专题03 圆综合（压轴题专练，6大题型+强化训练）（广东专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

专题03 圆综合 命题预测 圆综合是广东中考数学压轴题的重要考查模块，常以圆为载体，融合三角形、四边形、相似、函数、最值、存在性等知识，设问层次分明，从基础计算到综合推理逐步递进。侧重考查圆周角定理、切线的判定与性质、弧长与扇形面积计算、圆与几何图形的综合应用，以及分类讨论、转化与化归的数学思想。2026年广东中考仍会以解答题压轴形式考查，部分地市可能结合实际情景命题，难度适中但综合性强，是中考提分的关键模块。 高频考法 1.切线的判定与性质综合应用 2.圆与相似三角形、全等三角形综合 3.圆中最值问题 4.圆与函数结合 5.扇形面积及阴影部分面积计算 6.圆的动态问题 典例·靶向·突破 题型01 切线的判定与性质综合应用 1．（2026·河北石家庄·一模）如图是中国人民银行1992年发行的外圆内凹九边形、立体感极强的“菊花1角硬币”．移动该硬币与形成如图2所示状态．其中是内接正九边形的一条边，经过点和圆心，点是与的交点，，，，． 结论：是的切线． 结论II：若与相切于点，则的直径为． 下列说法正确的是（   ） A．结论I正确，结论II错误 B．结论I错误，结论II正确 C．结论I正确，结论II正确 D．结论I错误，结论II错误 2．（2026·甘肃兰州·一模）综合与实践 在平面直角坐标系中，给出如下定义：对于平面内一点和另一点，在图形上存在点，使得（为常数，）且于点，则称点为图形关于点的“定积垂旋点”，点称为垂旋中心． (1)【感知定义】如图1，已知图形：线段，，，若点为图形关于点的“3定积垂旋点”，其中为垂旋中心，请写出一个满足要求的点坐标____________； (2)【类比探究】如图2，已知图形：半径为的，若直线上存在点为图形关于点的“4定积垂旋点”，其中为垂旋中心，求的取值范围； (3)【应用迁移】如图3，为垂旋中心，点为图形关于点的“6定积垂旋点”，点是图形上的一点，请解决以下问题： ①求的最大值； ②请直接写出取得最大值时的值． 题型02 圆与相似三角形、全等三角形综合 1．（2026·天津北辰·一模）已知中，，为的直径，，与分别相交于点D，E，弦，垂足为G，连接． (1)如图①，若，求和的大小； (2)如图②，若经过点O，过点E作的切线，交于点H，的半径为3，求和的长． 题型03 圆中最值问题 1．（2026·河南周口·一模）如图，在中，，，E是边上一点，且，以A为圆心，长为半径作，P是上一动点，连接、，若 的面积为36，则 面积的最小值为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 2．（2026·青海西宁·一模）综合与实践 【问题背景】小明同学是个善于思考、善于总结的孩子，他总能把一些相关联的数学现象放在一起进行对比分析，总结提炼，他将学过的角平分线定理、线段垂直平分线定理、垂径定理、切线长定理的基础图形进行了汇总，如下表： 角平分线定理 线段垂直平分线定理 垂径定理 切线长定理 ， (1)【归纳总结】小明发现这四个图中都有一个非常类似的四边形，经过查找资料，知道了它们都可叫筝形．筝形的定义之一为：以一条对角线所在直线为对称轴的四边形叫筝形． 他类比研究特殊四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形）的方法，进一步得到了筝形的相关性质，请聪明的你也总结两条筝形的性质（可从边、角、对角线、对称性、面积等方面考虑）： ①____________；②____________； (2)【知识迁移】李老师为引导小明深入思考，提出一个新的问题请帮小明解答：如图①，将正方形绕点B逆时针旋转，得到正方形，两个正方形重叠部分的四边形是否是筝形？若是，请加以证明，若不是，请说明理由． (3)如图②，连接交于点O，连接，若正方形的边长为4，请直接写出的最小值______． 题型04 圆与函数结合 1．（2026·广东佛山·模拟预测）如图1所示，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图像交x轴于点，交y轴于点C． (1)此二次函数图像是否过定点，若是求出定点坐标，若不是请说明理由； (2)若以线段为直径的圆恰好经过点C． ①求二次函数的表达式； ②如图2，点L是的中点，点K、N分别在线段、上，满足，作线段交x轴于点M，求证：； (3)在（2）的条件下，对于平面直角坐标系中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离”，记作，的圆心为，半径为，若，直接写出t的取值范围． 题型05 扇形面积及阴影部分面积计算 1．（2026·山西运城·一模）窗花是我们节日装饰的元素之一．如图，这是一个花瓣造型的窗花示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，点为正六边形的中心，所在圆的圆心恰好是的内心，且，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·安徽合肥·一模）如图，为的直径，过点A作的切线，点C是半圆上一点（不与点A，B重合），连接，过点C作于点E，连接并延长交于点F． (1)求证：． (2)若的半径为5，，弦，组成的弓形阴影部分面积记为，剩余阴影部分面积记为，求的值． 题型06 圆的动态问题 1．（2026·安徽合肥·一模）如图，半圆的半径为2．半圆经过点，且分别与圆切于点，点，都是圆弧上的点．动点从点出发沿着圆弧，依次经过点，最后回到点．在运动过程中，点运动的路程为，的度数为，则关于的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·河北邢台·一模）如图1，在中截掉一个圆心角为的扇形，优弧与直线相切于点，且点到直线的距离为5． (1)求的长； (2)如图2，优弧上存在一动点，连接，线段从出发，绕点顺时针转动，转动速度为每秒，转动时间为秒．当线段运动到时，停止转动．过点作直线，直线与交于点． ①当直线与优弧相切时，的值为_____； ②当时，求阴影部分的面积． 题型07 圆的存在性问题探究 1．（2026·陕西西安·一模）【定义新知】 婆罗摩芨多是公元世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”． 【理解运用】 （）如图，四边形为的内接四边形，连接、、、、、，与交于点，已知．试说明：四边形是“婆氏四边形”； （）如图，在中，，以为弦的交于，交于，连接、、．其中，，若四边形是“婆氏四边形”，求的长； 【问题拓展】 （）如图，某公园欲规划一个圆形景观区，并在其内部设计一个四边形区域，作为花海，其中点、、、均在上，、为花海内两条笔直的观光通道．根据设计要求，四边形是“婆氏四边形”，且与的长度之和为米．为了节约成本，要求圆形景观区的面积尽可能的小，请问圆形景观区的面积是否存在最小值？若存在，请求出圆形景观区面积的最小值；若不存在，请说明理由． 2.（2026·陕西·一模）【活动探究】 （1）在一次数学探究活动中，老师设计了一份活动单： 已知线段，使用作图工具作（如图），尝试操作后思考： （）这样的点A唯一吗？ （）点的位置有什么特征？你有什么感悟？ 数学学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点的位置不唯一，它在以为弦的圆弧上（点除外），……莹莹同学画出了符合要求的一条圆弧，圆弧的圆心为（如图），并提出了下列问题，请你帮助解决． ①该弧所在圆的半径长为______； ②面积是否存在最大值？如果存在，求面积取得最大值时的周长；若不存在，请说明理由． 【问题解决】 （2）如图，某大型工厂生产区域内有一个标志物，按规定，要以标志物为对称中心，以入口为一个顶点，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的调度中心．根据实际情况，顶点到标志物的距离为米，，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形调度中心？若可以，求出满足要求的平行四边形的最大面积；若不可以，请说明理由．（标志物A的占地面积忽略不计） 1．（2025·山东滨州·中考真题）如图，E、F、G、H四点分别在正方形的四条边上，．若，，则的内切圆半径为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2025·四川攀枝花·中考真题）类比圆面积公式的推导，我们对扇形的面积公式进行如下探究：将扇形均匀分割成个“小扇形”（如图1），扇形的面积就是这些“小扇形”的面积和，当无限大时，这些“小扇形”可以近似的看成底边长分别为，高为的“小三角形”，它们的面积和为．即扇形面积． 请根据这样的方法继续思考：如图2，扇形ODG与扇形OEF有共同的圆心角，且弧长分别为3和7，，则图中阴影部分面积是__________． 3．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在矩形中，，，点是边上的动点，将沿直线翻折得到，过点作，垂足为，点是线段上一点，且．当点从点运动到点时，点运动的路径长是______． 4．（2025·山东滨州·中考真题）【背景资料】 最小覆盖圆在几何学和计算机科学中有着广泛的应用．我们把能完全覆盖某平面图形的最小的圆称为该平面图形的最小覆盖圆．如线段的最小覆盖圆是以线段为直径的圆，锐角三角形的最小覆盖圆是这个三角形的外接圆，直角三角形的最小覆盖圆是以斜边为直径的圆，钝角三角形的最小覆盖圆是以最长边为直径的圆，正方形的最小覆盖圆是以对角线为直径的圆． 【动手操作】 如图1，中，，请作出的最小覆盖圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．） 【迁移运用】 正方形的边长为7，在边上截取，以为边向外作正方形． （1）如图2，连接，求的最小覆盖圆的直径； （2）将图2中的正方形绕点C逆时针旋转（如图3），经过A，D，F三点，且与边分别交于点I，L，求的最小覆盖圆的直径； （3）将正方形绕点C旋转，分别取的中点M，N，P，Q，顺次连接各中点，得到四边形（如图4）．在旋转过程中，四边形的最小覆盖圆的直径d的值是否发生变化？如果不变，请直接写出d的值；如果变化，请直接写出d的取值范围． 5．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，点A，C在上，连接，并延长，分别与的切线相交于点，点，切点为E，与交于点，连接，垂足为点． (1)求证：平分； (2)设，求的值； (3)求的值． 6．（2025·江苏南京·中考真题）某纸杯的尺寸（单位：）如图（1）所示，展开它的侧面得到扇环纸片（可以看作扇形纸片剪去扇形纸片后剩余的部分）． (1)的长为____________，____________； (2)记表示两边长分别为，（，单位：）的矩形纸片的大小． ①图（2）是可以剪出扇环纸片的一张矩形纸片，它的一边与相切，点，在对边上，点，分别在另外两边上，直接写出，的值； ②用一张的矩形纸片可以剪出扇环纸片吗？说明理由； ③若一张的矩形纸片可以剪出扇环纸片，写出求的范围的思路（无需算出最终结果）． 7．（2025·青海西宁·中考真题）综合与实践 【问题提出】 原题呈现（人教版九年级下册85页第14题） 如图1，在锐角中，探究，，之间的关系． 【问题探究】 将下列探究过程补充完整： （1）如图1，过点A作，垂足为D，过点B作，垂足为E． 在中，，   ∴， 在中，，   ∴， ∴，即， 同理，在中，_____， 在中，_____， ∴___________， 即， ∴； 【结论应用】 （2）如图2，在中，，，．求，的长．（结果保留小数点后一位；参考数据：，．） 【深度探究】 （3）如图3，是锐角的外接圆，半径为． 求证：． 【拓展应用】 （4）如图4，在中，，，，D是线段上的一个动点，以为直径的分别交，于点E，F，连接．则线段长度的最小值是________． 8．（2025·山东潍坊·中考真题）黄金分割被广泛应用在建筑、艺术等领域，我国早在战国时期就已知道并能应用黄金分割．中国澳门发行的邮票小型张《科学与科技——黄金比例》（如图）就是用黄金分割比作为主题设计的．    【阅读观察】 材料：黄金分割点的定义 如图2，若线段上的点满足，则点称作线段的黄金分割点，其中的比值称作黄金分割比，而的比值为，与互为倒数．    材料：黄金分割点的作法（借助尺规作图可以用不同方法确定图中线段的黄金分割点） 方法：如图，过点作； 在直线上截取，连接； 在上截取； 在上截取，即为所求．    方法：如图， 以为边作正方形； 取中点，连接； 以点为圆心，为半径作圆弧，与的延长线交于点； 以为边在一侧作正方形，交于点，可得．点即为所求．    【思考探究】 （1）说明图中； （2）用不同于（）的方法，说明图中； 【迁移拓展】 如图5，作圆内接正五边形： 作的两条互相垂直的半径和，取的中点，连接； 作的平分线，交于点； 过点作的垂线，交于点，，连接，； 截取，，连接，，，五边形即为所求．    （3）若，根据以上作法，证明：． 9．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，已知二次函数图象的对称轴为轴，且过坐标原点及点，过点作射线平行于轴（点在点上方），点坐标为，连接并延长交抛物线于点，射线平分，过点作的垂线交轴于点． (1)求二次函数的表达式； (2)判断直线与二次函数的图象的公共点的个数，并说明理由； (3)点为轴上的一个动点，且为钝角，请直接写出实数的取值范围． 2 / 2 北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 圆综合 命题预测 圆综合是广东中考数学压轴题的重要考查模块，常以圆为载体，融合三角形、四边形、相似、函数、最值、存在性等知识，设问层次分明，从基础计算到综合推理逐步递进。侧重考查圆周角定理、切线的判定与性质、弧长与扇形面积计算、圆与几何图形的综合应用，以及分类讨论、转化与化归的数学思想。2026年广东中考仍会以解答题压轴形式考查，部分地市可能结合实际情景命题，难度适中但综合性强，是中考提分的关键模块。 高频考法 1.切线的判定与性质综合应用 2.圆与相似三角形、全等三角形综合 3.圆中最值问题 4.圆与函数结合 5.扇形面积及阴影部分面积计算 6.圆的动态问题 典例·靶向·突破 题型01 切线的判定与性质综合应用 1．（2026·河北石家庄·一模）如图是中国人民银行1992年发行的外圆内凹九边形、立体感极强的“菊花1角硬币”．移动该硬币与形成如图2所示状态．其中是内接正九边形的一条边，经过点和圆心，点是与的交点，，，，． 结论：是的切线． 结论II：若与相切于点，则的直径为． 下列说法正确的是（   ） A．结论I正确，结论II错误 B．结论I错误，结论II正确 C．结论I正确，结论II正确 D．结论I错误，结论II错误 【答案】A 【分析】根据正多边形的性质得到每个圆心角的度数为，结合题意得到，由切线的性质即可判定结论I；根据切线的性质，矩形、正方形的判定和性质得到则，再证明，由此列式求解即可． 【详解】解：内接正九边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵点是与的交点，则是的半径， ∴是的切线，即结论I正确； 若与相切于点，如图所示，连接， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴矩形是正方形，则， 设， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴的直径为，故结论II错误， 综上所述，结论I正确，结论II错误 ． 2．（2026·甘肃兰州·一模）综合与实践 在平面直角坐标系中，给出如下定义：对于平面内一点和另一点，在图形上存在点，使得（为常数，）且于点，则称点为图形关于点的“定积垂旋点”，点称为垂旋中心． (1)【感知定义】如图1，已知图形：线段，，，若点为图形关于点的“3定积垂旋点”，其中为垂旋中心，请写出一个满足要求的点坐标____________； (2)【类比探究】如图2，已知图形：半径为的，若直线上存在点为图形关于点的“4定积垂旋点”，其中为垂旋中心，求的取值范围； (3)【应用迁移】如图3，为垂旋中心，点为图形关于点的“6定积垂旋点”，点是图形上的一点，请解决以下问题： ①求的最大值； ②请直接写出取得最大值时的值． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) (3)①4；②或1 【分析】（1）根据“k定积垂旋点”的定义解答即可； （2）根据“k定积垂旋点”的定义，可得，则，再分别求出两当直线与该圆相切于点时，当直线与该圆相切于点时，b的值，即可求解； （3）①当图形在轴上方时，如图3所示，过点作轴，过点作，交于点，连接，，根据“k定积垂旋点”的定义，可得，从而得到，再结合，可得图形是以为直径的（点除外）取的中点，连接，，根据三角形两边之和大于第三边，可得当点在的延长线上时最大，即可解得；当图形在轴下方时，如图5所示．过点作轴，过点作，交于点，连接，，同理可解得；②根据①分两种情况，结合相似三角形的判定和性质，即可求解． 【详解】（1）解：当点Q与点A重合时， 由题意得，， 点为图形关于点的“3定积垂旋点”，为垂旋中心， ，， ∴， ；（答案不唯一） （2）解：如图2，在图形上任取一点记为点， 由题意得，， 点为图形关于点的“4定积垂旋点”，为垂旋中心， ， ， 满足“4定积垂旋点”的点一定在以为圆心，为半径的圆上． 直线上存在点， 直线与以为圆心，为半径的圆存在公共点， ∵点为图形关于点的“4定积垂旋点”． 当直线与该圆相切于点时， 直线， ． 由题意得：， ， ， 同理当直线与该圆相切于点时，，， 综上所述，； （3）解：①情况一：当图形在轴上方时，如图3所示，过点作轴，过点作，交于点，连接，， 点为图形关于点的“6定积垂旋点”，为垂旋中心， ，， ， ， ， ． ， ， 图形是以为直径的（点除外）, 取的中点，连接，， （三角形两边之和大于第三边） 当点在的延长线上时最大，如图4所示， ， ， ． ； 情况二：当图形在轴下方时，如图5所示．过点作轴，过点作，交于点，连接，． 同理，图形是以为直径的（点除外），取的中点，连接，，当点在的延长线上时最大（如图5所示） 同理可得， 综上所述，的最大值为4； ②情况一：当图形在轴上方时，过点Q作轴于点H，则， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，即； 当图形在轴下方时，过点Q作轴于点K，则， 同理解得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，即； 综上所述，或1 ． 题型02 圆与相似三角形、全等三角形综合 1．（2026·天津北辰·一模）已知中，，为的直径，，与分别相交于点D，E，弦，垂足为G，连接． (1)如图①，若，求和的大小； (2)如图②，若经过点O，过点E作的切线，交于点H，的半径为3，求和的长． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）由等边对等角并结合三角形内角和定理可得，由题意可得，即可得出的度数；连接，由圆周角定理可得，求出，即可得出结果； （2）连接、、，由圆周角定理可得，即，先证明四边形为菱形，得出，再证明为等边三角形，求出，，，即可得出，再证明，由相似三角形的性质即可得出结果． 【详解】（1）解：∵中，，， ∴， ∵弦，垂足为G， ∴， ∴， 如图：连接， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，连接、、， ∵为的直径， ∴，即， ∵， ∴，， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵过点E作的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、切线的性质、圆周角定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 题型03 圆中最值问题 1．（2026·河南周口·一模）如图，在中，，，E是边上一点，且，以A为圆心，长为半径作，P是上一动点，连接、，若 的面积为36，则 面积的最小值为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】先求出边上的高，确定点P到距离的最小值，再可利用平行四边形面积公式求出边上的高．因为点P在上，所以要先确定点A到的距离，再结合的半径，得到点P到的最小距离，最后利用三角形面积公式求解． 【详解】如图，作，， 在中，，， ∴面积最小等价于最小． ∵面积为， ∴ ， ∵是上的动点，的半径， ∴圆上点到的最小距离为： ， 代入面积公式得最小面积： ． 2．（2026·青海西宁·一模）综合与实践 【问题背景】小明同学是个善于思考、善于总结的孩子，他总能把一些相关联的数学现象放在一起进行对比分析，总结提炼，他将学过的角平分线定理、线段垂直平分线定理、垂径定理、切线长定理的基础图形进行了汇总，如下表： 角平分线定理 线段垂直平分线定理 垂径定理 切线长定理 ， (1)【归纳总结】小明发现这四个图中都有一个非常类似的四边形，经过查找资料，知道了它们都可叫筝形．筝形的定义之一为：以一条对角线所在直线为对称轴的四边形叫筝形． 他类比研究特殊四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形）的方法，进一步得到了筝形的相关性质，请聪明的你也总结两条筝形的性质（可从边、角、对角线、对称性、面积等方面考虑）： ①____________；②____________； (2)【知识迁移】李老师为引导小明深入思考，提出一个新的问题请帮小明解答：如图①，将正方形绕点B逆时针旋转，得到正方形，两个正方形重叠部分的四边形是否是筝形？若是，请加以证明，若不是，请说明理由． (3)如图②，连接交于点O，连接，若正方形的边长为4，请直接写出的最小值______． 【答案】(1)①筝形的一条对角线垂直平分另一条对角线；②筝形的面积等于对角线乘积的一半（答案不唯一） (2)四边形是筝形，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据“筝形”的特征即可得到结论； （2）连接，利用证明，推出，得到四边形是以所在直线为对称轴的四边形，即可证明结论成立； （3）先证明点在以点为圆心，为半径的圆上，推出当共线时，有最小值，最小值为，据此求解即可． 【详解】（1）解：筝形的其他性质：①筝形的一条对角线垂直平分另一条对角线；②筝形的面积等于对角线乘积的一半；③筝形是轴对称图形等；④筝形的两条对角线互相垂直；⑤筝形的一条对角线平分一组对角（答案不唯一） （2）解：四边形是筝形，理由如下； 连接， ∵正方形绕点B逆时针旋转，得到正方形， ∴，，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是以所在直线为对称轴的四边形， ∴四边形是筝形； （3）解：取的中点，连接，， 由（2）知四边形是筝形， ∴， ∴， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上， ∴当共线时，有最小值，最小值为， ∵正方形的边长为4， ∴， ∴， ∴的最小值为． 题型04 圆与函数结合 1．（2026·广东佛山·模拟预测）如图1所示，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图像交x轴于点，交y轴于点C． (1)此二次函数图像是否过定点，若是求出定点坐标，若不是请说明理由； (2)若以线段为直径的圆恰好经过点C． ①求二次函数的表达式； ②如图2，点L是的中点，点K、N分别在线段、上，满足，作线段交x轴于点M，求证：； (3)在（2）的条件下，对于平面直角坐标系中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离”，记作，的圆心为，半径为，若，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)此二次函数图像经过定点，定点坐标是 (2)①；②见解析 (3)t的取值范围为或或 【分析】（1）将二次函数整理为，令含的系数，解得，代入得，故函数恒过定点，即可判断； （2）①由为直径得，由相似三角形的性质可得，即，得，即可求出解析式；②由角度推导得全等条件，即可证明； （3）由半径为，，可得圆心到三边的最小距离为，分别计算到、的距离，结合到距离已满足，得的取值范围． 【详解】（1）解：此二次函数图像经过定点，定点坐标是． 理由如下：由题意得，， 当，即时，的值与无关， 此时，即图像经过定点； （2）解：①令，即， ， 是圆的直径， ， 又， ， ， ， ， ， 依题意，， ， 二次函数的表达式为； ②点是的中点，， ， ， ， ， ，， ， ∵， ， ，， ； （3）解：令， 解得，， ，， 令得， ； 的圆心为，半径为， 点在直线上移动，且上的点到轴最小距离为，即； 设圆心到三边的最短距离为， ，即圆上到的最小距离为， 又∵的半径为，即， ∴圆心到、、三边的最小距离为， 当到的最小距离为时，过作于，设直线交于，则， ， ， ，， 设直线解析式为， 把代入得， 解得， 直线解析式为， 当时，， 解得， ， ， ， ， 解得， 同理求得当到的最小距离为时，， 当，的取值范围为或或． 题型05 扇形面积及阴影部分面积计算 1．（2026·山西运城·一模）窗花是我们节日装饰的元素之一．如图，这是一个花瓣造型的窗花示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，点为正六边形的中心，所在圆的圆心恰好是的内心，且，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正六边形的性质，求出，则可证明是等边三角形．得到，；根据三角形内心的定义可得，则可求出的度数；过点作于点，利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出的长，求出扇形和的面积即可得到答案． 【详解】解：∵六条等弧对应的弦构成一个正六边形，点为正六边形的中心， ， ． 是等边三角形． ∴，； ∵点是的内心， ∴， ∴ ， ∴； 如图，过点作于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ． 2．（2026·安徽合肥·一模）如图，为的直径，过点A作的切线，点C是半圆上一点（不与点A，B重合），连接，过点C作于点E，连接并延长交于点F． (1)求证：． (2)若的半径为5，，弦，组成的弓形阴影部分面积记为，剩余阴影部分面积记为，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由切线的性质可得，结合题意可得，由平行线的性质可得，再结合圆周角定理即可得证； （2）连接，根据勾股定理得到，根据圆周角定理及切线的性质证明，得到，求出，根据割补法计算即可． 【详解】（1）证明：∵是的切线，点A是切点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：连接， ∵，， ∴ ∵为的直径， ∴， ∴ ∵过点A作的切线， ∴ ∴， ∴ ∴ 即， 解得 记弦，组成的弓形面积为 则 题型06 圆的动态问题 1．（2026·安徽合肥·一模）如图，半圆的半径为2．半圆经过点，且分别与圆切于点，点，都是圆弧上的点．动点从点出发沿着圆弧，依次经过点，最后回到点．在运动过程中，点运动的路程为，的度数为，则关于的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由题意可得，，，，然后分三种情况：点分别在，，上，即可求解． 【详解】解：∵半圆的半径为2，半圆经过点，且分别与圆切于点， ∴，， ∴，， 如图，当点在上时，连接， ∵，， ∴， ∴， 由题意得，，则， ∴， ∴， ∴当时，点与点重合， ∴， 当时，， ∵， ∴随的增大而减小； 如图，当点在上时，连接，则， ∵， ∴， ∴， ∴当时，，当时，， ∵， ∴随的增大而增大； 如图，当点在上时，连接，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，； 当时，点与点重合， ∴， ∵， ∴随的增大而减小； 综上所述，当时，，当时，，当时，． 2．（2026·河北邢台·一模）如图1，在中截掉一个圆心角为的扇形，优弧与直线相切于点，且点到直线的距离为5． (1)求的长； (2)如图2，优弧上存在一动点，连接，线段从出发，绕点顺时针转动，转动速度为每秒，转动时间为秒．当线段运动到时，停止转动．过点作直线，直线与交于点． ①当直线与优弧相切时，的值为_____； ②当时，求阴影部分的面积． 【答案】(1)10 (2)①6秒或18秒② 【分析】（1）过点D作于点E，于点F，利用圆的切线的性质定理，矩形的判定与性质和直角三角形的边角关系定理解答即可； （2）①利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：点M在直线的左侧，连接，利用矩形的判定与性质得到，则；点M在直线的右侧，连接，利用矩形的判定与性质求得的旋转角度为，则； ②连接，过点O作于点F，利用矩形的判定与性质得到，则，利用直角三角形的边角关系定理求得，再利用阴影部分面积＝扇形的面积的面积解答即可． 【详解】（1）解：过点D作于点E，于点F，如图， ∵优弧与直线相切于点C， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴． 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：. ∴； （2）解：①当直线l与优弧相切于点M时，点M在直线的左侧，连接，如图， ∴， 由（1）知：， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵从出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒， ∴． 点M在直线的右侧，连接，如图， ∴， 由（1）知：， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴的旋转角度为． ∵从出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒， ∴． 综上，当直线l与优弧相切时，t的值为6秒或18秒． ②当时，， 连接，过点O作于点F，如图， 由题意得：， 由（1）知：， ∵， ∴， ∵， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分面积＝扇形的面积的面积 ； 所以，当时，阴影部分面积为． 题型07 圆的存在性问题探究 1．（2026·陕西西安·一模）【定义新知】 婆罗摩芨多是公元世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”． 【理解运用】 （）如图，四边形为的内接四边形，连接、、、、、，与交于点，已知．试说明：四边形是“婆氏四边形”； （）如图，在中，，以为弦的交于，交于，连接、、．其中，，若四边形是“婆氏四边形”，求的长； 【问题拓展】 （）如图，某公园欲规划一个圆形景观区，并在其内部设计一个四边形区域，作为花海，其中点、、、均在上，、为花海内两条笔直的观光通道．根据设计要求，四边形是“婆氏四边形”，且与的长度之和为米．为了节约成本，要求圆形景观区的面积尽可能的小，请问圆形景观区的面积是否存在最小值？若存在，请求出圆形景观区面积的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（）说明见解析 （） （）存在，，理由见解析 【分析】本题主要考查围绕“婆氏四边形”(对角线互相垂直的圆内接四边形)展开，核心考查圆的性质(圆内接四边形对角互补、圆周角定理、垂径定理)、特殊四边形判定(平行四边形、矩形、正方形的判定逻辑)、几何计算与最值(勾股定理、全等三角形判定与性质、二次函数最值)，并紧扣“婆氏四边形”定义串联各知识点，综合考查圆、四边形、三角形的性质与判定及几何最值问题的解决能力． （）根据圆周角定理即可得出，从而可得，继而证明结论． （）根据垂径定理和圆周角定理可得，，设，则，，在中解直角三角形即可； （）先作，由垂径定理得；再利用结合圆周角定理，推导得，进而证，得到； 设，则，进而得到，在中用勾股定理表示半径 ；最后化简表达式为，当时，的长取最小值，且最小值为，即可解答． 【详解】（）∵ ∴， ∴ 即， 又∵四边形是的内接四边形， ∴四边形是“婆氏四边形”； （）解∵， ∴，为直径， ∴， ∵四边形是“婆氏四边形”， ∴， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理， ，即： 解得，即； （）存在，； 理由：过点作于点，于点，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是“婆氏四边形”， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和 中， ， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的长取最小值，且最小值为， ∴半径的最小值为， ∴圆形景观区面积的最小值（平方米） 2.（2026·陕西·一模）【活动探究】 （1）在一次数学探究活动中，老师设计了一份活动单： 已知线段，使用作图工具作（如图），尝试操作后思考： （）这样的点A唯一吗？ （）点的位置有什么特征？你有什么感悟？ 数学学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点的位置不唯一，它在以为弦的圆弧上（点除外），……莹莹同学画出了符合要求的一条圆弧，圆弧的圆心为（如图），并提出了下列问题，请你帮助解决． ①该弧所在圆的半径长为______； ②面积是否存在最大值？如果存在，求面积取得最大值时的周长；若不存在，请说明理由． 【问题解决】 （2）如图，某大型工厂生产区域内有一个标志物，按规定，要以标志物为对称中心，以入口为一个顶点，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的调度中心．根据实际情况，顶点到标志物的距离为米，，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形调度中心？若可以，求出满足要求的平行四边形的最大面积；若不可以，请说明理由．（标志物A的占地面积忽略不计） 【答案】（）①；②存在，；（）可以，平方米 【分析】本题主要考查的知识点是圆周角定理、等边三角形的判定与性质、三角形面积最值的几何推导，以及平行四边形的对称性质、外接圆的应用和几何图形面积最值的计算． （）①首先根据圆周角定理，由推出圆心角，结合证明为等边三角形，从而得出圆的半径为；②然后以为底边，确定点到的距离最大时，的面积最大，过点作的垂线，垂足为，延长，交圆于， 计算出的长度，再用勾股定理求出的长，最后结合的长度计算出此时的周长 （）先根据平行四边形的对称中心性质，得出米，并推出；然后作的外接圆，取优弧的中点，证明为正三角形；连接并延长，经过点至，使，连接，，再利用“点到直线的距离中，过圆心的线段最长”的性质，得出当点与重合时，的面积最大；最后根据平行四边形面积与面积的关系，计算出平行四边形的最大面积． 【详解】解：（）如图，设为圆心，连接， ∵， ∴ ， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，即半径为， 故答案为：； ②存在； ∵以为底边，， ∴当点到的距离最大时，的面积最大， 如图，过点作的垂线，垂足为，延长，交圆于， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长； （）可以，如图所示，连接， ∵为平行四边形的对称中心，，， ∴，， 作的外接圆，则点在优弧上， 取优弧的中点，连接，， 则，且， ∴为正三角形． 连接并延长，经过点至，使，连接，， ∵， ∴四边形为菱形，且， 作交于点，垂足为，连接， 则， ，即， ∴， ∴平方米． 经检验符合题意，所以符合要求的平行四边形的最大面积为平方米． 1．（2025·山东滨州·中考真题）如图，E、F、G、H四点分别在正方形的四条边上，．若，，则的内切圆半径为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形内切圆的性质，掌握相关知识点是解题关键．根据正方形的性质证明全等，得到，设，利用勾股定理求出，，令的内切圆圆心为，连接、、，令切点为M，N，P，然后连接，，，则，，，根据内切圆的性质得到，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：正方形ABCD， ，， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：或， ，， 令的内切圆圆心为，连接、、，令切点为M，N，P，然后连接，，，则，，， 内切于， ， ， ， ， 解得：，即的内切圆半径为2， 故选：B． 2．（2025·四川攀枝花·中考真题）类比圆面积公式的推导，我们对扇形的面积公式进行如下探究：将扇形均匀分割成个“小扇形”（如图1），扇形的面积就是这些“小扇形”的面积和，当无限大时，这些“小扇形”可以近似的看成底边长分别为，高为的“小三角形”，它们的面积和为．即扇形面积． 请根据这样的方法继续思考：如图2，扇形ODG与扇形OEF有共同的圆心角，且弧长分别为3和7，，则图中阴影部分面积是__________． 【答案】20 【分析】本题主要考查扇形的定义及面积；设扇形的半径为，则扇形的半径为，先根据，求出，再结合扇形面积，根据，代入计算即可． 【详解】解：设扇形的半径为，则扇形的半径为， ∵， ∴，即， 解得， ∴扇形的半径为7， ∵扇形面积， ∴， ， ， ∴图中阴影部分面积是20； 故答案为：20． 3．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在矩形中，，，点是边上的动点，将沿直线翻折得到，过点作，垂足为，点是线段上一点，且．当点从点运动到点时，点运动的路径长是______． 【答案】 【分析】分点在矩形内部和点在矩形外部，两种情况进行讨论求解，当点在矩形内部时，作，交于点，证明，进而得到，进而得到点在以为直径的圆上运动，得到当点从点开始运动直至点落在上时，点的运动轨迹为半圆，当点在矩形外部时，同法可得，点在以为直径的圆上，得到当点运动到点时，点的运动轨迹是圆心角为的，求出两段路径的和即可得出结果． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵翻折， ∴， 当点在矩形内部时，作，交于点，则：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在以为直径的圆上运动， ∴当点从点开始运动直至点落在上时，点的运动轨迹为半圆， ∴点的运动路径长为：； 当点在矩形的外部时，作，交的延长线于点， 同法可得：，， ∴，点在以为直径的上运动，连接， 当点运动到点时，如图： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的运动轨迹为圆心角为的，路径长为， ∴点的运动路径总长为：； 故答案为： 【点睛】本题考查矩形与折叠，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形，求弧长，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造相似三角形，确定点的运动轨迹，是解题的关键． 4．（2025·山东滨州·中考真题）【背景资料】 最小覆盖圆在几何学和计算机科学中有着广泛的应用．我们把能完全覆盖某平面图形的最小的圆称为该平面图形的最小覆盖圆．如线段的最小覆盖圆是以线段为直径的圆，锐角三角形的最小覆盖圆是这个三角形的外接圆，直角三角形的最小覆盖圆是以斜边为直径的圆，钝角三角形的最小覆盖圆是以最长边为直径的圆，正方形的最小覆盖圆是以对角线为直径的圆． 【动手操作】 如图1，中，，请作出的最小覆盖圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．） 【迁移运用】 正方形的边长为7，在边上截取，以为边向外作正方形． （1）如图2，连接，求的最小覆盖圆的直径； （2）将图2中的正方形绕点C逆时针旋转（如图3），经过A，D，F三点，且与边分别交于点I，L，求的最小覆盖圆的直径； （3）将正方形绕点C旋转，分别取的中点M，N，P，Q，顺次连接各中点，得到四边形（如图4）．在旋转过程中，四边形的最小覆盖圆的直径d的值是否发生变化？如果不变，请直接写出d的值；如果变化，请直接写出d的取值范围． 【答案】【动手操作】图见解析；【迁移运用】（1）；（2）；（3）变化， 【分析】动手操作：作的中垂线，再以中垂线与的交点为圆心，交点与点之间的距离为半径画圆即可； （1）延长交于点，求得为钝角，根据题意得到为的最小覆盖圆的直径，在中，利用勾股定理进行求解即可； （2）连接，根据题意，易得为锐角三角形，的外接圆为其最小覆盖圆，根据正方形的性质，得到，进而得到即为的外接圆的直径，进行求解即可； （3）连接，交于点，交于点，连接，根据三角形的中位线定理，证明四边形为平行四边形，证明，推出四边形为正方形，进而得到四边形的最小覆盖圆的直径为的长，根据正方形的性质得到，根据，求出的范围，即可得出结果． 【详解】解：动手操作：∵中，， ∴是钝角三角形， ∴的最小覆盖圆为以为直径的圆，作图如下： 迁移运用： （1）∵正方形的边长为7，正方形， ∴， ∴， ∴为钝角三角形， ∴为最小覆盖圆的直径， 延长交于点，则：， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴； （2）连接，作于点，延长交于点， 则：四边形为矩形， ∴，， ∴，， 在中，， ∴， ∵，即：， ∴， ∵过点，， ∴，为的直径， 又∵， ∴为锐角三角形， ∴即为的最小覆盖圆， ∵， ∴，即：， ∴， ∴，即的最小覆盖圆的直径为； （3）变化； 连接，交于点，交于点，连接， ∵分别取的中点M，N，P，Q，顺次连接各中点，得到四边形， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵正方形，正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形为菱形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴，四边形的最小覆盖圆的直径为， ∴随着的变化而变化， ∵，即， ∴， ∴，即． 【点睛】本题考查三角形的外接圆，圆周角定理，解直角三角形，正方形的判定和性质，勾股定理，三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质，综合性强，难度大，属于中考压轴题，熟练掌握题干给出的信息，判断三角形和四边形的最小覆盖圆，是解题的关键． 5．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，点A，C在上，连接，并延长，分别与的切线相交于点，点，切点为E，与交于点，连接，垂足为点． (1)求证：平分； (2)设，求的值； (3)求的值． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) (3) 【分析】本题综合考查圆周角定理，切线的性质和勾股定理，借助圆的背景，灵活运用圆周角定理找出角度关系，和运用勾股定理解三角形是解题关键． （1）连接，通过切线的性质得到，从而推出，再利用平行线的性质和等边对等角推理论证即可； （2）连接，借助，利用勾股定理求出（即半径）的长，再利用平行线分线段成比例（或证明相似三角形），用k表示出和，借助，利用勾股定理求解即可； （3）借助圆周角定理，推得，作的平行线，借助，利用角平分线的性质和勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， 由题意，得与相切于点E， ∴， 又， ∴， ∴， ∵和都是的半径， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：由（1），得， ∵点F在上， ∴， ∴， 在中，，即， 解得， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 在中，，即， 设，则， 解得（负值已舍去）， ∴， ∴； （3）解：由圆周角定理，得， 如图，过点O作平分，交于点M，连接 由（2），得， ∵平分， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， 在中，，即， 解得， ∴在中，， ∴， ∴． 6．（2025·江苏南京·中考真题）某纸杯的尺寸（单位：）如图（1）所示，展开它的侧面得到扇环纸片（可以看作扇形纸片剪去扇形纸片后剩余的部分）． (1)的长为____________，____________； (2)记表示两边长分别为，（，单位：）的矩形纸片的大小． ①图（2）是可以剪出扇环纸片的一张矩形纸片，它的一边与相切，点，在对边上，点，分别在另外两边上，直接写出，的值； ②用一张的矩形纸片可以剪出扇环纸片吗？说明理由； ③若一张的矩形纸片可以剪出扇环纸片，写出求的范围的思路（无需算出最终结果）． 【答案】(1)， (2)①，②可以，理由见解析③见解析 【分析】（1）设， ，则，利用圆的周长公式和弧长公式解答即可； （2）①延长，，延长线交于点，设矩形的边与相切于点，连接，交于点，利用圆的切线的性质定理，矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理解答即可； ②将扇环纸片按如图所示放置，在矩形的边上，延长，，延长线交于点，过点作于点，过点作于点，利用直角三角形的边角关系定理求得，的长度，再利用它们与的矩形纸片的长与宽作比较即可； ③设计出能够放置扇环纸片的最小的的矩形纸片即可． 【详解】（1）解：由题意得：的长为，的长为， 设， ，则， ， ， ． 故答案为：，； （2）解：①延长，，延长线交于点，设矩形的边与相切于点，连接，交于点，如图， 则， 四边形为矩形， 四边形，为矩形， ， 由题意得：，，，， 为等边三角形， ，，， ，， ，， ， ． ②用一张的矩形纸片可以剪出扇环纸片，理由： 将扇环纸片按如图所示放置，在矩形的边上，延长，，延长线交于点，过点作于点，过点作于点， 由题意得：，，，， ，，， ， ，， ，， 用一张的矩形纸片可以剪出扇环纸片． ③设的矩形纸片为矩形，，将扇环纸片如图放置，使点在边上，点在边上，点在边上，与边相切于点， 则此时的值最小，若求的范围，则此时的为的最小值． 延长，，延长线交于点，连接，交于点，过点作于点，过点作于点，设交于点， 由题意得：，，，， 与边相切于点， ， ，，四边形为矩形， 四边形，四边形，四边形为矩形， ，，， ，． 求得，的值即可求得的最小值； 由于，解和即可求得结论． 【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的性质定理，弧长公式，分类讨论的思想方法，矩形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，等边三角形的判定与性质，添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． 7．（2025·青海西宁·中考真题）综合与实践 【问题提出】 原题呈现（人教版九年级下册85页第14题） 如图1，在锐角中，探究，，之间的关系． 【问题探究】 将下列探究过程补充完整： （1）如图1，过点A作，垂足为D，过点B作，垂足为E． 在中，，   ∴， 在中，，   ∴， ∴，即， 同理，在中，_____， 在中，_____， ∴___________， 即， ∴； 【结论应用】 （2）如图2，在中，，，．求，的长．（结果保留小数点后一位；参考数据：，．） 【深度探究】 （3）如图3，是锐角的外接圆，半径为． 求证：． 【拓展应用】 （4）如图4，在中，，，，D是线段上的一个动点，以为直径的分别交，于点E，F，连接．则线段长度的最小值是________． 【答案】（1），，，；（2），；（3）证明见解析；（4）． 【分析】（1）根据三角函数的定义，类比题目求解即可； （2）根据（1）中结论可知，代入相关数值求解即可； （3）连接，延长分别交于D，E，连接，根据直径对直角和圆周角定理可知，，根据三角函数的定义，分别在，，，中，可得，，即可得证； （4）过O作，连接，，根据垂径定理，圆周角定理和三角函数可得，当时，最小，此时也最小，根据三角函数求出最小值，即可得解． 【详解】（1）解：同理，在中， ， 在中  ， ， ∴， 即， ∴； 故答案为：，，，； （2）解：， ， 由（1）知：， ， ，， ，； （3）证明：连接，延长分别交于D，E，连接，则， ， 是直径， ， 在中，， ∴， 在中，，   ∴， ∴ ， 同理，在中，， 在中，可得， ， ∴； （4）解：过O作，连接，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， 当时，最小，此时也最小， 过A作于， 在中，， ， ， 长度的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角函数，垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，解题的关键是正确作出辅助线，综合运用以上知识解决问题． 8．（2025·山东潍坊·中考真题）黄金分割被广泛应用在建筑、艺术等领域，我国早在战国时期就已知道并能应用黄金分割．中国澳门发行的邮票小型张《科学与科技——黄金比例》（如图）就是用黄金分割比作为主题设计的．    【阅读观察】 材料：黄金分割点的定义 如图2，若线段上的点满足，则点称作线段的黄金分割点，其中的比值称作黄金分割比，而的比值为，与互为倒数．    材料：黄金分割点的作法（借助尺规作图可以用不同方法确定图中线段的黄金分割点） 方法：如图，过点作； 在直线上截取，连接； 在上截取； 在上截取，即为所求．    方法：如图， 以为边作正方形； 取中点，连接； 以点为圆心，为半径作圆弧，与的延长线交于点； 以为边在一侧作正方形，交于点，可得．点即为所求．    【思考探究】 （1）说明图中； （2）用不同于（）的方法，说明图中； 【迁移拓展】 如图5，作圆内接正五边形： 作的两条互相垂直的半径和，取的中点，连接； 作的平分线，交于点； 过点作的垂线，交于点，，连接，； 截取，，连接，，，五边形即为所求．    （3）若，根据以上作法，证明：． 【答案】（）见解析；（）见解析；（）见解析． 【分析】（）设，则，勾股定理得，然后通过线段和差求出，则，所以； （）延长交于点，根据勾股定理得，所以，则有，所以，所以，则，从而可得； （）过点作于点，证明，通过性质可得，设，则，解得，所以，连接，在中，，所以，Rt中，，所以，根据垂径定理，得，所以，又，所以，从而得证． 【详解】（）解：设，则， 在中，根据勾股定理得， 所以， 所以， 所以； （）解：延长交于点， 在中，根据勾股定理，得， 所以， 因为，， 所以，， 所以， 所以， 所以， 所以，即， 所以； （3）证明：因为半径，所以，， 过点作于点， 因为平分， 所以， 所以， 所以， 所以， 在中，， 设，则， 解得， 所以， 连接，在中，， 所以， 在Rt中，， 所以， 根据垂径定理，得， 所以， 因为， 所以， 所以． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，正方形的性质，圆内接正五边形，黄金分割点等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 9．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，已知二次函数图象的对称轴为轴，且过坐标原点及点，过点作射线平行于轴（点在点上方），点坐标为，连接并延长交抛物线于点，射线平分，过点作的垂线交轴于点． (1)求二次函数的表达式； (2)判断直线与二次函数的图象的公共点的个数，并说明理由； (3)点为轴上的一个动点，且为钝角，请直接写出实数的取值范围． 【答案】(1) (2)个，理由见解析 (3)当为钝角时， 【分析】本题考查了二次函数综合，一次函数与二次函数交点问题，直径所对的圆周角是直角，解直角三角形，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键； （1）根据二次函数的图象对称轴为轴，过坐标原点及点，待定系数法求解析式，即可求解； （2）设与轴交于点，过点作轴于点，先解，进而得出是等边三角形，得出，进而根据含度角的直角三角形的性质得出，求得直线的解析式为，联立二次函数解析式，即可求解； （3）先求得直线的解析式为，联立二次函数解析式得出，当以为直径的圆与轴相交时，设交点为，交点与构成的三角形为直角三角形，当在之间时，即在圆内，此时，进而根据，利用勾股定理建立方程，求得的值，进而可根据为钝角时，确定的范围，即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数图象的对称轴为轴，过坐标原点及点 ∴ ∴ ∴二次函数解析式为： （2）解：如图，设与轴交于点，过点作轴于点， ∵，点坐标为， ∴， ∴，， ∴ ∵轴， ∴ ∵射线平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴即， 设直线的解析式为，代入，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 消去得，， ∵， ∴直线与二次函数的图象的公共点的个数为 （3）解：设直线的解析式为，代入，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或 ∴ 如图， 当以为直径的圆与轴相交时，设交点为，交点与构成的三角形为直角三角形， 当在之间时，即在圆内，此时 ∵，，， ∴， 当时，时， ∴ 解得：， ∴当为钝角时，． 2 / 2 北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $