精品解析：山东省日照市第一中学2025-2026学年高二下学期第一次阶段性训练数学试题

山东省日照市第一中学2025-2026学年 高二下学期第一次阶段性训练数学试题 一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 数列中，，，，则（ ） A. B. 9 C. D. 13 【答案】A 【解析】 【分析】由递推公式依次推出第四项即可. 【详解】由，，，可得， 故选：A 2. 下面求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据基本初等函数的求导公式可知，，，，，故ABC错误，D正确. 3. 已知等比数列的前项和为，若，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等比数列前项和公式和通项公式分析计算即可. 【详解】设等比数列的首项为，公比为. 当时， ，不满足，舍去； 当时，， 所以， 所以，解得. 所以. 故选：C. 4. 已知函数，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先对函数求导，再求，进而可得所求函数值. 【详解】函数，所以，， 解得，， 所以. 5. 已知等差数列的前项和为，且成公比为的等比数列，则等于（ ） A. 或 B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得求得或，进而根据等比定义求即可. 【详解】解:成公比为的等比数列， ，又为等差数列， ， 即 即或. 或或 故选：A 【点睛】本题考查等差数列等比数列基本量的运算，考查计算能力，属于基础题. 6. 若等差数列的首项，，则等于（ ） A. 13 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由求得，然后根据，即可得到本题答案. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，，所以， 所以． 故选：B 7. 已知等比数列中，，，则的值为 A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】A 【解析】 【详解】由等比数列的性质得到 又因为 故得到原式等于 代入上式得到 故答案为A． 点睛：这个题目考查的是等比数列的性质和应用；解决等差等比数列的小题时，常见的思路是可以化基本量，解方程；利用等差等比数列的性质解决题目；还有就是如果题目中涉及到的项较多时，可以观察项和项之间的脚码间的关系，也可以通过这个发现规律． 8. 在各项均为正数的等比数列中，，若存在两项，使得，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先求出该等比数列的公比，再将后式化简，得出和的关系，即可求解. 【详解】设等比数列的公比为，因为，所以， 即，解得或（舍去）． 因为，所以，即，所以， 所以或或 所以的值为或或，所以的最小值为． 故选：A． 二.多选题（共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列命题正确的是（ ） A. B. C. 一物体的运动方程为，则其在时的瞬时速度为1 D. 已知函数在上可导，且，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据导数的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B不正确； 对于C，瞬时速度是位移函数的导数：，所以，故C正确； 对于D，根据导数的定义可得：，故D错误； 故选：AC 10. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. 当且仅当时，数列的前项和最小 D. 数列的前项和为，则 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，将代入等式中即可验证；对于B，写出的等式，然后两式相减化简即可求得；对于C，先求出数列，然后根据等差数列的性质判断即可；对于D，根据数列的周期性计算即可. 【详解】已知等式：① 当时，左边，右边，得，因此选项A错误； 当时，写出的对应等式 ②， ①②得， 约去得. 验证时，也满足，因此对任意，，选项B正确； 对数列，代入， 得，这是公差为的递增等差数列. 令，得，即前项均为负数，从第项开始为正数， 因此前项和最小当且仅当，选项C正确； 的周期为，则时； 时；时；时. 每连续项的和为， 所以， 选项D错误. 11. 若数列满足.记，，则（ ） A. 是递增数列 B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据递推关系进行整理，并结合裂项相消以及累加法对选项进行判断即可. 【详解】已知递推式 ，移项得（1）， 左右同时减去，得（2）， 由（2）式，递推可得所有 ，因此， 即，数列递增，A正确；  由A知 ，且 ，因此 ， 即 ​，B错误； 对式(1)取倒数裂项得， 对 裂项相消  再对式(1)递推得： ​， 因此 ， 因此，对任意成立，故 ，C正确； 由，得， ​ 要证​，即证， 因为​，且结合A选项单调递增， 所以，因此不等式成立，D正确. 三.填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知数列的前项和.则数列的通项公式是______. 【答案】 【解析】 【详解】时，， 时，， 所以. 13. 在数列中，若，记是数列的前项和，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】当为奇数时，可得数列的奇数项为公差为2的等差数列，当为偶数时，可得偶数项的特征，将所求问题转化为奇数项和偶数项求和即可. 【详解】∵， ∴当为奇数时，，即数列的奇数项为公差为2的等差数列， 当为偶数时，， ∴， ， ∴， 故答案为：2550. 【点睛】关键点点睛： （1）得到数列的奇数项为公差是2的等差数列； （2）得到数列的偶数项满足. 14. 下表中数阵为“森德拉姆数筛”，其特点是每一行和每一列都分别是等差数列.记第行第列的数为（其中，），则______，数字2026在表中总计出现______次. 2 3 4 5 6 … 3 5 7 9 11 … 4 7 10 13 16 … 5 9 13 17 21 … 6 11 16 21 26 … … … … … … … 【答案】 ①. 37 ②. 15 【解析】 【分析】根据“森德拉姆数筛”的特点求出的通项公式，进而求出及出现的次数. 【详解】依题意，数阵的第行等差数列公差为，第列等差数列的公差为， 则， 因此； 令，则，而， 设与表示的数对为，则可能有， ，共有个， 所以数字共出现次. 故答案为：； 四.解答题（共5小题，共75分） 15. 记为等差数列的前项和，已知． （1）求和的通项公式； （2）求． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意列出方程组，求得，即可求得和的通项公式； （2），当时，，当时，，即可求解． 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 因为，可得，解得， 所以数列的通项公式为， 数列的通项公式为． 【小问2详解】 由（1）知，，则， 由，得， 则当时，，当时，， 故 ． 16. 已知正项等比数列的前项和为且成等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）若求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设的公比为，，结合题意列出关于的方程，求出，即可得到数列的通项公式； （2）由等比数列的前项和公式可得关于的方程，求解可得. 【小问1详解】 设的公比为， 因为，且，，成等差数列， 所以，即， 整理得. 因为，所以. 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 因为数列是等比数列，所以是首项为，公比为的等比数列. 所以， ，解得. 17. 已知函数. （1）若数列，求数列的前n项和； （2）已知函数在处的切线为直线，直线在y轴上的截距为，求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将数列拆分为等比数列和等差数列，分别求和后相加得到前项和. （2）先求函数在处的切线方程，令得到截距，再用错位相减法求的和，最后结合的和得到. 【小问1详解】 因为，所以 . 【小问2详解】 ， 直线的方程为， 令， 得， 所以， 令数列的前项和为，则 ， ， 两式相减得，故， 又数列的前项和为， 所以数列的前项和. 18. 已知数列，，，数列满足，. （1）求证：数列为等差数列，并求出数列的通项公式； （2）求的表达式； （3）求证：. 【答案】（1）证明如下： 由，可知， ∴ 故，又， ∴数列是以1为公差，1为首项的等差数列， ∴，即. （2） （3）证明如下： 由（2）可得：， ∴ 【解析】 【分析】（1）对条件进行变形，得到与的等式即可证明为等差数列，再根据等差数列的定义即可求出通项公式； （2）由等式构造，代入数列通项公式，累乘法计算即可求出结果； （3）由以及数列和数列的通项公式，可求出，裂项相消法求数列的前项和即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，有， ∴ . 【小问3详解】 略 19. 已知数列满足，． （1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）记数列的前项中最大值为，最小值为，令，称数列是数列的“中程数数列”． ①求“中程数数列”的前项和； ②若（且），求所有满足条件的实数对． 【答案】（1）依题意，，即， 故，故数列是等比数列，首项为，公比为的等比数列， 故，即； （2）①；②． 【解析】 【分析】（1）先利用递推关系推出，即证结论，再利用等比数列通项公式求数列的通项公式即可； （2）①先判断数列单调性得到最大项和最小项，求得数列，再利用错位相减法求和即可；②先利用通项公式判断和，再逐一代入求解满足题意的m，即得结果. 【详解】（1）略 （2）因为，即， 故时，即，时，，即， 故，故，， 所以. ①设数列的前n项和为，则， ， 两式作差得，， 即， 故； ②因为，，， 所以，即， 又因为，，，且， 可知且，即，由知， 时，，故，即，但，故符合题意； 时，，故，即，但，故无解； 时，，故，即，又，故符合题意； 综上，所有满足条件的实数对有． 【点睛】方法点睛： 1、数列求和的方法： （1）倒序相加法：如果一个数列的前项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可以用倒序相加法； （2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可以用错位相减法来求； （3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和； （4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减； （5）并项求和法：一个数列的前项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如类型，可采用两项合并求解. 2、判定数列单调性的方法： （1）定义法：对任意，，则是递增数列，，则是递减数列，其中通常利用作差法和作商法比较大小； （2）借助函数单调性：利用，研究函数单调性，得到数列单调性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省日照市第一中学2025-2026学年 高二下学期第一次阶段性训练数学试题 一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 数列中，，，，则（ ） A. B. 9 C. D. 13 2. 下面求导正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知等比数列的前项和为，若，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 4. 已知函数，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 5. 已知等差数列的前项和为，且成公比为的等比数列，则等于（ ） A. 或 B. C. D. 或 6. 若等差数列的首项，，则等于（ ） A. 13 B. C. D. 7. 已知等比数列中，，，则的值为 A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 8. 在各项均为正数的等比数列中，，若存在两项，使得，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 2 二.多选题（共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列命题正确的是（ ） A. B. C. 一物体的运动方程为，则其在时的瞬时速度为1 D. 已知函数在上可导，且，则 10. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. 当且仅当时，数列的前项和最小 D. 数列的前项和为，则 11. 若数列满足.记，，则（ ） A. 是递增数列 B. C. D. 三.填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知数列的前项和.则数列的通项公式是______. 13. 在数列中，若，记是数列的前项和，则__________. 14. 下表中数阵为“森德拉姆数筛”，其特点是每一行和每一列都分别是等差数列.记第行第列的数为（其中，），则______，数字2026在表中总计出现______次. 2 3 4 5 6 … 3 5 7 9 11 … 4 7 10 13 16 … 5 9 13 17 21 … 6 11 16 21 26 … … … … … … … 四.解答题（共5小题，共75分） 15. 记为等差数列的前项和，已知． （1）求和的通项公式； （2）求． 16. 已知正项等比数列的前项和为且成等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）若求． 17. 已知函数. （1）若数列，求数列的前n项和； （2）已知函数在处的切线为直线，直线在y轴上的截距为，求数列的前n项和. 18. 已知数列，，，数列满足，. （1）求证：数列为等差数列，并求出数列的通项公式； （2）求的表达式； （3）求证：. 19. 已知数列满足，． （1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）记数列的前项中最大值为，最小值为，令，称数列是数列的“中程数数列”． ①求“中程数数列”的前项和； ②若（且），求所有满足条件的实数对． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $