精品解析：山东省实验中学（中心校区）2026届高三下学期4月阶段性测试数学试题

山东省实验中学（中心校区）2026届高三4月阶段性测试 数学试题 2026.04 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. 2 C. D. 2. 已知随机变量，且，则展开式中各项系数之和为（ ） A. 32 B. 64 C. D. 3. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设，则（ ） A. B. C. D. 5. 过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 6. 设函数，直线分别交函数和的图象于点P，Q，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知是曲线上的四点，其中，且成等差数列，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，过作的垂线与在第一象限内交于点，且．设的离心率为，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的部分图像如图所示，则（ ） A. B. C. 在上单调递增 D. 若为偶函数，则 10. 已知圆，直线，点为圆上一点，点为坐标原点，则下列叙述正确的有（　　） A. 的最小值为 B. 当时，直线与圆相切 C. 的最小值为 D. 若圆上有且仅有三个点到直线的距离为，则 11. 如图，三棱台中，平面，则（　　） A. 三棱台的体积为 B. 平面 C. D. 若点在侧面上运动，且与平面所成角的正切值为4，则点在侧面上的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，满足，，且，则______. 13. 某小区共有3个核酸检测点同时进行检测，有6名志愿者被分配到这3个检测点参加服务，6人中有4名“熟手”和2名“生手”，1名“生手”至少需要1名“熟手”进行检测工作的传授，每个检测点至少需要1名“熟手”，且2名“生手”不能分配到同一个检测点，则不同的分配方案种数是______． 14. 函数，，若对于任意，存在使得成立，则正数k的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某工厂为生产一种精密管件研发了一台生产该精密管件的车床，该精密管件有内外两个口径，监管部门规定“口径误差”的计算方式为：管件内外两个口径实际长分别为，标准长分别为则“口径误差”为只要“口径误差”不超过就认为合格，已知这台车床分昼､夜两个独立批次生产．工厂质检部在两个批次生产的产品中分别随机抽取40件作为样本，经检测其中昼批次的40个样本中有4个不合格品，夜批次的40个样本中有10个不合格品． （Ⅰ）以上述样本的频率作为概率，在昼夜两个批次中分别抽取2件产品，求其中恰有1件不合格产品的概率； （Ⅱ）若每批次各生产1000件，已知每件产品的成本为5元，每件合格品的利润为10元；若对产品检验，则每件产品的检验费用为2.5元；若有不合格品进入用户手中，则工厂要对用户赔偿，这时生产的每件不合格品工厂要损失25元．以上述样本的频率作为概率，以总利润的期望值为决策依据，分析是否要对每个批次的所有产品作检测？ 16. 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求证：； （2）若的角平分线交BC于，且，求面积的取值范围． 17. 已知椭圆C：，点为椭圆的右焦点，过点F且斜率不为0的直线交椭圆于M，N两点，当与x轴垂直时，． （1）求椭圆C的标准方程． （2），分别为椭圆的左、右顶点，直线，分别与直线：交于P，Q两点，证明：四边形为菱形． 18. 为数列的前项和，已知. （1）设，证明：，并求； （2）证明：. 19. 已知函数． （1）当时， （I）求处的切线方程； （II）判断的单调性，并给出证明； （2）若恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省实验中学（中心校区）2026届高三4月阶段性测试 数学试题 2026.04 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的四则运算和模长公式求解即可. 【详解】由题意知，即， 所以， 所以， 故选：A 2. 已知随机变量，且，则展开式中各项系数之和为（ ） A. 32 B. 64 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知条件结合正态分布的性质求出，再利用赋值法求出系数和. 【详解】因为，所以，解得， 设， 则当时，， 故选：A. 3. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】举出反例得到充分性不成立，两边平方得到必要性成立. 【详解】若，满足，不能得到，充分性不成立， 因为，若，两边平方得，必要性成立. 则“”是“”的必要不充分条件. 故选：B． 4. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用对数函数的单调性得出，再利用对数的运算性质得出即可. 【详解】，，则， ， ， 则，则. 5. 过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用直线与圆的位置关系，结合切线的性质及二倍角公式计算即可. 【详解】设，圆的圆心为，半径，两切点为， 如下图所示，则， 易知， ， 即. 故选：B 6. 设函数，直线分别交函数和的图象于点P，Q，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】设P点的横坐标为a，由题设可得关于与的关系，故可求其最小值. 【详解】设P点的横坐标为a，Q点的横坐标为b，则， 于是． 设，则， 当时，；当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 于是当时该函数取得极小值，亦为最小值，即， 因此所求的最小值为1． 故选：A 7. 已知是曲线上的四点，其中，且成等差数列，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】数形结合，根据三角函数图象的对称性，结合等差数列的概念，利用二倍角公式求值. 【详解】如图： 周期为，所以在上由于三角函数图象的对称性得，关于对称， 同理关于对称， 所以． 又因为成等差数列，所以， 所以，所以. 故选：C 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，过作的垂线与在第一象限内交于点，且．设的离心率为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据椭圆定义和已知线段关系求出相关线段长度，再通过三角函数关系求出，最后利用余弦定理建立关于椭圆离心率的方程并求解. 【详解】 如图，连接，设与交于点 M. 由，可设，则，其中， 由椭圆的定义，得，从而， 又因为，所以，在中，设， 则为锐角，所以，即， 由余弦定理，得，即，解得. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的部分图像如图所示，则（ ） A. B. C. 在上单调递增 D. 若为偶函数，则 【答案】AC 【解析】 【分析】借助图像分别计算A=1，，，得，进而结合三角函数的奇偶性、单调性对选项逐一分析即可. 【详解】由图像可知A=1,,则，则， 故，且过点，则， ，因为，所以， 故，故A 正确，B错误； ，令， 在时单调递增， 则在上单调递增，故C正确； 为偶函数，则， 即，故D错误； 故选：AC. 10. 已知圆，直线，点为圆上一点，点为坐标原点，则下列叙述正确的有（　　） A. 的最小值为 B. 当时，直线与圆相切 C. 的最小值为 D. 若圆上有且仅有三个点到直线的距离为，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，利用由求解即可；对于B，利用直线与圆位置关系求解即可；对于C，由的几何意义为圆上一点与原点连线的斜率，结合斜率公式即可求解；对于D，根据几何关系，得圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】已知圆的方程可化为， 故圆心，半径， 对于A：因为为圆上一点，所以，故A正确； 对于B：当时，直线， 根据点到直线的距离公式，得圆心到直线的距离， 所以直线与圆不相切，故B错误； 对于C的几何意义为圆上一点与原点连线的斜率， 设，则直线的方程为， 当直线与圆相切时，圆心到直线的距离， 解得，所以，故C正确； 对于D：因为圆的半径，要使圆上有且仅有三个点到直线的距离为， 则圆心到直线的距离， 由点到直线的距离公式，即，解得，故D错误． 故选：AC． 11. 如图，三棱台中，平面，则（　　） A. 三棱台的体积为 B. 平面 C. D. 若点在侧面上运动，且与平面所成角的正切值为4，则点在侧面上的轨迹长度为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A项，直接由棱台的体积公式求解；对于B，C项，由线面垂直判定定理求解；对于D项，作于点，则平面为与平面所成角，得在侧面上的轨迹是以为圆心，半径为的半圆，即可求解． 【详解】A选项：， ，故A正确； B选项：平面 ， 平面 平面 ， 又为的中点， ，平面， 平面，故B正确； C选项：由B选项答案可知平面， 若，而平面， 则平面， ，与条件矛盾，故错误； D选项：如图，在平面中，作于点， 由B选项答案可知，平面， ，平面， 平面为与平面所成角， 依题意，又， 又． 在侧面上的轨迹是以为圆心，半径为的半圆， 轨迹长度为，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，满足，，且，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由向量垂直得到，再通过，平方即可求解. 【详解】因为， 所以，展开得：， 代入得：， 对两边平方得：， 展开左边：， 代入、， ​计算：， 即， 因为模长为非负数，所以. 13. 某小区共有3个核酸检测点同时进行检测，有6名志愿者被分配到这3个检测点参加服务，6人中有4名“熟手”和2名“生手”，1名“生手”至少需要1名“熟手”进行检测工作的传授，每个检测点至少需要1名“熟手”，且2名“生手”不能分配到同一个检测点，则不同的分配方案种数是______． 【答案】 【解析】 【分析】先把4名“熟手”分为人数为的三组，再分到三个检测点，然后把2名“生手”分配到3个检测点中的2个，由乘法原理计算可得． 【详解】解：根据题意，可先把4名“熟手”分为人数为的三组，再分配到3个检测点，共有种分法， 然后把2名“生手”分配到3个检测点中的2个，有种分法， 所以共有种不同的分配方案. 故答案为： 14. 函数，，若对于任意，存在使得成立，则正数k的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】通过，对于结合基本不等式求得最小值，对于通过求导确定最小值，即可求解. 【详解】对任意，存在使得， 等价于  ， ，  令，得， 时，，单调递减， 时，，单调递增， 因此最小值为： ， ，  ，  ，  当且仅当等号成立，  ，故   因为，所以，即，  ， 因此正数的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某工厂为生产一种精密管件研发了一台生产该精密管件的车床，该精密管件有内外两个口径，监管部门规定“口径误差”的计算方式为：管件内外两个口径实际长分别为，标准长分别为则“口径误差”为只要“口径误差”不超过就认为合格，已知这台车床分昼､夜两个独立批次生产．工厂质检部在两个批次生产的产品中分别随机抽取40件作为样本，经检测其中昼批次的40个样本中有4个不合格品，夜批次的40个样本中有10个不合格品． （Ⅰ）以上述样本的频率作为概率，在昼夜两个批次中分别抽取2件产品，求其中恰有1件不合格产品的概率； （Ⅱ）若每批次各生产1000件，已知每件产品的成本为5元，每件合格品的利润为10元；若对产品检验，则每件产品的检验费用为2.5元；若有不合格品进入用户手中，则工厂要对用户赔偿，这时生产的每件不合格品工厂要损失25元．以上述样本的频率作为概率，以总利润的期望值为决策依据，分析是否要对每个批次的所有产品作检测？ 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）昼批次不做检测为好；夜批次做检测为优. 【解析】 【分析】（Ⅰ）先分别求出昼批次和夜批次合格品的概率，再由独立事件同时发生的概率公式，即可求解； （Ⅱ）分别求出昼批次和夜批次不做检测的利润期望值和都做检测的利润期望值，加以对比，即可得出结论. 【详解】（Ⅰ）以样本的频率作为概率，在昼批次中随机抽取1件为合格品的概率是， 在夜批次中随机抽取1件为合格品的概率是， 故两个批次中分别抽取2件产品，其中恰有1件不合格产品的概率为． （Ⅱ）①若对所有产品不做检测， 设为昼批次中随机抽取1件的利润，的可能取值为10，， 所以的分布列为 10 0.9 0.1 所以， 故在不对所有产品做检测的情况下， 1000件产品的利润的期望值为， 设为夜批次中随机抽取1件的利润，的可能取值为10，， 所以的分布列为 10 0.75 0.25 所以， 故在不对所有产品做检测的情况下， 1000件产品的利润的期望值为， ②若对所有产品做检测， 昼批次1000件产品的合格品的期望为900件，不合格品的期望为100件， 所以利润为， 夜批次1000件产品的合格品的期望为750件，不合格品的期望为250件， 所以利润为， 综上，昼批次不做检测的利润期望6500大于做检测的利润期望6000， 故昼批次不做检测为好； 夜批次不做检测的利润期望1250小于做检测的利润期望3750， 故夜批次做检测为优． 【点睛】本题考查独立事件同时发生的概率求法、离散型随机事件的分布列和期望，考查计算求解能力，属于中档题. 16. 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求证：； （2）若的角平分线交BC于，且，求面积的取值范围． 【答案】（1） 因为，由正弦定理得 又，所以 因为为锐角三角形，所以，， 又在上单调递增，所以，即； （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理，结合正弦函数的单调性进行求解即可； （2）根据正弦定理和三角形面积公式进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，，所以在中，， 由正弦定理得：，所以， 所以． 又因为为锐角三角形，所以，，，解得， 所以，即面积的取值范围为． 17. 已知椭圆C：，点为椭圆的右焦点，过点F且斜率不为0的直线交椭圆于M，N两点，当与x轴垂直时，． （1）求椭圆C的标准方程． （2），分别为椭圆的左、右顶点，直线，分别与直线：交于P，Q两点，证明：四边形为菱形． 【答案】（1） （2）证明：设的方程为，，， 联立得消去x，得， 易知恒成立，由韦达定理得，， 由直线的斜率为，得直线的方程为， 当时，， 由直线的斜率为，得直线的方程为， 当时，， 若四边形为菱形，则对角线相互垂直且平分，下面证， 因为， 代入韦达定理得 ， 所以，即PQ与相互垂直平分，所以四边形为菱形． 【解析】 【分析】（1）与x轴垂直时M的坐标代入椭圆方程和联立可得答案； （2）设的方程为，，，与椭圆方程联立，由韦达定理得直线的方程、直线的方程，再由求出、，可证得可得答案． 【小问1详解】 由题可知． 当与x轴垂直时，不妨设M的坐标为， 所以， 解得，． 所以椭圆C的标准方程为． 【小问2详解】 设的方程为，，， 联立得消去x，得， 易知恒成立，由韦达定理得，， 由直线的斜率为，得直线的方程为， 当时，， 由直线的斜率为，得直线的方程为， 当时，， 若四边形为菱形，则对角线相互垂直且平分，下面证， 因为， 代入韦达定理得 ， 所以，即PQ与相互垂直平分，所以四边形为菱形． 18. 为数列的前项和，已知. （1）设，证明：，并求； （2）证明：. 【答案】（1）证明：由，，得， 由，可知. 可得. 所以. 所以当时 . 因为，所以，，因此. （2）证明：由（1）可知. 于是. 因此. 【解析】 【分析】（1）由题得，，两式相减即得，再利用累加法求出； （2）求出，再利用裂项相消法得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 已知函数． （1）当时， （I）求处的切线方程； （II）判断的单调性，并给出证明； （2）若恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）（I）；（II）单调递增，， 设，则单调递增， 所以，即， 所以当时，单调递增. （2） 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义可求得切线的斜率，从而可求切线方程；由，令，求导判断单调性得，即可求解； （2）当，取判断不成立；当时，三次求导结合隐零点进行判断不成立；当时，，可得，即. 【小问1详解】 当时，，可得. （I）， 所以在处的切线方程为，即. （II）略 【小问2详解】 设， 由题意恒成立. ①当时，不恒成立，不合题意； ②当时，设，， ，，， 设，，，单调递增， 由零点存在定理得，使得. 在上，，即， 所以在上单调递减，，不恒成立，不合题意； ③当时， ， 则， 当时，，即，则， 所以当时，单调递增. 可得：，即，所以. 综上，的取值范围为． 【点睛】不等式恒成立问题常见方法： ①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）； ②数形结合( 图象在 上方即可)； ③分类讨论参数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $