精品解析：重庆市巴蜀中学教育集团2025-2026学年高二下学期4月阶段检测数学试题

高二数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再进涂其他答案标号．在试卷上作答无效． 3．考试结束后，请将答题卡交四，试卷自行保存．满分150分，考试用时120分钟． 一、单选题 1. 食堂周五提供麻婆豆腐，清炒豌豆尖，豆干回锅肉，水煮肉片，麻辣小龙虾共五道菜，其中后三道为荤菜，小轩同学任打两道菜，正好打到一荤一素的概率（ ） A. B. C. D. 2. 直线是曲线的一条切线，则实数的值为（ ） A. 2 B. C. D. 3. 立体几何，解析几何，导数，数列与概率统计这五道题排序，解析几何不能在第一道解答题，数列必须在第一道或者第二道位置，则不同的题目分配方式有（ ） A. 36种 B. 42种 C. 48种 D. 52种 4. 重庆大学和西南大学各派4人参加重庆市大学生辩论赛，比赛结束后8人分两排合影留念，最佳辩手（两校各一名）站在前排，其余人站后排，同校选手相邻，则不同的站法有（ ） A. 72种 B. 144种 C. 288种 D. 576种 5. 已知的展开式中的系数为35，则展开式中所有项的系数和为（ ） A. -90 B. 97 C. 160 D. -145 6. 赵老师在开车上班的路上，需要通过七个有红绿灯的路口．某天赵老师上班路上遇到了五个绿灯，两个红灯，则赵老师遇到的两个红灯恰好为相邻路口的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 设在上可导的函数满足，若实数满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设双曲线的右焦点为，且在一条渐近线上的投影为点，若的内切圆与的实轴切于点，且，则的渐近线方程是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 二、多选题 9. 已知数列满足，则（ ） A. B. 的前项和为 C. 的前100项和为100 D. 的前9项和为 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 设关于实数的解析式为，则（ ） A. 当时，方程有唯一解 B. 若成立，则当时， C. 当时，恒成立 D. 若成立，则当时， 三、填空题 12. 某班级举行套玩具趣味游戏，奖品只有拉布布盲盒，小熊玩偶，校庆吉祥物，分三堆摆放（每堆一个种类，个数足够），每人三个圈，一个圈只能在一堆奖品套一次．小麟同学套中拉布布盲盒，小熊玩偶，校庆吉祥物这三个奖品的概率依次为，则小麟同学恰好套中两个奖品的概率为______． 13. 设双曲线的右焦点为，过点且垂直于轴的直线交两渐近线于两点，与双曲线的一个交点为（在轴同侧）．且，则该双曲线的离心率为___________． 14. 巴蜀中学坐落于重庆市渝中区，由于地理环境优越，软硬件资质齐备，故经常被用作国家级考试考点．2026年巴蜀中学预计会被用作公务员考试，生物奥赛考试等六项国家级考试作为考点．本校职工小明，小灏，小文因精通各项考试流程，考务组计划邀请三人加入监考工作（六项考试时间不冲突）．预计安排每人至少监考一项考试，每人至多监考三项考试，每项考试，三人中有且仅有一人参与，其中小明在公务员考试，生物奥赛考试中至少安排1项监考，则三人不同的监考安排方案种数为___________． 四、解答题 15. 如图，在直三棱柱中，，是上的点，且平面． （1）求线段的长度． （2）求锐二面角的余弦值． 16. 已知函数． （1）若，求在点处切线方程； （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围． 17. 递减等比数列满足，：等差数列的前项和为，且满足，． （1）求数列，的通项公式； （2）若，且数列为递增数列，求实数的取值范围； （3）若，求数列的前项和. 18. 已知椭圆的短轴长为的左焦点为，右顶点为上点到的最短距离为1． （1）求的方程； （2）曲线上有两点（非长轴端点），满足，若直线分别交直线（为半焦距）于点，且的中点为（如图所示）． （i）求证：； （ii）记的面积分别为，请判断是否在题设的条件下，均有是和的等差中项？如果是，请写出证明过程，如果不是，请说明理由． 19. 已知 （1）若存在极值点，求的取值范围 （2）若时，对均有成立，求实数的取值范围． （3）设，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再进涂其他答案标号．在试卷上作答无效． 3．考试结束后，请将答题卡交四，试卷自行保存．满分150分，考试用时120分钟． 一、单选题 1. 食堂周五提供麻婆豆腐，清炒豌豆尖，豆干回锅肉，水煮肉片，麻辣小龙虾共五道菜，其中后三道为荤菜，小轩同学任打两道菜，正好打到一荤一素的概率（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】小轩同学任打两道菜，共有种情况；正好打到一荤一素的情况有种； 小轩同学正好打到一荤一素的概率为. 2. 直线是曲线的一条切线，则实数的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过切线斜率，确定切点坐标，即可求解. 【详解】对曲线，得： ， 因为切线的斜率为​， 由​，解得， 将代入曲线方程，得切点纵坐标， 即切点为， 切点在切线上，将切点坐标代入切线方程： ， 整理得. 3. 立体几何，解析几何，导数，数列与概率统计这五道题排序，解析几何不能在第一道解答题，数列必须在第一道或者第二道位置，则不同的题目分配方式有（ ） A. 36种 B. 42种 C. 48种 D. 52种 【答案】B 【解析】 【详解】数列排在第一道的排序方法有种； 数列排第二道时，第一道有种排法，第三、四、五道有种. 根据分步乘法计数原理，数列排第二道时的排序方法有种. 根据分类加法计数原理，不同的题目分配方式有：种. 4. 重庆大学和西南大学各派4人参加重庆市大学生辩论赛，比赛结束后8人分两排合影留念，最佳辩手（两校各一名）站在前排，其余人站后排，同校选手相邻，则不同的站法有（ ） A. 72种 B. 144种 C. 288种 D. 576种 【答案】B 【解析】 【详解】前排两名最佳辩手的站法有种， 后排同校选手相邻，根据“捆绑法”可得不同站法有种. 根据分步乘法计数原理，不同的站法有种. 5. 已知的展开式中的系数为35，则展开式中所有项的系数和为（ ） A. -90 B. 97 C. 160 D. -145 【答案】C 【解析】 【分析】先利用二项式展开式的通项，拆分出项的构成，列方程求出参数的值，再通过赋值法（令）计算展开式所有项的系数和. 【详解】的展开式通项为. 中项由两部分构成：与. 因此的系数为. 由题意，解得. 令，得展开式所有项的系数和为. 6. 赵老师在开车上班的路上，需要通过七个有红绿灯的路口．某天赵老师上班路上遇到了五个绿灯，两个红灯，则赵老师遇到的两个红灯恰好为相邻路口的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】7个路口中选2个为红灯，总情况数为组合数. 两个红灯相邻，7个路口中相邻的位置有：，共6种情况. 所以赵老师遇到的两个红灯恰好为相邻路口的概率. 7. 设在上可导的函数满足，若实数满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过已知条件构造函数，根据导数判断其单调性，最后将所给不等式转化为关于构造函数的不等式进行求解. 【详解】由条件，构造函数， 求导得，因此是R上的单调递减函数. 将原不等式整理： 移项变形得，即等价于. 因为单调递减，因此 解得，即的取值范围是. 8. 设双曲线的右焦点为，且在一条渐近线上的投影为点，若的内切圆与的实轴切于点，且，则的渐近线方程是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【详解】双曲线：的右焦点，根据双曲线的性质，右焦点坐标是，，渐近线方程是 取一条渐近线的方程为，则在的投影为点，可得， 因为是直角三角形，所以 由此可得，的内切圆半径， 内切圆与的实轴切于点，则，由此可得， 因为，所以，代入可得，化简可得， 把代入，可得，化简可得， 两边同时除以，可得， 令， 代入可得， 由此可得，， 因为，所以，， 因此双曲线的渐近线方程为. 二、多选题 9. 已知数列满足，则（ ） A. B. 的前项和为 C. 的前100项和为100 D. 的前9项和为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：根据前n项和与通项公式之间的关系运算求解；对于B：结合等差数列求和公式运算求解；对于C：可得当为奇数，则，结合并项求和运算求解；对于D：整理可得，结合裂项相消法运算求解. 【详解】对于选项A：因为， 当时，； 当时，则， 两式相减可得，即； 且符合上式，所以，故A正确； 对于选项B：因为，可知数列为等差数列， 所以的前项和为，故B错误； 对于选项C：因为， 所以的前100项和为，故C正确； 对于选项D：因为， 所以的前9项和为，故D正确. 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用赋值法可判断AD；利用通项公式判断B；利用化简，然后利用二项式定理可判断C. 【详解】对A，令得， 令得， 所以，正确； 对B，展开式的通项为， 当时，，所以，正确； 对C，因为， 且， 所以 ，正确； 对D，令，则， 两边同乘得，错误. 11. 设关于实数的解析式为，则（ ） A. 当时，方程有唯一解 B. 若成立，则当时， C. 当时，恒成立 D. 若成立，则当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，作出函数图象即可判断；对B，分，和，讨论即可；对C，利用基本不等式即可判断；对D，利用对数均值不等式即可判断. 【详解】A选项，时，方程化为，由图象可得有唯一解，故A正确； B选项，由得，若，则， 两边取对数得，， 故， 令，故， 因为在上单调递增， 则在上单调递增，故，故； 若时，则，故， 故， 令，则， 其中，当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 因为不单调，故不一定等于，即不一定成立，B错误； C选项，当时，令，则， 所以在上递增，所以，所以， 所以当时， ，当且仅当时取等号，故C正确； D选项，由B选项知，时，， 令，则有，不妨设， 故，下面证明对数不等式， 即， 令，即证，令， 则， 故在上单调递减， 又，故，所以， 即，故，D正确. 三、填空题 12. 某班级举行套玩具趣味游戏，奖品只有拉布布盲盒，小熊玩偶，校庆吉祥物，分三堆摆放（每堆一个种类，个数足够），每人三个圈，一个圈只能在一堆奖品套一次．小麟同学套中拉布布盲盒，小熊玩偶，校庆吉祥物这三个奖品的概率依次为，则小麟同学恰好套中两个奖品的概率为______． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】恰有两个奖品被套中，对应三种组合（缺拉布布、缺小熊或缺吉祥物），分别计算每种组合的概率并相加即可. 【详解】记小麟同学套中拉布布盲盒，小熊玩偶，校庆吉祥物这三个奖品为事件,,, 所以小麟同学恰好套中两个奖品的概率为 13. 设双曲线的右焦点为，过点且垂直于轴的直线交两渐近线于两点，与双曲线的一个交点为（在轴同侧）．且，则该双曲线的离心率为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】借助渐近线方程及双曲线方程可求出点、坐标，再利用题目条件计算即可得解. 【详解】双曲线的渐近线方程为，设点在轴上方，则， 将代入，有，解得，则， 则有，即，则. 14. 巴蜀中学坐落于重庆市渝中区，由于地理环境优越，软硬件资质齐备，故经常被用作国家级考试考点．2026年巴蜀中学预计会被用作公务员考试，生物奥赛考试等六项国家级考试作为考点．本校职工小明，小灏，小文因精通各项考试流程，考务组计划邀请三人加入监考工作（六项考试时间不冲突）．预计安排每人至少监考一项考试，每人至多监考三项考试，每项考试，三人中有且仅有一人参与，其中小明在公务员考试，生物奥赛考试中至少安排1项监考，则三人不同的监考安排方案种数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先计算无限制的总安排数，再计算小明完全不监考两项特殊考试的补集，两者相减得小明至少监考一项特殊考试的方案数. 【详解】将6项不同的考试分配给小明、小灏、小文三人，每人至少1项，至多3项，可能每人两项，也可能三人分别为1项，2项，3项， 所以总分配方案数为：， 要计算小明在公务员考试，生物奥赛考试中至少安排1项监考，可先计算小明不监考这两项的方案数，即小明监考其余4项的方案数， 当每人选2项时，小明从其余4项中选2项方案数为：种； 当一人1项，一人2项，一人3项时，小明可能选1项，2项，3项，此时方案数为：种； 所以小明在公务员考试，生物奥赛考试中至少安排1项监考，三人不同的监考安排方案种数为：种. 四、解答题 15. 如图，在直三棱柱中，，是上的点，且平面． （1）求线段的长度． （2）求锐二面角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助线面垂直性质定理可得、，则可利用线面垂直判定定理得到平面，再利用线面垂直性质定理可得，即可利用勾股定理求解； （2）建立适当空间直角坐标系后，求出平面与平面的法向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得. 【小问1详解】 由直三棱柱性质可得平面，又平面，故， 由平面，又平面，故， 又，、平面，故平面， 又平面，则， 则； 【小问2详解】 以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则、、、、， 则、、， 设平面与平面的法向量分别为、， 则有，， 令，，则，，，， 即、， 则， 故锐二面角的余弦值为. 16. 已知函数． （1）若，求在点处切线方程； （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过求导确定切线斜率，即可求解； （2）通过分参，构造函数，求导确定最值即可求解. 【小问1详解】 当时，，， ，切点为， ​，代入得，即斜率， 所以在点处切线方程是， 整理得. 【小问2详解】 对求导得， 代入不等式， 整理得：​，对恒成立，即大于等于右侧函数的最大值， 设​，， 求导得：，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 因此在处取最大值：， 故， 即的取值范围为. 17. 递减等比数列满足，：等差数列的前项和为，且满足，． （1）求数列，的通项公式； （2）若，且数列为递增数列，求实数的取值范围； （3）若，求数列的前项和. 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等差和等比数列通项与求和公式直接构造方程公比和公差，进而求得结果； （2）根据数列单调性定义将问题转化为恒成立问题，采用分离变量法可求得结果； （3）由，采用裂项相消法可求得结果. 【小问1详解】 设等比数列的公比为， 为递减数列，，； 由得：，解得：（舍）或， ； 设等差数列的公差为，则，解得：， . 【小问2详解】 由（1）得：，， 为递增数列，恒成立， 即，， ，当时，取得最小值，， 即实数的取值范围为. 【小问3详解】 由（1）得：， . 18. 已知椭圆的短轴长为的左焦点为，右顶点为上点到的最短距离为1． （1）求的方程； （2）曲线上有两点（非长轴端点），满足，若直线分别交直线（为半焦距）于点，且的中点为（如图所示）． （i）求证：； （ii）记的面积分别为，请判断是否在题设的条件下，均有是和的等差中项？如果是，请写出证明过程，如果不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）（i）证明见解析 （ii）是，证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意可得出 的值，结合 上点到 的最短距离为 1 联立方程可得 的值，由此进一步可得出 的值，则椭圆 的方程可得； （2）(i)设直线 的方程为 ，设点 、 ，将该直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，求出直线 的方程，可得出点 的坐标，同理可得出点 的坐标，进而得出点 的坐标，结合斜率关系可证明出 ; (ii)利用韦达定理化简 的表达式，并求出 的表达式，即可进一步计算得出，即可证明 是 和 的等差中项. 【小问1详解】 令（为半焦距），由椭圆的短轴长为，得，即. 椭圆上点到左焦点的最短距离为. 又椭圆满足，代入得. 联立，将代入得， 化简得，解得，则. 故椭圆的方程为. 【小问2详解】 (i) 因为 ，非长轴端点， 所以由题可设过点 的直线(不与 轴重合)与 交于 、 两点， 直线 、 分别交直线 于点 、 ，且 的中点为 . 由（1）可知 ，设直线 的方程为 ，设点 ， 联立 得 ， 恒成立， 由韦达定理可得 ， 直线 的方程为 ，令 得 ， 所以点 ，同理可得点 ， 所以 .即 ， 当 时，直线 与 轴垂直， 、 都在 轴上， 满足 ； 当 时，有 ，则 ，也满足 . 综上所述， . （ii）是，理由如下： 要证是和的等差中项，只需证即可. 因为 因为由(i)可得， 所以 所以 ，即是和的等差中项. 19. 已知 （1）若存在极值点，求的取值范围 （2）若时，对均有成立，求实数的取值范围． （3）设，证明：． 【答案】（1）； （2）； （3）证明见详解. 【解析】 【分析】（1）转化为导函数有变号零点，利用判别式求解即可； （2）参变分离，构造函数，利用四阶导数逐层讨论即可求出的最值，进而可得的范围； （3）根据函数的单调性得，然后令，结合等比数列求和公式即可得证. 【小问1详解】 ， 因为存在极值点，所以存在变号零点， 所以，解得或， 所以的取值范围为. 【小问2详解】 因为，所以， 记，则， 因为， 所以为偶函数，记， 则，记， 则，记， 则，所以为增函数， 所以， 所以为减函数， 所以， 所以为减函数， 故，即当时 因为为偶函数，所以在上单调递增，此时， 综上，当时，，单调递减， 所以， 所以，即实数的取值范围为 【小问3详解】 由（2）知，，即，当且仅当时等号成立， 令，因为，所以， 所以， 因为 ， 所以，证毕. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $