河南郑州外国语学校2025-2026学年高三下学期4月阶段测试数学试卷

高三下数学测试卷 一、单项选择题 1.已知集合A={xx2≤4x,x∈N},集合B={xlg2(2-4)≤2}，则AnB=() A.3 B.(2,3] c.{0,12,3} D.{3) 2.已知向量ā=(1，m+4),6=(4,2),若a+b=a-b列，则同=（) A.5 B.3 C.5 D.√3 3将一个半径为2的铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的铁锭，若这个铁锭的上、下底面边长分别为1和2， 则它的高为() A号 B.I6n 7 C.32n D.64n 7 7 4.已知等比数列{a}与等差数列{，满足4a4=64,4+2+h=18,则cosπ-（) b2+b, A. B C.3 2 D.-3 2 5.用模型y=ae拟合一组数(5，y)(i=1,2,10）,若x+x,+…+x。=10,丛…y。=e”,设=血y, 得变换后的线性回归方程为z=bx+4,则k=() A.12 B.3e4 C.4e D.7 6.在锐角△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c=1,A=2C,则VABC周长的取值范围为（) A.1+V2,2+2 B.1+5,3+5） C.2+√2,3+3 D.（1+2,3+3） 7.点A,B是圆C:(x-2)2+y-m)2=4上两点，|AB=23,若在圆C2:(x-2)2+(y+1)2=9上存在点P恰为线段 AB的中点，则实数m的取值范围为() A.[-5,-3]UL,3] B.[-3,-1]U[3,5] C.1,3] D.[3,5] 8已知函数网=2十+oe:小F+1-, 若正实数a,b满足f(2+f(b-1)=1,则二+ 1+6的最小值为（) 3b+1 A c.2 9 B.3 D.6 二、多项选择题 9.设1,2为复数，其中三=a+bi(b≠0)，则下列正确的是() A.= B.|3z2=|z州2 C若}eR.期eR D.若=3122，则三=22 10某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进.部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘 汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验.记A表示事件“某芯片通过智能检测系统筛 选”，B表示事件“某芯片经人工抽检后合格”.改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标ξ服从正态分布 N(5.20,0.04),现从中随机抽取M个，这M个芯片中恰有m个的质量指标ξ位于区间[5.16,5.32]，则下列说法正 确的是() 附：若X~N4,o2),则P(H-o≤X≤H+o)≈0.6827，P(u-2o≤X≤H+2o)≈0.9545， P(H-3o≤X≤H+3o)≈0.9973. A.P(BA)<P(B) B.P(A|B)>P(A|B) C.P(5.16≤ξ≤5.32)≈0.84 D.P(m=45)取得最大值时，M的估计值为53 11.已知棱长为1的正四面体的四个顶点A、B、C、D均在球O的球面上，动点P、2分别在棱BC、CD上（不包 括端点)，则() A.△1BO面积的最小值为V 4 /2 5 B.若恰有两个点P满足OP=m,则m的取值范围是 44 C.Q到平面ABC和到平面ABD的距离之和为定值 D.若∠Po0-分则△PCO的周长不可能为万 三、填空题(14题第一个空2分，第二个空3分) 12.已知函数f(x)=x+8x-x2在[1，+o)上单调递减，则实数m的取值范围为 飞已知椭圆T:C+1a>2与椭圆，+b≠0在四个象限内有4个交点4、B、CD且 这4个交点与「1、「2的4个焦点共圆，则b2=一 14数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列.初始数列{a}经过次扩充后的新 数列记为{a},项数记为P,所有项的和记为S。.现若扩充规则为每相邻两项之间插入这两项的和，如：数列{a,b,c} 经过一次扩充后得到数列{a={a,a+b,b,b+c,c以，？=5，S=2a+3b+2c.已知初始数列{a={-3,1,3},则 卫=；S= 四、解答题 5已知函数f)=2sm2x+石+m当xe0,可时，网的最小值为力 (1)求函数f(x)在区间[-π，]内的零点个数； (②)将函数fx)的图象向左平移严个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，求g)的值域和 4 单调区间. 16.为提升教师的命题能力，某实验中学定期举办教师命题大赛，大赛分初赛和复赛，初赛共进行4轮比赛， 4轮比赛命制的题目均可适用于高一，高二，高三年级，每轮比赛结果互不影响.比赛规则如下：每一轮比赛， 限时60分钟，参赛教师要在指定的知识范围内，命制非解答题，解答题各2道，若有不少于3道题目入选， 将获得“优秀奖”，4轮比赛中，至少获得3次“优秀奖”的教师将进入复赛.为了能进入复赛，教师甲赛前多次 进行命题模拟训练，指导老师从教师甲模拟训练命制的题目中，随机抽取了4道非解答题和4道解答题， 其中有3道非解答题和2道解答题符合入选标准 (1)若从模拟训练命制的题目中所抽取的8道题目中，随机抽取非解答题，解答题各2道，由此来估计教师甲 在一轮比赛中的获奖情况，试预测教师甲在一轮比赛中获得“优秀奖”的概率； (2)若以模拟训练命制的题目中所抽取的8道题目中两类题目各自入选的频率作为每道该类题目入选的概率， 经指导老师对教师甲进行赛前强化训练后，每道非解答题入选的概率不变，每道解答题入选的概率比强化训练前 大二，以获得“优秀奖”次数的期望作为判断依据，试预测教师甲能否进入复赛？ 6 17.抛物线x2=2py（p>0)的焦点为F,O为坐标原点，点M(m,3)是抛物线上的一点，M到焦点的距离是4. (1)求的值及抛物线的准线方程； (2)过抛物线焦点的直线交抛物线于A,B两点，点C在抛物线的准线上，且BC/Iy轴；点P为AB中点，过点P向x轴 作垂线交抛物线于点Q. 求证：①A,O,C三点共线 ②抛物线上Q点处的切线与AB平行」 18.如图，直角△ABC,斜边AB=4,B=汇，D为AB的中点，将△4CD沿CD翻折到aP.CDn∈N),设二面角 P-CD-A的大小为日n,满足ta8=(W2)2m-9. D B (1)证明：CD1AP; (2)求直线，C与平面ABC所成角的大小： (3)当四面体P.CDP1的体积最大时，求n. 19.已知函数f(x)=exa,aeR (四当a=0时，证明：fx)≥1+血r+ (2)若存在三条不同的直线l,(i=1,2,3),↓既是曲线y=f(x)的切线（切点为A),又是曲线y=sinx(-π<x<π）的切 线（切点为B). (i)求实数a的取值范围； (ii)是否存在i,j∈{1,2,3}(i≠j),使得线段AB,与AB,互相平分？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.高三下数学测试卷答案 1.D【详解】A={xx(x-4)≤0，x∈N}={x0≤x≤4，x∈N}=1,2,3,4, B={4<2≤8=(2,3]，所以AnB=3}故选：D. 2.【答案】c【详解】因为a+b=a-b,两边平方得：+b+2ab=a+b-2ab,所以ab=0. 所以1×4+2×(m+4)=0,解得m=6.所以=(1，-2)，所以d=V1+4=V5.故选：C 3.【答案】C 详灯综体现为p-咨设洗淀的清为，则正四枝合的烤-打：2+h-白 3, 由所=，可得号-公，解得h-3 132n_7h 7 4.【答案】A【详解】设等比数列{a}的公比为q, 由aa,4,=4,得4aqag=(ag=G=64,则a,=4,设等差数列{b.}的公差为d, 由b+b2+b。=18,得b+b+d+b+5d=3(b,+2d=3b=18,则3b=18b,=6,所以 b,+b4 2b, 12 32 5.B【详解1由已知，+，++。=10，所以=++=1，，…。=e,:=ny, 10 所以：=+++鱼-血y+血4++血-n02_血c=7,由题意，（任）满足线性 10 10 10 10 回归方程为Σ=bx+4,所以7=1+4，所以6=3，此时线性回归方程为2=3x+4,即lny=3x+4, 可将此式子化为指数形式y=e3x“,即为y=e.e3x,因为模型为模型y=ae“,所以a=e4,k=3, 所以ak=3e4.故选：B. 6I答案1cI详解)因为V1BC是锐角三角形，所以48，Ce(0习).又A=2C,所以2C<受所以C<平由A+8C=, 得B+3C=元，所以B=π-3C,所以元-3C< 2解得C> 石，所以c< 6 4 由、b 'sinA sinB-sinc,c=1.A=2C,a=c.sinA=sin2C C =2cosC, sinc sinc bcsinBsin(C)_sin3C sinCeos2C+cosCsin2c 4cos-1, sinC sinC sinC sinC 所以VABC的周长为a+b+c=2cosC+4cos2C-1+1=4cos2C+2cosC. 令1=c心，则1e 22 则a+bc=4osc+2mc=+=4f+子 所以回=+行2+3+)，所以VABc周长的取值范围为2+53+ 7.【答案】A【详解】圆C:(x-2)2+(y-四2=4，圆心C(2,m),半径r=2, 圆C2:(x-2)2+y+1)2=9,圆心C2(2,-1),半径2=3， 由P是弦AB的中点，且|AB=2W3,则CP1AB, 所以CP=√2-(5)2=1，故点P在以C(2,m为圆心，以5=1为半径的圆上.又在圆 C2:(-2)2+(y+1)2=9上存在点P恰为线段AB的中点， 则两圆有公共点，可得？-5≤CC2s52+5,即2m+1s4,解得-5≤m≤-3或1≤m≤3. 则实数m的取值范围为[-5，-3]U1,3] 8【答案剁D【详】由f=2+loe-,可知定义城为R, 又(+1-xN+1+=1,即2+1-x=1 r2+1+x则 wte.I*2e:小T-s人所以+0=1 因为t=√+1-x在(o,0单调递减，y=log,t在定义域内单调递增，由复合函数单调性可知，y=10g:x2+1-x 在（网单调递减显然在R上单调速减，所以函数）=中+心F1-在(0单调造减 令8()-1e+1-.因为8-)-le[+i+x]1:+1+x18:(+1-x84) 所以函数g(x)是定义在R上的奇函数，故函数y=log,Vx+1-x在[0，+∞)也单调递减， 所以函数)=+6.小-在定义械R上单道减 正实数a,b满足f(2a)+f(b-1)=1=f(2a)+f(-2a),所以f(b-1)=f(-2a) 故b-1=-2a,即2a+b=1,所以6a+3b+1=4, 当且仅当a=b=}时，取等号，即2+6 3 a动1的最小值为6 9.BC【详解】选项A,计算得：子=(a+b)2=(a2-b）+2abi,|zP=a+b2, 因为ab≠0，所以的虚部2ab≠0，不可能等于实数|32，故A错误； 选项B,3·22曰z·|z2|是复数模的基本性质，对任意复数都成立，故B正确；选项C,设二2=m+i(m,n∈R), 别号后是若号R,则虚部云记-0，号=0校mR,收c正确 则上= 选项D,名=a+bi,b≠0，故名≠0，由=22两边约去名得3=2，不一定有气=2， 例如3=2=1+i满足条件，但=1-i≠2，故D错误。 10.【答案】BCD【详解】对于A,依题意，经智能检测系统筛选合格的条件下，通过人工抽检合格的概率 大于直接进人人工抽检合格的概率，即P(B|A)>P(B),A错误； 对于B,由A中结论P(B|A)>P(B)可得P(A)·P(B|A)>P(A)·P(B),得P(AB)>P(A)·P(B), P(AB)+P(AB=P(A).P(BA)+P(A)P(BIA=P(A), 于是P(AB)>P(B)[P(AB)+P(AB)],即P(AB)-P(AB)P(B)>P(B)P(AB), P、 因此P4B、P) P西>P回，则P(48列>P(4,B正确 对于C,P(5.16<5<5.32)=P(5.20-0.04<5<5.20+3×0.04)=P(μ-0<5<+3o) _P(u-0<5<H+o)+P(u-30<5≤+30）=0.6827+09973-0.84，C正确： 2 2 对于D,1~B(M,0.84),P(m=45)=C4×0.8445×0.164-45 设f(x)=C5×0.845×0.16-5 由+_Cx0.84“×0.16" 7gCx04x0165061邂得x<2.6,f>f6 由在得0940801,51，解得x558+子即6到≥到， f(x)_C45×0.845×0.16*45 4 7 所以P(m=45)取得最大值时，M的估计值为53，D正确. 11.【答案】ACD【详解】将正四面体ABCD补成正方体，以点D为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系， 2’2 D(0,0,0),设 所以点Q到直线AB的距离为 -子 当且仅当入= 时，等号成立，即点Q到直线AB距离的最小值为2 ,A对： 2 24 对于B选项易知球心0为正方体体对角线D的中点且个巨，巨2 、2’2’2 则球心0 99网9 同理可知l6- ,所以△OBC为 等腰直角三角形，所以球心O到直线BC的距离为d, 图哥9 故恰有两个点P满足OP=m,则d<m≤OC, B错 0 对于C选项，VBcD='DHoa-BAB-4V4Di 2 322 212 易知VABC、△ABD都是边长为1的等边三角形， 9c=Sn-51r=5,设底Q到平面1BC、平面4BD的距离分别为4、么， 4 4 由'am=c+go得5_x S4oh+3x5aoh 1V3 123 3×4×么+h), 解得么+么=5，c对：对于D选项，设CP-x,CQ=y,工、ye0,1. 3 在△BC0中，cos∠BCO=22=3,所以在△PC0中，由余弦定理，得Op=x2+V6 -2x66=r-x 3 20C1 4 43 8 同里，有00=-y+令在△CQ中，由余弦定理，得PQ=+-20eo背+-， 3 在直角P00中，e-0p+o0,所以r+产-w=y-y+后+-+尽即+y=w+子由基木不等式。 得+y22,即w+2,令1-四，则f+子，解得1分或（舍）。 所以w经显然等号可以取得.在△O中，0-+产-w=收+广如w-+八如-。 又w号所以PQ-}w,所以△P0O的周长为PQ+CP+CQ-子w++y-子w+子+w- 1 3 3 3 则△PCO的周长为定值号，不可能为反。所以选项D正葡，放选AcD 12.【答案】m≤8【详解】由函数f(x)=lnx+8.x-x在[1，+oo）上单调递减， 得x∈1，+oo),f'(x)="+8-2x≤0台m≤2x2-8x,而当x≥1时，2x2-8x=2(x-2)2-82-8, 当且仅当x=2时取等号，则m≤-8，所以实数m的取值范围为m≤8， 1a【答案】5详】相国：产+号->回)的熊点整标分别为5-2.0小，a互. 椭圆「2： 茶3+后=1620)的熊点坐标分划为60.50). y2 因为两个椭圆的4个交点与「、「，的4个焦点共圆，则共圆的圆心在原点，所以0=Or=√3 则V-2=5,解得：Q=5,所以椭圆，方程为：父+亡-1， 5+2 x2+y=1 x25 将 3 共圆的方程为x2+y2=3,联立 5 2 ,解得 x2+y2=3 2= 代人描国r若-b:0方配 4 3 2 3 4 5 可阳是1餐得：6=5负位合刻放爸架为： 14.【答案】 2++13” 【详解】因为数列经一次扩充后是在原来数列的相邻两项中增加一项， 所以经第n+1次扩充后增加的项数为P-1,因此P1=Pn+Pn-1=2-1, 所以D1-1=2(P-1),因为=5， 所以可得数列{P-1}是以4为首项，公比为2的等比数列， 所以D-1=4×2-1=2+1，即D=2+1+1; 设第n次扩充后数列的各项为-3,4,42,4，，4,3， 则S=-3+4+4,+4+…+a,+3.因为每一次扩充是在原数列的相邻两项中增加这两项的和， 所以Sn1=-3+(-3+a)+4+(a1+a2)+a2+(a☑2+a)+4+.+4,+(a,+3)+3 =-3×2+34+34+3a++3a,+3×2=3(-3+41+a2+a+…+a,+3)-(-3+3)=3Sn, 又S=2×(-3)+3×1+2×3=3,所以{S}是首项为3，公比为3的等比数列，故S=3”, 综上，P=21+1,S。=3 1s【i详1函数闭-2m,当e对时，2x[G1 则当2x+名经即x=受球Jo31m,-2tm=1解得m1 3分 改-2m2+君1当ek闲时.2g[1 6,6 由f)=0.得im2x+得) 2+e以e{ 因此函数f(x)在区间[-几，可内的零点个数为4. 6分 2依题意，g6)-f+牙》1-2m(+别引1-12cx+司 因此函数g(x)的值域为[-2,2]； 9分 由元+2m≤2x+元≤2，keZ,解得- 6 +asxs音+m,kez. 12 由22x+3+2水π，kEZ.解得及+机s1≤钙+c,kEZ12分 6 所以函数g(x)的递增区间 [沿+低合树e么， 递减区间为 -正++机keZ 12 12 .13分 16.( ·(2)教师甲不能进入复赛 【详解】(1)设A为事件：“在一轮比赛中，教师甲获得优秀奖”，则事件A发生的所有情况有： ①符合入选标准的非解答题入选1道，解答题入选2道的概率为乃=cCC-31。 CC6x612;2分 ②符合入选标准的非解答题入选2道，解答题入选1道的概率为乃，= c3CC=12=1, CC6x6334分 ⑧符合人选标准的非解答题，解答题各入选2道的概率为乃=CC=,3 CC:6x6 12 所以 6分 (②强化训练后。每道非架答题人选的概率为子，每道解答恩人选的概率为+。 ,11-2 .7分 则强化训练后，教师甲在一轮比赛中可获得“优秀奖”的概率为： 2-1112 .11分 因为每轮比赛结果互不影响，所以进行4轮比赛可看作4重伯努利试验.用X表示教师甲在4轮比赛中获得“优秀 奖的次数则X4) B(X)=4×名8<3，故教师甲不能进入复赛.…15分 33 17.【详解】(1)由题意得M=4,由抛物线的定义得wMF=3+卫=4，解得p=2,即抛物线方程为x2=4y, 2 则抛物线的准线方程为y=-1,将M(,3)代入抛物线方程得m2=4×3,解得=±2V3.…4分 公@题可知，线语斜华一定在设点线率为，设4》引 因为点C在抛物线的准线上，且BC/1y轴，则C(x2,-1),因为直线AB过点F(O,),则直线AB方程为y=c+1, 联立 2=4y，整理得x2-4-4=0,△=16k+160, y=+1 由韦达定理得+x=4k,5=4,即、=4 6分 -0 易知直线OA,OCc的斜率均存在，直线O1斜率=4。 生，直线OC斜家。1-0-1=13 x2-0x244, x1-04 即k4=koc,所以A,O,C三点共线 .10分 ②由①知x+x2=4k,因为点P为AB中点，则点P横坐标为2k,由题意知点9的横坐 标也为2k, 代入抛物线方程x2=4y可得Q(2k,k2), 12分 易知在9处的切线斜率存在，设切线斜率为t,则切线方程为y=t(x-2k)+,联立 y=t〔x-2+,整理得-4r+8ha-4h=0,所以△=16-48k-4k)=0,解得 x2=4y t=k,即抛物线上Q点处的切线斜率与直线AB斜率相等，所以抛物线上Q点处的切线与AB平 行 15分 18【详解】1)依题意，斜边4B=4B-云有4C=4D=CD=2,取CD中点0， 因为AO1CD,PO1CD,AO∩PO=O,AO,POc平面POA,所以CD1平面POA,又APC平面P,OA,所以 CD⊥AP: 5分 (2)以点O为原点，OA,OC,Oz分别为X,y,z轴，建立空间直角坐标系， 则AV3,0,0,C(0,10,D(01,0),由二面角的定义可得6=∠20A,则PV3cos6,0,5sm6） 由于8=i,则mg98-9成a.G网=- 3 设平面ABC的法向量i=(0,0,1),设PC与平面ABC所成角为B,则sinB=cosm,CE= m,cE 1×2 21 故RC与平面48C所成角为写 10分 (3)由于△卫CD的面积与△Pn+CD的面积相等，则△PCD的面积与△ACD的面积相等，11分 因此，当P到平面PCD的距离最大时，四面体CDP1的体积最大； 设平面PCD的法向量m=(xy,),DC=(0,2,0),OP=√3cos9,0,W3sin8有 iDC=2y=0 iOP.=3cosex+sine.z=0 令x=tan8.,则y=0,=-l,可得i=(tan6,0-1),OP1=(V3cosa+1,0,5sim81） 所以Pn1到平面PCD的距离d=I .OPa V3 cos0×tan8。-5sin8i 园 13分 vtan20,+1 :3(cosx tane,-sine.)3(tan'e-2tane.tane+tano) tan28,+1 (tan2e,+1(tan2e+1) 329-2V24(V2+22-7 3×22m-9 令t=22m-9>0,则 (22m-9+1(22m-7+1 (229+122-7+ D d2= 3t 3 1 -≤ t+1)(41+14+1+524×+5 1 ,当且仅当4化=}即=29=2时 等号成立，此时n=4 .17分 19【详解】当a=0时fe=c.设8()=-1-1=(e--xe0w). (x)=e-x-1,则m(x)=e-1,是增函数，当x∈(-oo,0]时，'(x)≤0，m(x)单调递减； 当x∈[0，+oo)时，m'(x)≥0，m(x)单调递增， 所以(x)≥m(0）=1-0-1=0,即e之x+1(当且仅当x=0时取等号).2分 g=(e--h-[c-a++明 =[e-(x+hx+1]x+x+1-(x+x+]=0, 当且仅当x十lnr=0时取等号.÷fs)上1+血x+1(当且仅当x+r=0时等号成立.…5分 (2)(i)设直线与曲线y=f(x)切于点(x,e-a),与曲线y=sinx(-π<x<π)切于点(x,iny), .f(x)=e*-,(sinx)=cosx, ∴曲线y=f(x)的切线方程为y-e=e(x-x),曲线y=sinx(-兀<x<π的切线方程为y-sinx=(x-x)cosx. 于是问题等价于 e-a=c0Sx① c-c=sim-书cs写②有三组解。 7分 由①得x=a+h(cosx),代入②消去x,得[1-a-lh(cosx,】cosx,=sinx-x,cosx,，由-元<x<元，结合①知 经5分故c0, 于是上述方程可化为-h(oy一i=a-1令)=-hn(coa,受<分 则国-1血an,所以当x(可]时.0h单调递波 cosx cos'x COSx 当x0时.：0中调莲据：当e[昏时.小s0列单说减。又 0=0绢}子-9-1子g1当→.树o,当→经时 2 42 2 A=h(ca-国r=4h)d→刻的大政国象如图 “.存在三条不同的直线(i=12,3),,既是曲线y=f(x)的切线（切点为A),又是曲线 y=si(-π<x<π)的切线（切点为B,),.h(x)的图象与直线y=a-1有三个不同的交点， 结合(r)的图象可知0<a-1<+2-L,解得1<a<+2.综上，实数a的取值范围为 42 42 12分 (i)不存在.理由如下：假设存在，设A(,e),B化，sixA,飞，e-B,sinr,), X+x=x,+, 则有 e"-a+sinx=ea+sinx, ,由()可知，e-=c0sx,e9=cosx,, 则有x=a+ln(cosx),x,=a+ln(cosx,),. 所以上述方程等价于 a+In(cosx)+x=a+In(cost+ cosx,+sinx,=cosx,+sinx, In(cosx,+x=In(cosx+x3 x+母}sag+ 由@得x='+2m或+g+号元+2血e2 结合司引日，得+-号代入③整理得2x-ham片受此时0写引 14 分 令pi0=这-hia个受4-引则g于是p0p0 上单调递减. 2 由于（日-0，故方程2x-h)+仅有一解x-牙此时y=平从面点8与点马重合，线段AB与42，重 合，故不存在. 17分