第15章分式同步测评2025-2026学年华东师大版八年级数学下册

八年级数学下册第15章分式同步测评 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．代数式，，，，，中，属于分式的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．分式，的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 3．将分式中的、都扩大到倍，则分式的值（   ） A．不变 B．扩大到倍 C．扩大到倍 D．扩大到倍 4．的计算结果为（   ） A． B． C． D． 5．计算的结果正确的是（    ） A．1 B． C． D． 6．若实数x满足，则代数式的值是（   ） A．3 B．2 C．1 D．以上都不正确 7．若的结果是负数，则的取值范围在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 8．方程的解为（   ） A． B． C． D．无解 9．某新能源汽车生产车间，现在平均每天比原计划多组装30辆新能源汽车，现在组装900辆新能源汽车所需时间与原计划组装600辆新能源汽车所需时间相同．设现在平均每天组装x辆新能源汽车，根据题意，下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 10．已知关于的分式方程的解为负数，则的值为（   ） A． B． C．且 D．且 11．随着科技和环保意识的不断提高，电动汽车行业的发展前景越来越好．如图，，分别表示某款燃油汽车和某款电动汽车所需费用y（元）与行驶路程s（千米）的关系．已知燃油汽车每千米所需的费用比电动汽车每千米所需的费用的3倍多0.1元，设电动汽车每千米所需的费用为x元，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 12．一种球形细胞的半径约为米，用小数表示是（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 二、填空题 13．如果，那么的值为____________． 14．已知，则的值为___________． 15．若，则x的取值为________． 16．某商店购进黄河口大闸蟹，第一次用4800元购进若干千克．卖完后，第二次每千克进价提高了4元，同样用4800元购进的数量比第一次少40千克，求第一次的进价．设第一次每千克进价为x元，根据题意列方程为______． 三、解答题 17．计算： (1)； (2)． 18．如图所示，从边长为的正方形中剪掉边长为a的正方形，剩余部分为2个长方形和1个小正方形，据此回答下列问题： (1)用如图所示图形验证的乘法公式是：______； (2)运用（1）中的等式，计算：的值为______． (3)运用（1）中的等式，若，求的值． (4)已知，求的值． 19．化简 (1)； (2)． 20．化简： (1)； (2)． 21．随着智能家居的发展，清洁机器人越来越多地进入家庭，某物业公司欲购进A，B两种型号的清洁机器人，每台A型机比每台B型机平均每小时少清扫3平方米，一台A型机清扫60平方米所用时间是一台B型机清扫33平方米所用时间的2倍． (1)每台A型机和每台B型机平均每小时分别清扫多少平方米？ (2)若物业公司共购进20台机器人，A型机器人2000元/台，B型机器人3000元/台．公司要求这批机器人每小时至少清扫630平方米楼道，那么该公司如何购买A型和B型机器人，才能使总成本最低？并求出最低成本． 22．在数学的奇妙世界里，我们常常会遇到一些独特的运算规则．现在定义一种新的运算“”，对于任意的有理数a和b，有，其中 m，n是正整数．同时，我们还知道整式乘法和幂运算的相关知识，比如同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 ；幂的乘方，底数不变，指数相乘，即．并且我们会利用二元一次方程组来解决一些未知量的问题． (1)已知， ①求 m， n 的值； ②若，，求的值． (2)对于任意非零实数α，b，c，若新运算“”满足，且存在某个常数k，使得，求 m，n的值和常数k． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 八年级数学下册第15章分式同步测评参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B B A D A C C B C 题号 11 12 答案 D C 1．B 【分析】若A，B为整式，且B中含有字母，则是分式，据此逐一判断即可． 【详解】解：是整式，是整式，是分式，是整式，是分式，是分式 ∴分式共有个． 2．B 【分析】根据最简公分母的定义：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母，据此进行判断即可． 【详解】解：分式，的最简公分母是． 3．B 【分析】将原分式中的、分别替换为、，根据分式的基本性质化简，再和原分式比较即可得到结果． 【详解】解：∵把、都扩大到3倍后，则用替换，替换， ∴ ∵原分式为， ∴新分式的值是原分式的倍， 即分式的值扩大到倍． 4．A 【分析】先利用平方差公式对分母因式分解，再将除法转化为乘法，约分后即可得到结果． 【详解】解：原式=． 5．D 【详解】解：原式 ． 6．A 【分析】根据，将等式两边同时除以，易得，再两边同时平方，整理即可求解． 【详解】解：， 当时，等式不成立，即， 将等式两边同时除以，得，即， 将等式两边同时平方，得， ， ． 7．C 【分析】先利用同分母分式加法法则化简，再得出x的取值范围，再在数轴上表示即可． 【详解】， ∵结果是负数， ∴， ∴， 得， ∴的取值范围在数轴上表示为： 8．C 【分析】将分式方程去分母转化为整式方程，求解后验根即可得到原方程的解． 【详解】解：原方程为 ， 移项得 ， 方程两边同乘最简公分母去分母，得， 移项合并同类项得， 解得， 检验：当时，，因此是原方程的解． 9．B 【分析】设现在平均每天组装辆新能源汽车，则原计划平均每天组装辆，找到“现在组装900辆的时间与原计划组装600辆的时间相等”这一等量关系，分别表示出两个时间即可列出方程． 【详解】解：设现在平均每天组装辆新能源汽车，则原计划平均每天组装辆， 可得现在组装900辆所需时间为，原计划组装600辆所需时间为， ∴可列方程． 10．C 【分析】先去分母，将分式方程化为整式方程，解出，再结合解为负数、分式分母不为的条件，确定的取值范围即可． 【详解】解：， 去分母得， 解得， ∵分式方程的解为负数， ∴，且分母， 即，且， 解得，且． 【点睛】对于此类告知分式方程解的情况的题型，要注意分式方程有解必须满足分式分母不为这个隐含要求，否则极容易造成漏解． 11．D 【分析】本题考查了从函数图像中提取信息并列分式方程，掌握利用路程相等建立等量关系，结合总费用与单位里程费用的公式列方程是解题的关键． 先根据题意表示出燃油汽车每千米的费用，再由图像可知两种汽车行驶路程相同，结合路程=总费用÷每千米费用列出等式方程． 【详解】解：∵电动汽车每千米所需的费用为元 ∴燃油汽车每千米所需的费用为元 ∵从图像中可以看出，当燃油汽车的费用为35元时，行驶的路程为；当电动汽车的费用为10元时，行驶的路程也为， ∴燃油汽车行驶的路程=电动汽车行驶的路程 ∵路程=总费用÷每千米费用 ∴ 燃油汽车行驶的路程为，电动汽车行驶的路程为 ∴ 根据路程相等，可列出方程： 故选：D． 12．C 【分析】将中的小数点向左移动位，即可得到结果． 【详解】解：米． 13． 【分析】根据x与y的比例关系，设参数表示x和y，再代入分式计算约分，即可得到结果. 【详解】解：， 设， ∴. 14．13 【分析】先对已知等式移项得到，再利用完全平方公式变形，整体代入计算所求代数式的值即可．本题主要考查完全平方公式和整体代入法求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ， 代入得：， 整理得 ， 因此 ． 故答案为：13． 15．0或3 【分析】根据1的任何次幂都等于1，的偶次幂等于1，进行解答即可． 【详解】解：当，即时，，故符合题意； 当，即时，，故不符合题意； 当时，，，故符合题意， 综上，x的取值为0或3． 16． 【分析】根据总进价和单价分别表示出两次购进大闸蟹的数量，再根据两次购进数量的关系列方程． 【详解】解：设第一次每千克进价为元.则第二次每千克进价为元， 第一次购进大闸蟹的数量为千克， 第二次购进大闸蟹的数量为千克， 根据题意，第二次购进的数量比第一次少千克，列方程得：． 17．(1) (2) 【分析】（1）先计算乘方，化简绝对值，计算零次幂，立方根，然后计算加减法即可； （2）根据分式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 18．(1) (2)16 (3)14 (4) 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，分式的求值，熟知完全平方公式是解题的关键． （1）最大的正方形面积等于其边长的平方，最大的正方形面积等于剩余部分的面积加上一个边长为a的正方形面积，据此用两种方法表示出最大的正方形的面积即可得到答案； （2）根据（1）中的等式进行计算即可； （3）可求出，再把等式两边同时平方，结合（1）的结论可得答案； （4）设，则，，则，然后根据完全平方公式展开，即可得答案． 【详解】（1）解：最大的正方形的边长为，其面积为 剩余部分的面积等于1个边长为b的正方形面积加上2个长为a，宽为b的长方形面积，则剩余部分的面积为， 而最大的正方形面积等于剩余部分的面积加上一个边长为a的正方形面积，则最大的正方形面积为， ∴， 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：16； （3）解：当时，， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：设，则，， ∵， ∴， ∵，， ∴，即 ∴， ∴． 19．(1)； (2)． 【分析】（）先算单项式乘以多项式，再算多项式除以单项式即可； （）先算括号里面的分式减法，再算外面的分式除法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 21．(1)每台A型机平均每小时清扫30平方米，每台B型机平均每小时清扫33平方米 (2)购买10台A型机，10台B型机，能使总成本最低，总成本最低为50000元 【分析】（1）设每台A型机平均每小时清扫x平方米，则每台B型机平均每小时清扫平方米，根据题意列出，即可得到答案； （2）设购进n台A型机，则购进台B型机．由题意，得，解得，设总成本为w元，则，当时，总成本w最低，即可得到答案． 【详解】（1）解：设每台A型机平均每小时清扫x平方米，则每台B型机平均每小时清扫平方米．由题意，得， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， ， 答：每台A型机平均每小时清扫30平方米，每台B型机平均每小时清扫33平方米． （2）解：设购进n台A型机，则购进台B型机．由题意，得， 解得， 设总成本为w元，则， ，， 当时，总成本w最低， 最低成本为:，此时， 答：购买10台A型机，10台B型机，能使总成本最低，总成本最低为50000元． 22．(1)①；② (2) 【分析】本题考查定义新运算，幂的运算，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）①根据新定义，得到，即可得出结果；②根据新定义，列出方程组进行求解即可； （2）根据，推出，进而得到，根据，得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴， 两式相乘可得：， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵为正整数，为常数，为任意非零有理数， ∴； 综上：． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $