河南南阳市方城县第一高级中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学自编模拟试题（三）

2025-2026学年南阳市方城县第一高级中学高一下学期期中考试数学自编模拟试题（三） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则（   ） A． B． C． D． 2．已知向量，则向量与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．已知的内角的对边分别为，，则的最大值为（   ） A． B． C． D．3 4．如图，按斜二测画法所得水平放置的的直观图为，若，则（   ） A． B． C． D． 5．已知向量，且，则（ ） A． B． C． D． 6．已知向量，则与的夹角是（    ） A． B． C． D． 7．如图，已知，则（    ） A． B． C． D． 8．若，则＝（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知复数是其共轭复数，下列说法正确的是（　　） A．若，则为实数 B．若，则 C． D． 10．下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 11．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则（   ） A．若，则为等腰三角形 B．若，则为锐角三角形 C．在锐角三角形中，不等式恒成立 D．若，，且该三角形有两解，则b的范围是 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知，是方程的两根，则______，______. 13．已知锐角三角形的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则c的取值范围是_________． 14．在中，内角，，的对边分别为，，．已知，，，符合上述条件的有________个． 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．（1）已知，若为纯虚数，求的值； （2）已知复数满足，求． 16．已知，，函数. (1)求函数的解析式及周期； (2)若，且，求的值. (3)角、、分别为、、三边所对的角，若，，求周长的最大值. 17．在中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若. (1)证明：； (2)若，边上中点为D，求的值. 18．在中，已知，点是上一点，满足，点是边上一点，满足. (1)当时， ①求； ②求； (2)是否存在非零实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19．对于定义域为的函数，如果存在非零常数，那么称函数具有性质. (1)判断函数是否具有性质，并说明理由； (2)设，证明：函数具有性质； (3)若函数具有性质，求的取值范围.（参考公式：） 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 《2025-2026学年南阳市方城县第一高级中学高一下学期期中考试数学自编模拟试题（三）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B A C C C D AD AB 题号 11 答案 ACD 1．C 【详解】因为，故复数在复平面内所对应的点的坐标为， 因为在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称， 故复数在复平面内所对应的点的坐标为，即. 2．A 【详解】易知向量，显然， 所以. 3．B 【分析】利用正弦定理、两角和的正弦公式、两角和的正切公式以及基本不等式求解即可. 【详解】因为，由正弦定理得：， 又，则，所以， 即, 所以， 由，则， 因为为边长，所以，所以， 所以角为钝角，，所以角为锐角即，此时， 所以由， 所以， 即， 因为，所以， 所以， 当且仅当即时，等号成立， 所以的最大值为. 4．A 【分析】由斜二测画法和余弦定理计算可得. 【详解】由写二次画法可知，， 在中，由余弦定理， 所以. 故选：A. 5．C 【分析】由可得，由可得，最后应用模长公式即可求解. 【详解】因为，所以， 展开整理得，由， 得，即， 所以，即，所以. 6．C 【分析】利用平面向量的夹角公式求解即可. 【详解】由题，， 又，所以. 故选：C. 7．C 【分析】利用基底表示即可求出. 【详解】因为，所以， 则， 因为，所以，即， 则. 故选：C 8．D 【详解】因为，所以，所以，因为， 所以，解得. 又，所以，. 所以. 9．AD 【分析】设，得到，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意设，则. 选项A， ，则，所以为实数，所以A正确； 选项B， 当时，，此时，所以B错误； 选项C，当，，此时，所以C错误； 选项D，，即，所以D正确. 故选：A D. 10．AB 【分析】分别由两角差的正弦公式，两角和的正切公式和倍角公式即可依次判断． 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误． 故选：AB． 11．ACD 【分析】对于A，根据正弦定理边化角即可判断；对于B，余弦定理可得，则角为锐角, 不能得到为锐角三角形；对于C，应用正弦单调性判断；对于D：由题意得到即可求解． 【详解】对于A，因为， 所以由正弦定理得， 又A，B 为的内角，，则，即，故A正确； 对于B，由余弦定理可得，则角为锐角，不能得到为锐角三角形，故B错误； 对于C，因为是锐角三角形，所以，所以， 又，所以， 又因为在单调递增，所以，C正确； 对于D，因为，，且该三角形有两解， 所以，即，故D正确． 故选：ACD 12． 【分析】首先求出方程的两根，，再根据复数代数形式的乘方及复数的模计算可得. 【详解】因为，是方程的两根，又， 即或， 不妨令， 所以； 又，所以. 故答案为：； 13． 【分析】因为三角形是锐角三角形，所以均大于0，利用余弦定理求解即可. 【详解】因为三角形是锐角三角形，所以，,, 由余弦定理得，解得. 又因为，综上. 故答案为： 14．1 【分析】根据正弦定理及已知条件求出角，即可确定三角形个数. 【详解】由正弦定理，可得． 因为，所以，所以，故， 所以符合条件的只有一个． 故答案为：1． 15．（1）0；（2） 【分析】（1）利用复数运算法则、复数的定义求解； （2）利用复数运算法则求解． 【详解】（1）， ∵，为纯虚数， ∴，解得，∴的值为． （2）设，，则， ∵复数z满足，∴， ∴，解得，∴． 【点睛】本题考查复数的定义、复数运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 16．(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据向量数量积的定义，二倍角公式及辅助角公式化简，再根据三角函数的性质求解即可； （2）由得出，再根据两角差的正弦公式计算即可； （3）由得出，根据余弦定理结合基本不等式计算求解即可. 【详解】（1）. 周期； （2）由可知，，化简得， ，，， ； （3）由可得，即， 又，则，则，所以. 由余弦定理知： ， 当且仅当时“”成立， 此时为等边三角形， 又所以的周长的最大值为. 17．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据正弦定理，将边化为角，求得角，即可证明； （2）根据（1）的结果，再结合，再根据余弦定理求和，再根据余弦定理求的值. 【详解】（1）由正弦定理可知，， 即，则（舍）或， 又，所以，即； （2）由条件可知， ，且， 中，，即， 中，. 18．(1)①，②； (2)不存在，理由见解析. 【分析】（1）①由向量线性运算得，利用数量积的运算律求解即可；②由向量线性运算得，利用数量积的运算律求解即可； （2）由向量线性运算得，，然后利用向量垂直形式列式求解的值即可. 【详解】（1）， ①当时，点是的中点， 所以， 所以 ； ②当时，点是边的中点， 所以， ； （2）假设存在非零实数，使得， 由，得， 所以. 又，所以， 所以 ， 因为， 所以，无解，故不存在非零实数，使得. 19．(1)不具有，具有，理由见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据性质的定义，逐个验证； （2）由性质，问题转化为，由在区间上单调递减，得，即证，结合条件易证； （3）根据性质的定义，可得，结合辅助角公式可得，即，结合三角函数线知识求解. 【详解】（1）不具有性质， 理由：函数的定义域为， 因为；所以函数不具有性质， 具有性质， 理由：函数的定义域为， 因为，所以， 所以，故函数是否具有性质， （2）当时，要证明函数具有性质， ， 即证，即证. 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在区间上单调递减， 所以. 故只需，而，所以显然成立， 所以具有性质. （3）因为函数具有性质，所以对任意的， 即，即， 即， 即. 因为的最大值为1，所以. 由参考公式，，即，即. 根据三角函数线知，当时，；又当时，，故，所以当时，. 所以当，即时，符合要求；当，即时，不符合要求. 综上，的取值范围是. 答案第4页，共10页 答案第1页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $