精品解析：福建省厦门双十中学2025-2026学年高二下学期第一次月考数学试题

厦门双十中学2024级高二下第一次月考 数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】根据组合数与排列数的计算公式，将原方程化简整理，即可求出结果. 【详解】由，可得：,且， 解得：. 故选：A 2. 已知函数的图象与轴相交于点，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据切点处切线斜率与导数之间的关系求解. 【详解】因为函数的图象与轴相交于点， 所以令，得，即点的坐标为， 又因为，所以， 所以切线方程为：，即． 故选：B. 3. 某中学第一党支部拟选4名党员到三个社区做志愿服务，要求每个社区至少有一名党员，则不同的安排方法共有（　　）种 A. 12 B. 24 C. 36 D. 72 【答案】C 【解析】 【详解】从4名党员中选出2人作为一组，剩余2人各成一组，分组方法数为组合数. 将分好的3组全排列，对应3个不同的社区，排列方法数为. 根据分步乘法计数原理，总安排方法数为种. 4. 已知事件A与事件B相互独立，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对立事件的概率公式，求得，独立事件的概率公式和条件概率的公式，即可求解. 【详解】因为事件A与事件B相互独立，且，可得，且， 则. 故选：A. 5. 已知函数，方程解的个数有两个，则的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，求导得，令，解得， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故在处取得最小值. 再分析函数极限处取值，当时，，，乘积趋近于，所以；当时，. 方程有两个解等价于直线与图象有两个交点，结合最小值及函数极限趋势，可得. 6. 的展开式中，的系数是（ ） A. 60 B. 30 C. 20 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】先对目标式合理变形，再利用二项式定理多次展开求解系数即可. 【详解】由题意得， 由二项式定理得的通项为， 欲求的系数，则令，此时对应项为， 后续我们再从找到只含的项即可， 由二项式定理得的通项为， 令，解得，此时对应项为， 故的系数为，故A正确. 故选：A 7. 小明用3D打印机制作了一个底面各边边长均不相等的四棱锥模型，现将此模型的每一个面都涂上一种颜色，其中有公共边的两个面异色，现有5种颜色可供使用，则有（     ）种不同的涂色方法 A. 320 B. 360 C. 420 D. 480 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知最少用三种颜色，以所用的颜色数分类讨论求解即可. 【详解】 如图： 当用种颜色时，即平面，平面，平面，涂种不同的颜色， 平面与平面同色，平面与平面同色，所以有种方法； 当用种颜色时，即平面，平面，平面，涂种不同的颜色， 从平面与平面中选一个涂第四种颜色，另一面与所对的面同色即可，所以有种方法； 当用种颜色时，即个面涂不同的颜色，有种方法， 所以总共有种方法， 故选：C 8. 已知函数，若有最小值，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过求导讨论参数范围确定存在最小值的条件，利用导数零点关系将双变量的最小值转化为关于零点的单变量函数，求导判断单调性后得到最小值的取值范围. 【详解】对，求导得： ， 当时，则，在上单调递增，函数无最小值，舍去； 当时，令，则，所以即在上单调递增， 又，故，在上单调递增，函数无最小值，舍去； 当​时，，时，， 令得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 故存在唯一极小值点，满足，此时最小值. 由得​​， 所以， 设，求导化简得 ， 故在单调递减， 且当时，；当时，， 因此，即. 【点睛】本题考查导数研究函数的最值与值域，运用转化化归思想，将双变量问题转化为单变量函数求值域，核心是利用导数分析函数的单调性与极值最值. 二、多选题：一本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则（　　） A. 的展开式中，二项式系数最大项为第10项 B. C. 的展开式的各二项式系数之和为 D. 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A，在的展开式共有项，二项式系数最大项为第项，故A错误， 对于B，通项公式，令，则，故B正确， 对于C，根据二项式系数之和的性质可知，的展开式的各二项式系数之和为，故C正确， 对于D，令，得， 令，得，，故D正确. 10. 在某次太空旅行中，宇航员们要对需要完成的A，B，C，D，E，F六个科学实验进行排序，则下列说法正确的是（ ） A. 若A，B相邻，则不同的排序种数有240种 B. 若C，D相隔一个实验，则不同的排序种数有96种 C. 若E不在第一个，F不在最后一个，则不同的排序种数有504种 D. A排在B，C之前的概率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于ABC，根据题意结合排列数、组合数分析求解；对于D，根据排列组合结合古典概型分析求解. 【详解】对于A，若A，B相邻，则不同的排序种数有种，故A正确； 对于B，若C，D相隔一个实验，则不同的排序种数有种，故B错误； 对于C，若E不在第一个，F不在最后一个，则不同的排序种数有种，故C正确； 对于D，A排在B，C之前的概率为，故D正确. 故选：ACD. 11. 伯努利不等式，是分析不等式中最常见的一种不等式，由数学家伯努利・雅各布提出，其形式为：，则．则下列成立的是（　　） A. 若，则当且仅当时伯努利不等式的等号成立 B. 若，则 C. D. 当且时，若不等式恒成立，则 【答案】AD 【解析】 【分析】本题主要通过作差法，举反例，求导分析函数性质以及利用伯努利不等式等方法，分别对各选项中的不等式进行判断，确定其正确性. 【详解】在A选项中，当时，对，作差可得：  ， 因为，所以， 又，所以差为，且仅当， 即等号仅在成立，所以A正确， 在B选项中，对任意，，不等式不一定恒成立， 比如取， 时， 左边， 右边， 此时左边右边，不等式不成立，所以B错误， 在C选项中，设， 计算可得：， 又因为， 所以， 当接近时，， 当或时，， 因此最小值为，不存在使得， 所以C错误， 在D选项中，已知原不等式， 对，恒成立， 由伯努利不等式得：， 故只需恒成立。 若，不等式变为， 令，即，这对所有恒成立， 若，可求得的最小值为： ，存在使得不等式不成立， 若，则， 所以，所以右邻域存在使得： ，不等式不成立，因此只有满足条件， 所以D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 英才高二年级男女生人数之比为11∶9，4月2日视力检测统计结果为男生近视率为0.7，女生近视率为0.5，则英才高二年级学生的近视率为______. 【答案】0.61## 【解析】 【分析】根据全概率公式计算求解. 【详解】根据全概率公式可得英才高二年级学生的近视率为. 故答案为：. 13. 已知函数为减函数，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】通过，在恒成立，分离参数，得到 ，再通过换元，转换成求二次函数最值即可求解. 【详解】求导得： ， 由题意，在恒成立， 即 ，在恒成立， 即大于等于的最大值， 由，代入右边化简： 令，则， 设二次函数，该二次函数开口向下，对称轴为， 代入对称轴得最大值： ， 故，因此的取值范围是. 14. 如图，现有一个圆锥形的铁质毛坯材料，底面半径为6，高为8.某工厂拟将此材料切割加工成一个圆柱形构件，并要求此材料的底面加工成构件的一个底面，则可加工出该圆柱形构件的最大体积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用几何体的轴截面进行计算，结合导数求得圆柱形构件的最大体积. 【详解】画出圆锥及圆柱的轴截面如下图所示. 其中，，四边形为矩形. 设圆柱的底面半径为，即， 则，即. 所以圆柱的体积为，. ， 由于，所以在区间上，单调递增；区间上，单调递减. 所以在处取得极大值也即是最大值为： . 故答案为： 【点睛】本小题主要考查圆锥的最大内接圆柱有关计算，考查利用导数求最值，属于中档题. 四、解答题：共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 从6名男医生和3名女医生中选出5人组成一个医疗小组，请解答下列问题： （1）如果这个医疗小组中男女医生都不能少于2人，共有多少种不同的建组方案？（用数字作答） （2）男医生甲要担任医疗小组组长，所以必选，而且医疗小组必须男女医生都有，共有多少种不同的建组方案？ （3）男医生甲与女医生乙不被同时选中的概率.（化成最简分数） 【答案】（1）75；（2）65；（3）. 【解析】 【分析】(1)易得可能的情况有男医生3人女医生2人和男医生2人女医生3人.再用组合的方法求解即可. (2)先求得不考虑必须男女医生的总情况数,再减去只有男医生的情况数即可. (3)先计算男医生甲与女医生乙被同时选中的概率,再用1去减计算即可. 【详解】(1)由题可能的情况有男医生3人女医生2人和男医生2人女医生3人, 共种不同的建组方案. (2)由题,除开男医生甲后不考虑必须男女医生都有的建组方案共种,其中只有男医生的情况数有,不可能存在只有女医生的情况.故共有种不同的建组方案. (3)由题, 男医生甲与女医生乙被同时选中的概率为.故男医生甲与女医生乙不被同时选中的概率为. 【点睛】本题主要考查了组合的实际运用题,需要根据题意分析特殊元素满足的条件求解.同时在事件的正面情况数较多的情况下可以考虑先求事件的对立事件.属于中档题. 16. 在三棱锥 中， 平面 分别是 的中点，点 在棱 上，且 . （1）求证: 平面 ; （2）若 ，求平面 与平面 夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：连接AP并延长交BD于点N，连接NC， 过点M作BD的平行线交AN于点E， 因为，且M，P分别是 的中点， ，即，又因为， 所以，又因为平面，平面， 所以 平面 ； （2） 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，利用线面平行的判定可得证； （2）建立空间直角坐标系，分别求出平面 与平面 的法向量，利用公式求出即可 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取CD的中点T，连接，则， 设，以T为坐标原点，分别以TB，TD，垂直于平面的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图， 那么， 设平面的法向量为，， 所以， 令，则， 所以平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 因为平面的法向量为， ， 所以平面 与平面 夹角的余弦值为 【点睛】 17. 设，函数 （1）讨论函数的单调性； （2）若是函数的极大值点，证明： 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出导函数，再分类讨论求出和的解，即可求出单调性； （2）由（1）可知当时，有，构造，研究其最小值即可，当时，有，判断即可. 【小问1详解】 定义域为， ， ①当时，得，得， 则在上单调递减，在上单调递增； ②当时，得或，得， 则在上单调递减，在和上单调递增； ③当时，，则在上单调递增； ④当时，得或，得， 则在上单调递减，在和上单调递增， 综上可得，①当时，在上单调递减，在上单调递增； ②当时，在上单调递减，在和上单调递增； ③当时，在上单调递增； ④当时，在上单调递减，在和上单调递增 【小问2详解】 由（1）可知，当存在极大值时，， 当时，有，则， 设，， 则， 设，， 则在上单调递增， 又，则得；得； 可知在上单调递减，在上单调递增， 则， 可知； 当时，有，则； 综上可知成立 18. 已知椭圆：（）的长轴长与短半轴长的比值为. （1）求椭圆的离心率； （2）过点的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点. （ⅰ）若直线的斜率为1，求椭圆的焦距的取值范围； （ⅱ）若面积的最大值为，求椭圆的标准方程. 【答案】（1） （2）（ⅰ）;（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据的关系，结合离心率的公式可得答案； （2）（ⅰ）联立方程，根据判别式大于零可得的范围，从而可得焦距的范围； （ⅱ）联立方程，求出弦长和高，根据面积表达式可得最大值，进而可得方程. 【小问1详解】 因为长轴长与短半轴长的比值为，所以，即， 离心率. 【小问2详解】 （ⅰ）由（1）知，椭圆方程为， 直线 l 方程为，代入椭圆方程：，即， 直线与椭圆有两个交点，故判别式，由可得. 焦距为， 即椭圆的焦距的取值范围为. （ⅱ）易知直线的斜率存在，设直线的方程为，与椭圆方程联立可得， 设，则，即， ， ， 原点 O 到直线 l 的距离， ， 令，由可得， 则， 当时，有最大值，令，可得，此时，符合题意； 当时，有最大值，令，可得（舍）， 所以方程为. 19. 已知函数，（其中）． （1）当时，直线是曲线的一条切线，求实数的值； （2）若方程有两个不同的实数根，证明： （i）； （ii）． 【答案】（1） （2）（i）证明见解析（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数求切线斜率，结合切点在切线上的条件，列方程求解切线截距； （2）（i）通过根的关系转化不等式，换元构造单变量函数，利用导数证明单调性完成双变量不等式证明；（ii）结合（i）的结论放缩，构造辅助函数证明，再用基本不等式完成最终证明. 【小问1详解】 ，定义域，， 设切点为，切线斜率，即：，整理得， 解得（舍去，）， 切点坐标为，计算得， 切点在切线上，，故，解得. 【小问2详解】 原方程，代入化简得，整理得， 即，方程有两个不同正根，且满足：. （i）由，得，因为，所以， 要证，需证，即证， 令，则不等式化为， 设，则， 所以在单调递增，，即，，原不等式得证. （ii）首先由(i)得，故， 又，故，得. ， 下证：令，则，所以在单调递减. 所以，即，. 所以，又由可得， 令，则，所以单调递增，可得， 所以，因为，所以， 所以. 【点睛】本题是典型的导数与双变量不等式证明综合题，核心技巧为： （1）切线问题：导数求斜率 + 切点双重身份； （2）双变量不等式：换元转化为单变量 + 构造函数 + 导数分析单调性； （3）不等式放缩：利用已知结论、函数单调性、基本不等式逐步推导. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门双十中学2024级高二下第一次月考 数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 2. 已知函数的图象与轴相交于点，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 某中学第一党支部拟选4名党员到三个社区做志愿服务，要求每个社区至少有一名党员，则不同的安排方法共有（　　）种 A. 12 B. 24 C. 36 D. 72 4. 已知事件A与事件B相互独立，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，方程解的个数有两个，则的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 6. 的展开式中，的系数是（ ） A. 60 B. 30 C. 20 D. 10 7. 小明用3D打印机制作了一个底面各边边长均不相等的四棱锥模型，现将此模型的每一个面都涂上一种颜色，其中有公共边的两个面异色，现有5种颜色可供使用，则有（     ）种不同的涂色方法 A. 320 B. 360 C. 420 D. 480 8. 已知函数，若有最小值，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 二、多选题：一本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则（　　） A. 的展开式中，二项式系数最大项为第10项 B. C. 的展开式的各二项式系数之和为 D. 10. 在某次太空旅行中，宇航员们要对需要完成的A，B，C，D，E，F六个科学实验进行排序，则下列说法正确的是（ ） A. 若A，B相邻，则不同的排序种数有240种 B. 若C，D相隔一个实验，则不同的排序种数有96种 C. 若E不在第一个，F不在最后一个，则不同的排序种数有504种 D. A排在B，C之前的概率为 11. 伯努利不等式，是分析不等式中最常见的一种不等式，由数学家伯努利・雅各布提出，其形式为：，则．则下列成立的是（　　） A. 若，则当且仅当时伯努利不等式的等号成立 B. 若，则 C. D. 当且时，若不等式恒成立，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 英才高二年级男女生人数之比为11∶9，4月2日视力检测统计结果为男生近视率为0.7，女生近视率为0.5，则英才高二年级学生的近视率为______. 13. 已知函数为减函数，则实数的取值范围是___________． 14. 如图，现有一个圆锥形的铁质毛坯材料，底面半径为6，高为8.某工厂拟将此材料切割加工成一个圆柱形构件，并要求此材料的底面加工成构件的一个底面，则可加工出该圆柱形构件的最大体积为__________. 四、解答题：共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 从6名男医生和3名女医生中选出5人组成一个医疗小组，请解答下列问题： （1）如果这个医疗小组中男女医生都不能少于2人，共有多少种不同的建组方案？（用数字作答） （2）男医生甲要担任医疗小组组长，所以必选，而且医疗小组必须男女医生都有，共有多少种不同的建组方案？ （3）男医生甲与女医生乙不被同时选中的概率.（化成最简分数） 16. 在三棱锥 中， 平面 分别是 的中点，点 在棱 上，且 . （1）求证: 平面 ; （2）若 ，求平面 与平面 夹角的余弦值. 17. 设，函数 （1）讨论函数的单调性； （2）若是函数的极大值点，证明： 18. 已知椭圆：（）的长轴长与短半轴长的比值为. （1）求椭圆的离心率； （2）过点的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点. （ⅰ）若直线的斜率为1，求椭圆的焦距的取值范围； （ⅱ）若面积的最大值为，求椭圆的标准方程. 19. 已知函数，（其中）． （1）当时，直线是曲线的一条切线，求实数的值； （2）若方程有两个不同的实数根，证明： （i）； （ii）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $