精品解析：江苏盐城市阜宁县2026年春学期九年级期中考试 数学试题

2026年春学期九年级期中考试数学试题 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数的直接求解即可． 【详解】解：与只有符号不同的数为， 的相反数是． 2. 剪纸是我国传统的民间艺术．下列剪纸作品中属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，属于应知应会题型，熟知轴对称图形的概念是关键；根据轴对称图形的定义：将一个图形沿着某条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，逐项判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，符合题意． 3. 生活中下列现象可以看作平移的是（ ） A. 在游乐场荡秋千 B. 翻开数学课本时书页的运动 C. 水平传送带上的物体的移动 D. 将一张纸对折 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平移的概念，平移是平面内图形沿某一方向移动一定距离，运动过程中图形的方向保持不变，所有点移动方向和距离都一致，据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A、荡秋千是绕固定点的旋转运动，图形方向不断改变，不符合平移定义； 选项B、书页翻动是绕书脊的旋转运动，图形方向改变，不符合平移定义； 选项C、中水平传送带上的物体沿水平方向移动，所有点移动方向相同，图形方向不变，符合平移定义； 选项D、纸对折是翻折变换，图形方向改变，不符合平移定义． 4. 2026年春运期间，全国铁路累计发送旅客亿人次，多项客流峰值刷新历史记录，彰显我国交通发展的辉煌成就．数据“亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，解题需先换算单位，再确定和的值． 【详解】解：亿． 5. 如图，是的弦，半径，垂足为点，设的半径为，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，由垂径定理得出，由勾股定理求出，即可求出． 【详解】解：连接， ∵是的弦，半径， ∴， 在中， ， ∴． 6. 如图，在扇形纸扇中，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】，根据弧长公式：，求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 7. 某校开展了红色经典故事演讲比赛，其中5名同学的成绩（单位：分）分别为：86，88，90，92，94，这组数据的方差是（ ） A. 7分 B. 8分 C. 9分 D. 10分 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查方差的计算，先求出这组数据的平均数，再代入方差公式计算即可得到结果，熟记方差计算方法是解题的关键． 【详解】解：这组数据的平均数为：， 则方差为分． 8. 我们规定：若，，则．例如，，则．已知，，且，则的最小值是（ ） A. 0 B. 1 C. 10 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据新的定义得到的表达式，再结合二次函数的性质得到在上，随的增大而增大，据此解答即可． 【详解】解：， 由于二次函数图象开口向上， 则在上，随的增大而增大， 当时，， 即的最小值是1． 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上） 9. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义， ∴， ∴． 10. 分解因式：__________． 【答案】## 【解析】 【分析】观察多项式，确定公因式为，使用提公因式法即可分解因式． 【详解】解：原式． 11. 已知圆锥的底面半径为3，母线为8，则圆锥的侧面积等于_______． 【答案】24π. 【解析】 【详解】试题分析：直接根据圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解： 圆锥的侧面积=2π×3×8÷2=24π. 考点：圆锥的计算． 12. 方程的解是_______ 【答案】x=9 【解析】 【分析】观察可得最简公分母是x（x-3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 【详解】解：方程的两边同乘x（x-3），得 3x-9=2x， 解得x=9． 检验：把x=9代入x（x-3）=54≠0． ∴原方程的解为：x=9． 故答案为：x=9． 13. 如图，四边形内接于，四边形是平行四边形，则的度数为__________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】根据圆周角定理得到，根据平行四边形的性质得到，根据圆内接四边形的性质得到，进而求出． 【详解】解：由圆周角定理得：， 四边形是平行四边形， ， 四边形内接于， ， ， ． 14. 《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六、问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为，可列方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据题中信息：每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱，列出方程，即可得到答案．本题考查了列一元一次方程解应用题，理解题意找等量关系是解题的关键． 【详解】解:设人数为，根据题意得， 故答案为：． 15. 如图，某景区内两条互相垂直的道路，交于点，景点，在道路上，景点在道路上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路上又开发了风景优美的景点．经测得景点位于景点的北偏西方向上，位于景点的北偏西方向上，景点位于景点的南偏东方向上．已知．则景点与景点之间的距离为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意易得到，进而得到，在中，，，利用求解即可． 【详解】解：景点位于景点的北偏西方向上， ， 景点位于景点的北偏西方向上， 、， ， ， ， 在中，， ， ，景点位于景点的南偏东方向上， ， ， ． 16. 如图，在中，，，将绕着点逆时针旋转得到，连接交于点，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】过点M作于点D，易得是等边三角形，设，则，利用勾股定理求出，证明，进而得到，即，利用求出，据此求解即可． 【详解】解：过点M作于点D， 由旋转的性质得：、， 是等边三角形， ， 设，则， 在中，由勾股定理得： ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， 即， 解得， ． 三、解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角函数的混合运算，分别根据负整数指数幂的运算法则、零指数幂，二次根式的性质、特殊角的三角函数值进行化简，再合并即得结果． 【详解】解： ． 18. 解不等式组，并写出所有整数解． 【答案】不等式组的解集为，不等式组的所有整数解为：，0，1 【解析】 【分析】先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，在其公共解集内找出符合条件的x的所有整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为． 不等式组的所有整数解为：，0，1． 19. 先化简，再求值：，其中，. 【答案】， 【解析】 【详解】解：原式， ， ， 当时，原式． 20. 如图，点，，，在同一直线上，，，若__________，则． 请从①；②；③这个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并加以证明． 【答案】或；证明见解析 【解析】 【分析】根据平行线的性质可得，再已知，故再确定一对等角证明三角形全等，或者一对等边根据证明即可，注意不可以证明全等． 【详解】解：方法一：选择作为条件； 证明：， ． ， ，即． 在和中， ， ， ． 方法二：选择作为条件； 证明：， ， 在和中， ， ， ． 21. 校园数学文化节期间，某班开展多轮开盲盒做游戏活动．每轮均有四个完全相同的盲盒，分别装着写有“．幻方”、“．数独”、“．华容道”、“．鲁班锁”游戏名称的卡片，每位参与者只能抽取一个盲盒，盲盒被抽取即作废． （1）若随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“．幻方”卡片的事件是__________事件，（填“必然”、“随机”或“不可能”） （2）若某轮只有小明与小天两位同学参加开盲盒游戏，两位同学依次抽取盲盒，请用画树状图法或列表法，求装着写有“．数独”和“．鲁班锁”卡片的盲盒都被抽取的概率． 【答案】（1）随机 （2） 【解析】 【分析】（1）根据随机事件的分类进行解答即可； （2）用列表法求出概率即可． 【小问1详解】 解：若随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“．幻方”卡片的事件是随机事件； 故答案为：随机 【小问2详解】 用表格列出所有可能的结果： 小明抽取的盲盒 小天抽取的盲盒 A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 由表格可知，共有12种可能的结果，并且它们的出现是等可能的． “装着写有B．数独和D．鲁班锁’卡片的盲盒都被抽取”记为事件，它的发生有2种可能． 22. 为更好地开展大课间活动，某校针对本校七年级学生对大课间活动实施情况的满意程度进行调查．从七年级学生中随机抽取20名学生进行问卷调查（满分100分，得分用表示，本次调查所有学生的得分均不低于60分，成绩按分数段划分为A，B，C，D四个等次），统计结果如下（其中两个原始数据因某种原因模糊，用■和★表示）： 60，72，62，，66，68，74，76，76，78，79，87，89，87，87，83，89，，94，96 数据统计表 分数段 等次 人数 m 6 6 扇形统计图 （1）统计表中__________，__________； （2）扇形统计图中等次B所占圆心角的度数为__________， （3）这20个数据的众数为__________，中位数为__________， （4）若该校七年级学生共有1000人，请估计评价结果为“D”等次的七年级学生有多少人？ 【答案】（1）3；5 （2） （3）87； （4）250人 【解析】 【分析】（1）由扇形图得A等次占比15%，据此求解即可； （2）利用“圆心角度数等次B所占频率”计算即可； （3）根据众数和中位数的定义求解即可； （4）先求出该次调查中D等次所占调查总量的频率，再利用“样本估计总体”的方法求解即可． 【小问1详解】 解：由扇形图得A等次占比15%， 则，； 【小问2详解】 解： 因此，扇形统计图中等次B所占圆心角的度数为； 【小问3详解】 解：87在数据中出现3次，是出现次数最多的数，因此众数为87； 20个数据的中位数是从小到大排列后第10、11个数的平均数， 由于分数段有5人，有6人， 则中位数位于分数段， 将分数段的数据从小到大排序为： 72，74，76，76，78，79， 因此中位数为； 【小问4详解】 解：（人） 因此，评价结果为“D”等次的七年级学生有250人． 23. 随着春季假期到来，研学旅行热潮持续升温，为进一步提升游客体验，让游客更深入感受自然与文化魅力，某景区正着力打造沉浸式旅游新场景，并计划采购一批帐篷．已知购买3个A型号的帐篷和2个B型号的帐篷共需3600元；购买5个A型号的帐篷和4个B型号的帐篷共需6400元． （1）求A，B两种型号的帐篷的单价； （2）据统计，该景区需购买A，B两种型号的帐篷共60个，且A型号的帐篷数量不少于B型号的帐篷数量的．请你设计购买成本最少的方案，并求出该方案的费用． 【答案】（1）A，B两种型号的帐篷的单价分别为800元，600元 （2）购买A型号的帐篷15个，B型号的帐篷45个时，购买成本最少，该方案所需费用39000元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组和不等式的应用，根据已知条件列出方程组和不等式是解题的关键． （1）设A、B两种型号的帐篷的单价分别为，元，根据题意列出方程组，解方程组即可； （2）设购买A型号的帐篷个，则B型号的帐篷个，根据题意列不等式，得到，设购买A、B两种型号的帐篷的总价为元，则，根据一次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：设A、B两种型号的帐篷的单价分别为，元， 根据题意得， 解得：， 答：A、B两种型号的帐篷的单价分别为800元，600元； 【小问2详解】 解：设购买A型号的帐篷个，则B型号的帐篷个， 根据题意得：， 解得：， 设购买A、B两种型号的帐篷的总价为元， 则， ， 随的增大而增大， 当时，最小，此时， ， 答：购买A型号的帐篷15个，B型号的帐篷45个时，购买成本最少，该方案所需费用39000元． 24. 如图，是的切线，点为切点，点为上一点，射线，交于点，连接，点在上，过点作，交于点，作，垂足为点．，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形，勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）连接，易证得，进而得到，根据切线的性质得到，进而得到，从而得出结论； （2）根据求出的长，利用勾股定理求出的长，进而得到，利用求解的半径． 【小问1详解】 证明：连接， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 是的切线，点为切点， ， ， ，即， 是的半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ， ， 在中，， ， 即的半径为． 25. 如图，矩形的顶点的坐标为，顶点落在轴的负半轴上，顶点落在轴的正半轴上．反比例函数的图象与，分别交于点，，且．连接，作射线． （1）求反比例函数表达式； （2）写出与的位置关系，并说明理由； （3）若点在射线上，点是平面直角坐标系中的一点，当四边形为菱形时，请求出点的坐标，并判断点是否落在反比例函数图象上． 【答案】（1） （2），见解析 （3）点的坐标为或，均在反比例函数图象上 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得到点的坐标为，进而求出点M坐标，利用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）令，求出的长，证明，进而得到，从而得到； （3）分情况讨论：当点在点的右边或点在点的左边时，延长交轴于点，在中，根据得到，进而求出和，求出点P的坐标，将点P坐标代入反比例函数解析式判断是否在函数图象上即可． 【小问1详解】 解：四边形是矩形，点的坐标为， ，；，， ， ， ， 将点代入反比例函数得：， 解得：， 反比例函数表达式为； 【小问2详解】 解：，理由如下： 令， 解得：， ， ， ，且， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图，当点在点的右边时，延长交轴于点， 四边形是矩形， ． 四边形为菱形， ，， ， 在中，， ， 在中，，， ，， ， ， ， ， 将代入得：， 点在反比例函数图象上． 当点在点的左边时，同理可得：， 此时点也在反比例函数图象上． 综上，点的坐标为或，均在反比例函数图象上． 【点睛】本题考查矩形的性质、反比例函数的图象性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 26. 【问题情境】 某公园要在广场建造一个喷泉景观．在广场中央处安装一个垂直于地面且高为米的花形柱子，在柱子顶端处安置一个喷头向外喷水（喷头大小忽略不计），水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任一平面上抛物线路径如图1所示．为使水流形状较为美观，设计者设计水流在距的水平距离为3米时达到最大高度，此时离地面米． 【模型建构】 （1）以点为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到的水平距离为x米，水流喷出的高度为米，请求出在第一象限内的抛物线对应的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）； 【模型应用】 （2）某次李师傅正在喷泉景观内维护设备，喷头意外喷水，但是身高米的李师傅刚好笔直的站在地面上却没有被水淋到，此时他离花形柱子的水平距离为米，求的取值范围； （3）为了美观，在离花形柱子10米处的地面，处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图3所示，光线交汇点G在花形柱子的正上方，且米，求光线与抛物线水流之间的最小距离． 【答案】（1） （2） （3）米 【解析】 【分析】（1）根据题意可知，第一象限内的抛物线的顶点坐标为，设该抛物线的函数表达式为，利用待定系数法求解即可； （2）令，根据抛物线开口向下，由函数图象可求出的取值范围； （3）作的平行线，使它与抛物线相切，分别交轴，轴于点，，过点作，垂足为，根据射灯射出的光线与地面成角得到，进而得到点G和点F的坐标，利用待定系数法求出直线的函数表达式，根据，求出直线的函数表达式，进而求出点的坐标，根据射灯射出的光线与地面成，得到，从而求出的长． 【小问1详解】 解：根据题意得：第一象限内的抛物线的顶点坐标为， 设该抛物线的函数表达式为， 将点代入得：， 解得：， 则第一象限内的抛物线对应的函数表达式为：； 【小问2详解】 解：根据题意，令， 解得：或 ，抛物线开口向下， 当时，， 的取值范围为； 【小问3详解】 解：如图所示，作的平行线，使它与抛物线相切，分别交轴，轴于点，，过点作，垂足为， ， ， 射灯射出的光线与地面成角， ， ， ， ， ， 设直线的函数表达式为， 将点和代入得： ， 解得： 直线的函数表达式为， ， 设直线的函数表达式为， 联立直线与抛物线的函数表达式， 整理得：， 直线与抛物线相切，只有一个交点， ， 解得：， 直线的表达式为：， 令，则， ， ， ， ， ， ， 光线与抛物线水流之间的最小距离为米． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的应用、解直角三角形，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． 27. 在日常生活中，图形的面积等分问题常常蕴含着丰富的数学原理与构造方法，如分蛋糕、规划土地等场景都与这类问题密切相关．下面我们通过探究，感受面积等分中的数学严谨性与构造之美． 【基础探究】 （1）如图1，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点（小正方形的顶点）上． ①用无刻度的直尺，过点画一条直线，使直线将分成面积相等的两部分； ②若在此网格内找一个格点（不与点重合），使得的面积和的面积相等，则符合条件的格点有__________个． 【迁移应用】 受到上述探究的启发，小明同学思考：在任意三角形中，能否过边上任意一点作一条直线平分三角形的面积呢？ （2）如图2，在任意中，点是边上一点，．请用圆规和无刻度的直尺，过点作一条直线，使直线将分成面积相等的两部分．（不写作法，保留作图痕迹） 【创新应用】 （3）某社区有一块四边形空地（如图3），现计划要从边上一点出发修建一条笔直的小路（看作线段）交于点，使得小路将这块空地分为面积相等的两部分，分别用于种植两种不同的绿植． ①请在图中画出小路的示意图（不需要尺规作图），并适当说明步骤： ②若上述四边形满足，，，，，点仍是边上一点，且小路将四边形分为面积相等的两部分，小路交于点，连接，当是等腰三角形时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）①见；②2 （2）见解析 （3）①见解析；② 【解析】 【分析】本题主要三角形平分三角形面积、特殊四边形的判定和性质、格点作图、勾股定理等；解题关键是利用平行进行等积变换. （1）①根据矩形对角线互相平分作出的中点即可，根据等底等高的三角形面积相等，②作的平行线，再找格点即可得出答案； （2）方法一：利用平行线在的延长线上去点，将面积转化为，再过点作的中线即可得；方法二：先作的中线将的面积平分，再过点作，交于点，则，故，方法三：利用中线平分三角形面积，再利用平行线转化三角形面积，即可求解． （3）①利用平行线先将四边形面积转化三角形以为顶点得三角形面积，再平分三角形面积即可；②根据作图可得为中点，利用平行四边形、矩形的判定和性质转化线段关系，再利用勾股定理列方程即可求解. 【小问1详解】 解：①如图，直线为所求； ②如图，、的面积和的面积相等， 故符合条件的格点有2个． 【小问2详解】 如图，，为所求． 方法一，如图： 方法二，如图： 方法三，如图： ， 【小问3详解】 解：①方法一：如图，连接、，过作交延长线于，过作交延长线于，取中点，连接即可； 方法二：如图，连接，过作交延长线于，取中点，连接，过作交于，连接即可； ②如图（同①方法二作图）：如图，连接，过作交延长线于，取中点，连接，过作交于，连接即可； ∵， ∴， ∴，即， 同理可得：， ∵是中点，， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， 过点作，垂足为，过点作，垂足为，如图， 设， ∵， ∴四边形、、是矩形， ∴，，， ， 则， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 由图可知：， ∴当是等腰三角形时，即， ∴， 解得 ，不合题意舍去， 即：当是等腰三角形时，线段的长为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春学期九年级期中考试数学试题 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 剪纸是我国传统的民间艺术．下列剪纸作品中属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 生活中下列现象可以看作平移的是（ ） A. 在游乐场荡秋千 B. 翻开数学课本时书页的运动 C. 水平传送带上的物体的移动 D. 将一张纸对折 4. 2026年春运期间，全国铁路累计发送旅客亿人次，多项客流峰值刷新历史记录，彰显我国交通发展的辉煌成就．数据“亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的弦，半径，垂足为点，设的半径为，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 6. 如图，在扇形纸扇中，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 某校开展了红色经典故事演讲比赛，其中5名同学的成绩（单位：分）分别为：86，88，90，92，94，这组数据的方差是（ ） A. 7分 B. 8分 C. 9分 D. 10分 8. 我们规定：若，，则．例如，，则．已知，，且，则的最小值是（ ） A. 0 B. 1 C. 10 D. 16 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上） 9. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是__________． 10. 分解因式：__________． 11. 已知圆锥的底面半径为3，母线为8，则圆锥的侧面积等于_______． 12. 方程的解是_______ 13. 如图，四边形内接于，四边形是平行四边形，则的度数为__________． 14. 《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六、问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为，可列方程为___________． 15. 如图，某景区内两条互相垂直的道路，交于点，景点，在道路上，景点在道路上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路上又开发了风景优美的景点．经测得景点位于景点的北偏西方向上，位于景点的北偏西方向上，景点位于景点的南偏东方向上．已知．则景点与景点之间的距离为__________． 16. 如图，在中，，，将绕着点逆时针旋转得到，连接交于点，则__________． 三、解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： 18. 解不等式组，并写出所有整数解． 19. 先化简，再求值：，其中，. 20. 如图，点，，，在同一直线上，，，若__________，则． 请从①；②；③这个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并加以证明． 21. 校园数学文化节期间，某班开展多轮开盲盒做游戏活动．每轮均有四个完全相同的盲盒，分别装着写有“．幻方”、“．数独”、“．华容道”、“．鲁班锁”游戏名称的卡片，每位参与者只能抽取一个盲盒，盲盒被抽取即作废． （1）若随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“．幻方”卡片的事件是__________事件，（填“必然”、“随机”或“不可能”） （2）若某轮只有小明与小天两位同学参加开盲盒游戏，两位同学依次抽取盲盒，请用画树状图法或列表法，求装着写有“．数独”和“．鲁班锁”卡片的盲盒都被抽取的概率． 22. 为更好地开展大课间活动，某校针对本校七年级学生对大课间活动实施情况的满意程度进行调查．从七年级学生中随机抽取20名学生进行问卷调查（满分100分，得分用表示，本次调查所有学生的得分均不低于60分，成绩按分数段划分为A，B，C，D四个等次），统计结果如下（其中两个原始数据因某种原因模糊，用■和★表示）： 60，72，62，，66，68，74，76，76，78，79，87，89，87，87，83，89，，94，96 数据统计表 分数段 等次 人数 m 6 6 扇形统计图 （1）统计表中__________，__________； （2）扇形统计图中等次B所占圆心角的度数为__________， （3）这20个数据的众数为__________，中位数为__________， （4）若该校七年级学生共有1000人，请估计评价结果为“D”等次的七年级学生有多少人？ 23. 随着春季假期到来，研学旅行热潮持续升温，为进一步提升游客体验，让游客更深入感受自然与文化魅力，某景区正着力打造沉浸式旅游新场景，并计划采购一批帐篷．已知购买3个A型号的帐篷和2个B型号的帐篷共需3600元；购买5个A型号的帐篷和4个B型号的帐篷共需6400元． （1）求A，B两种型号的帐篷的单价； （2）据统计，该景区需购买A，B两种型号的帐篷共60个，且A型号的帐篷数量不少于B型号的帐篷数量的．请你设计购买成本最少的方案，并求出该方案的费用． 24. 如图，是的切线，点为切点，点为上一点，射线，交于点，连接，点在上，过点作，交于点，作，垂足为点．，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 25. 如图，矩形的顶点的坐标为，顶点落在轴的负半轴上，顶点落在轴的正半轴上．反比例函数的图象与，分别交于点，，且．连接，作射线． （1）求反比例函数表达式； （2）写出与的位置关系，并说明理由； （3）若点在射线上，点是平面直角坐标系中的一点，当四边形为菱形时，请求出点的坐标，并判断点是否落在反比例函数图象上． 26. 【问题情境】 某公园要在广场建造一个喷泉景观．在广场中央处安装一个垂直于地面且高为米的花形柱子，在柱子顶端处安置一个喷头向外喷水（喷头大小忽略不计），水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任一平面上抛物线路径如图1所示．为使水流形状较为美观，设计者设计水流在距的水平距离为3米时达到最大高度，此时离地面米． 【模型建构】 （1）以点为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到的水平距离为x米，水流喷出的高度为米，请求出在第一象限内的抛物线对应的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）； 【模型应用】 （2）某次李师傅正在喷泉景观内维护设备，喷头意外喷水，但是身高米的李师傅刚好笔直的站在地面上却没有被水淋到，此时他离花形柱子的水平距离为米，求的取值范围； （3）为了美观，在离花形柱子10米处的地面，处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图3所示，光线交汇点G在花形柱子的正上方，且米，求光线与抛物线水流之间的最小距离． 27. 在日常生活中，图形的面积等分问题常常蕴含着丰富的数学原理与构造方法，如分蛋糕、规划土地等场景都与这类问题密切相关．下面我们通过探究，感受面积等分中的数学严谨性与构造之美． 【基础探究】 （1）如图1，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点（小正方形的顶点）上． ①用无刻度的直尺，过点画一条直线，使直线将分成面积相等的两部分； ②若在此网格内找一个格点（不与点重合），使得的面积和的面积相等，则符合条件的格点有__________个． 【迁移应用】 受到上述探究的启发，小明同学思考：在任意三角形中，能否过边上任意一点作一条直线平分三角形的面积呢？ （2）如图2，在任意中，点是边上一点，．请用圆规和无刻度的直尺，过点作一条直线，使直线将分成面积相等的两部分．（不写作法，保留作图痕迹） 【创新应用】 （3）某社区有一块四边形空地（如图3），现计划要从边上一点出发修建一条笔直的小路（看作线段）交于点，使得小路将这块空地分为面积相等的两部分，分别用于种植两种不同的绿植． ①请在图中画出小路的示意图（不需要尺规作图），并适当说明步骤： ②若上述四边形满足，，，，，点仍是边上一点，且小路将四边形分为面积相等的两部分，小路交于点，连接，当是等腰三角形时，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $