6.2.1 排列 课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

6.2.1 排 列 第六章 计数原理 作者编号：32100 1 新知探究 问题 高二(10)班需从美美、丽丽、中中、华华4名同学中选出2名，分别参加演讲比赛和十佳歌手比赛，请问一共有多少种不同的选择方法? 演讲比赛 十佳歌手 怎么选呢 作者编号：32100 新知探究 问题 高二(10)班需从美美、丽丽、中中、华华4名同学中选出2名，分别参加演讲比赛和十佳歌手比赛，请问一共有多少种不同的选择方法? 完成一件什么事 怎么完成这件事 有什么要求 从 4 名同学中选出两名同学参加比赛 1名参加演讲比赛1名参加十佳歌手 第 2 步：选参加十佳歌手比赛的同学 第 1 步：选参加演讲比赛的同学 总计：4×3＝12种 3 4 作者编号：32100 新知探究 十佳歌手比赛 相应的选法 演讲比赛 美美 丽丽 中中 华华 丽丽 中中 华华 中中 华华 美美 丽丽 美美 丽丽 中中 丽丽 华华 丽丽 华华 美美 中中 美美 中中 丽丽 中中 华华 丽丽 中中 美美 华华 美美 华华 丽丽 华华 中中 美美 丽丽 美美 华华 美美 中中 总计：4×3＝12种 演讲比赛 十佳歌手 4 3 树状图 作者编号：32100 新知探究 问题 从1、2、3、4这四个数字中，取出3个数字排成一个三位数，共可得多少个不同的三位数？ 分析：解决这一问题可以分三个步骤： 第一步：确定百位上的数字，有 4 种选法， 第二步：确定十位上的数字，有 3 种选法， 第三步：确定个位上的数字，有 2 种选法， 根据分步计数原理：4×3×2＝24，即共24种方法. 4种 3种 百位 十位 个位 2种 作者编号：32100 新知探究 树状图 个位：3 4 2 4 2 3 3 4 1 4 1 3 2 4 1 4 1 2 2 3 1 3 1 2 百位： 1 2 3 4 十位： 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3 由此可写出所有的三位数： 123，124，132，134，142，143，213，214，231，234，241，243，312，314，321，324，341，342，412，413，421，423，431，432 作者编号：32100 新知探究 问题1和问题2都是研究从一些不同元素中取出部分元素，并按照一定的顺序排成一列，有多少种不同的方法问题，我们把这类计数问题称为排列问题. 讨论：上述两个问题的共同特点是什么？能否推广到一般情形？ 问题1. 高二(10)班需从美美、丽丽、中中、华华 4 名同学中选出 2 名，分别参加演讲比赛和十佳歌手比赛，请问一共有多少种不同的选择方法? 问题2. 从1，2，3，4这4个数中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？ 作者编号：32100 概念生成 一、排列的定义 一般地，从 n 个不同的元素中取出 m 个(m≤n)，并按一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列. ①判断一个问题是否为排列的关键是看选出的元素有没有顺序要求. 注意： ②当m＝n时的排列叫全排列. 作者编号：32100 方法归纳 排列问题的判断方法 元素的无重复性 元素被安排的有序性 检验它是否有序的依据就是变换元素的位置。 对所取出的元素任意交换其中两个，看结果是否变化。 若结果变化，则是排列问题，否则不是排列问题. 作者编号：32100 知识应用 下列问题中哪些是排列问题？ (1)从 50 名学生中抽 2 名学生开会 (2)从 50 名学生中选 2 名做正、副组长 (3)从 1，3，5，7 四个数字中，任选两个做加法 (4)从 1，2，3，5 中任取两个数相除 (5)从全体同学中选 10 人组成 1 个数学学习小组 (6)从 1 到 10 十个自然数中任取五个数组成一个集合 是 是 否 否 否 否 知识提炼 例如，在问题 2“取出不同的三位数” 中， 123与134的元素不完全相同，所以它们是不同的排列； 123与132虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同， 所以它们也是不同的排列. 两个排列相同 ⇔ ①元素完全相同； ②元素的排列顺序也相同 为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，最好采用“树状图”. 作者编号：32100 知识应用 写一写: 1. 用 0 到 4 这 5 个自然数组成的没有重复数字的全部两位数. 解析：10，12，13，14，20，21，23，24，30，31，32，34， 40，41，42，43共16个. 2. 从 a，b，c，d 中取出 2 个字母的所有排列. 解析：ab，ac，ad，ba，bc，bd，ca，cb，cd，da，db，dc共12个 典例剖析 例1 某省中学生足球预选赛每组有6支队，每支队都要与同组的其他各队在主、客场分别比赛1场，那么每组共进行多少场比赛？ 分析： a b c d e f a→主队，b→客队 a→客队，b→主队 每 2 队之间 需比赛 2 场 第一场 第二场 6 5 第一步 第二步 解析：先从这6支队中选1支为主队，然后从剩下的5支队中选1支 为客队，按照分步乘法计数原理，每组进行的比赛场数为： 6×5＝30 当堂训练 1. 高二(1)班有4个空位，安排从外校转来的2名学生坐这4个空位中的2个，有多少种安排？ 解析：先把 4个空位中的1个安排给其中一位学生，再将剩下3个空位中的1个安排给另一位学生. N＝4×3＝12. 当堂训练 2. 一位老师要给4个班轮流做讲座，每个班讲1场，有多少种轮流次序？ 第一场 第二场 第三场 第四场 4 3 第一步 第二步 第三步 第四步 2 1 解析： 先从这 4 个班级中选 1 个班做第一场讲座; 然后在从剩下的 3 个班级中选 1 个班做第二场讲座; 之后再从剩下的 2 个班级中选 1 个班做第三场讲座; 最后剩下的 1 个班做第四场讲座. 按分步乘法计数原理，讲座的轮流次序为4×3×2×1＝24种 典例剖析 例2 (1)一张餐桌上有 5 盘不同的菜，甲、乙、丙 3 名同学每人从中各取 1 盘菜，共有多少种不同的取法？ (2)学校食堂的一个窗口共卖 5 种菜，甲、乙、丙 3 名同学每人从中选一种，共有多少种不同的选法？ 分析：(1)3名同学每人从5盘不同的菜中取1盘菜；可看作是从这5盘菜中任取3盘，放在3个位置(给3名同学)的一个排列； (2)而3名同学每人从食堂窗口的5种菜中选1种，每人都有5种选法，不能看成一个排列. 典例剖析 例2 (1)一张餐桌上有 5 盘不同的菜，甲、乙、丙 3 名同学每人从中各取 1 盘菜，共有多少种不同的取法？ 解析： 可以先从这 5 盘菜中取 1 盘给同学甲； 然后从剩下的 4 盘菜中取 1 盘给同学乙； 最后从剩下的 3 盘菜中取 1 盘给同学丙， 按分步乘法计数原理，共有5×4×3＝60种不同的取法. 甲 乙 丙 5 4 第一步 第二步 第三步 3 典例剖析 解析：可以先让同学甲从 5 种菜中选 1 种，有 5 种选法； 再让同学乙从 5 种菜中选 1 种，也有 5 种选法； 最后让同学丙从 5 种菜中选 1 种，同样有 5 种选法. 根据分步乘法计数原理，不同的选法种数为 5×5×5＝125 例2 (2)学校食堂的一个窗口共卖 5 种菜，甲、乙、丙 3 名同学每人从中选一种，共有多少种不同的选法？ 方法归纳 解决此类相似问题时，首先要分清楚是不是排列问题， 其次使用分步乘法计数原理求排列总数时，要做到步骤 完整，步与步之间相互独立，然后把完成每一步的方法 数相乘即可得到总数． 作者编号：32100 当堂训练 (1)有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的取法? (2)有7种不同的书(每种不少于3本)，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的取法? 解析：(1)210； (2)343 课堂总结 1. 排列的定义： 2. 排列问题的判断方法： (1)元素的无重复性 (2)元素的有序性 从 n 个不同的元素中取出 m (m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个排列. 3. 排列的简单计算： 树状图分析、列举、分步乘法计数原理. 作者编号：32100 课后练习 1．已知下列问题，其中是排列问题的有(　　)(多选) A．从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组 B．从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动 C．从 a，b，c，d 四个字母中取出2个字母 D．从 1，2，3，4 四个数字中取出2个数字组成一个两位数 解析：  A是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序有关；B不是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序无关；C不是排列问题，因为取出的两个字母与顺序无关；D是排列问题，因为取出的两个数字还需要按顺序排成一列． AD 课后练习 2．沪宁高铁线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路部门应为沪宁线上的六个大站(这六个大站之间)准备不同的火车票的种数为(　　) A. 15 B. 30 C. 12 D. 36 解析： 对于两个大站 A 和 B，从 A 到 B 的火车票与从 B 到 A 的火车票不同，因为每张车票对应一个起点站和一个终点站，因此，每张火车票对应从 6 个不同元素(大站)中取出 2 个不同元素(起点站和终点站)的一种排列，故不同的火车票有6×5＝30(种). B 课后练习 3．有 4 名大学生可以到 5 家单位实习，若每家单位至多招 1名实习生，每名大学生至多到 1 家单位实习，且这 4 名大学生全部被分配完毕，共有多少种分配方案？ 解析： 可以理解为从 5 家单位中选出 4 家单位，分别把 4 名大学生安排到 4 家单位，共有5×4×3×2＝120种分配方案. $