江苏苏州市2025-2026学年高一下学期数学期中自编模拟卷

苏州高一数学 2025-2026学年第2学期期中模拟卷 一、单项选择题 1. 设复数满足，则它的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知平面向量，，若，则k＝（ ） A. B. 6 C. D. －6 3. 函数在上的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 和 4. 河水的流速为2，一艘小船想沿垂直于河岸方向以10的速度驶向对岸，则小船的静水速度为（ ） A. 10 B. C. D. 12 5. 1551年奥地利数学家､天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用（角）表示；锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用（角）表示，则（ ） A. B. C. 4 D. 8 6. 已知平面向量，满足，则在方向上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 已知的外接圆圆心为，点满足，若，，则（ ） A. B. C. D. 8. 有一直角转弯的走廊（两侧与顶部都封闭），已知走廊的宽度与高度都是3米，现有不能弯折的硬管需要通过走廊，设不计硬管粗细可通过的最大极限长度为l米．为了方便搬运，规定允许通过此走廊的硬管的最大实际长度为米，则m的值是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题 9. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，则的取值可能是（ ） A. B. C. 2 D. 10.（星海中学25年4月期中10题） 设，是复数，则下列说法正确的是（ ） A. 若是纯虚数，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则这些函数为“互为生成函数”．下列函数中，与构成“互为生成函数”的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12.函数在上的零点是______． 13. 把函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数是奇函数，则的值为________，若函数在区间上存在最大值2，则实数的取值范围为_____________. 14. 已知是边长为3的正所在平面内一点，且，则的最小值为______． 四、解答题 15.已知两个非零向量与不共线. （1）若，求证：三点共线； （2）试确定实数，使和共线. 16. 已知函数的最大值为． （1）求实数值； （2）将函数的图象向左平移个单位长度后得到偶函数的图象，当时，求函数的最小值． 17. 在中，角的对边分别为，已知. （1）若，且边的中线长为，求的面积； （2）若是锐角三角形，求的范围. 18. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知． （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形，求的取值范围； （3）若是外一点（，分别位于两侧），且，，，，求的值． 19. 已知函数. （1）设，为偶函数，若存在，使不等式成立，求实数的取值范围； （2）已知函数的图象过点，设，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏州高一数学 2025-2026学年第2学期期中模拟卷 一、单项选择题 1. 设复数满足，则它的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解． 【详解】， 复数的虚部为． 故选：B． 2. 已知平面向量，，若，则k＝（ ） A. B. 6 C. D. －6 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示进行求解. 【详解】因为，，， 所以，解得. 故选：A. 3. 函数在上的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 和 【答案】C 【解析】 【分析】利用整体代换法求解即可. 【详解】由， 得， 即单减区间为， 又，所以单减区间为. 故选：C 4. 河水的流速为2，一艘小船想沿垂直于河岸方向以10的速度驶向对岸，则小船的静水速度为（ ） A. 10 B. C. D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得到，结合向量的运算，即可求解. 【详解】设河水的流速为，小船在静水中的速度为，船的实际速度为， 则，，所以， 所以（），即小船在静水中的速度大小为. 故选：B. 5. 1551年奥地利数学家､天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用（角）表示；锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用（角）表示，则（ ） A. B. C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的定义，利用锐角三角函数的定义转化为角的正余弦，再利用二倍角公式、辅助角公式求解作答. 【详解】依题意，角可视为某直角三角形的内角， 由锐角三角函数定义及已知得， 所以. 故选：C 6. 已知平面向量，满足，则在方向上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，平方求得，结合投影向量的计算公式，即可求解； 【详解】由，，且， 平方得，解得， 所以在方向上的投影向量为. 故选：B. 7. 已知的外接圆圆心为，点满足，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设分别为的中点，由点为的重心，得到，又由是的外心，得到，根据平面向量的数量积的定义，化简得到，即可求解. 【详解】如图所示，设分别为的中点，连接， 因为点满足，可得点为的重心，所以， 又因为，所以， 又因为是的外心，所以， 因为，则 . 故选：A. 8. 有一直角转弯的走廊（两侧与顶部都封闭），已知走廊的宽度与高度都是3米，现有不能弯折的硬管需要通过走廊，设不计硬管粗细可通过的最大极限长度为l米．为了方便搬运，规定允许通过此走廊的硬管的最大实际长度为米，则m的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出硬管不倾斜，水平方向通过的最大长度AB，再利用勾股定理求出硬管倾斜后能通过的最大长度，即可得到答案. 【详解】如图示，先求出硬管不倾斜，水平方向通过的最大长度AB. 设,则. 过A作AC垂直内侧墙壁于C，B作BD垂直内侧墙壁于D，则. 在直角三角形中，,所以. 同理：. 所以. 因为（当且仅当且时等号成立）. 所以. 因为走廊的宽度与高度都是3米， 所以把硬管倾斜后能通过的最大长度为, 所以. 故选：A 二、多项选择题 9. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，则的取值可能是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由正弦定理得到或，分两种情况，求出答案. 【详解】因为， 由正弦定理得， 因为， 所以， 即， 所以，所以或． 当时，，因为，所以， 所以，，则， 当时，， 综上：值为或2. 故选：BC 10. 设，是复数，则下列说法正确的是（ ） A. 若是纯虚数，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A代入即可判断正误，对于B取特殊值验证即可，对于C设，求得即可判断正误，对于D设，代入验证即可求得. 【详解】对于A选项，，则，故A正确； 对于B选项，取，，则，但且，所以B错误； 对于C选项，设，则，所以，C正确； 对于D选项，设，则由得， 又，， 故成立，D正确． 故选：ACD． 11. 如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则这些函数为“互为生成函数”．下列函数中，与构成“互为生成函数”的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简各函数，然后根据平移变换逐一判断即可. 【详解】， 对A，可将图象向左平移个单位长度后，再向上平移个单位长度得到的函数图象，故A正确； 对B，，其振幅为，显然通过平移变化无法得到，故B错误； 对C，可将图象向左平移个单位长度后得到的函数图象，C正确； 对D， ， 可将图象向左平移个单位长度后，再向上平移个单位长度得到的函数图象，故D正确. 故选：ACD 三、填空题 12.函数在上的零点是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦函数的性质计算可得. 【详解】因为，令，即， 所以，解得， 所以函数在上的零点是. 故答案： 13. 把函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数是奇函数，则的值为________，若函数在区间上存在最大值2，则实数的取值范围为_____________. 【答案】 ①. 5 ②. 【解析】 【分析】应用辅助角公式得，结合图象平移及正弦型函数的奇偶性有，即可求参数，再由正弦型函数的区间最值有，即可得范围. 【详解】由题设， 所以为奇函数，则， 所以，又，故， 所以，若，则， 又函数在区间上存在最大值2，则. 故答案为：5， 14. 已知是边长为3的正所在平面内一点，且，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由可推出，进而可得，然后，然后运用二次函数的知识可得到答案. 【详解】已知，则， 又， 那么 展开可得 因为是边长为3的正三角形， 所以，且， 代入上式得， 所以， 所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 15.已知两个非零向量与不共线. （1）若，求证：三点共线； （2）试确定实数，使和共线. 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 分析】（1）根据平面向量共线定理证明即可得出结论； （2）利用共线定理构造方程组即可解得. 【小问1详解】 由可得； 显然，即共线， 又因为它们有公共点， 所以可得三点共线； 【小问2详解】 若和共线，且向量与不共线， 则存在实数满足，因此， 解得； 即存在，使和共线. 16.已知函数的最大值为． （1）求实数值； （2）将函数的图象向左平移个单位长度后得到偶函数的图象，当时，求函数的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式，结合可得出关于的等式，解之即可； （2）由三角函数图象变换可得出函数的解析式，根据的奇偶性以及的取值范围可得出的值，化简函数的解析式，再结合余弦型函数的基本性质可求出函数在区间上的最小值. 【小问1详解】 因为 ， 其中满足，， 所以，，解得. 小问2详解】 由（1）知，， 将函数的图象向左平移个单位长度后得到偶函数的图象， 则， 由题意可得，，可得， 因为，故，故， 当时，，故. 故当时，函数的最小值为. 17. 在中，角的对边分别为，已知. （1）若，且边的中线长为，求的面积； （2）若是锐角三角形，求的范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理得，求得，再由，联立方程组，求得，因为为边中线，得到，列出方程，求得，结合三角形的面积公式，即可求解； （2）由正弦定理，化简得到，再由是锐角三角形，求得，结合正切函数的性质，进而求得的取值范围. 【小问1详解】 解：在中，因为， 由余弦定理可得，即， 整理得，所以， 因为，所以， 又因为， 联立方程组，解得，所以， 因为为边中线，则， 所以， 可得，解得或（舍去）， 所以的面积为. 【小问2详解】 解：由正弦定理，可得 . 因为是锐角三角形，则，可得，所以， 因为，所以，则， 所以，所以. 18. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知． （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形，求的取值范围； （3）若是外一点（，分别位于两侧），且，，，，求的值． 【答案】（1） （2） （3）当时，的值为,当时，的值为. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理、两角和的正弦展开式化简可得答案； （2）求出的范围，利用两角和的正弦展开式化简可得答案； （3）在中，由余弦定理求出 ，在中，由余弦定理求出 或2，进而由余弦定理可得，利用两角和的正弦公式计算可得答案. 【小问1详解】 由，可得， ，则， 即， 在中，因为，所以，，所以. 【小问2详解】 因为为锐角三角形，，则，所以. ， 因为，所以，所以， 所以 即的取值范围. 【小问3详解】 在 中，由余弦定理 ， 在中，由余弦定理 或2， 又 ， 当时，， 所以，所以 . 当时，， 所以，所以 ， 综上，当时，的值为，当时，的值为. 19. 已知函数. （1）设，为偶函数，若存在，使不等式成立，求实数的取值范围； （2）已知函数的图象过点，设，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由函数偶函数得，结合已知即可得，再应用三角恒等变换化简并确定区间值域，由不等式能成立有，即可求范围； （2）根据已知得，将问题化为，结合三角函数、二次函数的性质求最值，进而列不等式求参数范围. 【小问1详解】 由为偶函数，则，，又，则， 所以，则 ， 存在，使不等式成立，则， 所以在上能成立，而， 所以； 【小问2详解】 由题设，且，则， 所以， 而，则，所以， 对任意的，总存在，使成立， 所以，即， 令，则，故， 当，则在上单调递增，此时，可得； 当，则在上单调递减，此时，可得； 当，则在上单调递增，在上单调递减，此时，可得； 综上，. 学科网（北京）股份有限公司 $