精品解析：重庆市南开中学校2025-2026学年下学期九年级数学（八）

数学（八） （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑. 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 磁器口古镇为了解游客对特色小吃的喜爱程度，对前来游玩的名游客随机抽取名游客进行调查，下列说法正确的是（ ） A. 该调查方式是全面调查 B. 样本容量是 C. 名游客是总体的一个样本 D. 名游客是总体 3. 已知点在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，四边形与四边形位似，点为它们的位似中心，且四边形与四边形的周长之比为，则为（ ） A. B. C. D. 5. 如图是某种分子的结构模型图，它由空心小球和实心小球按如图所示的方式排列．第个图形共有个小球，第个图形共有个小球，第个图形共有个小球按照这一规律，第个图形中小球的个数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形内接于，已知，为上一点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，则应邀请（ ）个球队参加比赛． A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 8. 如图，在边长为的正方形中，点为正方形外部一点，连接、、、，线段、分别交边于点、，将沿翻折至正方形所在平面内，使得点的对应点恰好落在线段上，若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 已知整式：，其中为正整数，，，…，均为整数，且满足，记：，为偶数．下列说法： ①若，，则满足条件的整式共有2个，其中有1个单项式； ②若，且函数的图象与轴有交点，则满足条件的整式共有8个； ③若，，，则满足条件的整式共有9个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上. 10. 不透明袋子中有2个红球、5个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1个球，则摸出白球的概率是______． 11. 如图，，射线交于点，交于点，射线交于点，若，，则______． 12. 若为正整数，且满足，则______． 13. 若实数，同时满足，，则______． 14. 如图，是的直径，点在上，连接，以为边作平行四边形，交于点，交于点，连接，交于点，连接、，若，，，则的长度为______． 15. 我们规定，若一个四位正整数的各个数位数字互不相同，且满足千位数字比百位数字大4，则称这个四位数为“差四数”．例如：四位数7306，因为，所以7306是“差四数”．按照这个规定，最小的“差四数”是______．一个“差四数”，记，若被33整除，且是完全平方数，则所有满足条件的正整数M的和是______． 三、解答题（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上. 16. 求不等式组：的所有整数解． 解：解不等式得______， 解不等式得______， 所以，原不等式组的解集为______， 所以，原不等式组的整数解为______． 17. 在学习了三角形的中线和重心后，数学小组进行了更深入的研究，他们发现，三角形的重心到一个顶点的距离等于它到该顶点对边中点距离的两倍，可利用三角形全等和平行线的相关知识得到此结论． 请你根据他们的想法和思路，完成以下作图和推理填空： （1）如图，的两条中线和交于点．请你利用尺规作图，在下方作，延长交于点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，证明：． 证明：，是的中线， ，． 在和中， ， ． ② ． ． ③ ， ， ④ ． 即． ． 四、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上. 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 某银行为了解客户等候时长，从甲、乙两个网点各随机抽取20名客户，调查了他们办理业务的排队时间（单位：分钟），随后进行整理、分析（时间用表示，并分为四组：，，，），下面给出了部分信息： 甲网点20名客户排队时间为：5，10，15，18，25，28，29，30，30，30，32，34，35，36，38，40，46，50，54，55． 乙网点20名客户排队时间在组中的数据是：31，32，32，35，36，38，40，42． 扇形统计图中，组数据所对圆心角度数为． 甲、乙两网点抽取客户排队时间统计表 甲网点 乙网点 平均数 32.5 32.5 众数 32 中位数 31 （1）填空______，______，______； （2）根据以上数据，你认为甲、乙两个网点哪个网点办理业务更快捷？请说明理由（写出一条即可）； （3）若一周内，在甲网点办理业务的客户为700名，在乙网点办理业务的客户为960名，根据以上信息，估计这周内在两个网点办理业务排队时间不高于30分钟的客户共有多少名？ 20. 列方程解下列问题： “辉煌九秩，筑梦百年”，在建校90周年之际，九年级学生君君制作了一批手工艺品送给母校作纪念，每一件工艺品都包含一个礼盒和三张礼卡，已知材料可制作10个礼盒或50张礼卡，她现有材料，材料刚好全部用完并且制作出来的礼卡和礼盒刚好全部配套． （1）该同学可制作多少件工艺品？ （2）首批工艺品投入使用后广受好评，学校计划从企业定制“日新”、“月异”两款书签回馈校友.已知每个“月异”款书签比每个“日新”款书签少元，用4500元购进“月异”款书签的数量，比用4000元购进“日新”款书签的数量多，求每个“月异”款书签的价格是多少元？ 21. 如图，矩形的对角线、交于点，，，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿方向匀速运动，到达点时停止运动，连接，点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿方向匀速运动，至点处停止．两点同时出发，设运动时间为秒（），连接，点与点之间的距离为，的面积为，的面积为，． （1）请直接写出、关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 22. 为助力乡村振兴与智慧农业发展，某智慧农场采用“地面巡检车+低空植保无人机”协同作业模式检测作物生长情况．如图，点，，，在同一平面内，已知点在点的正北方向，点在点的北偏东方向，且在点的东北方向，点在点正东方向，且在点的正南方向处．（参考数据：，，） （1）求的长度（结果保留根号）； （2）无人机从点出发沿往处行进检测作物生长情况，巡检车从点出发沿往处行进检测作物生长情况，无人机行进一段路程后发现作物生长数据异常，于是将数据同时传输给指挥中心与巡检车（数据传输瞬时完成），此时无人机行进的路程与无人机到指挥中心的直线距离之比为，且无人机到巡检车的直线距离恰好等于无人机到指挥中心的直线距离，请问无人机传输数据时，巡检车距离指挥中心多少千米？（结果保留小数点后两位） 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线上方对称轴左侧抛物线上一动点，过点作轴交抛物线于点，作于点，过点作轴，且垂足为，点，为线段上的动点（点在点的下方），且，连接，．当取得最大值时，求点的坐标及的最小值； （3）在（2）中取得最大值的条件下，连接交线段于点，将抛物线沿射线方向平移个单位长度，记点平移后的对应点为点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 24. 如图，在中，点是边上一点（不与端点重合），连接． （1）如图1，，，线段的垂直平分线交于点，连接，若，求的度数； （2）如图2，若点是的中点，将线段绕点逆时针旋转至，使得，连接．以为斜边在上方作，且满足，连接，交的延长线于点．用等式表示线段、、的数量关系并证明； （3）如图3，，，，点是的中点，点是直线上一动点，连接，，将绕点顺时针旋转得到，连接，点是直线上一动点，连接．在点的运动过程中，当取得最小值时，在平面内将沿直线翻折得到，连接．在点的运动过程中，直接写出的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学（八） （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑. 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称，包含有限小数和无限循环小数，对各选项逐一判断即可求解． 【详解】解：A、是分数，属于有理数； B、是无限不循环小数，属于无理数； C、是有限小数，属于有理数； D、，是整数，属于有理数． 2. 磁器口古镇为了解游客对特色小吃的喜爱程度，对前来游玩的名游客随机抽取名游客进行调查，下列说法正确的是（ ） A. 该调查方式是全面调查 B. 样本容量是 C. 名游客是总体的一个样本 D. 名游客是总体 【答案】B 【解析】 【分析】根据全面调查、总体、样本、样本容量的定义，逐一判断选项正误． 【详解】解：该调查仅从全体游客中抽取部分游客进行调查，没有调查所有对象， 该调查方式是抽样调查，A错误； 样本容量是样本中包含的个体数目，本题抽取了名游客， 样本容量是，B正确； 为了了解游客对特色小吃的喜爱程度， 总体是名游客对特色小吃的喜爱程度，样本是抽取的名游客对特色小吃的喜爱程度，不是游客本身，C、D错误． 3. 已知点在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将点坐标代入解析式即可计算出的值． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ，解得． 4. 如图，四边形与四边形位似，点为它们的位似中心，且四边形与四边形的周长之比为，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用位似图形的周长比等于相似比直接求解即可． 【详解】解：四边形与四边形位似，点为它们的位似中心，且四边形与四边形的周长之比为， ． 5. 如图是某种分子的结构模型图，它由空心小球和实心小球按如图所示的方式排列．第个图形共有个小球，第个图形共有个小球，第个图形共有个小球按照这一规律，第个图形中小球的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图形总结出第个图形有个小球，然后代入求解即可． 【详解】解：第个图形有个小球； 第个图形有个小球； 第个图形有个小球； 第个图形有个小球， 第个图形的小球个数是：（个）． 6. 如图，四边形内接于，已知，为上一点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，得，求得，再根据圆的内接四边形对角互补求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 由四边形内接于， ． 7. 要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，则应邀请（ ）个球队参加比赛． A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】设应邀请个球队参加比赛，则总共需安排场比赛，根据计划安排28场比赛建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设应邀请个球队参加比赛，则总共需安排场比赛， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． 8. 如图，在边长为的正方形中，点为正方形外部一点，连接、、、，线段、分别交边于点、，将沿翻折至正方形所在平面内，使得点的对应点恰好落在线段上，若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作于点，连接，由折叠和正方形的性质可得，进而可得，，由勾股定理可求得、的长，然后得到是等腰直角三角形，，在中，由勾股定理得，列方程求解可得，的长，证明，由相似三角形的性质可得到，，在中，由勾股定理可求得，的长，再证明，由面积比等于相似比的平方即可得解． 【详解】解：如图，过点作于点，连接， 由折叠可知，，，， 四边形是正方形， ， ，， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得或， 由三边关系可知，，， ，， ， ，即， ，， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得（负值已舍去） ， ， ， ， ， ． 9. 已知整式：，其中为正整数，，，…，均为整数，且满足，记：，为偶数．下列说法： ①若，，则满足条件的整式共有2个，其中有1个单项式； ②若，且函数的图象与轴有交点，则满足条件的整式共有8个； ③若，，，则满足条件的整式共有9个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】①由，故，②当，，分类求解即可，③当，，，且，是偶数，，求解即可 【详解】解：当，，是偶数， 故是偶数，由，故， 故满足条件的整式共有3个，，其中有1个单项式， 故①错误； 当，， 当时，，由， 故，；或，； 且函数，的图象与轴有交点， 此时这些函数对应的4个整式都符合要求； 当时， 由，， 可得， 由，故异号，符合题意的函数有，，，， 此时这些函数对应的4个整式都符合要求； 当时， 由，， 故， 符合题意的函数有，，，， 此时这些函数对应的4个整式都符合要求； 当时， 由， 且，故， 符合题意的函数有，，，，，，，， 此时这些函数对应的8个整式都符合要求； ，都不符合要求； 则满足条件的整式共有20个 故②错误； 当，，， 且是偶数，则有， 则，为整数， 故只能取， 当时，，且为偶数， 故是奇数， 当时，此时三数和为奇数，故必须是偶数，故，此时符合要求的整式M有1个； 当时，此时三数和为偶数，故必须是奇数，故，此时符合要求的整式M有1个； 当时，此时三数和为奇数，故必须是偶数，不存在， 当时，此时三数和为奇数，故必须是偶数，故，此时符合要求的整式M有1个； 当时，此时三数和为偶数，故必须是奇数，故，此时符合要求的整式M有1个； 当时，此时三数和为奇数，故必须是偶数，不存在； 当时，此时三数和为偶数，故必须是奇数，故 此时符合要求的整式M有1个； 当时，此时三数和为奇数，故必须是偶数，不存在； 当时，此时三数和为偶数，故必须是奇数，故 此时符合要求的整式M有1个； 当时，此时三数和为奇数，故必须是偶数，不存在； 当时，，且为偶数， 故是偶数， 当时，此时三数和为偶数，故必须是偶数，故 此时符合要求的整式M有1个； 当时，此时三数和为奇数，故必须是奇数，故 此时符合要求的整式M有1个； 当时，此时三数和为偶数，故必须是偶数，不存在； 当时，此时三数和为奇数，故必须是奇数，故 此时符合要求的整式M有1个； 当时，，且为偶数， 故是奇数， 当时，此时三数和为奇数，故必须是偶数，不存在； 共9个，故③正确. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上. 10. 不透明袋子中有2个红球、5个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1个球，则摸出白球的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率． 本题中摸出白球的概率为白球数量与总球数的比值，据此即可求解． 【详解】解：袋中总球数为，白球有个， 因此摸出白球的概率为． 11. 如图，，射线交于点，交于点，射线交于点，若，，则______． 【答案】##25度 【解析】 【分析】根据平行线的性质，三角形外角性质求解即可． 【详解】解：，， ， ，且， ∴． 12. 若为正整数，且满足，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先估算的大小，再根据不等式的性质估算的大小，即可得解． 【详解】解：，，， ， ， 为正整数， ． 13. 若实数，同时满足，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知式子结合绝对值的性质确定、的取值范围，然后根据、的取值范围将原式进行变形后联立解方程，最后计算即可． 【详解】解：，， ，， ，， ，， ，， 原式可变形为， 由得， 将代入得， 解得， 将代入得， ． 14. 如图，是的直径，点在上，连接，以为边作平行四边形，交于点，交于点，连接，交于点，连接、，若，，，则的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】作的直径，交于于点Q，连接，，则，过点作于点M，证明四边形是矩形，过点作于点S，交于点T，证明四边形是正方形，根据勾股定理，求解即可． 【详解】解：作的直径，交于于点Q，连接， ， 为边作平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 连接， 则， 根据垂径定理，得， ， ， ， 过点作于点M， 根据题意，得， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， 过点作于点S，交于点T， 四边形是矩形， ， 由平行四边形， ， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 15. 我们规定，若一个四位正整数的各个数位数字互不相同，且满足千位数字比百位数字大4，则称这个四位数为“差四数”．例如：四位数7306，因为，所以7306是“差四数”．按照这个规定，最小的“差四数”是______．一个“差四数”，记，若被33整除，且是完全平方数，则所有满足条件的正整数M的和是______． 【答案】 ①. 4012 ②. 【解析】 【分析】根据题意，当时，a最小，且为，由四位正整数的各个数位数字互不相同，最小为1，此时d最小为2，求解，根据题意，得，一定是3的倍数，得到，或，求解即可． 【详解】解：四位正整数为“差四数”，则，当时， a最小，且为，由四位正整数的各个数位数字互不相同， 最小为1，此时d最小为2，故最小的“差四数”为4012； 根据题意，得“差四数”的千位数字a满足， 根据题意，得 ， 被33整除，且， 故一定被11整除，且， 故， ， ， 被33整除，且， 一定是3的倍数， 根据题意，得，，a、b、c、d互不相同（即b、c能同时取最大值）， ， ， ， ， ， ， 是完全平方数， 是完全平方数， 之间的完全平方数只有4和9， 或， 或， 或 或， 或， 或， 或， 故符合题意的M为和， 故． 三、解答题（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上. 16. 求不等式组：的所有整数解． 解：解不等式得______， 解不等式得______， 所以，原不等式组的解集为______， 所以，原不等式组的整数解为______． 【答案】 ；；；， 【解析】 【分析】分别求解两个不等式，取两个解集的公共部分得到不等式组的解集，再找出解集中的所有整数即可． 【详解】解：解不等式，  移项得，  合并同类项得， 系数化为得；  解不等式，  两边同乘去分母得，  化简得，  移项合并同类项得，  系数化为得，  所以，原不等式组的解集为，  所以，原不等式组的整数解为，． 17. 在学习了三角形的中线和重心后，数学小组进行了更深入的研究，他们发现，三角形的重心到一个顶点的距离等于它到该顶点对边中点距离的两倍，可利用三角形全等和平行线的相关知识得到此结论． 请你根据他们的想法和思路，完成以下作图和推理填空： （1）如图，的两条中线和交于点．请你利用尺规作图，在下方作，延长交于点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，证明：． 证明：，是的中线， ，． 在和中， ， ． ② ． ． ③ ， ， ④ ． 即． ． 【答案】（1） 解：如图所示，，延长交于点，即为所求； （2）；；； 【解析】 【分析】（1）以点为圆心，任意长为半径画弧，分别与、相交于点、；以点为圆心，相等长为半径画弧，与相交于点；以点为圆心，长为半径画弧，与前弧相交于点；过点、作射线，延长交于点，即为所求； （2）先证明，得到，从而证明，证明，从而得到，即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：，是的中线， ，． 在和中， ， ， ， ． ， ， ， 即， ． 四、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上. 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，4 【解析】 【分析】先利用分式的混合运算进行化简，再根据负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，确定字母的值，求值即可． 【详解】解：原式 ， ； 由， 得， 故原式． 19. 某银行为了解客户等候时长，从甲、乙两个网点各随机抽取20名客户，调查了他们办理业务的排队时间（单位：分钟），随后进行整理、分析（时间用表示，并分为四组：，，，），下面给出了部分信息： 甲网点20名客户排队时间为：5，10，15，18，25，28，29，30，30，30，32，34，35，36，38，40，46，50，54，55． 乙网点20名客户排队时间在组中的数据是：31，32，32，35，36，38，40，42． 扇形统计图中，组数据所对圆心角度数为． 甲、乙两网点抽取客户排队时间统计表 甲网点 乙网点 平均数 32.5 32.5 众数 32 中位数 31 （1）填空______，______，______； （2）根据以上数据，你认为甲、乙两个网点哪个网点办理业务更快捷？请说明理由（写出一条即可）； （3）若一周内，在甲网点办理业务的客户为700名，在乙网点办理业务的客户为960名，根据以上信息，估计这周内在两个网点办理业务排队时间不高于30分钟的客户共有多少名？ 【答案】（1），， （2） 甲网点办理业务更快捷，因为甲、乙两个网点的平均数相同，但甲网点的众数和中位数均小于乙网点，即甲网点办理业务更快捷； （3）名 【解析】 【分析】（1）分别根据众数和中位数的定义可得和的值，用分别减去其它三个等级所占百分比即可得出的值； （2）根据两个网点的平均数、众数、中位数对比得到结论； （3）分别求出甲、乙网点办理业务排队时间不高于分钟的客户人数占比，然后用总人数分别乘以百分比再相加即可． 【小问1详解】 解：甲网点名客户排队时间中出现次数最多的是分钟， ， 组数据所对圆心角度数为， 组数据中客户人数为（名）， 乙网点名客户排队时间按从大到小排列，排在第和名的为分钟和分钟， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：甲网点办理业务排队时间不高于分钟的客户人数占比， 乙网点办理业务排队时间不高于分钟的客户人数占比， 估计这周内在两个网点办理业务排队时间不高于分钟的客户共有：（名）． 20. 列方程解下列问题： “辉煌九秩，筑梦百年”，在建校90周年之际，九年级学生君君制作了一批手工艺品送给母校作纪念，每一件工艺品都包含一个礼盒和三张礼卡，已知材料可制作10个礼盒或50张礼卡，她现有材料，材料刚好全部用完并且制作出来的礼卡和礼盒刚好全部配套． （1）该同学可制作多少件工艺品？ （2）首批工艺品投入使用后广受好评，学校计划从企业定制“日新”、“月异”两款书签回馈校友.已知每个“月异”款书签比每个“日新”款书签少元，用4500元购进“月异”款书签的数量，比用4000元购进“日新”款书签的数量多，求每个“月异”款书签的价格是多少元？ 【答案】（1）50件 （2）3元 【解析】 【分析】（1）制作礼盒用材料，制作礼卡用材料，根据题意，得 ，求解即可； （2）设每个“月异”款书签的价格为y元，则每个“日新”款书签的价格为元，根据题意，得,解方程即可． 【小问1详解】 解：制作礼盒用材料，制作礼卡用材料，根据题意，得 ， 解得， 故， 故该同学可制作50件工艺品； 【小问2详解】 解：设每个“月异”款书签的价格为y元，则每个“日新”款书签的价格为元，根据题意，得， 整理，得， 解得， 经检验，是原方程的根； 故每个“月异”款书签的价格是3元． 21. 如图，矩形的对角线、交于点，，，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿方向匀速运动，到达点时停止运动，连接，点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿方向匀速运动，至点处停止．两点同时出发，设运动时间为秒（），连接，点与点之间的距离为，的面积为，的面积为，． （1）请直接写出、关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】（1）， （2） 画函数图象如下： 由函数图象可知，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小； （3） 【解析】 【分析】（）利用矩形的性质和勾股定理可得，，再分和求出与的函数表达式，过点作于，利用相似三角形的性质求出，进而求出及，即可求出与的函数表达式； （）根据函数解析式画出函数图象，再根据函数图象写出函数的性质即可； （）根据函数图象解答即可求解； 本题考查了一次函数与反比例函数图象的几何应用，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，正确求出函数解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 当时，由题意知， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， 当时，， 综上，， 如图，过点作于，则， ∴， ∴，即， ∴， ∴的面积， 又∵的面积， ∴， 即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由函数图象可知，当时，， ∴时的取值范围是． 22. 为助力乡村振兴与智慧农业发展，某智慧农场采用“地面巡检车+低空植保无人机”协同作业模式检测作物生长情况．如图，点，，，在同一平面内，已知点在点的正北方向，点在点的北偏东方向，且在点的东北方向，点在点正东方向，且在点的正南方向处．（参考数据：，，） （1）求的长度（结果保留根号）； （2）无人机从点出发沿往处行进检测作物生长情况，巡检车从点出发沿往处行进检测作物生长情况，无人机行进一段路程后发现作物生长数据异常，于是将数据同时传输给指挥中心与巡检车（数据传输瞬时完成），此时无人机行进的路程与无人机到指挥中心的直线距离之比为，且无人机到巡检车的直线距离恰好等于无人机到指挥中心的直线距离，请问无人机传输数据时，巡检车距离指挥中心多少千米？（结果保留小数点后两位） 【答案】（1） （2）无人机传输数据时，巡检车距离指挥中心千米 【解析】 【分析】（1）过点作交于点，可知，的度数，在中，解直角三角形可求得的长，易知四边形是矩形，得到，在中，解直角三角形可求得的长； （2）如图，无人机所在位置记为点，巡检车所在位置记为点，过点作于点，交于点，根据题意可得，，，可得到，设，根据线段之间的数量关系结合解直角三角形分别表示出、，在中，根据勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 解：如图，过点作交于点， 由题意可知，，，，， ，， 在中，， ， 四边形是矩形， ， 在中，； 【小问2详解】 解：如图，无人机所在位置记为点，巡检车所在位置记为点，过点作于点，交于点， ， ， 易知，和是等腰直角三角形， ，， 根据题意可得，，， ， 设， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ，， ， ， 在中，， ， 整理得， 解得（负值已舍去）， 即， ． 答：无人机传输数据时，巡检车距离指挥中心千米． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线上方对称轴左侧抛物线上一动点，过点作轴交抛物线于点，作于点，过点作轴，且垂足为，点，为线段上的动点（点在点的下方），且，连接，．当取得最大值时，求点的坐标及的最小值； （3）在（2）中取得最大值的条件下，连接交线段于点，将抛物线沿射线方向平移个单位长度，记点平移后的对应点为点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的性质以及待定系数法求解即可； （2）先说明，如图：过P作轴交于G，易得∴，即，则；运用待定系数法可得直线的解析式为，设点，则、，易得，，然后代入后运用二次函数的性质求最值可得；如图：将向下得到，即，作B关于的对称点，即连接，利用轴对称的性质、三角形三边关系、两点间距离公式求解即可； （3）先说明，平移后的函数关系式为，；再运用待定系数法求得直线的解析式，再与直线的解析式联立可求得点；如图：过K作轴于M，过P作轴于N，过H作轴于J，则，，利用等腰直角三角形的判定与性质、正切的定义、角的和差可得，即；如图：当在下方时，作于I，则，，即，设且，利用正切的定义、勾股定理、一次函数的图像的交点坐标可求得，运用待定系数法可求得直线的解析式为，再与平移后的抛物线解析式联立即可求得点T的坐标；同理可求得在上方的情况． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于点， ∴①， ∵抛物线的对称轴是直线， ∴，即②． ①②联立可得：， ∴抛物线表达式：． 【小问2详解】 解：令，，解得，即，故， 令，可得，即，故， ∴， ∴， 如图：过P作轴交于G， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 设点， ∵抛物线的对称轴是直线，轴交抛物线于点， ∴， ∵轴 ∴点G的横坐标为，即， ∴，， ∴， ∴当时，有最大值， ∴直线的解析式为，， 如图：将向下得到，即，作B关于的对称点，即连接， ∴ ∴， ∴的最小值为， ∴． 【小问3详解】 解：∵ ∴将抛物线沿射线方向平移个单位长度，相当于将向右平移8个单位，向上平移4个单位， ∴平移后的函数关系式为， ∵点平移后的对应点为点，， ∴， 设直线的解析式为，由（2）可得，， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 由（2）可得直线的解析式为， 联立，解得：， ∴， 如图：过K作轴于M，过P作轴于N，过H作轴于J，则，， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图：当在下方时，作于I，则，，即， ∵，， ∴， ∴，解得：，， 设且，则， 联立，解得：或（不合题意舍去）， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：或（与K重合舍去）； ∴； 如图：当在上方时，作交延长线于， 同理可得， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：或（与K重合舍去）； ∴． 综上，点的坐标为或． 24. 如图，在中，点是边上一点（不与端点重合），连接． （1）如图1，，，线段的垂直平分线交于点，连接，若，求的度数； （2）如图2，若点是的中点，将线段绕点逆时针旋转至，使得，连接．以为斜边在上方作，且满足，连接，交的延长线于点．用等式表示线段、、的数量关系并证明； （3）如图3，，，，点是的中点，点是直线上一动点，连接，，将绕点顺时针旋转得到，连接，点是直线上一动点，连接．在点的运动过程中，当取得最小值时，在平面内将沿直线翻折得到，连接．在点的运动过程中，直接写出的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线的性质结合等腰三角形底角相等，以及三角形内角和定理即可求出； （2）延长构造，结合直角三角形斜边中线等性质，导出，从而得到，最后即可得出； （3）先确定点M的轨迹为直线，又注意到线段到的几何变换为绕点D逆时针旋转并且放大倍，因此构造辅助线得出点H轨迹为直线，结合锐角三角函数与勾股定理计算得出取最小值时，再根据三角形三边关系确定的最大值，即可求解出答案为． 【小问1详解】 解：设， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得， 故． 【小问2详解】 解：如图，延长至点H，使得，连接、， 在与中， ， ， ，， D为的中点， 在中，，， ， ， ， ， ，， ， 在与中， ， ， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：如图，过点D作，在上取点F，使得，连接、、、， ，， ， ，， ， 与均为等腰直角三角形， ， ， ， ， ，， ， 点在直线上， 当时，取得最小值， 点为中点，， ， ，， ，， ， ， 在中，， ，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ，， ， 在中，， 当且仅当点D、A、三点共线时取得最大值， 最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $