8.2 立方根 第1课时 立方根 课件2025-2026学年人教版数学七年级下册

人教版 数学 七年级 下册 8.2 立方根 第1课时 立方根 第八章　实数 1 学习目标 1. 了解立方根的概念，知道立方根的性质，以及平方根与立方根的联系与区别. 2. 会用根号表示一个数的立方根，能用开立方运算求某些数的立方根. 之前我们学过平方的逆运算 —— 开平方，那立方的逆运算又是什么呢？今天我们就来学习立方的逆运算，以及它的结果 —— 立方根． 这是大家熟悉的魔方，它是一个正方体．如果它的体积是 8 cm3，你能算出它的棱长吗？ 新课导入 正方体棱长 正方体体积 1 8 27 64 表格中的1，2，3， 4 分别叫作 1，8， 27，64的立方根. 追问：你能类比平方根的概念归纳立方根的概念吗？ 一般地，如果一个数 x 的立方等于 a，即 x3＝a，那么这个数 x 叫作 a 的立方根或三次方根． x3=a x叫做a的立方根 23 =8 2是8的立方根 求一个数的立方根的运算，叫做开立方 探究新知 问题1：怎么用符号表示一个数的立方根？ 一个数 a 的立方根记为 ，读作“三次根号a”． 被开方数 根指数 8的立方根表示为， 根指数“3”不能省略 实际上省略了中的根指数 2，因此也可以读作“二次根号a ”. ， 根号 探究新知 思考 如果一个数的平方等于8，这个数是 ； 如果一个数的立方等于8，那么这个数是多少？ 知识点一：立方根的概念 一般地，如果一个数的立方等于，即 3 =.那么这个数叫作的立方根或三次方根. 例如，2是8的立方根. 开立方:求一个数的立方根的运算. 正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算 根据这种互逆关系，可以求一个数的立方根. 探究新知 新知探究二： 根据立方根的意义填空: 因为 13=1，所以1的立方根是( ); 因为( )3=0.064，所以0.064的立方根是( ); 因为( )3=-8，所以-8的立方根是( ); 1 0.4 0.4 -2 -2 因为( )3= - ，所以- 的立方根是( ); 因为( )3=0，所以0的立方根是( ). - - 0 0 你能发现正数的立方根有什么特点吗?负数呢?0的立方根是多少? 探究新知 如果一个数的立方等于8，那么这个数是多少？ 思考 因为23=8，所以这个数可以是2 ． 除2以外，任何一个数的立方都不等于8 ． 因此，如果一个数的立方等于8，那么这个数是2 ． 探究新知 2 是 8 的立方根； 23＝8 (－2)3＝－8 03＝0 －2是－8 的立方根； 0 是 0 的立方根． 一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3＝a，那么这个数x叫作a的立方根或三次方根. 即：x3＝a，那么x叫作a的立方根或三次方根． 探究新知 一般地，如果一个数的立方等于 a，即 x3=a，那么这个数叫做 a 的立方根或三次方根. 任何数都有且只有一个立方 根，且符号与原符号相同. x3=a x叫做a的立方根 23 =8 2是8的立方根 求一个数的立方根的运算，叫做开立方。 探究新知 立方根的性质： 正数的立方根是正数， 负数的立方根是负数， 0的立方根是0. 立方根等于本身的数有 0，1、-1； 任何一个数都有唯一的一个立方根，且立方根的符号与原数符号保持一致。 注意： 探究新知 典例精析 例1 求下列各数的立方根： (1)(2)3； (2)343； (3)64； (4) . 解: (1) (2)3的立方根是2，即=2； (2)因为73=343，所以=7； (3)因为(4)3=64，所以=4； (4)因为()3= ，所以= . 根据立方根的意义填空． 探究 因为13 ＝1，所以1的立方根是（ ）； 因为（ ）3 ＝0.064 ,所以0.064的立方根是（ ）； 因为（ ）3 ＝－8 ，所以－8的立方根是（ ）； 因为（ ）3 ＝ ，所以 的立方根是（ ）； 因为（ ）3 ＝ 0，所以0的立方根是（ ）． 0.4 0.4 0 0 -2 -2 1 探究新知 你能发现正数的立方根有什么特点吗？负数呢？０的立方根是多少？ 探究 立方根的性质 正数的立方根是正数； 负数的立方根是负数； 0的立方根是0. 探究新知 因为 13=1，所以 1 的立方根是 ( )； 因为( )3=0.064，所以 0.064 的立方根是 ( )； 因为( )3= -8，所以 -8 的立方根是 ( )； 因为( )3= ，所以 的立方根是 ( )； 因为( )3=0，所以 0 的立方根是 ( )； 探究一 根据立方根的意义填空. 1 0.4 0.4 0 0 -2 -2 你能发现正数的立方根有什么特点吗？负数呢？0的立方根是多少？ 归 纳 正数 负数 0 立方根等于本身的数有 0，±1。 任何一个数都有唯一的一个立方根，且立方根的符号与原数符号保持一致。 正数的立方根是______，负数的立方根是______， 0 的立方根是______. 知识点三：立方根的表示方法 一个数α的立方根记为“ ”，读作“三次根号α”， 其中α是被开方数,3是根指数. 注意：中的根指数“3”不能省略. 例如，表示8的立方根，=2； 表示-8的立方根，=-2. 探究新知 新知探究三： 计算和，它们有什么关系? 和呢? 你能从中发现什么规律? =-3 归纳： 一般地，= 探究新知 根指数 被开方数 实际上省略了 中的根指数 2，因此 也可以读作 “二次根号 a”. 不能省略 一个数的立方根该怎样表示？ 思考：根指数的 3 能不能省略，为什么？ 数的平方根与数的立方根有什么区别和联系吗？ 平方根 立方根 联 系 运算关系 都与相应的乘方运算互为逆运算 0 的开方 0 的平方根与立方根都是 0 探究新知 平方根 立方根 区 别 概念 一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根或二次方根 一般地，如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a 的立方根或三次方根 性质 正数 ____个，互为_______ ____个，正数 负数 _____________ ____个，负数 表示方法 , 根指数2常省略不写 ，根指数3不能省略 被开方数取值范围 _________ ________ 2 1 没有平方根 1 非负数 任意数 相反数 探究新知 平方根 立方根 区别 特点 正数 0 负数 表示方法 被开方数的范围 联系 运算关系 0 的开方 两个，互为相反数 一个，为正数 0 0 没有平方根 一个，为负数 可以为任意数 非负数 ± 都与相应的乘方运算互为逆运算 0 的平方根与立方根都是 0 问题6：数的平方根与数的立方根有什么区别和联系吗？ 知识归纳 针对训练 已知 y 的立方根是 2，2x – y 是 16 的算术平方根，求: (1) x，y 的值； (2) x2 + y2 的值的平方根。 解： (1)因为 y 的立方根是 2，2x – y 是 16 的算术平方根， 所以 y = 23 = 8， 2x – y = 4 所以 x = 6， y = 8。 (2) 由(1)得 x = 6， y = 8， 所以 x2 + y2 = 62 + 82 =100 所以 x2 + y2 的平方根为 。 立方根 ①立方根的概念 ②开立方运算 求立方根的运算叫开立方，立方与开立方互为逆运算. 若 x3=a，则 x 叫作 a 的立方根. ③立方根的性质 正数：有1个立方根，是正数，记作. ​ 负数：有1个立方根，是负数，记作. 0 ：立方根是 0. 新知总结 立方根 定义 性质 求一个数的立方根的运算 如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a 的 或三次方根. 正数的立方根是_______； 负数的立方根是_______； 0的立方根是_______. ——开立方 立方根 正数 负数 0 课堂小结 1.下面说法正确的个数是（    ）    ①任何数都有一个立方根。    ②立方根是它本身的数只有0和1    ③0的立方根，平方根，算术平方根都是它本身 A 0个          B 1个         C 2个        D 3个 C 课堂检测 2．解方程： (1)； (2)． 课堂检测 3. 判断下列说法是否正确, 并说明理由. (1)的立方根是 ( ) (2)25的平方根是5 （ ） (3)－64没有立方根 （ ） (4)－4的平方根是±2 （ ） (5) 0的平方根和立方根都是0 （ ） √ x x x x 课堂检测 $