精品解析：广东惠州中学2025-2026学年高二年级第二学期4月月考数学试题

惠州中学2025－2026学年高二年级第二学期4月月考 数学 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知数列是等比数列，公比，前项和为，满足，且，则（ ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由前项和的定义及等比数列的通项公式求解即可. 【详解】因为，， 所以， 即， 解得或， 又因为，所以. 2. 圆与圆的公切线条数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】判断两圆的位置关系即可. 【详解】圆，圆， 则，半径为；，半径为， 则， 则两圆相离，故公切线条数为. 故选：A 3. 已知函数在处取得极小值，则（   ） A. B. C. 或 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】求出导函数，根据已知得出方程，求解得出的值.代入检验，即可得出； 【详解】由已知. 又函数在处取得极小值， 所以有，解得或. 当时，有. 解可得，或，所以在上单调递增，在上单调递增； 解可得，，所以在上单调递减. 所以，函数在处取得极小值，满足条件； 当时，有. 解可得，或，所以在上单调递增，在上单调递增； 解可得，，所以在上单调递减. 所以，函数在处取得极大值，不满足条件，舍去. 综上，. 4. 惠州中学高二开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有（ ） A. 36种 B. 64种 C. 72种 D. 120种 【答案】B 【解析】 【分析】根据两类选修课程数分类求解即可. 【详解】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有种； （2）当从8门课中选修3门，①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有种； ②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有种； 综上所述，不同的选课方案共有种． 5. 函数在的图象大致为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据定义判断是奇函数排除B；根据时，，故排除选项A；求导，利用导数判断单调性和极值点可排除D，进而可得正确选项. 【详解】因为函数的定义域为，关于原点对称， 由， 所以是奇函数，图象关于原点对称，故排除选项B； 当时，，故排除选项A； 当时，；当时，， 所以函数在上的极大值点为，故排除选项D， 故选：C. 6. 若直线是曲线与曲线的公切线，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，设切点为，由导数求出切线的斜率，进而使用点斜式求出切线的方程，与比较系数，即可求得切线方程为，设，设切点为，同理可求出切线的方程，再与比较系数，即可求得的值. 【详解】设，，设切点为，则切线斜率为， 则切线方程为，即， 由题意得，即，解得， 即与的公切线为， ，，设切点为，则切线斜率为， 则切线方程为，即， 由题意得，即，解得， 故选：A. 7. 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法.商功》中描述过如图所示的“三角垛”，最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，⋯⋯，第层有个球，则数列的前6项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意列出递推公式，结合累加法、等差数列前项和公式、裂项相消法进行求解即可. 【详解】由题意可知：， 这些等式相加，得， 显然适合上式，故， 所以， 所以的前6项和为. 故选：D 8. 已知函数，若函数有4个不同的零点则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数作出函数的图象，转化条件为的图象与直线有个交点，数形结合即可得解. 【详解】由题当时，，所以， 所以当时，，当时，； 所以在区间上单调递增，在上单调递减， 当时，当时，； 当时，； 所以可作出函数的图象，如下图， 若要使函数有个不同的零点， 所以的图象与直线有个交点， 即，解得. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列四个命题中正确的是（ ） A. 过点且斜率为的直线与直线之间的距离是 B. 数列满足，则 C. 等差数列满足，则 D. 过作直线与圆交于A，B 两点，则的最小值为2 【答案】BD 【解析】 【分析】利用平行线间距离公式求解判断A；利用累加法求解判断B；利用等差数列性质计算判断C；利用圆的弦长公式，结合圆的性质计算判断D. 【详解】对于A，过点且斜率为的直线方程为，即， 因此所求距离为，A错误； 对于B，由，得， 则，B正确； 对于C，在等差数列中，由，得，则，C错误； 对于D，圆的圆心，半径，，点在圆内， 则圆心到直线距离最大值为，所以的最小值为，D正确. 10. 已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，准线为直线，直线与交于两点，则下列说法正确的是（ ） A. 点到直线的距离是4 B. 若的方程是，则的面积为3 C. 若的中点到直线的距离为3，则 D. 若点在直线上，则 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，根据抛物线的定义即可求得；B选项，联立直线与抛物线方程，求出交点即可求得面积；C选项，依据抛物线的定义进行转化即可求得；D选项，设直线方程与抛物线联立，借助韦达定理设而不求求解. 【详解】对于选项A，由题意可知抛物线的焦点为，准线的方程为，所以点到直线的距离是2，故A错误； 对于选项B，由得，解得或， 所以6，又与轴的交点为，所以，所以的面积为，故B正确； 对于选项C，因为的中点到直线的距离为3，所以，即，所以，故C错误； 对于选项D，设：，，， 由得，，，， 因为，所以，故D正确. 故选：BD. 11. 已知函数与及其导函数与的定义域均为，的图象关于点对称，的图象关于直线对称，且，，若，则（ ） A. B. C. 4为的周期 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A：根据，积分后结合，求得，即可判断；对B：对，令，结合，即可判断；对C：根据关于对称，以及关系，求导后可得；再根据A中推导可得，即可求得，从而求得的周期；对D：根据的周期，求得为的周期，根据周期性，结合，即可判断. 【详解】对A：的图象关于点对称，故可得， 对其积分可得(为常数)，令，则； 由可得，故，也即，故A正确； 对B：若成立，令，则可得，也即； 而根据已知条件可知，相互矛盾，故B错误； 对C：已知，令为可得， 又关于对称，则，故，也即， 对其求导可得，也即，令为，则； 由A知：，故可得，令为，则， 再令为，则，故，故为的周期，C正确； 对D：由C推导可知，令为可得；由A推导可知， 联立可知，也即，故为的周期； 又，则，又为的周期可知：， 故，也即，故为的周期； 则，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 从5名女老师和3名男老师中选出一位主考和两位监考参加2025年高考某考场的监考工作．要求主考固定在考场前方监考，一女教师在考场内流动监考，另一位教师固定在考场后方监考，则不同的安排方案种数为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，分为选三个女教师，选两个女教师，一个男教师和选一个女教师，两个男教师，三类情况讨论，结合排列数和组合数公式，以及分类计数原理，进行计算，即可求解 【详解】根据题意，可分为三类： ①选三个女教师，全排列即可，不同的安排方案有（种）； ②选两个女教师，一个男教师，其中男教师只能担任主考或后方监考，两名女教师安排在剩余的两个位置，不同的安排方案有（种） ③选一个女教师，两个男教师，其中女教师必须担任流动监考，两名男教师安排在主考和后方监考两个位置，不同的安排方案有（种）． 由分类计数原理得，不同的安排方案种数为． 故答案为：. 13. 已知双曲线的左、右焦点为，过的直线交双曲线右支于，若，且，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由向量数量积可知，设，结合双曲线定义可表示出，由可求得，由此可得，利用勾股定理，结合双曲线的关系可构造方程求得结果. 【详解】，， 设，由得：，， 由双曲线定义知：，， 由得：，解得：， ，，又， 由得：，，. 故答案为：. 14. 设函数，，若，，使得，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化为，求出，然后参变分离，构造函数，利用导数求最值即可. 【详解】由题意，，当时，，，所以； 当时，，，所以， 等号仅当时成立，所以. 所以对，即，即. 令，则， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， ，因此. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知椭圆 ：（）的离心率，且椭圆过点. （1）求 的方程： （2）过点直线与椭圆有两个交点 ， ，已知轴上点，求证：. 【答案】（1）； （2）证明：依题意，直线的斜率存在，设直线的方程：， 由消去，得， 设，显然， 则，， 所以 . 【解析】 【分析】（1）利用给定的离心率及所过的点求出即得. （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式计算得证. 【小问1详解】 由椭圆 ：的离心率，得，则， 由椭圆 过点，得，解得， 所以椭圆 的方程为. 【小问2详解】 略 16. 已知数列，满足，且． （1）求，的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）在数列的前20项中，任取两项，求这两项至少有一项是数列中的项的概率． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据递推关系得出是等差数列，结合通项公式可得答案，通过构造等比数列可求的通项公式； （2）利用分组求和的方法及错位相减法可求答案； （3）利用古典概率的求法可得答案. 【小问1详解】 因为，所以， 又，所以，所以， 是首项为0，公差为2的等差数列，所以， 由，得，所以，所以， 故，所以是等比数列，首项为，公比为3，所以， 所以的通项公式为． 【小问2详解】 ，， 令， 则， 上两式相减，得， 所以，又， 所以． 【小问3详解】 因为，的前20项分别为， 由得， 又是偶数，所以在的前20项中有4项是中的项， 所以所求概率． 17. 已知函数 （1）讨论函数的单调区间； （2）若曲线在处的切线垂直于直线，对任意恒成立，求实数的最大值； 【答案】（1）当时，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减； （2） 【解析】 【分析】（1）分和两种情况分别判断导数的正负，即可得到的单调区间； （2）由条件先求出的值，再将不等式转化为在恒成立，利用导数求出在的最小值即可得解. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导可得. 当时，恒成立，此时，在单调递增； 当时，令，解得. 当，，函数单调递增； 当，，函数单调递减. 综上可知，当时，在单调递增； 当时，在单调递增，在单调递减； 【小问2详解】 因为曲线在处的切线垂直于直线， 直线的斜率为2，故切线斜率为. 故，解得. 对任意恒成立， 即恒成立，整理可得. 令，所以的最小值即为的最大值. ，令，解得. 当，，函数单调递减； 当，，函数单调递增. 故在处取得最小值， 所以实数的最大值为. 18. 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克，）满足：当时，，（为常数）；当时，．已知当销售价格为2元/千克时，每日可销售出该商品800千克；当销售价格为3元/千克时，每日可售出150千克． （1）求的值，并确定y关于x的函数解析式； （2）若该商品的销售成本为1元/千克，试确定销售价格x的值，使店铺每日销售该商品所获利润最大． 【答案】（1），， （2）销售价格元时，利润最大. 【解析】 【分析】（1）将数据代入解析式，求出a，b的值，即可得答案. （2）由（1）可得解析式，当时，利用导数求出的单调性和最值，当时，根据基本不等式，求出的最值，分析比较即可得答案. 【小问1详解】 由题意可知时，，所以， 又当时，，所以， 解得，可得， 所以. 【小问2详解】 由题意：， 当时，， 则， 则令，解得，令，解得或， 所以在上递增，在上递减， 因为， 所以当时有最大值，且； 当时，， 当且仅当，即时取等号， 所以时有最大值，因为， 所以当时，有最大值1840，即当销售价格为5.3元/千克时，店铺所获利润最大． 19. 已知函数. （1）若，求的极值； （2）若，判断的零点个数并证明； （3）若对任意，求实数的取值范围. 【答案】（1）的极小值为，无极大值； （2） 当时，，  ，所以是一个零点， 求导得，令， ， 当时，， 当时，， 综上 ，即在上单调递增， 又， 所以存在唯一的零点， 则时，，单调递减，时，，单调递增， 所以，又， 所以在上还有一个零点， 综上，在上有且仅有两个零点； （3）. 【解析】 【分析】（1）将代入函数，确定定义域，求导分析导数的正负，确定单调性和极值； （2）将代入函数，利用零点存在性定理，结合导数分析单调性来判断； （3）根据不等式恒成立，分析函数在区间上的最小值，确保最小值非负. 【小问1详解】 当时，函数，其定义域为， 对求导，得， 设，对求导得，所以在上单调递增； 又，  当时，，即，单调递减； 当时，，即，单调递增；  所以在处取得极小值，，无极大值； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，成立， 当时，因为，所以，， 所以，所以， 当时，，令， 则， 因为，，，， 所以，所以在上单调递增，即在上单调递增， 又， ①当时，，所以， 在上单调递增，则， 所以在上单调递增；又，所以恒成立； ②当时， ， 在上单调递增， 存在，使得当时，在上单调递减， 则，时，不恒成立； 当时，恒成立，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 惠州中学2025－2026学年高二年级第二学期4月月考 数学 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知数列是等比数列，公比，前项和为，满足，且，则（ ） A. B. 4 C. D. 2 2. 圆与圆的公切线条数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 3. 已知函数在处取得极小值，则（   ） A. B. C. 或 D. 3 4. 惠州中学高二开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有（ ） A. 36种 B. 64种 C. 72种 D. 120种 5. 函数在的图象大致为（ ）． A. B. C. D. 6. 若直线是曲线与曲线的公切线，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 7. 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法.商功》中描述过如图所示的“三角垛”，最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，⋯⋯，第层有个球，则数列的前6项和为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若函数有4个不同的零点则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列四个命题中正确的是（ ） A. 过点且斜率为的直线与直线之间的距离是 B. 数列满足，则 C. 等差数列满足，则 D. 过作直线与圆交于A，B 两点，则的最小值为2 10. 已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，准线为直线，直线与交于两点，则下列说法正确的是（ ） A. 点到直线的距离是4 B. 若的方程是，则的面积为3 C. 若的中点到直线的距离为3，则 D. 若点在直线上，则 11. 已知函数与及其导函数与的定义域均为，的图象关于点对称，的图象关于直线对称，且，，若，则（ ） A. B. C. 4为的周期 D. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 从5名女老师和3名男老师中选出一位主考和两位监考参加2025年高考某考场的监考工作．要求主考固定在考场前方监考，一女教师在考场内流动监考，另一位教师固定在考场后方监考，则不同的安排方案种数为________． 13. 已知双曲线的左、右焦点为，过的直线交双曲线右支于，若，且，则______. 14. 设函数，，若，，使得，则实数的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知椭圆 ：（）的离心率，且椭圆过点. （1）求 的方程： （2）过点直线与椭圆有两个交点 ， ，已知轴上点，求证：. 16. 已知数列，满足，且． （1）求，的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）在数列的前20项中，任取两项，求这两项至少有一项是数列中的项的概率． 17. 已知函数 （1）讨论函数的单调区间； （2）若曲线在处的切线垂直于直线，对任意恒成立，求实数的最大值； 18. 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克，）满足：当时，，（为常数）；当时，．已知当销售价格为2元/千克时，每日可销售出该商品800千克；当销售价格为3元/千克时，每日可售出150千克． （1）求的值，并确定y关于x的函数解析式； （2）若该商品的销售成本为1元/千克，试确定销售价格x的值，使店铺每日销售该商品所获利润最大． 19. 已知函数. （1）若，求的极值； （2）若，判断的零点个数并证明； （3）若对任意，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $