10.2.2　加减消元法 教学设计 2025-2026学年人教版七年级数学下册

该初中数学教学设计聚焦“加减消元法解二元一次方程组”，分两课时递进教学。第一课时从复习代入法人手，对比未知数系数关系引出新消元方法，第二课时通过解法对比激发探究，构建从系数特殊到一般的知识支架。 资料特色在于情境导入联系生活与古算题，如《九章算术》问题培养数学眼光，探究中分组比赛和变式练习发展运算能力与推理意识，实际问题应用强化模型意识，助力学生提升思维与应用能力，为教师提供清晰教学流程与反思空间。

10.2.2　加减消元法 第1课时　解同一个未知数的系数相等或互为相反数的方程组 课题 第1课时　解同一个未知数的系数相等或互为相反数的方程组 授课人 学习 目标 　　掌握用加减法解同一个未知数的系数相等或互为相反数的二元一次方程组. 学习 重点 　　用加减法解同一个未知数的系数相等或互为相反数的二元一次方程组. 学习 难点 　　进一步理解在用加减法解方程组时所体现的整体思想. (续表) 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 前面我们用代入法求出了方程组的解,这个方程组的两个方程中,y的系数有什么关系?利用这种关系,你能发现新的消元方法吗? 　　既是对上节课用代入法解二元一次方程组的复习,也是本节新课的引例,起着承上启下的作用.要及时鼓励学生的求异思维、创造性思维,激发学生的学习热情. 活动 二: 探究 与 应用 【探究】 用加减法解同一未知数的系数相等或互为相反数的二元一次方程组 [课堂引入]的两个方程中,未知数y的系数相等,②-①可以消去未知数y,得x=2. 把x=2代入①,得y=4. 所以这个方程组的解是 思考:联系上面的解法,想一想怎样解方程组 引导学生观察未知数的系数的特点,发现y的系数互为相反数,这样可以启发学生进一步思考,让两个方程进行什么运算可以消去y呢? 两个方程相加即可,让每个小组试试,并展示成果. 这两个方程中未知数y的系数互为相反数,①+②可以消去未知数y,得18x=10.8,解得x=0.6. 把x=0.6代入①,得y=0.1. 所以这个方程组的解是 归纳加减法的概念:当二元一次方程组的两个方程中某个未知数的系数互为相反数或相等时,把这两个方程的两边分别相加或相减,就能消去这个未知数,得到一个一元一次方程,进而求得二元一次方程组的解.这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法,简称加减法. 特点:某个未知数的系数互为相反数或相等. 基本思路:加减消元法:二元一次方程组一元一次方程. 主要步骤: 加减——消去一个元; 求解——分别求出两个未知数的值; 写解——写出方程组的解. 【应用举例】 例1　用加减法解方程组 解:①+②,得5x=15,x=3. 把x=3代入①,得3×3+=0,y=-18. 所以这个方程组的解是 　　让学生分组,比赛解题速度,使学生理解加减法在解二元一次方程组中的重要作用. 共同总结加减法的方法步骤. (续表) 活动 二: 探究 与 应用 　　变式　用加减法解下列方程组: (1)　(2)　(3) 答案:(1)　(2)　(3) 【拓展提升】 　　例2　解方程组: 答案: 例3　已知关于x,y的方程组的解为求m,n的值. [答案:m=1,n=1] 　　例2告诉学生遇到较复杂的方程组时,要先化简,再选择合适的消元方法;例3是利用解方程组求字母系数的问题. 活动 三: 课堂 总结 反思 【小结】 用加减法解同一个未知数的系数相等或互为相反数的二元一次方程组: 　　框架图式总结,更容易形成知识网络. 【当堂训练】 1.二元一次方程组的解是 (B) A.　 B. C.　 　 D. 2.用加减法解下列方程组: (1) (2) (3) (4) 答案:(1)　(2)　(3)　(4) 　　通过练习,进一步巩固用加减法解方程组. (续表) 活动 三: 课堂 总结 反思 【教学反思】 ①[授课流程反思] 本节由二元一次方程组的多种解法入手引入加减法解二元一次方程组,通过解法的对比让学生切实体会到加减法在解二元一次方程组中的作用,从而激发学生的学习兴趣.然后让学生归纳加减法解某个未知数的系数相等或互为相反数的二元一次方程组的步骤,进而利用加减法解二元一次方程组. ②[讲授效果反思] 通过解法的对比,让学生清楚有些方程组利用加减法求解非常简便,学生通过练习也切实体会到加减法在解二元一次方程组中的作用,增加了学生的学习兴趣和探究的欲望. ③[师生互动反思] 　　　　 　 　　　　　　　　 　　　　　  　　　　 　 　　　　　　　　 　　　　　  ④[习题反思] 　　好题题号　　　　 　　　　　　　　　 　　　　　  　　错题题号　　　　 　　　　　　　　　　 　　　　  　　反思教学设计,更进一步提升教师教学能力. 第2课时　解同一个未知数的系数不相等也不互为相反数的方程组 　　　　　　　　　　　　　 课题 第2课时　解同一个未知数的系数不相等也不互为相反数的方程组 授课人 学习 目标 　　学会用加减法解同一个未知数的系数的绝对值不相等的二元一次方程组. 学习 重点 　　学会用加减法解同一个未知数的系数的绝对值不相等,且不成整数倍关系的二元一次方程组. 学习 难点 　　能建立方程组并根据方程组的特点选择合适的方法解方程组. 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 解方程组 让学生尝试用多种方法解这个方程组. 解法1:由①,得x=.把x=代入②,消去x…… 解法2:把2x看作一个整体,由①,得2x=-1-3y.把2x=-1-3y代入②,消去2x…… 解法3:①-②,得8y=-8,y=-1.把y=-1代入①或②,得x=1.所以原方程组的解为 　　复习之前学习的解方程组的方法,进一步巩固消元思想的本质,总结方程组的特点,进一步研究新的解方程组的方法. (续表) 活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 用加减法解同一个未知数的系数成整数倍关系的二元一次方程组 例1　用加减法解方程组 分析:这两个方程中同一个未知数的系数既不相等也不互为相反数,直接把这两个方程进行加减不能消元.观察这两个方程中未知数y的系数之间的关系,将①×2可以使两个方程中y的系数互为相反数,就可以用加减法求解了. 解:①×2,得6x-4y=8.③ ②+③,得13x=26,x=2. 把x=2代入①,得3×2-2y=4,y=1. 所以这个方程组的解是 【探究2】 用加减法解同一个未知数的系数的绝对值不相等,且不成整数倍关系的二元一次方程组 例2　我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题:今有牛五、羊二,直金十两;牛二、羊五,直金八两.问牛、羊各直金几何.意思是:假设5头牛、2只羊,共值金10两;2头牛、5只羊,共值金8两.那么每头牛、每只羊分别值金多少两?你能解答这个问题吗? 分析:由于每头牛和每只羊的价格分别相等,所以根据“5头牛、2只羊,共值金10两;2头牛、5只羊,共值金8两”可列得方程组. 解:设每头牛和每只羊分别值金x两和y两. 根据问题中的相等关系,列得方程组 ①×2,得10x+4y=20.③ ②×5,得10x+25y=40.④ ④-③,得21y=20,y=. 把y=代入①,得x=. 所以这个方程组的解是 答:每头牛和每只羊分别值金两和两. 变式　用加减法解方程组: (提示:用加减法解这个方程组时,可以先将两个方程相加得x+y=3) 　　感受生活中的方程组模型,解决实际问题.锻炼学生独立思考解决问题的能力,更好地锻炼学生的思维能力. (续表) 活动 二: 探究 与 应用 【探究3】 选择适当的方法解方程组 解方程组的基本思想是消元.代入消元法和加减消元法是二元一次方程组的两种解法,它们都是通过消元使方程组转化为一元一次方程,只是消元的方法不同.应根据方程组的具体情况,选择适合它的解法. 思考:(1)怎样解下面的方程组? 　　　　　　　 (2)选择你认为简便的方法解教材习题10.1的第4题(“鸡兔同笼”问题). 小组分析方程的特点,用加减法或代入法解上面的方程组,要求学生对方程组的特点和解方程组的方法很清楚,逐次展示学生的成果.这里鼓励学生多样性的答案,鼓励学生的创造性,最后可以让学生进行讲解. 活动 三: 课堂 总结 反思 【小结】 1.利用加减法解方程组 2.利用加减法可进行整体求值 　　提纲挈领,重点突出. 【当堂训练】 1.用加减法解方程组下列解法不正确的是 (D) A.①×3-②×2,消去x　　　B.①×2-②×3,消去y C.①×(-3)+②×2,消去x D.①×2-②×(-3),消去y 2.用加减法解方程组时,要使方程组中同一个未知数的系数互为相反数或相等,必须适当变形.以下四种变形中正确的是 (D) ①②③ ④ A.①②　　　 B.②③　　　 C.①③　　　 D.②④ 3.用加减法解下列方程组: (1) (2) 答案:(1)　(2) 4.周末,王芳到菜市场帮妈妈买鲈鱼和茄子.已知鲈鱼每千克35元,茄子每千克6元,王芳买的茄子比鲈鱼多0.5千克,共花费44元.她买了鲈鱼和茄子各多少千克? [答案:她买了茄子1.5千克,鲈鱼1千克] 　　通过练习,进一步掌握用加减法解方程组. (续表) 活动 三: 课堂 总结 反思 【教学反思】 ①[授课流程反思] 在教学过程一开始,用两种不同的方法解方程组,激发学生的学习兴趣,以唤起学生原有认知结构与学习新课题的认知冲突,诱发学生的求知欲.紧接着围绕教学内容的引入、递进、深化,创设能启迪学生思维的教学情境. ②[讲授效果反思] 在教学过程中,始终注意发挥学生的主体作用.让学生通过自主探究、合作学习来主动解决问题,实现师生互动,同时,也认识到教师不仅要教给学生知识,更重要的是培养学生良好的数学素养和学习习惯,让学生学会学习. ③[师生互动反思] 　　　　　 　　　 　　　　　　　　　　　  　　　　　 　　　 　　　　　　　　　　　  ④[习题反思] 　　好题题号　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　  　　错题题号　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　  　　反思教学设计,更进一步提升教师教学能力. 学科网（北京）股份有限公司 $