B、∵，， ∴一组对边平行，另一组对边相等， ∴图中的四边形不一定是平行四边形，故B不符合题意； C、∵，， ∴一组对边平行且相等， ∴图中的四边形是平行四边形，故C符合题意； D、∵， ∴一组对边相等， ∴图中的四边形不一定是平行四边形，故D不符合题意． 跟随训练1-1．下列能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．一组对边平行，另一组对边相等 B．一组对边平行，一组邻角互补 C．一组对边相等，一组邻角互补 D．一组对边平行，另一组对边也平行 【答案】D 【分析】根据平行四边形的定义和判定定理，对各选项逐一判断即可得到结果． 【详解】解：A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，不能判定是平行四边形，故A不符合题意． B. 一组对边平行，一组邻角互补的四边形可能是直角梯形，不能判定是平行四边形，故B不符合题意． C. 一组对边相等，一组邻角互补，无法推出两组对边平行或相等，不能判定是平行四边形，故C不符合题意． D. 四边形一组对边平行，另一组对边也平行，即两组对边分别平行，根据平行四边形的定义，可知该四边形是平行四边形，故D符合题意． 故选D． 跟随训练1-2．下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是____________（填序号）． ①，； ②，； ③，； ④，． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了平行四边形的判定方法、熟练掌握平行四边形的判定方法是解决问题的关键． 根据平行四边形的判定定理，一组对边平行且相等可以判定平行四边形． 【详解】解：对于①，，，不能保证另一组对边平行或相等，故不能判定； 对于②，，，满足一组对边平行且相等，故能判定； 对于③，，，满足一组对边平行且相等，故能判定； 对于④，， 又 ∴四边形是平行四边形，故能判定． 故答案为：②③④． 跟随训练1-3．一个四边形，对于下列条件：一组对边平行，一组对角相等；一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分；一组对边相等，一条对角线被另一条对角线平分；两组对角的平分线分别平行，其中能判定为平行四边形的有___________（填序号）． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键； 根据平行四边形的判定定理，逐一分析各条件是否满足判定要求即可． 【详解】解：对于条件①，一组对边平行且一组对角相等，根据平行四边形的判定定理，可证明另一组对边也平行，从而判定为平行四边形； 已知：,, 求证：四边形是平行四边形， 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 对于条件②，一组对边平行且一条对角线被另一条对角线平分，可通过全等三角形证明对角线互相平分，从而判定为平行四边形； 已知：，对角线平分， 求证：四边形是平行四边形， 证明：∵， ∴， ∵对角线平分， ∴， 又∵， ∴， ∴, 又∵， ∴四边形是平行四边形； 对于条件③，一组对边相等且一条对角线被另一条对角线平分，“一组对边相等 + 一条对角线被另一条平分” 无法推出三角形全等，缺少 “夹角相等” 或 “另一组对边相等” 的条件，不能满足平行四边形的判定定理； 对于条件④，两组对角的平分线分别平行，可推导出两组对角分别相等，根据平行四边形的判定定理，可判定为平行四边形； 已知：，分别平分，，且，，分别平分，,且， 求证：四边形是平行四边形， 证明：∵分别平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵分别平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ， ∴， 同理可证， ∴四边形是平行四边形； 故答案为：①②④． 【题型2 添加一个条件成为平行四边形】 核心思路：先观察题干已给出的条件（边、角、对角线关系），结合平行四边形的判定方法，补充一个条件，使现有条件+补充条件能满足任意一种判定方法，优先选择最简单、最直接的条件（如对边相等、对边平行等）。 【典例2】．在四边形中，已知，与交于点，则添加下列条件能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质，掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键． 已知，结合各选项条件，利用平行线性质、全等三角形判定与性质、平行四边形判定定理，判断能否推出四边形是平行四边形即可． 【详解】解：∵， ∴ A、若，四边形可能是等腰梯形，不能判定为平行四边形，不符合题意； B、∵， ∴，， ∵， ∴ ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形，符合题意， C、由本身即可推出，无法额外判定四边形是平行四边形，不符合题意； D、无法推出或，不能判定四边形是平行四边形，不符合题意． 故选：B． 跟随训练2-1．如图，在四边形中，，，求证：四边形是平行四边形．珍珍发现答案中是根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”来证明的，则被墨迹覆盖住的条件可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知条件中有，因此被覆盖住的条件应为，或者能够推导出． 【详解】解：A．添加后，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，不合题意； B．由可得，仅有一组对边平行，不能证明四边形是平行四边形，不合题意； C．添加后，一组对边平行，另一组对边相等，不能证明四边形是平行四边形，不合题意； D．由可得，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，符合题意． 跟随训练2-2．如图是一个已标有部分数据的四边形，若添加一个条件，能使四边形是平行四边形，则这个条件可以是：_____（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题先通过已知的和，计算得出，依据“同旁内角互补，两直线平行”得到，再结合平行四边形的判定定理，得出添加，或、等条件，都能判定四边形是平行四边形． 【详解】解：已知  ， ，则， 根据同旁内角互补，两直线平行，可得， 根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，或两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 因此添加，或、都可判定四边形是平行四边形． 故这个条件可以是：，答案不唯一，也可填、等． 跟随训练2-3．如图，平行四边形的对角线交于点O，E，F是对角线上两点，添加一个能判定四边形是平行四边形的条件：________． 【答案】E，F分别是，的中点（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 首先由平行四边形得到，，然后结合中点性质得到，即可判定四边形是平行四边形． 【详解】添加的条件：E，F分别是，的中点 证明：四边形是平行四边形， ，， 、F分别是、的中点， ，， ， 四边形是平行四边形． 【题型3 平行四边形的个数】 核心思路：结合图形特点（如网格、线段平行关系、中点等），利用平行四边形的判定方法，逐一找出所有符合条件的平行四边形，避免重复或遗漏，可按“从小到大”“从左到右”的顺序排查。 【典例3】．如图，点分别在边，上，，，，则图中的平行四边形共有（   ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据有两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证明四边形，四边形，四边形是平行四边形． 【详解】解：∵，， ∴， ， 四边形，四边形，四边形是平行四边形， ∴图中一共有平行四边形个． 跟随训练3-1．如图，在中，，分别是，的中点，则图中的平行四边形一共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，掌握利用中点条件结合平行四边形性质，有序找出所有满足判定的四边形是解题的关键． 利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合中点条件，有序找出所有满足平行四边形判定的四边形，避免遗漏． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，分别是的中点 ∴ ， ， ， ∴ 根据平行四边形的判定定理，图中的平行四边形有： 四边形：已知条件； 四边形：∵且； 四边形：∵且； 四边形：∵且； 四边形：且； 四边形：且； 综上，图中共有个平行四边形． 故选：D． 跟随训练3-2．如图，和都可以由平移得到，则图中共有____________个平行四边形． 【答案】3 【详解】解：∵和都可以由平移得到， ∴，，， ∴图中的平行四边形有，共三个， 故答案为：． 跟随训练3-3．如图①，在中，，则图①中的平行四边形有_____个；如图②，作，则图②中的平行四边形有_____个． 【答案】 3 9 【分析】本题考查了平行四边形的判定与有序计数．掌握“两组对边分别平行”的判定定理，并能有条理、不重不漏地识别图形中的所有平行四边形是解题的关键． 在已知平行四边形中，增加条件．利用平行四边形对边平行的性质，可推导出，由此，图形中被分割出的三个四边形、以及原四边形均满足两组对边分别平行，因此都是平行四边形，共有3个．在①的基础上，再作，此条件与原有平行关系结合，产生了更多平行线组，从而划分出更多小的平行四边形．计数时，需从不同大小、不同位置系统性地识别，包括由新交点G产生的小平行四边形（如）、原有的大平行四边形（如）以及新组合成的平行四边形（如）．通过有序枚举，共得到9个平行四边形． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， 又∵， ∴, ∴四边形、、均为平行四边形， 故图①中的平行四边形有3个． 设线段与线段交于点G， ∵， ∴， ∴四边形、、、、、、、、均为平行四边形， 故图②中的平行四边形有9个． 故答案为：3；9． 【题型4 求与已知三点组成平行四边形的点的个数】 核心思路：已知三点A、B、C，求能与这三点组成平行四边形的点D的个数，核心是利用“平行四边形的对角线互相平分”或“对边平行且相等”，分三种情况讨论（以AB、AC、BC分别为对角线），每种情况对应一个点D，共3个点（特殊情况除外）。 【典例4】．如图，在的正方形网格图中有、、三点，网格中以、、三点为顶点的平行四边形有（   ）个 A． B． C． D．无数 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的定义，解题的关键是掌握平行四边形的性质．分别以、为对角可画平行四边形． 【详解】解：如图，以为对角可画平行四边形，以为对角线可画平行四边形，共两个， 故选：B． 跟随训练4-1．在下面的网格图中有三个点，其中点和点在网格线的交点处，点在网格线上．请在本网格图中找出点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，符合要求的点有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形解答即可求解，掌握平行四边形的判定是解题的关键． 【详解】解：当为平行四边形的对角线时，点的位置如图所示： 当为平行四边形的对角线时，点的位置如图所示： ∴符合要求的点有个， 故选：． 跟随训练4-2．在一个虚拟的游戏世界地图中，以游戏中的城堡为原点建立平面直角坐标系，勇士A的坐标为，魔法师B的坐标为，弓箭手C的坐标为，游戏中要设置一个新点D，使它与勇士A、魔法师B、弓箭手C构成的四边形是平行四边形，则点D的坐标不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，通过中点坐标公式分三种情况讨论点的坐标：①以为对角线；②以为对角线；③以为对角线，计算出所有可能的点坐标后，对比选项即可确定不可能的坐标． 【详解】解：设，分三种情况讨论： ①当为平行四边形的对角线时， ∵对角线互相平分的四边形是平行四边形， ∴、的中点和、的中点重合． 、的中点为，、的中点为， 则，解得，即； ②当为平行四边形的对角线时， 同理，、的中点和、的中点重合． 则，解得，即； ③当为平行四边形的对角线时， 同理，、的中点和、的中点重合． 则，解得，即； 综上，点的坐标可能是、、，不可能是． 跟随训练4-3．已知平面直角坐标系中、、，若以A、B、C、D点为顶点作平行四边形，则点D的坐标为______． 【答案】或或 【分析】分情况讨论：设点D的坐标为，当、为平行四边形对角线或当、为对角线或、为对角线时，根据两条对角线的中点坐标相同，据此列方程求解即可． 【详解】解：设点D的坐标为， 当、为平行四边形对角线时， 的中点坐标为，的中点坐标为， ， 解得， 点坐标为； 当、为对角线时， 的中点坐标为，的中点坐标为， ， 解得， 点坐标为； 当、为对角线时， 的中点坐标为，的中点坐标为， ， 解得， 点坐标为； 综上所述，点D的坐标为或或． 【题型5 证明四边形是平行四边形】 核心思路：根据题干给出的条件，选择合适的平行四边形判定方法（优先选择与已知条件最匹配的方法，简化证明过程），结合三角形全等、平行线的性质等，规范书写证明步骤，每一步标注依据。 【典例5】．下列说法中，①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形：②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；③对角线互相平分的四边形是平行四边形；④两组对角分别相等的四边形是平行四边形．正确的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据平行四边形的判定定理，对每个说法逐一判断，统计正确的个数即可． 【详解】解：∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，∴①正确， ∵一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，不是平行四边形，∴②错误， ∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，∴③正确， ∵四边形内角和为，两组对角分别相等，则邻角和为，可推出两组对边分别平行，∴两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④正确， 综上，正确的有①③④，共3个， 故选：B． 跟随训练5-1．如图，在四边形中，对角线，相交于点．下列条件能判定这个四边形是平行四边形的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【分析】根据平行四边形的判定方法即可判断. 【详解】解：A、，不能判定这个四边形是平行四边形，不符合题意； B、，不能判定这个四边形是平行四边形，不符合题意； C、，不能判定这个四边形是平行四边形，不符合题意； D、，能判定这个四边形是平行四边形，符合题意. 故选：D． 【点睛】本题考查平行四边形的判断、解题的关键是根据对角线互相平分的四边形是平行四边形进行判定． 跟随训练5-2．如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点．给出下列四个条件：①；②；③；④．其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（    ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 根据平行四边形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：①∵四边形是平行四边形， ， 又， ∴四边形是平行四边形； 故①能判定四边形是平行四边形，不符合题意； ②时，不能证明， 故②不能判定四边形是平行四边形； ③∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴， 在和中， ， ， 又， ，即， 又， ∴四边形是平行四边形； 故③能判定四边形是平行四边形，不符合题意； ④∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴， 在和中， ， ， 又， ，即， 又， ∴四边形是平行四边形； 故④能判定四边形是平行四边形，不符合题意； 综上所述，只有②不能判定四边形是平行四边形 故选：B． 跟随训练5-3．如图，在四边形中，，动点P从点A开始沿边向点D以的速度运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点B运动，P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为，连接，当______时，四边形是平行四边形． 【答案】6 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据平行四边形的判定方法，得到当时，四边形是平行四边形，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，， ∴， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴，解得； 故答案为：6． 【题型6 利用平行四边形的判定与性质求解】 核心思路：先利用平行四边形的判定方法，判定四边形是平行四边形，再利用平行四边形的性质（对边相等、对角相等、对角线互相平分等），求解角度、线段长度等未知量，实现“判定→性质→求解”的逻辑闭环。 【典例6】．如图，点是内一点，，，，点，，，分别是，，，的中点，若四边形DEFG的周长为，则长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中位线定理可知，四边形是平行四边形，根据平行四边形的周长是，可以求出，根据中位线定理可知，利用勾股定理即可求出的长度． 【详解】解：点，，，分别是，，，的中点， 、分别是和的中位线， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形的周长为， ， ， 又点、分别是、的中点， 是的中位线， ， ， ， . 故选：A. 跟随训练6-1．在四边形中，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形的对角相等，由此即可得到答案． 【详解】∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 跟随训练6-2．如图，中，，将沿对角线折叠，点D恰好落在延长线上的点处，交于点E，若，则的长为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，先根据轴对称的性质得出，，然后结合平行四边形的性质，求得，进而求出，再证明四边形是平行四边形，即可求得答案． 【详解】解：连接， 沿对角线折叠，点D恰好落在延长线上的点处， ，，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，，， ， 四边形是平行四边形， ． 跟随训练6-3．如图，在中，相交于点，点是和的中点，若，则__________． 【答案】 【分析】先根据平行四边形对角线互相平分的性质，求出、，结合判定为等腰三角形，过点作，得到，再由勾股定理算出的长度；接着由为的中点，根据三角形中位线定理，得是的中位线，从而得到的长度及；再由为的中点，求出的长度，证得与平行且相等，据此判定四边形为平行四边形，最后根据平行四边形对边相等的性质，得出，求出的长． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ，． ， ， 是等腰三角形． 如图，过点作于点，连接． ， 在中，由勾股定理得：． ∵点是的中点， ∴是的中位线， ，． ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ． 【题型7 利用平行四边形性质和判定证明】 核心思路：综合运用平行四边形的判定与性质，先通过判定证明一个四边形是平行四边形，再利用其性质推导线段相等、角相等、直线平行等结论，或先利用性质得出相关条件，再判定另一个四边形是平行四边形，实现“判定与性质”的灵活运用。 【典例7】5．如图，已知与关于点成中心对称，过点任作直线，分别交，于点，，下面的结论：点和点，点和点分别关于点成中心对称直线必经过点；四边形是中心对称图形；四边形与四边形的面积必相等；与成中心对称．其中正确的个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了成中心对称和中心对称图形的性质，关键是知识点的熟练应用； 根据中心对称的性质得出四边形是平行四边形，从而判断结论是否正确． 【详解】解：∵与关于点对称， ∴， ∴四边形是平行四边形，≌，≌ 即：点就是平行四边形的对称中心， ∴ ①点和点；点和点分别关于点成中心对称，正确； ②直线必经过点，正确； ③四边形是中心对称图形，正确； ④四边形与四边形的面积必相等，正确； ⑤与成中心对称，正确． 其中正确的个数为个． 故选：D ． 跟随训练7-1．如图，在中，，平分交于点D，交于点E，交于点F，有以下结论： ①四边形一定是平行四边形； ②保持的大小不变，改变的长度可使成立； ③保持的长度不变，改变的大小可使成立． 其中所有的正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的判定及性质，等腰三角形的判定，掌握相关知识是解题的关键． ①根据平行四边形的判定方法即可证明；②保持的大小不变，改变的长度，当时，可使成立．由平分和得到，从而，由平行四边形得到，从而．当时可得到，进而，从而．即可判断②．③改变的大小，保持的长度不变，由于，得到，从而，即可判断③． 【详解】解：①∵，， ∴四边形是平行四边形．故①正确． ②保持的大小不变，改变的长度，当时，可使成立． ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 当时，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴．故②正确． ③改变的大小，保持的长度不变，由于，则， 由②可得， ∴， ∵ ∴．故③错误． 故选：A． 跟随训练7-2．如图，已知与关于点O成中心对称，过点O作直线MN分别交AD，BC于点M，N．现有下列结论：①点M和点N，点B和点D分别关于点O对称；②直线BD必经过点O；③四边形ABCD是中心对称图形；④四边形DMOC和四边形BNOA的面积相等；⑤和关于点O成中心对称．其中正确的有________（填序号）． 【答案】①②③④⑤ 【分析】本题主要考查了中心对称的性质以及平行四边形的性质的运用，熟练掌握平行四边形的性质及中心对称图形的性质是解决此题的关键． 由于与关于点成中心对称，那么可得到、，即四边形是平行四边形，由于平行四边形是中心对称图形，且对称中心是对角线交点，可根据上述特点对各结论进行判断． 【详解】解：与关于点成中心对称， 、， ∴四边形是平行四边形， ∴点就是的对称中心，则有： ①点和点；和是关于中心的对称点，正确，符合题意； ②直线必经过点，正确，符合题意； ③四边形是中心对称图形，正确，符合题意； ④∵四边形是平行四边形， ∴四边形与四边形成中心对称， ∴四边形与四边形的面积相等，正确，符合题意； ⑤与关于点成中心对称，正确，符合题意； 其中正确的有①②③④⑤， 故答案为：①②③④⑤． 跟随训练7-3．在中，，，分别是边，的中点，延长到点，使，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)连结，交于点，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形的中位线定理，可知，，据此即可证明结论； （2）容易证明，，利用勾股定理求得的长度，进而可求得的长度． 【详解】（1）证明：∵，分别为，的中点， ∴，． ∴． ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）∵，， ∴，． ∵， ∴． 在中，， ∵四边形是平行四边形， ∴，． 在中，， ∴． 【题型8 平行四边形性质和判定的应用】 核心思路：将实际问题转化为几何问题，提取题干中的几何条件（如线段平行、相等，角度关系等），利用平行四边形的判定与性质，解决测量、图形拼接、折叠等实际问题，核心是“转化思想”的运用。 【典例8】．如图，在平行四边形中，cm，cm，点在边上以的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点出发，在上运动到点后返回点，其中一点到达终点时，两点同时停止运动，在运动过程中，当以，，，四点为顶点的四边形为平行四边形时，点运动的时间为（   ） A．2s B．s C．4s D．5s 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，进行分类讨论是解题的关键． 根据平行四边形的性质得出，分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：设经过t秒，以点，，，为顶点组成平行四边形， ∵在边上运动， ∴， ∵以点，，，为顶点组成平行四边形， ∴， 分以下情况：①点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：，不符合题意． ②点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：；符合题意． 点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：；不合题意． 点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：，不合题意． 故选：B． 跟随训练8-1．在平面直角坐标系中，互不重合的四个点，直线与x轴交于E点，直线与x轴交于F点，折线段E→D→F的长度记为，E→A→B→F的长度记为，E→A→C→B→F的长度记为，对于的大小关系，下列判断正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系以及平行四边形的判定与性质，根据题意得出、四边形是平行四边形是解题关键． 【详解】解：由题意得： ∵ ∴ ∵； ∴且 ∴四边形是平行四边形 ∴ ∴ 故选：C 跟随训练8-2．如图，将沿直线方向平移到的位置，D点在上，则的面积和两阴影部分面积之和的比值为_______． 【答案】1 【分析】本题考查平移的性质，平行四边形的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键．由平移性质可证明四边形为平行四边形，则可证面积为面积的一半，则题目可求． 【详解】解：∵将沿直线方向平移到的位置， ， ∴四边形为平行四边形， 与同底等高， ， ， ． 故答案为：1． 跟随训练8-3．已知：如图，在梯形中，，平分，，的延长线交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若的周长为，，求梯形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用边角边论证三角形全等； （2）延长交于，则四边形为平行四边形，进而论证，利用等量代换即可得到结论； （3）通过论证是直角三角形得到梯形的高为，利用梯形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）证明：延长交于， ∵， ∴四边形为平行四边形． ∴． ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴，即：， ∵， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 又∵， 在中 ∵， ∴， ∴， ∴ ． 【点评】本题考查了梯形性质的应用，求梯形的面积时关键是证明为直角三角形． 【题型9 与三角形中位线有关的求解问题】 核心思路：紧扣三角形中位线定理（平行于第三边，且等于第三边的一半），结合已知条件（如三角形边长、角度、平行关系等），求解线段长度、角度、周长等未知量，可结合平行四边形的性质辅助计算。 【典例9】．如图，是的中位线，的角平分线交于点，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角形中位线定理可得，，，由平行线的性质可得，由角平分线定义得到，因此，可得，求出，得到，即可得的长． 【详解】解：∵是的中位线， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 跟随训练9-1．如图，平行四边形的周长为48，对角线，相交于点，点是的中点，，则的周长是（   ） A．12 B．21 C．18 D．24 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质得到，结合题意得到，，由三角形周长的计算得到的周长，由此代入计算即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵平行四边形的周长为48， ∴， ∴， ∵点是线段的中点，点是线段的中点， ∴，是的中位线， ∴， ∴的周长 ． 跟随训练9-2．如图，在中，D、E、F分别是、、的中点，若的周长为，则的周长是 _______． 【答案】8 【分析】根据三角形中位线定理易得所求的三角形的各边长为原三角形各边长的一半，那么所求的三角形的周长就等于周长的两倍． 【详解】解：∵点D、E、F分别是、、的中点， ∴，，， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴， ∴的周长是． 跟随训练9-3．如图，在中，，，D是边上的一点，E是中点，F是的中点，连接，射线绕点A顺时针旋转 ，得到射线，过点F作，连接，取中点H，连． (1)求证：； (2)用等式表示，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和证明即可； （2）延长至点，使，连接、、，证明≌，得到，，证明，得到，最后结合中位线定理即可解题． 【详解】（1）证明：由题意知，， ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴； （2）解：；理由如下： 如图，延长至点，使，连接、、， 可知垂直平分， ∴，； ∵F是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； 由（1）知，， ∴， ， ； ∵， ∴； 在和中， ， ∴≌， ∴， ∵E是的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴． 【题型10 与三角形中位线有关的证明】 核心思路：利用三角形中位线定理（平行于第三边，且等于第三边的一半），结合平行四边形的判定、三角形全等、平行线的性质等，证明线段相等、直线平行、角相等，或证明某四边形是平行四边形。 【典例10】．如图，已知长方形，R，P分别是，上的点；E，F分别是，的中点，当点P在上从点B向点C移动，而点R不动时，那么下列结论成立的是（    ） A．线段的长逐渐增大 B．线段的长逐渐减少 C．线段的长不变 D．线段的长先增大后变小 【答案】C 【分析】如图，连接，证明出是的中位线，得到，进而求解即可． 【详解】解：如图，连接 ∵E，F分别是，的中点 ∴是的中位线 ∴ ∵点R不动 ∴的长度不变 ∴线段的长不变． 跟随训练10-1．如图，已知点在四边形的边上，且，平分，与交于点，分别与、交于点、．（1）；（2）；（3）；（4）四边形的周长最大值为10．以上说法正确的是个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据等边对等角得，再根据角平分线的定义得，然后根据三角形外角的性质得，即可得，进而解答（1）；根据“边角边”解答（2）即可；结合已知条件不能得出该结论，判断（3）；先说明是的垂直平分线，再设则，根据勾股定理得，进而得出，然后根据中位线的性质得，接下来结合四边形的周长为，最后结合完全平方公式的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴，则（1）正确； ∵平分， ∴． ∵， ∴，则（2）正确； 只有都是等边三角形，可得，由已知条件不能得出该结论，所以（3）不正确； ∵， ∴． ∵，， ∴是的垂直平分线，即． 设则， ∵， 即， 解得， ∴． ∵， ∴， ∴四边形的周长为， 当时，四边形的周长最大值为10，则（4）正确． 所以正确的有3个，C符合题意． 跟随训练10-2．如图，点，分别是，的中点，点，分别是，的中点，顺次连接，，，，若四边形是矩形，则与满足的条件是______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，矩形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据矩形的性质可得，根据三角形中位线的性质可得，即可得出． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵点，分别是，的中点，点，分别是，的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 跟随训练10-3．如图，在中，，点为边上一点，； (1)如图1，若，，，求点到直线的距离； (2)如图2，点为线段中点，点为线段上一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，若点恰好在线段上，连接，与线段交于点，连接，判断线段的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）过点作延长线于点，利用勾股定理求得，再利用，即可求解； （2）连接，交于点，通过导角得出，可知，证明，可得，即可证明，得，再利用直角三角形证明，得，最后利用中位线证明即可． 【详解】（1）解：过点作延长线于点， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即点到直线的距离为； （2）解：，理由如下： 如图，连接，交于点， 设， ∵，点为线段中点， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 由旋转知，， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴，     ∴， ∵点为线段中点， ∴． 【题型11 三角形中位线的实际应用】 核心思路：将实际问题转化为三角形中位线相关的几何问题，利用中位线定理“平行且等于第三边的一半”的性质，解决测量、距离计算、图形设计等实际问题，核心是构造三角形，找到中位线。 【典例11】．如图，为测量池塘两端A，B的距离，在池塘外选一点C，连接，，分别在线段，上取中点D，E，测得米，则的距离为（   ） A．7.5米 B．15米 C．22.5米 D．30米 【答案】D 【详解】解：∵点D、E分别是线段，的中点， ∴是的中位线， ∴米． 跟随训练11-1．游乐园中的跷跷板深受小朋友们的喜爱．如图，横板绕其中点上下摆动，立柱与地面垂直．若，则小朋友离地的最大距离为____________． 【答案】100 【分析】由题意可知，是的中点，且、都与地面垂直，因此．根据三角形中位线定理，在中，是中位线，利用中位线性质即可求出的长度． 【详解】解：∵ 是的中点，且，， ∴． ∴是的中位线． ∴． ∵， ∴． ∴小朋友离地的最大距离为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，解题关键是识别出是的中位线，从而利用中位线性质求出的长度． 跟随训练11-2．如图，已知是等腰三角形，，点D是边的中点，E是边上一点，连接．请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图(保留作图痕迹)． (1)若点E是边中点，如图(1)，作平行四边形； (2)若点E是边的四等分点，如图(2)，在上作一点P，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查无刻度的直尺作图，平行四边形的判定，等腰三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定与性质，平行线间的线段成比例，掌握知识点是解题的关键． （1）根据三角形的中线的性质作图即可； （2）先连接，交于点O，连接并延长，交于点F，连接，与的交点，即为点P，即可解答． 【详解】（1）解：如图(1)，平行四边形即为所求．理由如下： ∵E是边中点，点D是边的中点， ∴F是边的中点， ∴ ∴四边形是平行四边形． （2）如图(2)，点P即为所求．理由如下： ∵，点D是边的中点，， ∴，，， 即是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点E是边的四等分点， ∴ ∴． 跟随训练11-3．【综合与实践】 任务 如图1，测出水池A，B两点间的距离（水池有障碍物不能直接测量）． 测量工具 皮尺 皮尺的功能：直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度，长度单位：m）； 小明的测量及求解过程 测量过程 （1）如图2，在水池外选点C，用皮尺测得，； （2）分别在AC，BC上用皮尺测得，，测得． 求解过程 由测量可知： ∵，，，， ∴点M是AC的中点，点N是BC的中点， ∴MN是的_______． ∵， ∴_______m． (1)把小明的求解过程补充完整； (2)小明测出水池A，B两点间的距离的依据是_______． 【答案】(1)中位线， (2)三角形中位线定理 【分析】本题考查了三角形中位线定理的应用． （1）根据小明的求解过程补充即可； （2）根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】（1）由测量可知： ∵，，，， ∴点M是AC的中点，点N是BC的中点， ∴MN是的中位线． ∵， ∴． 故答案为：中位线，； （2）小明测出水池A，B两点间的距离的依据是三角形中位线定理． 故答案为：三角形中位线定理． 1．以下条件不能判断四边形是平行四边形的是（   ）05 过关•检测 A． B． C．，其中为对角线与的交点 D． 【答案】D 【详解】解：A、 ∵ ，即两组对边分别相等， ∴ 四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； B 、∵ ，即两组对边分别平行， ∴ 四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； C 、∵ ，即对角线互相平分， ∴ 四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； D 、∵ ， ∴ 四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，不能判定是平行四边形，故此选项符合题意． 2．如图，在中，，线段绕点B旋转一周，点D为点C的对应点，连接，E为的中点，连接，则的长不可能是（   ） A．1.1 B．2.1 C．3 D．3.1 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形中位线定理，旋转的性质，解题的关键是找出取最大值时C、E、F三点的位置关系． 取的中点F，得到是等边三角形，利用三角形中位线定理推出，当在上方且C、E、F三点共线时，有最大值． 【详解】解：由旋转的性质可得出． 取的中点F，连接． ∵，， ∴， ∴是等边三角形． ∵E、F分别是的中点， ∴． 如图，当在上方时， 如果C、E、F三点共线，则有最大值， 最大值为， ∴的长不可能是． 3．如图，四边形为平行四边形，平分交边于点，，垂足为点，若．按以下步骤作图： ①分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点和点； ②连接，与相交于点， ③连接，则线段的长为（    ） A．4 B．3.5 C．3 D．2.5 【答案】A 【分析】先由角平分线定义、平行四边形性质判断出是等腰三角形，进而由等腰三角形三线合一性质确定点为线段中点；再根据题中尺规作图得到点为线段中点，最后由三角形中位线的判定与性质求解即可． 【详解】解：平分， ， 在中，，则， ， 则为等腰三角形， 在等腰中，由可知点为线段中点， 又根据图中尺规作图可知是线段的垂直平分线，即点为线段中点， 是的中位线， 则． 4．如图，在四边形中，，，，点M，N分别是边，上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别是线段，的中点，则线段长度的最大值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】连接，根据中位线的性质得到，进而得到最大时，最大，根据勾股定理求出的最大值，据此解答即可． 【详解】解：如图，连接， 、分别是线段、的中点， ， 最大时，最大， 当点与重合时，最大，此时， ， 的最大值为1． 5．如图，在中，点是对角线上一点，过点作分别交于点，于点，连接、，若．则下列面积一定可以求得结果的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，过点作交于，交于，由是平行四边形可得，；进而得到四边形是平行四边形、四边形是平行四边形、四边形是平行四边形、四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质以及三角形面积间的关系即可解答． 【详解】解：如图，过点作交于，交于， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ，， ∵ ， ， ． 6．如图，中，分别是的中点，若，则_______；若，则_____． 【答案】 4 【分析】本题考查了三角形中位线定理．利用三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．可以求得、的长度． 【详解】解：分别是的中点， 是的中位线． ． 分别是的中点， 是的中位线． ． 7．如图，在中，点E，点F分别是的中点，连接，若平分，，则四边形的周长为______． 【答案】10 【分析】易得四边形是平行四边形，由等腰三角形的判定得，从而，即可求得最后结果． 【详解】解：在中，， 即， ∵点E，点F分别是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的周长为． 8．如图，在四边形中，，厘米，厘米，分别从同时出发，以1厘米/秒的速度由向运动，以2厘米/秒的速度由向运动．当一个点运动到终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为秒，则当_________时，直线将四边形截出一个平行四边形． 【答案】2或3 【分析】分两种情况讨论：①设t秒后四边形是平行四边形；根据题意得：厘米，厘米，由得出方程，解方程即可；②设经过x秒直线将四边形截出另一个平行四边形， 根据题意，得厘米，厘米， 则厘米，由得出方程，解方程即可． 【详解】解：①设经过t秒四边形是平行四边形， 根据题意，得厘米，厘米， 则厘米， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴， 解得， 即经过2秒四边形为平行四边形； ②设经过x秒直线将四边形截出另一个平行四边形， 根据题意，得厘米，厘米， 则厘米， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴ 解得． 综上，经过2秒或3秒直线将四边形截出一个平行四边形． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．注意要分情况讨论，不要漏解． 9．如图，在四边形中，，，分别是边的中点，则四边形的周长是______． 【答案】 【分析】由题意可得分别为的中位线，则有，，然后通过周长公式即可求解． 【详解】解：∵四边形中，，，分别是边的中点， ∴分别为的中位线， ∴，， ∴四边形的周长为：． 10．如图，是边长为1的等边三角形，取边中点E，作，，得到四边形，它的周长记作；取中点，作，，得到四边形，它的周长记作，…，照此规律作下去，则______． 【答案】 【分析】根据三角形的中位线求解，找规律可得，据此规律可求解. 【详解】解：∵是边长为1的等边三角形， ∴， ∵E是边中点，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， 同理：以此方法得到的四边形都为菱形，且边长为前一个菱形边长的， 即，，……，， ∴. 11．如图，四边形中，． (1)若，求的度数 (2)若M，N，E，F分别是，，，的中点，求证：． 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】（1）利用平行线的性质求解即可； （2）利用三角形中位线定理得到，推出，同理，再根据平行线的性质即可得到． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）证明：连接 又∵分别是的中点， ∴， ∴， 同理， ∵， ∴， ∴． 12．如图，在中，，分别是，上的点，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质．由平行四边形的性质得到，，进而得到，证明四边形是平行四边形，即可得到． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 13．如图，在中，是边的中点，分别是及其延长线上的点，． (1)求证：． (2)请连接，证明四边形是平行四边形 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用和是边的中点可以得到全等条件证明； （2）根据（1）的结论和平行四边形的判定，即可证明四边形是平行四边形． 【详解】（1）证明：， ． 是的中点， ． ， ． （2）证明：如图，连接 ， ，． 四边形是平行四边形． 14．如图，在中，D是边上的一点，是的中点，过A点作的平行线交的延长线于点，且，连接； (1)求证：； (2)请写出四个图中的三角形，并且每个三角形的面积都等于． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明，可得，再利用等量代换即可； （2）利用三角形中线的性质和平行线间的距离处处相等，结合平行四边形的性质即可得到答案 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ． （2）解：．理由如下： ∵， ∴， ，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴ 15．如图，已知中，点D、E分别在边、上，点F在上． (1)若，，求证：； (2)若D、E、F分别是、、的中点，连接，若四边形的面积为9，试求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】（1）根据可证，根据平行线的性质可证，等量代换可得，根据平行线的判定定理即可证明； （2）根据三角形中位线的性质得出，进而得出，根据三角形中线的性质可设，，进而得出，结合已知可求出x ，则可求，然后根据三角形中线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∴． 又∵， ∴， ∴． （2）解：∵D、F分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， 又∵， ∴， ∵点 F 是的中点， ∴设， ∵点 D 是的中点， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点 E 是的中点， ∴． 16．【三角形中位线定理】已知：在中，点D，E分别是边，的中点．直接写出和的关系为 ； 【应用】如图，在四边形中，点E，F分别是边，的中点，若，，，，则的度数为 度； 【拓展】如图，在四边形中，与相交于点E，点M，N分别为，的中点，分别交，于点F，G，．求证：． 【答案】[三角形中位线定理]，；[应用]135；[拓展]见解析 【分析】[三角形中位线定理]根据三角形中位线定理即可得到结论； [应用]连接，根据三角形中位线定理得到，，根据勾股定理的逆定理得到，计算即可； [拓展]取的中点，连接、，则、分别是、的中位线，由中位线的性质定理可得且，且，结合等腰三角形的判定和性质，平行线的性质即可得结论． 【详解】解：[三角形中位线定理]解：，； 理由：∵点，分别是边，的中点， ∴是的中位线， ∴，， 故答案为：，； [应用]解：如图所示，连接， ∵点，分别是边，的中点， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； [拓展]证明：取的中点，连接、．如图： ∵点，分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴且， 同理可得且． ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 17.2 平行四边形的判定 （3知识点+11题型+过关检测） 【题型1 判断能否构成平行四边形】 3 【题型2 添加一个条件成为平行四边形】 4 【题型3 平行四边形的个数】 4 【题型4 求与已知三点组成平行四边形的点的个数】 5 【题型5 证明四边形是平行四边形】 6 【题型6 利用平行四边形的判定与性质求解】 8 【题型7 利用平行四边形性质和判定证明】 8 【题型8 平行四边形性质和判定的应用】 10 【题型9 与三角形中位线有关的求解问题】 11 【题型10 与三角形中位线有关的证明】 12 【题型11 三角形中位线的实际应用】 14 1. 知识与技能：理解并牢记平行四边形的5种判定方法（定义、边、角、对角线相关判定），掌握三角形中位线的定义及定理；能准确表述判定方法和中位线定理，区分平行四边形的判定与性质，熟练掌握各类判定方法的适用场景。 2. 过程与方法：经历“猜想—验证—证明”的探究过程，理解平行四边形判定定理与性质定理的互逆关系，提升合情推理与演绎推理能力；能运用判定方法和中位线定理，解决判断、添加条件、证明、计算及实际应用等问题，培养几何直观和逻辑推理素养。 3. 情感态度与价值观：体会数形结合、转化的数学思想，感受平行四边形判定在生活中的广泛应用；通过动手探究、规范推理，培养严谨的数学思维习惯和合作探究意识，提升对几何知识的学习兴趣和应用能力。03 知识•梳理 知识点1：平行四边形的判定方法（核心重点） 平行四边形的判定方法共5种，其中定义是最基础的判定方法，其余4种均为定理，可结合已知条件灵活选用，注意区分判定与17.1所学的性质（性质是“已知平行四边形，推边角关系”，判定是“已知边角关系，推平行四边形”）。 1. 定义判定法（最基础，必记） 两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 表述：若四边形ABCD中，AB∥CD且AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形（记作“▱ABCD”）。 关键点：必须满足“两组对边分别平行”，缺一不可；定义既是判定方法，也是平行四边形的基本性质，可双向使用。 易错点：不可只凭“一组对边平行”就判定为平行四边形（如梯形只有一组对边平行，不是平行四边形）。 2. 边的判定法（两种，高频考点） （1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 表述：若四边形ABCD中，AB=CD且AD=BC，则四边形ABCD是平行四边形。 （2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（“平行且相等”需同时满足）。 表述：若四边形ABCD中，AB∥CD且AB=CD（或AD∥BC且AD=BC），则四边形ABCD是平行四边形。 关键点：第二种边的判定法，必须同时满足“平行”和“相等”，缺一不可；不可混淆“一组对边平行、另一组对边相等”（这种情况不一定是平行四边形，如等腰梯形）。 3. 角的判定法 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 表述：若四边形ABCD中，∠A=∠C且∠B=∠D，则四边形ABCD是平行四边形。 关键点：可由“两组对角分别相等”推导出“两组对边分别平行”（利用邻角互补，两直线平行），进而结合定义判定平行四边形；较少单独使用，常结合其他判定方法辅助证明。 4. 对角线的判定法 对角线互相平分的四边形是平行四边形。 表述：若四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，且AO=OC、BO=OD，则四边形ABCD是平行四边形。 易错点：不可误认为“对角线相等”“对角线互相垂直”是平行四边形的判定条件（矩形对角线相等、菱形对角线互相垂直，它们是特殊平行四边形，普通平行四边形无此性质）。 知识点2：三角形中位线（核心重点，衔接平行四边形判定） 1. 三角形中位线的定义 连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。 关键点：① 中位线是“线段”，不是直线或射线；② 必须连接“两边中点”，连接顶点与对边中点的线段是中线，不是中位线；③ 一个三角形有3条中位线。 2. 三角形中位线定理（必记、必用） 三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。 表述：若DE是△ABC的中位线（D、E分别是AB、AC的中点），则DE∥BC且DE=½BC。 关键点：① 定理包含两个结论：“平行于第三边”和“等于第三边的一半”，可单独使用其中一个（如只需要平行关系，或只需要长度关系）；② 中位线定理常与平行四边形的判定结合使用，推导线段平行、相等关系。 3. 三角形中位线的补充说明 ① 三角形的中位线把原三角形分成两个相似三角形，相似比为1:2；② 三角形的3条中位线围成的图形是平行四边形（可利用中位线定理和平行四边形判定证明）；③ 中位线定理可用于快速求线段长度、证明直线平行，是几何证明和计算的常用工具。 知识点3：平行四边形判定与性质的区别与联系（易错点突破） 1. 区别 性质：已知四边形是平行四边形 → 推导其边、角、对角线的关系（由“形”推“关系”）； 判定：已知四边形的边、角、对角线关系 → 推导其是平行四边形（由“关系”推“形”）。 2. 联系 判定方法与性质定理互逆（如“平行四边形对边相等”的逆命题是“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”）；解题时常结合使用（如先判定四边形是平行四边形，再利用其性质求角度、线段长度）。 03 知识•梳理 【题型1 判断能否构成平行四边形】 核心思路：紧扣平行四边形的5种判定方法，结合题干给出的条件（边、角、对角线关系），逐一匹配判定条件，只要满足任意一种判定方法，即可构成平行四边形；若均不满足，则不能构成。 【典例1】．依据图中所标数据，能判定四边形为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 跟随训练1-1．下列能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．一组对边平行，另一组对边相等 B．一组对边平行，一组邻角互补 C．一组对边相等，一组邻角互补 D．一组对边平行，另一组对边也平行 跟随训练1-2．下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是____________（填序号）． ①，； ②，； ③，； ④，． 跟随训练1-3．一个四边形，对于下列条件：一组对边平行，一组对角相等；一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分；一组对边相等，一条对角线被另一条对角线平分；两组对角的平分线分别平行，其中能判定为平行四边形的有___________（填序号）． 【题型2 添加一个条件成为平行四边形】 核心思路：先观察题干已给出的条件（边、角、对角线关系），结合平行四边形的判定方法，补充一个条件，使现有条件+补充条件能满足任意一种判定方法，优先选择最简单、最直接的条件（如对边相等、对边平行等）。 【典例2】．在四边形中，已知，与交于点，则添加下列条件能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 跟随训练2-1．如图，在四边形中，，，求证：四边形是平行四边形．珍珍发现答案中是根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”来证明的，则被墨迹覆盖住的条件可能是（    ） A． B． C． D． 跟随训练2-2．如图是一个已标有部分数据的四边形，若添加一个条件，能使四边形是平行四边形，则这个条件可以是：_____（写出一个即可）． 跟随训练2-3．如图，平行四边形的对角线交于点O，E，F是对角线上两点，添加一个能判定四边形是平行四边形的条件：________． 【题型3 平行四边形的个数】 核心思路：结合图形特点（如网格、线段平行关系、中点等），利用平行四边形的判定方法，逐一找出所有符合条件的平行四边形，避免重复或遗漏，可按“从小到大”“从左到右”的顺序排查。 【典例3】．如图，点分别在边，上，，，，则图中的平行四边形共有（   ）． A．个 B．个 C．个 D．个 跟随训练3-1．如图，在中，，分别是，的中点，则图中的平行四边形一共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 跟随训练3-2．如图，和都可以由平移得到，则图中共有____________个平行四边形． 跟随训练3-3．如图①，在中，，则图①中的平行四边形有_____个；如图②，作，则图②中的平行四边形有_____个． 【题型4 求与已知三点组成平行四边形的点的个数】 核心思路：已知三点A、B、C，求能与这三点组成平行四边形的点D的个数，核心是利用“平行四边形的对角线互相平分”或“对边平行且相等”，分三种情况讨论（以AB、AC、BC分别为对角线），每种情况对应一个点D，共3个点（特殊情况除外）。 【典例4】．如图，在的正方形网格图中有、、三点，网格中以、、三点为顶点的平行四边形有（   ）个 A． B． C． D．无数 跟随训练4-1．在下面的网格图中有三个点，其中点和点在网格线的交点处，点在网格线上．请在本网格图中找出点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，符合要求的点有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 跟随训练4-2．在一个虚拟的游戏世界地图中，以游戏中的城堡为原点建立平面直角坐标系，勇士A的坐标为，魔法师B的坐标为，弓箭手C的坐标为，游戏中要设置一个新点D，使它与勇士A、魔法师B、弓箭手C构成的四边形是平行四边形，则点D的坐标不可能是（    ） A． B． C． D． 跟随训练4-3．已知平面直角坐标系中、、，若以A、B、C、D点为顶点作平行四边形，则点D的坐标为______． 【题型5 证明四边形是平行四边形】 核心思路：根据题干给出的条件，选择合适的平行四边形判定方法（优先选择与已知条件最匹配的方法，简化证明过程），结合三角形全等、平行线的性质等，规范书写证明步骤，每一步标注依据。 【典例5】．下列说法中，①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形：②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；③对角线互相平分的四边形是平行四边形；④两组对角分别相等的四边形是平行四边形．正确的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 跟随训练5-1．如图，在四边形中，对角线，相交于点．下列条件能判定这个四边形是平行四边形的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 跟随训练5-2．如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点．给出下列四个条件：①；②；③；④．其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（    ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 跟随训练5-3．如图，在四边形中，，动点P从点A开始沿边向点D以的速度运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点B运动，P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为，连接，当______时，四边形是平行四边形． 【题型6 利用平行四边形的判定与性质求解】 核心思路：先利用平行四边形的判定方法，判定四边形是平行四边形，再利用平行四边形的性质（对边相等、对角相等、对角线互相平分等），求解角度、线段长度等未知量，实现“判定→性质→求解”的逻辑闭环。 【典例6】．如图，点是内一点，，，，点，，，分别是，，，的中点，若四边形DEFG的周长为，则长为（   ） A． B． C． D． 跟随训练6-1．在四边形中，，，若，则（    ） A． B． C． D． 跟随训练6-2．如图，中，，将沿对角线折叠，点D恰好落在延长线上的点处，交于点E，若，则的长为（   ） A．1 B． C． D． 跟随训练6-3．如图，在中，相交于点，点是和的中点，若，则__________． 【题型7 利用平行四边形性质和判定证明】 核心思路：综合运用平行四边形的判定与性质，先通过判定证明一个四边形是平行四边形，再利用其性质推导线段相等、角相等、直线平行等结论，或先利用性质得出相关条件，再判定另一个四边形是平行四边形，实现“判定与性质”的灵活运用。 【典例7】5．如图，已知与关于点成中心对称，过点任作直线，分别交，于点，，下面的结论：点和点，点和点分别关于点成中心对称直线必经过点；四边形是中心对称图形；四边形与四边形的面积必相等；与成中心对称．其中正确的个数为（     ） A． B． C． D． 跟随训练7-1．如图，在中，，平分交于点D，交于点E，交于点F，有以下结论： ①四边形一定是平行四边形； ②保持的大小不变，改变的长度可使成立； ③保持的长度不变，改变的大小可使成立． 其中所有的正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 跟随训练7-2．如图，已知与关于点O成中心对称，过点O作直线MN分别交AD，BC于点M，N．现有下列结论：①点M和点N，点B和点D分别关于点O对称；②直线BD必经过点O；③四边形ABCD是中心对称图形；④四边形DMOC和四边形BNOA的面积相等；⑤和关于点O成中心对称．其中正确的有________（填序号）． 跟随训练7-3．在中，，，分别是边，的中点，延长到点，使，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)连结，交于点，若，求的长． 【题型8 平行四边形性质和判定的应用】 核心思路：将实际问题转化为几何问题，提取题干中的几何条件（如线段平行、相等，角度关系等），利用平行四边形的判定与性质，解决测量、图形拼接、折叠等实际问题，核心是“转化思想”的运用。 【典例8】．如图，在平行四边形中，cm，cm，点在边上以的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点出发，在上运动到点后返回点，其中一点到达终点时，两点同时停止运动，在运动过程中，当以，，，四点为顶点的四边形为平行四边形时，点运动的时间为（   ） A．2s B．s C．4s D．5s 跟随训练8-1．在平面直角坐标系中，互不重合的四个点，直线与x轴交于E点，直线与x轴交于F点，折线段E→D→F的长度记为，E→A→B→F的长度记为，E→A→C→B→F的长度记为，对于的大小关系，下列判断正确的是（  ） A． B． C． D． 跟随训练8-2．如图，将沿直线方向平移到的位置，D点在上，则的面积和两阴影部分面积之和的比值为_______． 跟随训练8-3．已知：如图，在梯形中，，平分，，的延长线交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若的周长为，，求梯形的面积． 【题型9 与三角形中位线有关的求解问题】 核心思路：紧扣三角形中位线定理（平行于第三边，且等于第三边的一半），结合已知条件（如三角形边长、角度、平行关系等），求解线段长度、角度、周长等未知量，可结合平行四边形的性质辅助计算。 【典例9】．如图，是的中位线，的角平分线交于点，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 跟随训练9-1．如图，平行四边形的周长为48，对角线，相交于点，点是的中点，，则的周长是（   ） A．12 B．21 C．18 D．24 跟随训练9-2．如图，在中，D、E、F分别是、、的中点，若的周长为，则的周长是 _______． 跟随训练9-3．如图，在中，，，D是边上的一点，E是中点，F是的中点，连接，射线绕点A顺时针旋转 ，得到射线，过点F作，连接，取中点H，连． (1)求证：； (2)用等式表示，之间的数量关系，并证明． 【题型10 与三角形中位线有关的证明】 核心思路：利用三角形中位线定理（平行于第三边，且等于第三边的一半），结合平行四边形的判定、三角形全等、平行线的性质等，证明线段相等、直线平行、角相等，或证明某四边形是平行四边形。 【典例10】．如图，已知长方形，R，P分别是，上的点；E，F分别是，的中点，当点P在上从点B向点C移动，而点R不动时，那么下列结论成立的是（    ） A．线段的长逐渐增大 B．线段的长逐渐减少 C．线段的长不变 D．线段的长先增大后变小 跟随训练10-1．如图，已知点在四边形的边上，且，平分，与交于点，分别与、交于点、．（1）；（2）；（3）；（4）四边形的周长最大值为10．以上说法正确的是个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 跟随训练10-2．如图，点，分别是，的中点，点，分别是，的中点，顺次连接，，，，若四边形是矩形，则与满足的条件是______． 跟随训练10-3．如图，在中，，点为边上一点，； (1)如图1，若，，，求点到直线的距离； (2)如图2，点为线段中点，点为线段上一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，若点恰好在线段上，连接，与线段交于点，连接，判断线段的数量关系，并证明． 【题型11 三角形中位线的实际应用】 核心思路：将实际问题转化为三角形中位线相关的几何问题，利用中位线定理“平行且等于第三边的一半”的性质，解决测量、距离计算、图形设计等实际问题，核心是构造三角形，找到中位线。 【典例11】．如图，为测量池塘两端A，B的距离，在池塘外选一点C，连接，，分别在线段，上取中点D，E，测得米，则的距离为（   ） A．7.5米 B．15米 C．22.5米 D．30米 跟随训练11-1．游乐园中的跷跷板深受小朋友们的喜爱．如图，横板绕其中点上下摆动，立柱与地面垂直．若，则小朋友离地的最大距离为____________． 跟随训练11-2．如图，已知是等腰三角形，，点D是边的中点，E是边上一点，连接．请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图(保留作图痕迹)． (1)若点E是边中点，如图(1)，作平行四边形； (2)若点E是边的四等分点，如图(2)，在上作一点P，使得． 跟随训练11-3．【综合与实践】 任务 如图1，测出水池A，B两点间的距离（水池有障碍物不能直接测量）． 测量工具 皮尺 皮尺的功能：直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度，长度单位：m）； 小明的测量及求解过程 测量过程 （1）如图2，在水池外选点C，用皮尺测得，； （2）分别在AC，BC上用皮尺测得，，测得． 求解过程 由测量可知： ∵，，，， ∴点M是AC的中点，点N是BC的中点， ∴MN是的_______． ∵， ∴_______m． (1)把小明的求解过程补充完整； (2)小明测出水池A，B两点间的距离的依据是_______． 1．以下条件不能判断四边形是平行四边形的是（   ）05 过关•检测 A． B． C．，其中为对角线与的交点 D． 2．如图，在中，，线段绕点B旋转一周，点D为点C的对应点，连接，E为的中点，连接，则的长不可能是（   ） A．1.1 B．2.1 C．3 D．3.1 3．如图，四边形为平行四边形，平分交边于点，，垂足为点，若．按以下步骤作图： ①分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点和点； ②连接，与相交于点， ③连接，则线段的长为（    ） A．4 B．3.5 C．3 D．2.5 4．如图，在四边形中，，，，点M，N分别是边，上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别是线段，的中点，则线段长度的最大值为（    ） A．2 B． C．1 D． 5．如图，在中，点是对角线上一点，过点作分别交于点，于点，连接、，若．则下列面积一定可以求得结果的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，中，分别是的中点，若，则_______；若，则_____． 7．如图，在中，点E，点F分别是的中点，连接，若平分，，则四边形的周长为______． 8．如图，在四边形中，，厘米，厘米，分别从同时出发，以1厘米/秒的速度由向运动，以2厘米/秒的速度由向运动．当一个点运动到终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为秒，则当_________时，直线将四边形截出一个平行四边形． 9．如图，在四边形中，，，分别是边的中点，则四边形的周长是______． 10．如图，是边长为1的等边三角形，取边中点E，作，，得到四边形，它的周长记作；取中点，作，，得到四边形，它的周长记作，…，照此规律作下去，则______． 11．如图，四边形中，． (1)若，求的度数 (2)若M，N，E，F分别是，，，的中点，求证：． 12．如图，在中，，分别是，上的点，．求证：． 13．如图，在中，是边的中点，分别是及其延长线上的点，． (1)求证：． (2)请连接，证明四边形是平行四边形 14．如图，在中，D是边上的一点，是的中点，过A点作的平行线交的延长线于点，且，连接； (1)求证：； (2)请写出四个图中的三角形，并且每个三角形的面积都等于． 15．如图，已知中，点D、E分别在边、上，点F在上． (1)若，，求证：； (2)若D、E、F分别是、、的中点，连接，若四边形的面积为9，试求的面积． 16．【三角形中位线定理】已知：在中，点D，E分别是边，的中点．直接写出和的关系为 ； 【应用】如图，在四边形中，点E，F分别是边，的中点，若，，，，则的度数为 度； 【拓展】如图，在四边形中，与相交于点E，点M，N分别为，的中点，分别交，于点F，G，．求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $