第二十一章 四边形 -2025-2026学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版）

第二十一章 四边形 思维导图 【类型一】四边形及其内角和 1．如图，在中，，将沿虚线剪去，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和性质，根据在中，，得出，再把数值代入计算，即可作答． 【详解】解：∵在中，， ∴， 则， 故选：B． 2．如图，将三角形纸片沿折叠，当点落在四边形的外部时，测量得，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的内角和定理，三角形的内角和定理，关键是运用多边形的内角和定理求出的度数．利用四边形的内角和定理求出，再利用三角形的内角和定理可得结果． 【详解】解：，， ， ， 故选：B． 3．如图，，是四边形的外角，，分别平分和且相交于点P．若，，则________．    【答案】 【分析】本题主要考查多边形内角和定理，三角形内角和定理，角平分线的定义，根据四边形内角和为360度和平角的定义，则由角平分线的定义可得从而求出的度数，运用三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，分别平分和且相交于点P， ∴， ∴， 在中，， 故答案为：． 【类型二】多边形的内外角 1．某设计师正在设计一个多边形形状的装饰图案，已知该多边形的内角和恰好等于其外角和的两倍，则这个多边形是（    ） A．四边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形 【答案】B 【分析】设这个多边形的边数为，根据题目给出的数量关系列方程求解边数即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 根据题意可得 解得， ∴这个多边形是六边形． 2．龟背纹是中国传统经典的几何装饰纹样．如图是丝绸上设计的正六边形龟背纹图案，则它的一个内角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出该正六边形的一个外角的度数，即可求解． 【详解】解：该正六边形的一个外角的度数为， ∴它的一个内角的度数为． 3．如图，过四边形一个顶点的所有对角线，将其分成2个三角形；过五边形一个顶点的所有对角线，将其分成3个三角形；过六边形一个顶点的所有对角线，将其分成4个三角形，…，若过边形一个顶点的所有对角线，将其分成了15个三角形，则_____． 【答案】17 【分析】找出图形规律的代数式，然后求解即可． 【详解】解：∵过四边形一个顶点的所有对角线，将其分成2个三角形； 过五边形一个顶点的所有对角线，将其分成3个三角形； 过六边形一个顶点的所有对角线，将其分成4个三角形， …… ∴过n边形一个顶点的所有对角线，将其分成个三角形， 根据题意得， 解得． 【类型三】正多边形的内外角 1．一个正多边形的内角和比其外角和的度数大，则它的边数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据“正多边形的内角和比其外角和的度数大”列方程求解即可． 【详解】解：设正多边形的边数为， 根据题意，得， 解得， 即边数为8． 【点睛】n边形内角和公式为，任意多边形外角和恒为． 2．一个正多边形的每一个内角都等于，则这个正多边形的边数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据正多边形的内角公式进行求解即可． 【详解】解：令该正多边形为边形， 由正多边形内角公式得， 解得， 故该正多边形的边数为． 3．正六边形的外角和是______度． 【答案】 360 【详解】解：根据多边形外角和定理可知，任意多边形的外角和都为， ∴正六边形的外角和是度． 【类型四】平行四边形的性质求解 1．如图，在平面直角坐标系中，的对角线的中点为原点O，轴，若点A的坐标为，，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质及中点坐标公式，解题的关键是利用平行四边形对角线互相平分这一性质．先由是中点求出的坐标，再由轴且求出的坐标，最后由是中点求出的坐标． 【详解】解：平行四边形的对角线互相平分，交点为原点， 是的中点， 设， ， ， ， 轴，， 的纵坐标为-1，横坐标为， ， 是的中点， ， ， ， 故选：A． 2．如图，在平行四边形中，平分，交于点平分，交于点E，若，，则的长为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】分别可证、为等腰三角形，得到、的长，进而得到，再根据计算即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴且， 又、分别是和的角平分线， ∴，． 又， ∴， 是等腰三角形，即． 同理可证是等腰三角形． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． 3．在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，是平行四边形的对角线，点E在上，，，则______° 【答案】/135度 【分析】根据等边对等角可得的度数，则由三角形外角的性质可得的度数，由平行四边形的对边相等，对角相等可得，则可证明，得到，求出的度数，进而求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【类型五】三角形的中位线性质求解 1．如图，是的中位线，的角平分线交于点，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角形中位线定理可得，，，由平行线的性质可得，由角平分线定义得到，因此，可得，求出，得到，即可得的长． 【详解】解：∵是的中位线， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．如图，已知长方形，R，P分别是，上的点；E，F分别是，的中点，当点P在上从点B向点C移动，而点R不动时，那么下列结论成立的是（    ） A．线段的长逐渐增大 B．线段的长逐渐减少 C．线段的长不变 D．线段的长先增大后变小 【答案】C 【分析】如图，连接，证明出是的中位线，得到，进而求解即可． 【详解】解：如图，连接 ∵E，F分别是，的中点 ∴是的中位线 ∴ ∵点R不动 ∴的长度不变 ∴线段的长不变． 3．如图，在四边形中，，，分别是边的中点，则四边形的周长是______． 【答案】 【分析】由题意可得分别为的中位线，则有，，然后通过周长公式即可求解． 【详解】解：∵四边形中，，，分别是边的中点， ∴分别为的中位线， ∴，， ∴四边形的周长为：． 【类型六】平行线之间的距离 1．已知直线，，在同一平面内，且，与之间的距离为，与之间的距离为，则与之间的距离是（    ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】C 【分析】分两种情况讨论直线c的位置，结合平行线间距离的定义计算即可． 【详解】解：分两种情况讨论： 当直线c在直线a和直线b之间时， ∵a与b的距离为，b与c的距离为， ∴a与c的距离为； 当a与c分别在b的两侧时， ∵a与b的距离为，b与c的距离为， ∴a与c的距离为； 综上，a与c之间的距离为或． 2．如图，在平行四边形中，，，过点A作，垂足为E，，则与之间的距离为（   ） A． B．6 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的性质，平行线间的距离，解题的关键是由平行四边形的面积公式得到； 本题根据平行四边形的性质，可得，设与之间的距离为，可得：，然后代入即可求解； 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 设与之间的距离为， ∵， ∴平行四边形的面积， ∴， ∴， ∴与之间的距离为． 故选：A． 3．如图，在中，是上一点，过的中点，若，则图中阴影部分的面积为___________． 【答案】16 【分析】本题考查全等三角形的判定与平行线的性质，关键是连接，先证三角形全等得到面积等量关系，再通过面积和差推导完成等面积转换，将不规则的四边形的面积转化为可直接计算的的面积． 【详解】解：如图，连接， ∵是的中点， ∴． 又∵， ∴，， ∴， ∴， ， ， ∵的面积为， 即阴影部分的面积为16． 故答案为：． 【类型七】矩形的性质求解 1．如图，矩形中，对角线交于O点．若，，则的长为（    ） A．4 B． C．3 D．5 【答案】A 【分析】根据矩形中，对角线，交于点，，判定是等边三角形，得到，解答即可． 【详解】解：∵矩形中，对角线，交于点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 2．把一张矩形纸条按如图所示的方式折叠，EF是折痕．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质，由，可得，即知，，根据，有． 【详解】解：， ， ∵矩形纸条按如图所示的方式折叠， ， ， ∵， ． 3．如图，矩形的对角线相交于点，点为上的一点，连接，为的中点，若，则的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，中位线，勾股定理，斜边上的中线等于斜边的一半．关键是根据矩形的性质得出解答．根据矩形的性质得出，进而利用三角形中位线得出，进而利用勾股定理得出，进而利用直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，， 为的中点， 是的中位线， ， ，， ， ， 为的中点， ． 【类型八】菱形的性质求解 1．如图，在菱形中，对角线与交于点，点为上一点，连接，若，，则的长为（    ） A．12 B．15 C．17 D．20 【答案】C 【分析】利用菱形性质求出及，在中求出，进而求出，最后在中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， 2．如图，四边形为菱形，对角线，相交于点，于点，连接，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据菱形的性质得，利用得到为的斜边上的中线，得到，利用等腰三角形的性质得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ， ， ， ， ， ． 3．菱形一条对角线长为6，另一条对角线长为8，则面积为_________ 【答案】 【分析】菱形的面积等于其对角线乘积的一半，据此求解即可． 【详解】解：∵菱形一条对角线长为6，另一条对角线长为8， ∴该菱形的面积为． 【类型九】正方形的性质求解 1．如图，在正方形中，点在的垂直平分线上，连接、，于点，，若，则的长为（  ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】证明为等边三角形，根据由题意求得，即可求得的长，利用． 【详解】解：在正方形中，，， 点在的垂直平分线上， ， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， ， ． 2．如图，为正方形的对角线，延长到点，使，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由正方形的性质可知，，，，再结合平行的性质和等边对等角，得出，即可得解． 【详解】解：如图，连接， 正方形， ，，， ， ， ， ， ， ． 3．如图，已知正方形的边长为4，点E、F分别在边和上，将该正方形沿着翻折，点A落在处，点B恰好落在边CD上的点处，如果四边形的面积为6，那么的面积是_________． 【答案】 【分析】本题考查翻折的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 连接，则，过点F作于点H，易证，进而得到、，设，则，根据四边形的面积为6，列方程得到关于的表达式，在中，利用勾股定理求出的值，最后利用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：连接，则，过点F作于点H， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 、， 设，则， 四边形的面积为6， ， 即， 解得， ， ， 由翻折的性质得：， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， 的面积为：． 【类型十】中点四边形 1．如图顺次连接矩形四条边的中点得到四边形，若，，则四边形的面积为（   ） A．6 B．6.5 C．7 D．7.5 【答案】D 【分析】根据矩形的性质和三角形中位线定理证明四边形是菱形，四边形和四边形是矩形，再根据菱形的面积计算公式求解即可． 【详解】解：如图，连接、、、， 矩形， ，，，，，， 分别为矩形四条边的中点， 分别是的中位线， ，， ， 四边形是菱形， ，，， 四边形是矩形， 同理可证，四边形是矩形， ，， 菱形的面积． 2．如图，菱形各边的中点分别为，，，，若四边形的面积为，则菱形的面积为（　 　） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】连接交于，根据三角形中位线定理得，进而可得四边形是矩形，得到，进而根据菱形的面积公式计算即可求解． 【详解】解：连接交于， ∵四边形是菱形， ∴， ∵点分别是边的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ，， ， ， ∴四边形是矩形， ∵四边形的面积为， ， ∴菱形的面积． 【点睛】注意中点四边形的性质和三角形中位线的性质． 3．如图，顺次连接任意四边形各边中点，所得的四边形是中点四边形． 下列四个叙述： ①中点四边形一定是平行四边形； ②当四边形是矩形，中点四边形也是矩形； ③当四边形是菱形，中点四边形也是菱形； ④当四边形是正方形，中点四边形也是正方形．其中正确的结论是________（只填代号） 【答案】①④/④① 【分析】此题考查了三角形的中位线定理、平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定与正方形的判定．熟练掌握中位线定理是解题的关键；连接，，根据三角形中位线定理“三角形的中位线等于第三边的一半”，再根据平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，求解即可． 【详解】解：如图，连接，， ，，，分别是四边形各边的中点， ， 四边形是平行四边形；（①正确） 若四边形是矩形， ＝， ＝，＝， ＝， 四边形是菱形；（②错误） 若四边形是菱形， ， ∵， ， 四边形是矩形，不一定是菱形；（③错误） 四边形是正方形， ＝，， ＝，＝， ＝， 四边形是菱形； ，， ， ， 四边形是正方形．（④正确） 正确的是①④． 故答案为：①④． 【类型十一】斜中定理 1．如图，在中，点D，E分别是边，的中点，连接，点F在线段上，连接，，若，，，则的长为（   ） A．10 B．12 C．8 D．16 【答案】A 【分析】根据三角形中位线定理可求出，进而求出，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：∵点D，E分别是边，的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵，点E是边的中点， ∴． 2．如图，在等腰直角中，，M、N分别为、上的点，，P为上的点，且，，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】先求出，再分两种情况：①当点是的中点时，②当点不是的中点时，求出的度数，然后求出的度数，由此即可得． 【详解】解：∵在等腰直角中，， ∴， ∵， ∴． ①如图，当点是的中点时， ∴，符合题意， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图1和图2，当点不是的中点时，取的中点，连接， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴在图1中，，此时，不满足三角形的内角和定理，舍去； 在图2中，， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，的度数为或． 3．如图，在平行四边形中，和相交于点O，E、F、G分别是、、的中点，连接，，则的周长为 __________________ ． 【答案】 【分析】由为平行四边形得到，结合已知条件得到，进而得到与均为等腰三角形，结合为中点得到，为斜边上的中线求出；过点作于，求出，再证明四边形为平行四边形得到，最后将、、相加即可求解． 【详解】解：点、分别为和的中点， 是的中位线， ； 四边形为平行四边形， ，， 又， ， 与均为等腰三角形， 又 ∵为的中点，连接， ， ， 又为的中点， ∴； 过点作于，连接，如图所示： ∴， ， 在中，由勾股定理得， 为中点，为中点， 为的中位线， ，即，且， 四边形为平行四边形， ， ． 【类型一】平面镶嵌 1．小明用两个全等的正五边形硬纸片和一个正m边形硬纸片拼了一个平面图形，这三个硬纸片的拼接处无空隙，不重叠．如图所示，则m的值为（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】本题的解题思路是先求出正五边形的内角度数，再结合平面镶嵌（密铺）的条件，通过周角为计算出正边形的内角度数，最后利用多边形内角和公式求出的值． 【详解】解：正五边形的内角和为：， ∵正五边形的每个内角相等， ∴正五边形的每个内角度数为：． ∵拼接处无空隙、不重叠，三个角在拼接点处构成周角， ∴正边形的一个内角度数为：． 设正边形的边数为，根据多边形内角和公式可得：， 解得． 2．如图，图①是通过平面图形的镶嵌所呈现的图案，图②是其局部放大示意图，由正十二边形、正六边形和正方形构成，其中边的延长线与对角线交于点E，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的内角和．根据正十二边形的每个内角为，求得，根据正六边形的每个内角为，求得，再利用三角形的外角性质，求解即可． 【详解】解：正十二边形的每个内角为， ∴， 正六边形的每个内角为， ∴， ∴， 故选：B． 3．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间没有空隙，也没有重叠地铺成一片，我们称之为图形的密铺．如图，是用全等的三角形或四边形材料密铺而成的地面．以下哪两种边长相等的正多边形材料组合能够密铺地面___________（填序号）①正三角形与正八边形；②正方形与正八边形；③正三角形与正六边形；④正五边形与正十边形． 【答案】②③④ 【分析】本题考查平面镶嵌，验证同一个顶点处的几个角之和是否为是确定密铺的关键． 密铺需要确定一个顶点处的几个角之和是，由题中所给情况逐项验证即可得到答案． 【详解】解：①正三角形与正八边形： 设围绕一个顶点需要个正三角形与个正八边形，为正整数， 则， 不存在正整数使方程成立， 正三角形与正八边形组合不能密铺地面， 故①不符合题意； ②正方形与正八边形： 设围绕一个顶点需要个正方形与个正八边形，为正整数， 则， 当时，方程成立， 正方形与正八边形组合能密铺地面， 故②符合题意； ③正三角形与正六边形： 设围绕一个顶点需要个正三角形与个正六边形，为正整数， 则， 当时，方程成立；当时，方程成立； 正三角形与正六边形组合能密铺地面， 故③符合题意； ④正五边形与正十边形： 设围绕一个顶点需要个正五边形与个正十边形，为正整数， 则， 当时，方程成立， 正五边形与正十边形组合能密铺地面， 故④符合题意； 故答案为：②③④． 【类型二】平行四边形的证明 1．如图，在平行四边形中，、分别是、边上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若平分，，，，求平行四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)26 【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质得出，进而利用平行四边形的判定解答即可； （2）由平行四边形的性质和角平分线的定义得出，再根据勾股定理求出的长，再求出，求解即可． 【详解】（1）证明：四边形为平行四边形， ，，，， ， ， ， ，即， ， 四边形是平行四边形； （2）解：四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 平行四边形的周长． 2．如图，将的对角线向两个方向延长，分别至点E和点F，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．运用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定即可． 【详解】证明：连接交于点， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． 3．如图，已知是等边三角形，点分别在线段、上，，，连接、、、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质． （1）根据等边三角形的性质，通过内错角相等得到，继而得证四边形是平行四边形． （2）通过证明是等边三角形，得到，继而证明，根据对应边相等得到． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图，连接， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ． 【类型三】菱形的证明 1．矩形的对角线相交于点O，，，、交于点E，证明：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】首先由，证明四边形是平行四边形，然后由矩形的性质得到，即可证明四边形是菱形． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是菱形． 2．如图，在中，，，分别以A，C为圆心，大于线段一半的长为半径画弧，相交于M，N两点，过M，N作直线交于点E，连接，点D是的中点，连接并延长至点F，使． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由作图可知直线是线段的垂直平分线，则由三角形中位线定理可得，据此可证明四边形是平行四边形，再根据含30度角的直角三角形的性质和直角三角形斜边中线等于斜边一半得，进而可证明四边形是菱形； （2）根据等腰三角形三线合一的性质得，，进而可求、，再根据菱形的面积，即可求解． 【详解】（1）证明：由作图可知，直线是线段的垂直平分线， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵在中，，，， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵，点D是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴菱形的面积为：． 3．如图，矩形的对角线，相交于点，是的中点，连接并延长至点，使，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，求四边形的面积和的长． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)四边形的面积为，的长为． 【分析】（1）利用平行四边形的判定定理证明四边形是平行四边形，再利用邻边相等的平行四边形是菱形可得结果； （2）作交延长线于G，证明四边形是矩形，根据勾股定理得到，根据中位线得到，可得，即可得四边形的面积，求出，，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）证明：∵点为的中点，且， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：作交延长线于G， ∵四边形是菱形，四边形是矩形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，为的中点， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴， ∴， ∵为的中点，为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∴四边形的面积为， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴． 【类型四】矩形的证明 1．如图，中，，平分，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)过点E作于，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得，再根据平行线的性质得，然后根据，可得，即可得出结论； （2）根据等腰三角形的性质求出，再根据勾股定理得，然后根据矩形的性质得，，最后根据三角形的面积相等得出答案． 【详解】（1）证明：中，，平分， ，， ，， ，， 四边形是矩形； （2）解：，平分，，， ． 在中，由勾股定理得：． 四边形是矩形， ，． ， ． 2．如图，在中，，为边上的高，过点A作，过点D作，与交于点E，与交于点F，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)18 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形可得，再利用等腰三角形的性质可得，易证四边形是平行四边形，再结合即可证明结论； （2）由等腰三角形的性质求出，在中，由勾股定理可以求得的长度，由矩形的性质求得的长度，再梯形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∴． ∵在中，，为边上的高， ∴． ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是矩形． （2）解：在中，， ， ∴， 由（1）知四边形是矩形， ∴， ∴四边形的面积为． 3．如图，在四边形中，，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)点E是上一点，点F是的中点，连接，，，若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)6.5 【分析】本题考查了矩形的判定，直角三角形的判定以及直角三角形斜中半定理，综合运用以上知识是解题的关键． （1）根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”进行证明； （2）先根据勾股定理的逆定理，证得，再由“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”求得的长． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴． 【类型五】正方形的证明 1．如图，四边形中，，，，将绕点B逆时针旋转得到，连接，过点B作于点F，交于点G，若． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见详解； (2)2 【分析】（1）由,，判定四边形为平行四边形，再根据有一组邻边相等及有一个内角是，判定其为正方形； （2）先证，进而即可得到答案. 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴平行四边形是正方形； （2）∵， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 2．如图，在等腰直角三角形中， ，，D是的中点，过点D 作于点E，于点F，连接． (1)求证：四边形为正方形． (2)若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据矩形的判定定理判断四边形是矩形；再结合等腰直角三角形中是中点，利用等腰直角三角形的性质推导，进而根据正方形的判定定理证明该四边形为正方形． （2）因为四边形是正方形，所以与正方形的边长有关；先根据和等腰直角三角形的性质、中点的性质求出正方形的边长，再利用正方形的对角线公式计算的长度． 【详解】（1）证明：∵ ，，， ∴ ， ∴四边形是矩形． 连接，如图， ∵等腰直角三角形， ∴， 又∵，， ∴点是的中点，点是的中点， ∴，， ∴， ∴四边形为正方形． （2）解：∵ ，∴ ， 由（1）可知是中点、是中点， ∴ ，． 在中，，由勾股定理得． 3．如图，四边形是菱形，对角线、交于点，点、是对角线所在直线上两点，且，连接、、、，． (1)求证：四边形是正方形； (2)若正方形的面积为，，求点到线段的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据对角线互相垂直且平分的四边形是菱形可得四边形是菱形，根据对角线相等的菱形是正方形即可解决问题； （2）由正方形的面积公式求得，进而得到，由四边形是菱形得到，，菱形的面积，由勾股定理求得，根据菱形的面积公式即可求得答案． 【详解】（1）证明：菱形的对角线和交于点， ，，， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， 四边形是正方形； （2）解：正方形的面积为， ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形， ，， 菱形的面积， 在中，， 设点到线段的距离为， ， 即， ． 即点到线段的距离为． 【类型六】尺规作图 1．如图，在平行四边形中，点是对角线上一点，连接． (1)用尺规完成基本作图：作，交线段于点，连接，（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，求证：四边形是平行四边形，请根据以下思路完成填空： 证：四边形是平行四边形， ，， ①___________， 在和中， ， ②___________，， ，③___________， ， ④___________， 四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)①；②；③；④ 【分析】（1）以点A为圆心，任意长度（小于长）为半径画弧，分别交、于点P、点Q，再以点C为圆心，相同长度为半径画弧，交于点M，将圆规针尖放在点C，调整到点Q，截取长度保持不变，再以点M为圆心，长度为半径画弧，两弧相交于点N，连接交线段于点F，连接，； （2）先由平行四边形的性质可得，再由角边角的证明方法证明和全等，由此可得，，由此可得，再根据一组对边平行且相等即可证明． 【详解】（1）解：如图即为所求； （2）证明：四边形是平行四边形， ，， ． 在和中， ． ，， ，， ， ， 四边形是平行四边形． 2．如图，在四边形中，，，点E为的中点． (1)尺规作图：作的平分线，与交于点F，连接． (2)求证：四边形是菱形 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用尺规作角平分线的方法作图即可； （2）利用角平分线和平行线得出，可得，利用直角三角形斜边中线的性质得出，可得，结合，证明四边形为平行四边形，再结合，即可求证． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的角平分线． （2）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，点是中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 3．如图，已知矩形， (1)尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）： ①作的平分线，交边于点． ②过作，垂足为； (2)求证：四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据尺规作角平分线的方法和作垂线的方法作图即可； （2）先根据平行线加角平分线得，再根据有三个角是直角的四边形是矩形证明其为矩形，再由矩形证明正方形． 【详解】（1）解：如图，即为所作： （2）证明：∵平分， ∴， ∵矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形． 【类型一】四边形的平移问题 1．数学小组将两块全等的含30°角的三角尺按较长的直角边重合的方式摆放，并通过平移对特殊四边形进行探究.如图1，其中，，，将沿射线方向平移，得到，分别连接，（如图2所示），下列有关四边形的说法正确的是（    ） A．先是平行四边形，平移个单位长度后是菱形 B．先是平行四边形，平移个单位长度后是矩形，再平移个单位长度后是正方形 C．先是平行四边形，平移个单位长度后是矩形，再平移个单位长度后是菱形 D．在平移的过程中，依次出现平行四边形、矩形、菱形、正方形 【答案】C 【分析】根据平移过程逐步分析，排除正方形的可能，再分矩形和菱形，利用性质求出平移距离即可． 【详解】解：由题意可得：平移过程中， ，，， ∴四边形是平行四边形， 刚开始平移时，， ∴如图，当平移至时，， ∴此时四边形是矩形，且不可能为正方形，， ∴平移距离为：， 即平移个单位长度后是矩形，    继续平移，当与共线时， 此时，即四边形是菱形， 此时的总平移距离为， 即再平移个单位长度后是菱形；      综上可得：平移过程中，四边形先是平行四边形，平移个单位长度后是矩形，再平移个单位长度后是菱形， 故选C． 【点睛】此题主要考查平行四边形、矩形、菱形的判定和性质，勾股定理，含30度的直角三角形，综合利用了特殊四边形的判定和性质，掌握特殊平行四边形的判定与性质是解题的关键． 2．矩形的边，，点E是边上一点，将沿折叠得到，点D恰好落在边上点F处，如图，将线段沿着射线方向平移得到对应线段，连接，当是等腰三角形时，平移的距离为______________． 【答案】4或6或 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、等腰三角形的性质． 根据矩形及折叠的性质得，，进而可求出的值，分类讨论：若，若，若，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ，， 由折叠对称性：，， 在中，， 如图，由平移可知：，， ∴四边形是平行四边形， ，， ， 如图，过点作于H， ， ∴四边形是矩形， ， 分三种情况讨论： 若， ， ， 即平移的距离为4； 若， ，， ， 即平移的距离为6； 若， 在中，， 设， ， ， ， 解得：， 即平移的距离为； 综上所述，当是等腰三角形时，平移的距离为4或6或． 故答案为：4或6或． 3．实践与探究： (1)如图甲，正方形纸片的边长为，沿对角线剪开，然后固定纸片把纸片沿剪痕方向平移得到，连接、、． ①在平移过程中，试判断四边形的形状，并说明理由；与不重合 ②在平移过程中，求的最小值； (2)如图乙，菱形纸片的边长为，，沿对角线剪开，然后固定纸片，把纸片沿剪痕方向平移得到，连接、、，在平移过程中，求的最小值． 【答案】(1)①四边形是平行四边形，理由见解析；② (2)的最小值为 【分析】本题属于四边形综合题，主要考查正方形的性质，菱形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，平移和轴对称的性质，作出点关于的对称点是解题的关键． 根据平移的性质以及平行四边形的判定定理，即可得到结论； 作点关于的对称点，连接，，当，，共线时，有最小值，再证明是等腰直角三角形，且，，共线，在直角中，利用勾股定理即可求解； 同理可得是等边三角形，且，，共线，进而利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）四边形是平行四边形，理由如下： 四边形是正方形， ，， 如图，把纸片沿剪痕的方向平移得到， ，， 四边形是平行四边形； 四边形是平行四边形， ， ， 如图，作点关于的对称点，连接，， 当，，共线时，有最小值， 此时的最小值为， 将沿射线的方向平移得到， ，， 四边形是平行四边形， ， 关于的对称点， ，， 是等腰直角三角形，且，，共线， 在直角中，由勾股定理得：， 的最小值； （2）如图，菱形的边长为， ， ， 作点关于的对称点，连接，， 当，，共线时，有最小值， 此时的最小值为， ，， 四边形是平行四边形， 为菱形，， ， ，，， 关于的对称点， ，，， 是等边三角形， ， ，，共线， 是等边三角形， ，， ， ， ， 在直角中，由勾股定理得：， 的最小值为． 【类型二】四边形的折叠问题 1．如图，将矩形沿对角线折叠，点落在处，交于点．将沿折叠，点落在内的处，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质和平行线的性质可得，结合折叠的性质可得，利用三角形外角性质可得，最后在 中利用两锐角互余即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 由折叠的性质可知：， ∴， ∴， 在中，，即，故选项正确， 由折叠的性质可知：， ∴，故选项不一定正确． 2．将长方形形纸片（如图①，）沿过点所在的直线折叠，使得点落在边上处，折痕为（如图②）再沿过点的直线折叠，使得点落在边上的处，点落在边上的处，折痕为（如图③，如果第二次折叠后，点正好在的平分线上，，__________. 【答案】 【分析】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明，且是解题的关键． 由矩形的性质得，，由折叠得，，则，因为，，所以，而，，即可证明，得，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 由折叠得，， ， ，， ， 点在的平分线上， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：． 3．【综合与实践】综合实践课上，老师让同学们以“简单矩形折叠”为主题开展学习活动，同学们积极参与了矩形折叠活动． (1)操作与证明： ①如图①所示，小华将矩形沿折叠后，使得点C与点A重合，点D与点G重合，若，则_______，_______； ②如图②所示，张三将矩形沿对角线折叠后，使得点C与点E重合，与交于点F，过点D作交BC于点G，求证：四边形是菱形； (2)迁移应用： 如图③所示，李四将矩形沿对角线折叠后，使得点C与点E重合，与交于点F，连接，若，，求的长． 【答案】(1)①60，60；②见解析 (2) 【分析】本题考查矩形的折叠问题，菱形的判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，掌握折叠前后对应边相等，对应角相等，是解题的关键． （1）①由折叠得，由得，结合即可求解； ②由，，证明四边形是平行四边形，同①证明，推出，即可证明四边形是菱形； （2）由折叠得，，，用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理解和，最后用勾股定理解即可． 【详解】（1）解：①由折叠得， ， ， 矩形中， ， 故答案为：60，60； ②四边形是矩形， ， 又， 四边形是平行四边形； ， ， 由折叠得， ， ， 四边形是菱形； （2）解：四边形是矩形， ，，， 中，，， ， ， 由折叠得，，， ， 又，， ， 如图，过点E作于点G， ， ， ， ． 【类型三】四边形的旋转问题 1．如图，机器人从点出发朝正东方向走了到达点，记为第1次行走；接着，在点处沿逆时针方向旋转后向前走到达，记为第2次行走；再在点处沿逆时针方向旋转后向前走到达点，记为第3次行走，…，以此类推，该机器人从出发到第一次回到出发点时所走过的路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形的边数的求法，多边形的外角和为；根据题意判断出机器人走过的图形是正多边形是解题的关键．根据题意，机器人走过的路程是正多边形，先用除以求出边数，进而即可求解． 【详解】解：∵机器人每次都是前进再逆时针旋转， ∴机器人走过的图形是正多边形， ∴边数， ∴机器人第1次回到出发点时，一共走了， 故选：C． 2．如图，正方形与等边三角形的顶点A重合，，，M是的中点，将绕顶点A旋转，在旋转过程中，当时，点M到点C的距离为______．      【答案】或 【分析】连接，先根据正方形的性质可得，根据等边三角形的性质可得，再分①在正方形内部和②在正方形外部两种情况，根据定理证出，根据全等三角形的性质可得的度数，从而可得点在同一条直线上，由此即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形，， ， ∵是等边三角形，，是的中点， ， ， ①如图，当在正方形内部时，    在和中，， ， ， ， 点在同一条直线上， ∴点到点的距离； ②如图，当在正方形外部时，    同理可证：， ， ， 点在同一条直线上， ∴点到点的距离， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质等知识点，正确分两种情况讨论是解题关键． 3．【问题情境】 同学们以“特殊平行四边形的旋转”为主题开展探究活动． 【操作发现】 （1）如图1，正方形和正方形，连接，．线段与线段之间的数量关系是________；直线与直线的夹角度数为________；（注：两条直线的夹角是指两条直线相交所形成的小于等于的角） （2）如图2，当正方形绕点旋转时，线段与线段之间的数量关系是________；直线与直线的夹角度数为________． 【深入探究】 （3）如图3，若四边形与四边形都为菱形，且，，猜想线段与的数量关系及直线与的夹角度数，并说明理由． 【迁移探究】 （4）如图3，在（3）的条件下，，在菱形绕点旋转过程中，求线段的最小值． 【答案】（1），；（2），；（3），直线与的夹角度数为，理由见解析；（4） 【分析】（1）由正方形的性质可得，，，再证明，得出，，延长交于点，求出，即可得出结果； （2）由正方形的性质可得，，，再证明，得出，，延长交于点，求出，即可得出结果； （3）由菱形的性质可得，，，证明，得出，，延长交的延长线于点，交于点，结合三角形内角和定理求出，即可得出结果； （4）由，得出当点在上时，线段取得最小值，连接，交于，由菱形的性质可得，，，求出，由勾股定理可得，则，求出，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵四边形和四边形为正方形， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴，， 如图，延长交于点， ， ∵， ∴， ∴， ∴直线与直线的夹角度数为； （2）∵四边形和四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 如图，延长交于点， ， ∵，且， ∴， ∴， 即与直线的夹角度数为； （3）解：，直线与的夹角度数为，理由如下： ∵四边形与四边形都为菱形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 如图，延长交的延长线于点，交于点， ， ∵，，， ∴， ∴直线与的夹角度数为； （4）解：∵， ∴如图，当点在上时，线段取得最小值， ， 连接，交于， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴线段的最小值为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、菱形的性质、勾股定理、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【类型四】坐标系中的平行四边形 1．（1）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，已知点，，如何求顶点C的坐标呢?下面是小明和小颖的求解思路：    小明：如图，分别过点B，C向x轴作垂线，垂足为D和E，   在平行四边形中，有，，则 ，又，故（ ），所以，…… 小颖：在平行四边形中，有，且，因为点O水平向右平移3个单位长度得到点，所以点水平向右平移3个单位长度得到点C，于是点C的坐标为 ． 请将填空处的内容依次填在横线上： ， ， ． （2）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，已知点，，求顶点R的坐标．    【答案】（1），，（2） 【分析】本题考查了平行四边形的性质、点坐标的规律、由平移方式确定点的坐标、全等的判定及性质： （1）根据平行四边形的性质得到两直线平行，同位角相等，证得两个三角形全等，得到对应边相等；根据平移的规律可得到点的坐标； （2）方法一是根据证明两个三角形全等得到结果；方法二是根据平移的规律得到结果； 正确理解平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：（1）小明：由平行四边形的性质得到， ∴， 再根据两个三角形的两个角及一条边对应相等可得到两个直角三角形相等， ∴得到的条件是； 小颖：根据平移的方式，点水平向右平移3个单位长度得到点C，横坐标加3， 即； 故答案为：，，； （2）方法1：如图，作轴于点M，过点P作x轴的平行线，过点R作y轴的平行线，两者交于点N， 则，延长交x轴于点S，    ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又点，故点R的坐标为， 方法2：在平行四边形中，有， ∵原点O先水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移1个单位长度，得到点， ∴点，经过同样的平移方式可得到点R，则点R的坐标为． 2．如图，在直角坐标系中，点是坐标原点，四边形是平行四边形，点的坐标为，点的坐标为，． (1)求点的坐标和的对称中心的坐标； (2)动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向点匀速运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点运动的时间为秒，则当为何值时，的面积是面积的一半？ (3)当的面积是面积的一半时，在平面直角坐标系中找到一点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)点C的坐标为，平行四边形的对称中心的点的坐标为； (2)当点P运动4秒时，的面积是平行四边形的一半； (3)点M的坐标为或或 【分析】（1）根据平行四边形与直角坐标系中坐标的性质，可直接写出点的坐标；平行四边形的对称中心即是对角线的中点； （2），根据三角形的面积公式列出方程，继而求出此时的值即可， （3）根据（2）中得出的值，找出此时点和的位置，然后根据平行四边形的性质直接写出点的坐标即可， 本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形的面积及一元二次方程的应用，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ， 点A的坐标为，点B的坐标为，； ∴点C的坐标为，平行四边形的对称中心的点的坐标为， （2）解：根据题意得：， ∴， 即：， ，解得：， 故答案为：当点P运动4秒时，的面积是平行四边形的一半， （3）解时，由（2）知，此时点与点重合，画出图形如下所示，    此时轴，轴，，，，， 根据平行四边形的性质，可知，， ∴，即，，即：，，即：， 故答案为：点M的坐标为或或． 3．如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，点、的坐标分别为、．将先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到． (1)请直接写出点的坐标_________，点的坐标_________． (2)请判断与重叠部分的形状，并证明你的结论． (3)点是平面内一动点，是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)． (2)四边形是平行四边形．证明见解析 (3)． 【分析】（1）利用平移的性质求解即可； （2）根据平移的性质得到，即可得到结论； （3）分三种情况：①当是对角线时，②当是对角线时，③当是对角线时， 根据平行四边形的性质，分别计算即可． 【详解】（1）解：点、的坐标分别为、, 根据平移得， 故答案为：； （2）解：四边形是平行四边形，理由如下， ∵， ∴． ∵平移得到， ∴， ∴． ∴四边形是平行四边形． （3）解：存在点，理由如下， ， 设 ①当是对角线时， 四边形是平行四边形， 互相平分， ， ， ∴； ②当是对角线时， 四边形是平行四边形， 互相平分， ， ， ∴； ③当是对角线时， 四边形是平行四边形， 互相平分， ， ， ∴． 综上所述，点的坐标为． 【点睛】本题考查是平行四边形综合题，考查了平行四边形的性质，平移的性质，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【类型五】坐标系中的特殊平行四边形 1．如图，在平面直角坐标系中，长方形的边在x轴上，边在y轴上，点B的坐标为，D是边上一点（不与点A、B重合），将沿直线翻折，使点B落在点E处． (1)如图1，当点E恰好落在y轴时，连接，求的长度． (2)如图2，当点E恰好落在长方形的对角线上时，求点D的坐标． (3)如图3，当以O、C、E三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求的面积． 【答案】(1) (2) (3)27或 【分析】（1）利用长方形的性质，求出点的坐标，得出的长，的长，再根据勾股定理，即可求解； （2）根据勾股定理得，设,则，由勾股定理得：，即，求出，即可求解； （3）①当时，，则的面积；②当时，利用勾股定理得：，求出，进而求解． 【详解】（1）解：∵点B的坐标为，且四边形是长方形， ∴点的坐标分别为， ∴，， 由折叠得，，，， ∴，，为等腰直角三角形， ∴， ∴． （2）解：∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴， ∴中，， ∵四边形是长方形， ∴， ∵沿折叠， ∴， ∴， ∴， 设,则， ∵中，由勾股定理得：， ∴， 解得， ∴， ∴点D的坐标为； （3）解：过点E分别作轴的垂线，垂足分别为， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． ①当时， ∵， ∴， 的面积； ②当时， ∵， ∴， 设，则， 在中，， 在中，， 即， 解得：， 则， 的面积； 故的面积为27或． 【点睛】本题考查的是长方形的性质、勾股定理的运用、面积的计算、坐标与图形，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 2．如图，平面直角坐标系中，点为坐标原点，四边形为矩形，，点是的中点，点在边上以每秒2个单位长的速度由点向点运动，设运动时间为秒． (1)直接写出坐标：______，______)； (2)当四边形是平行四边形时，求的值； (3)在平面直角坐标系内是否存在点，使得以为顶点四边形为菱形，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定及性质，菱形的判定及性质，勾股定理的运用．解决本题的关键是熟练掌握平行四边形和菱形的判定方法． （1）根据中点的定义求出的长即可解决问题； （2）利用平行四边形的性质求出即可解决问题； （3）分四种情形：当或或或时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，点是的中点， ∴， ∴． 故答案为5，0． （2）∵四边形 是平行四边形， ∴， ∴， ∴． （3）当时， ∴， ； 当时， 作， ∴， ∴， 当时，作， 同理得， ∴， ∴， 当时，作， 同理得， ∴， ∴，    综上所述，满足条件的点Q的坐标为：． 3．正方形的边长为6，O为平面直角坐标系的原点，D是的中点． (1)如图，点A的坐标为 ，点C的坐标 ，点D的坐标 ； (2)如图，点P在上， 且坐标为，若三角形的面积为12，求a的值； (3)在坐标轴上是否存在点Q，使三角形的面积是正方形面积的一半．若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)4 (3)或或或 【分析】本题坐标与图形，一元一次方程的应用，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． （1）根据坐标与图形写出坐标即可； （2）根据求解即可； （3）分两种情况讨论：当点Q在轴上时；当点Q在轴上时，设点Q的坐标，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：正方形的边长为6， ，， ，，， D是的中点， ， 故答案为：，，； （2）解：点P在上， 且坐标为， ， 若三角形的面积为12， 则 ， ； （3）解：正方形的面积为， 当点Q在轴上时， 设，则， ， 解得：， 点Q的坐标为或； 当点Q在轴上时， 设，则， ， 解得：， 点Q的坐标为或； 综上可知，点Q的坐标为或或或． 【类型六】四边形中的动点求t 1．如图，在平行四边形中，，，．动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P运动的时间为t秒． (1)用含t的代数式表示 ； (2)当时，求t的值； (3)请问是否存在t的值，使得A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）根据路程=速度×时间，求解即可 ； （2）当时，过点A作于点F，则，，得到，根据题意，得，，构造等式求解即可； （3）当时，；当时，， 根据平行四边形的判定，列式求解即可． 【详解】（1）解：∵动点P从点A出发沿以速度向终点D运动， ∴； （2）解：当时，如图1，过点A作于点F，则，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动， ∴，， ∴， ∴， 解得． （3）解：存在， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动， ∴，， ∴当点P与点D重合时，， 故， 解得， ∴当点Q与点B重合时，， 故， 解得， ∴当时，； 当时，， ∵， ∴当时，A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形， 当时，如图2，四边形是平行四边形， ∵， ∴， 解得； 当时，如图3，四边形是平行四边形， ∵， ∴， 解得； 综上所述，t的值为或． 2．如图，在中，，，边上的高为12．点从点出发，沿以每秒5个单位长度的速度运动．点从点出发沿以每秒10个单位长度的速度运动．、两点同时出发，当其中一点到达终点时，、两点同时停止运动．设运动的时间为（秒），连接． (1)当点与点重合时，的值为________． (2)直接写出的长（用含的代数式表示）； (3)当平分面积时，求的值； (4)当时，直接写出的值． 【答案】(1)6 (2) (3)12或4 (4)2或或8 【分析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握平行四边形的性质，进行分类讨论是解题的关键． （1）由题意可得，即可； （2）分点点出发沿运动和点出发沿运动两种情况讨论即可； （3）分两种情况，结合梯形的面积公式分别求出t的值即可． （4）分两种情况，结合矩形的性质、平行四边形的性质分别求出t的值即可． 【详解】（1）解：点Q与点C重合时， 由题意得：， 解得：， 即点Q与点C重合时，t的值为6； （2）解：当点Q沿运动时，； 由题意得：； 当点Q沿运动时，， ∴， 即； （3）解：∵面积为， ∴梯形的面积为 分两种情况： 当点Q沿运动时，如图， ∴， 解得：； 当点Q沿运动时，如图， 同理：， 解得：， 此时，两点重合，两点重合； 综上所述，当平分面积时，t的值为12或； （4）解：分两种情况： 点Q沿运动时， 如图，过A作于点G，于点H，则四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当点Q沿运动时， 如图，过A作于点G，于点H，则四边形是矩形，当点Q在点H右侧时， 同理， ∵， ∴， 解得：； 当点Q在点H左侧时，如图，则四边形是矩形，即， ∴， 解得：； 综上所述，当时，t的值为2或或． 3．如图，在长方形中，，．点为上一点，，动点从点出发，沿方向以每秒2个单位的速度向终点运动，连接、．设点运动的时间为秒． (1)用含有的代数式表示的长； (2)当时，求的长度； (3)①当是等腰三角形时，直接写出的值； ②当是直角三角形时，直接写出的值． 【答案】(1)当时，，当时，； (2) (3)①或或或；②或或． 【分析】此题考查了勾股定理、一元二次方程的应用、矩形的性质等知识，分情况讨论是关键． （1）根据t的取值范围分别列代数式即可； （2）当时，，，根据勾股定理进行解答即可； （3）①由勾股定理可知，分情况进行解答即可；②根据t的取值范围分别进行解答即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，； （2）过点作于点，如图， 当时，，， ∴， ∴， ∴； （3）①由勾股定理可知， 当时，， 当即时，即，解得或（不合题意，舍去）； 当即时，即，解得； 当时，即，解得； 当时，， ∵是等腰三角形， ∴，即 解得， 综上可知，当是等腰三角形时，的值为或或或； ②当时，， ∵是直角三角形， ∴或， 当时，， ∴，即 ∴， 解得， 当时，，即， 解得， 当时，， ∵是直角三角形， ∴点与点重合， ∴， 综上可知，当是直角三角形时，的值为或或． 【类型七】四边形中的新定义 1．新定义题型构思巧妙，立意新颖，重在考查学生的学习能力，实践能力及创新精神，让我们试试吧：我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫作“等邻角四边形”． (1)定义理解：    如图①，已知四边形为等邻角四边形，且，求的度数． (2)定义运用： 如图②，在五边形中，，对角线平分，求证：四边形为等邻角四边形； (3)定义拓展： 如图③，在等邻角四边形中，，点为边边上的一动点，过点作，垂足分别为，试猜想，在点的运动过程中，的值是否会发生改变，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)的值不会发生改变．理由见解析 【分析】（1）根据“等邻角四边形”的定义，再结合已知条件和四边形内角和定理，即可求解． （2）根据两直线平行，内错角相等，再结合角平分线的定义和“等邻角四边形”的定义即可证明． （3）作，垂足为Q，设法证明为定值． 【详解】（1）因为四边形的内角和为，且与的度数均大于或等于，故根据“等邻角四边形”定义，均不可能与中的任意一个角相等，否则总内角和大于． ∴． ∵， ∴， 解得：． （2）∵， ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∴四边形为等邻角四边形； （3）的值不会发生改变．理由如下： 如图，作，垂足为Q，自P作，垂足为R，    ∵， ∴四边形是矩形． ∴，且， ∴．由题意，知 ． 又∵， ∴． ∴， ∴． 因此， 在点P的运动过程中，的值不会发生改变，总等于； 【点睛】本题考查了新定义的理解、平行线的性质、矩形的性质、全等三角形的判定及性质等知识点，解题的关键是能灵活运用上面的知识点． 2．阅读与思考 下面是小敏同学在日常学习过程中，通过翻阅资料了解到的一个新内容，请认真阅读材料内容，并完成相应的任务． 等垂四边形 【概念理解】 定义：如果一个四边形中有一组对角相等，且这组对角的顶点连线与该四边形的一边垂直，那么这个四边形叫作“等垂四边形”．如图1，在四边形中，若，且，则四边形为“等垂四边形”． 【性质探索】 如图1，根据定义，探索“等垂四边形”的性质可得结论：． 证明：四边形是“等垂四边形”， …… 任务： (1)在图1中，若，，则的度数为___________． (2)完成【性质探索】中的证明过程． (3)如图2，已知锐角，请你在图中作出“等垂四边形”．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）由四边形为“等垂四边形”，得到，且，再求出，最后根据四边形内角和求即可； （2）由四边形为“等垂四边形”， 得到，且，根据代入角度关系证明即可． （3）先作，再作，交点即为． 【详解】（1）解：∵四边形为“等垂四边形”， ∴，且， ∵， ∴， ∵， ∴ （2）证明：四边形为“等垂四边形”， ，且， ∴． 在中，， ∴． （3）如图，“等垂四边形”即所求． 3．综合与实践 在以往的学习过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“豫式四边形”进行研究． 定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“豫式四边形”． (1)初步判断 下列初中阶段常见的四边形中，一定属于“豫式四边形”的是________（填序号）． ①矩形  ②正方形  ③菱形  ④平行四边形 (2)性质探究 根据定义可得出“豫式四边形”的边、角的性质．下面继续进行相关探究． ①如图1，“豫式四边形”中，，．写出图中除条件外相等的线段，并说明理由； ②如图2，在四边形中，，平分，若，求证：四边形为“豫式四边形”； (3)拓展应用 如图3，中，，在直线的右上方存在点D，使得四边形为“豫式四边形”，当该“豫式四边形”中有一内角为时，请直接写出的长． 【答案】(1)② (2)①，理由见解析；②见解析 (3)或 【分析】（1）根据“豫式四边形”的定义判断即可； （2）①根据“豫式四边形”的定义可得，再根据“”证明，可得； ②过点作，交于点，证明，推出，即可证明四边形为“豫式四边形”； （3）分两种情况，即或，作出图形，计算的长即可． 【详解】（1）解：①矩形对角互补，但邻边不一定相等，故矩形不一定属于“豫式四边形”； ②正方形对角互补，邻边相等，故正方形一定属于“豫式四边形”； ③菱形对角相等，不一定互补，邻边一定相等，故菱形不属于“豫式四边形”； ④平行四边形对角相等，不一定互补，邻边不一定相等，故平行四边形不属于“豫式四边形”； 即答案为②； （2）①解：，理由如下： 四边形为“豫式四边形”， ， ， ， ，， ， ； ②证明：如图，过点作，交于点， 平分， ， ，， ， ，， ， ， ， 四边形为“豫式四边形”； （3）解：要使四边形为“豫式四边形”，则， ， ， 当时，如图，作，连接， ，， ，， ， ， ， ， 设，则，， ， 根据勾股定理可得， 可得， 解得， 当时，，不符合直角三角形边长关系，故舍去， ； 当时，如图，作，连接， 同理可得， 设，则，， ， 根据勾股定理可得， 可得， 解得， 当时，，不符合直角三角形边长关系，故舍去， ， 综上，的值为或． 【点睛】需要利用分类讨论的思想，作出正确的图形，根据需要联想到构造含有角的直角三角形． 【类型八】无刻度尺作图 1．阅读与理解下面是小刚同学的一篇数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务． 正方形网格中“无刻度直尺作图”问题初探 正方形网格中使用无刻度直尺作图是一种经典的几何构造问题，其核心是仅用无刻度直尺和给定网格，通过有限的步骤完成特定的几何构造任务，如：构造线段上的特殊点或与线段相关的特殊角等． 如图，在正方形网格中，已知线段和的端点均为格点．利用无刻度的直尺解决下面的问题． 类型一：构造特殊点 问题1：求作线段的中点F． 思路：如图，延长到E，利用网格构造线段，满足且，连接，则与的交点即为线段的中点F．（依据） 问题2：求作线段的中点M． … 类型二：构造角平分线 问题3：求作的平分线． 思路：如图，延长到D使得，利用网格构造线段，满足且，连接，则为的平分线． … 任务： (1)问题1中“依据”的内容是 ． (2)请用无刻度的直尺在图中参照问题1的思路，作线段的中点M．（保留作图痕迹）； (3)请用无刻度的直尺在图中参照问题3的思路，作的平分线．（保留作图痕迹）． 【答案】(1)平行四边形的对角线互相平分 (2)见详解 (3)见详解 【分析】本题主要考查了网格作图、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、正方形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和菱形的性质是解题关键． （1）首先根据“一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”证明四边形为平行四边形，再根据“平行四边形对角线相互平分”，即可证明结论； （2）取格点D、E，使得且，连接，则与的交点即为线段的中点M； （3）首先证明，延长至点，使得，取格点，使得，且，证明四边形为正方形，由正方形的性质即可证明结论． 【详解】（1）解：∵且， ∴四边形为平行四边形， ∴，即点F为线段的中点． 故答案为：平行四边形的对角线互相平分； （2）如下图，点M即为所求； （3）如下图， ∵，， ∴， ∴为直角三角形，， 延长至点，如图， ∵， ∴， 取格点，使得，且， ∴四边形为平行四边形， ∵，， ∴四边形为正方形， ∴平分，故即为所求． 2．如图，已知四边形为菱形，延长到点，使得，过点作，交的延长线于点（保留作图痕迹，不写作法）． (1)如图①，用无刻度的直尺作直线直线不与重合）； (2)如图②，用无刻度的直尺作出一个矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，，分别交，于点，，连接，则线段所在的直线即为所求的直线； （2）连接，交于点，分别延长，，相交于点，连接，，相交于点，则四边形即为所求． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求． （2）解：如图，矩形即为所求． 【点睛】本题考查作图，菱形的性质、矩形的判定，熟练掌握菱形的性质以及矩形的判定是解答本题的关键． 3．阅读材料，无刻度直尺作图不同于传统的尺规作图，它只能用来画直线、射线或线段．在作图时，关键在于根据几何图形的特征确定与题意相符的两个点或一个点（另一点已知），再利用“两点确定一条直线”这一基本事实即可．       (1)图1、图2均为正方形网格，请仅用无刻度直尺完成下列画图，保留作图痕迹． ①如图1，点A、B为格点，画出线段的中点O； ②如图2，点A、B、C为格点，画出的平分线； (2)借助（1）中画图的经验解决下面的问题： 如图，已知平行四边形中，请仅用一把无刻度直尺完成下列画图，保留作图痕迹． ①如图3，点E、F分别在、上，，连接，请在上画点O，使点O为的中点； ②如图4，若，点E为上一点，请在上画点G，使； ③如图5，在②的条件下，若，连接，点P为上一点，请以为边画一个菱形，你所画的菱形为______． 【答案】(1)①图见解析②图见解析 (2)①图见解析②图见解析③图见解析， 【分析】（1）①取格点，连接，与的交点即为点；②连接，取的中点，连接，即为所求； （2）①连接，与的交点即为点；②连接，，和交于点，连接并延长，交于点，即为所求；③连接交于点，连接并延长交于点，连接并延长交与点，连接交于点，连接，则：菱形即为所求． 【详解】（1）①如图所示，取格点，连接，与的交点即为点；    由图可知：四边形为矩形， ∴， ∴点即为所求； ②连接，取的中点，连接，如图所示，即为所求；    由图可知：， ∵点为的中点， ∴平分； （2）①连接，与的交点即为点；    ∵平行四边形， ∴， ∵， ∴， 又， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴为的中点； ②连接，，和交于点，连接并延长，交于点，即为所求；    ∵平行四边形，， ∴平行四边形为菱形， ∴，， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ③连接交于点，连接并延长交于点，连接并延长交与点，连接交于点，连接，则：菱形即为所求；      ∵， ∴菱形为正方形， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， 同法可得：四边形为平行四边形， ∵， ∴平行四边形为菱形． 【点睛】本题考查矩形的性质，菱形的判定和性质，正方形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．本题的综合性强，难度大，对学生的思维量要求高． 1．（25-26八年级下·山东日照·月考）在中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平行四边形邻角互补、对角相等的性质，结合已知角度关系即可求解 【详解】解：∵四边形是平行四边形 ∴， ∴ ∵ ∴ 即 解得 ∴ 2．（25-26九年级下·河北廊坊·月考）如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变）．当增大时，则的度数（    ） A．增大 B．增大 C．减小 D．减小 【答案】A 【分析】根据菱形的对角线平分对角的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，是对角线， ∴，平分， ∴， ∵增大， ∴增大． 3．（25-26九年级下·辽宁抚顺·月考）如图，在菱形中，，对角线，过点A作，垂足为E，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接交于点，利用菱形的性质以及等积法进行求解即可. 【详解】解：连接交于点， ∵菱形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴. 4．（25-26九年级下·重庆·月考）如图，在正方形中，点是边上一点，交于点，以，为邻边构造平行四边形，连接，若，则等于（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先过点作于点，过点作，交延长线于点，通过正方形的性质和条件判定，得，再与平行四边形的性质结合推出，设，，那么，运用勾股定理求解出、的值，最后进行求解即可． 【详解】解：过点作于点，过点作，交延长线于点， ∵正方形， ∴，， ∴四边形为矩形， ∵平行四边形， ∴，． ∵， ∴，即． ∵，， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴，， ∴． ∵， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵， 设，， ∴，， ∴，， ∵，，， ∴． ∵，，，， ∴． ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴． ∴． 5．（25-26八年级下·河南信阳·月考）如图，1角硬币是1992年6月1日中国人民银行发行的第四套金属流通币之一，该硬币呈圆形，边缘是正九边形的形状，则从该九边形的一个顶点最多能引出对角线的条数是________． 【答案】6 【详解】解：从一个多边形的一个顶点引对角线，可以作条对角线， ∴从该九边形的一个顶点最多能引出对角线的条数为． 6．（25-26八年级下·山东德州·月考）如图，在▱中，已知，，平分交边于点，则等于____ 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质以及角平分线的性质可知的长度，然后根据线段的和差关系即可求解． 【详解】解：在▱中，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 7．（25-26八年级下·陕西西安·月考）如图，四边形是一张长方形纸片，，沿过点的折痕将翻折，使得点落在上（如图中的点），折痕交于点，此时测得，则__________ 【答案】 【分析】本题主要考查了图形的折叠变换，全等三角形的性质，正确求得是解题的关键． 【详解】解：由折叠的性质可得 ∴ ， ∵ 四边形 是矩形 ∴ ，， ∴ 在 中， ∴ 由勾股定理得 ． ∴． 8．（25-26八年级下·北京·月考）如图，在中，，分别是，上的点，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质．由平行四边形的性质得到，，进而得到，证明四边形是平行四边形，即可得到． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 9．（25-26八年级下·江苏盐城·月考）如图，将的边延长至点，使，连接,若 ． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】（1）先根据平行四边形的判定与性质证明四边形，再根据矩形的判定定理可得结论； （2）根据矩形性质得到，再由勾股定理求得，然后利用平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：由（1）可知，四边形是矩形， ∴，即， ∵，， ∴， ∴平行四边形的面积． 10．（25-26八年级下·福建福州·月考）如图，菱形的对角线相交于点O，且，．点E在线段上，且，点F为线段上一动点． (1)求的长； (2)若时，连接，求四边形的面积； (3)记的最小值为a，的最小值为b．求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据四边形是菱形，且，，得出，，，．在中，根据直角三角形的性质得出，再根据勾股定理算出，即可解答； （2）如图，连接，设，在中，根据，得出，根据勾股定理即可解出，．证明，即可得出，．算出，，再根据即可计算； （3）如图，过点B作，且，过点F作于点G，连接．证出，在中，根据直角三角形的性质得出，根据，得出当E、F、G共线时，的值最小，此时，证出四边形是矩形，即可得出，．证明，得出，得出当A、F、H共线时，的值最小，在中，根据定理得出，即可算出，即可解答． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形，且，， ∴，，， ． 在中，， ∴， ∴． ∴． （2）解：如图，连接，设， ∵， ∴， 在中，， ∴，， 即， 解得：（舍），． ∴． 在和中，， ∴． ∴，． ∴． ． ∴． ∴四边形的面积是． （3）解：如图，过点B作，且，过点F作于点G，连接． ∵，， ∴． ∴， ∴在中，． ∴． ∴当E、F、G共线时，的值最小，此时． ∴， ∴四边形是矩形． ∴． ∴． 在和中，， ∴． ∴， ∴． ∴当A、F、H共线时，的值最小． 在中，， ∴． ∴． 1．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）在平行四边形中，，则度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的对角相等求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴． 2．（24-25八年级下·重庆·期中）下列说法正确的是（    ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是正方形 C．一组邻边相等的四边形是菱形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】D 【详解】解：∵对角线相等且互相平分的四边形才是矩形，仅对角线相等的四边形不一定是矩形，∴A错误． ∵对角线互相垂直平分且相等的四边形才是正方形，仅对角线互相垂直的四边形不一定是正方形，∴B错误． ∵一组邻边相等的平行四边形才是菱形，仅一组邻边相等的四边形不一定是菱形，∴C错误． ∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，∴D正确． 3．（25-26九年级下·陕西西安·期中）在菱形中，．若菱形的周长为8，则此菱形的高为（   ） A． B．4 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据菱形的性质求出其内角的度数，再结合菱形周长求出边长，最后利用含角的直角三角形的性质求出菱形的高即可． 【详解】解：因为四边形是菱形，可知， 所以， 又已知， 设，则， 可列方程， 即，解得， 所以． 由于菱形的周长为， 设菱形的边长为，则，解得， 过点作于点，如图 则的长即为菱形的高， 在中，，， 可得 ． 则此菱形的高为1． 4．（25-26九年级上·重庆·期中）如图，在正方形中，为中点，连接，将沿所在的直线翻折到正方形所在的平面内得，连接、，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于点，过点作交的延长线于点，设，利用正方形和折叠的性质推导角度关系，证明以及是等腰直角三角形，进而得出与的数量关系即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作，交的延长线于点， ， ∵四边形是正方形， ，， 设，则 ， 沿所在的直线翻折得， ，，，， ，，， ，， 为中点， ， ， ， ， ，， ，，， ， 又， ， ， 又， 是等腰直角三角形， 设， 则， 在和中， ， ， ， ， ． 5．（25-26八年级下·云南曲靖·期中）已知平行四边形的周长为40，，则 ______， ______． 【答案】 8 12 【分析】本题考查了平行四边形的性质和周长，利用平行四边形对边相等，相邻两边的和等于周长的一半计算即可． 【详解】解：∵平行四边形的周长为40， ∴，， ∵， ∴，． 6．（24-25八年级下·甘肃临夏·期中）如图，菱形中，E、F分别是、的中点，若，则菱形的周长是________． 【答案】24 【分析】根据三角形中位线的性质可求得的长度，然后由菱形的边长相等即可求得周长． 【详解】解：∵E、F分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴菱形的周长是． 7．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，已知，正五边形的顶点、分别在射线、上，则_____ ． 【答案】 【分析】根据正多边形的内角公式可得，则，利用三角形内角和定理计算出即可． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ∴， ∴， ∴． 8．（25-26九年级下·福建泉州·期中）如图，点分别在菱形的边上，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据菱形的性质可得，，再证明，继而得出，即可得证． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 9．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）如图，在矩形中，，．点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点，的运动速度都是，连接，，．设点，的运动时间为． (1)当为何值时，四边形是矩形？ (2)当为何值时，四边形是菱形？ 【答案】(1)当时，四边形是矩形 (2)当时，四边形是菱形 【分析】（1）当四边形是矩形时，由，据此求解得出的值即可； （2）当四边形是菱形时，得，结合勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：∵在矩形中，，， ∴，，，， ∴， 当时，四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形， ∵点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点，的运动速度都是，设点，的运动时间为， ∴此时， 解得：． 答：当时，四边形是矩形； （2）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， 当时，四边形为菱形． 设秒后，，四边形为菱形， 根据勾股定理得：， 即， 解得：． 答：当时，四边形是菱形． 10．（25-26八年级下·福建·期中）完成以下问题 (1)正方形，分别在边上（不与端点重合），，与交于点． 如图（），若平分，直接写出线段，，之间等量关系； 如图（），若不平分，中线段，，之间等量关系还成立吗？若成立请证明；若不成立请说明理由 (2)如图（），矩形，，．点分别在边上，，，求的长度． 【答案】(1)；成立，证明见解析； (2)． 【分析】（）由四边形是正方形，得，，，证明，则，，所以，然后通过角平分线性质即可求解； 延长到点H，截取，连接，证明和即可求解； （）取，的中点，，连接，连接，证明四边形是正方形，由勾股定理得，由（）同理得：，设，则，，通过勾股定理求出，即，则，过作于点，再证明四边形是矩形，所以，然后证明，所以，再通过线段和差即可求解． 【详解】（1）解：如图（）， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴，， ∴； ，中线段，，之间等量关系还成立：， 如图（），延长到点，截取，连接， 在与中， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， 在与中， ∵， ∴， ∴， （2）解：如图，取，的中点，，连接，连接， ∵，， ∴，， ∴四边形是正方形， 在中，，， ∴， ∴， ∵， 由（）同理得：， 设，则，， 在中，， ∴， ∴，即， ∴， 过作于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，角平分线定义等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 1．（24-25八年级上·重庆北碚·期末）下列命题中是真命题的是（    ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是平行四边形 C．一组对边平行且有一个角为直角的四边形是矩形 D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 【答案】A 【分析】本题主要考查了命题与定理的知识，利用平行四边形及矩形的判定方法分别判断后，即可确定正确的选项． 【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，是真命题，符合题意； B、对角线相等的四边形不一定是平行四边形，如等腰梯形，故原命题错误，是假命题，不符合题意； C、一组对边平行且有一个角为直角的四边形不一定是矩形，例如直角梯形，故原命题错误，是假命题，不符合题意； D、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，故原命题错误，是假命题，不符合题意． 2．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图，在中，，若，则的周长为（   ） A．12 B．24 C．30 D．36 【答案】B 【分析】可证明是菱形，得到，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，， ∴是菱形， ∴， ∴的周长． 3．（24-25八年级下·上海·期末）如图，用四根相同长度的木条制作成正方形，测得对角线长为，如果将此正方形变形为菱形，且，那么菱形对角线长为（    ） A．10 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的性质以及勾股定理可得，如图，连接交于点，根据菱形的性质结合可得，再利用勾股定理得到，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形，对角线长为， ∴， ∴，即 ∴ 如图，连接交于点， ∵将正方形变形为菱形， ∴，，，， ∵ ∴为等边三角形， ∴，， ， ∴． 4．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，分别以为边向外作正方形，正方形，连接，则的长为（   ） A．10 B．9 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，过点E作，交的延长线于点P，设交于点Q，则，，先由勾股定理求出，根据正方形性质得，，，证明，进而依据“”判定，则，进而依据“”判定，则，，然后在中，由勾股定理求出即可得出的长． 【详解】解：过点E作，交的延长线于点P，设交于点Q，如图所示： ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， ∴，和都是直角三角形， 在中，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 故选：C． 5．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，则它斜边上的中线为___________cm． 【答案】1 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是掌握直角三角形斜边中线的性质． 根据直角三角形斜边中线的性质进行求解即可． 【详解】解：∵，且为斜边的中线， ∴， 故答案为：1． 6．（25-26九年级上·重庆·期末）如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数为______． 【答案】6 【分析】本题考查多边形的内角和与外角和定理，掌握多边形内角和公式与外角和的性质是解题的关键，设多边形的边数为，根据内角和是外角和的2倍建立方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， ∴， 解得， 故答案为：． 7．（21-22八年级上·山东济南·期末）如图，垂直平分，交于E，，垂足为A，，则的长为_____． 【答案】9.6 【分析】首先证明四边形为平行四边形，易得，设，则，在和中，由勾股定理解得的值，然后由求解即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵，垂直平分， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 设，则， 在中，， 在中，， ∴， 即，解得， ∴， ∴，， ∴． 8．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在梯形中，，，若点为的中点，连接，交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若是等边三角形，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，等边三角形的性质，线段中点的性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据线段的中点以及等量代换得出，然后根据平行四边形的判定定理进行证明即可； （2）根据等边三角形和平行四边形的性质得出相等的边，即可求解． 【详解】（1）解：∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：由（1）得，四边形是平行四边形， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 9．（24-25八年级下·广西钦州·期末）综合与探究． 【问题背景】 （1）数学活动课上，老师提出了一个问题：如图1，点E为的边上一点，连接，，请探究的面积与面积的关系？“领航”学习小组在数学活动中发现：的面积等于面积的2倍．请你写出完整的解答过程． 【尝试应用】 （2）如图2，长方形中，点E为边上一点，点F为右侧一点，，若，，，求的长； 【深入思考】 （3）如图3，中，点E为边上一点，点F为边上一点，连接，交于点G，连接，若，证明：平分．    【答案】（1）见解析；（2）12；（3）见解析 【分析】（1）如图，过点作于点，根据得出结论； （2）过点作于点，连接，先证明四边形是矩形，得出，求出，设，则，根据勾股定理求出结论； （3）连接，过点作于点，作于点，证明即可证明结论． 【详解】解：（1）如图，过点E作于点F，    ∴，， ∴； （2）如图，过点D作于点G，连接，    ∵， ∴四边形是矩形． ∴． ∵，， ∴， ∴． ∴． ∵四边形是矩形， ∴，，， 设，则， ∴． ∴． ∴． ∴， ∴， ∴； （3）如图，连接，，过点A作于点M，作于点N，    由（1）知， ∴，即， ∵， ∴， ∴点A在的平分线上，即平分． 10．（25-26八年级上·山西临汾·期末）【实践与操作】折纸是我国一种传统的民间艺术．在数学活动课上，老师组织同学们展开了一次折纸探究活动． 活动一：（1）如图1：在数学活动课上，老师在一张矩形纸片上任意取一条与边不垂直的线段，将纸片沿折叠，重叠的部分一定是__________三角形． 活动二：（2）借助活动一，“爱思”小组的操作如下： ①把长方形对折，使边与重合，然后展开，折痕为． ②把沿过点A的直线翻折，使点B落在折痕上的点G处． ③连接． 则为等边三角形．请你说明这样做的理由． 活动三：（3）老师又提出一个问题：如图：是边长为4的正方形，所在的直线是它的对称轴．通过对折，在上找一点M，使为等边三角形，画出折痕，并求出折痕上的点到点A的距离．请解答此问题． 【答案】（1）等腰；（2）见解析；（3）图见解析，折痕上的点到点A的距离为 【分析】（1）由折叠的性质知，，证出，则可得出结论； （2）由折叠的性质证出，则可得出结论； （3）把沿过点B的直线翻折，使点C落在折痕上的点M处，连接，则为等边三角形，利用勾股定理求得，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）如图： ∵纸片为矩形，则， ∴， 由折叠的性质知，， ∴， ∴为等腰三角形； 故答案为：等腰； （2）∵四边形是长方形， 由折叠得， 由折叠得为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴是等边三角形． （3）①把沿过点B的直线翻折，使点C落在折痕上的点M处， ②连接． 则为等边三角形． ∵是边长为4的正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质，勾股定理．熟练掌握以上知识点是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十一章 四边形 思维导图 【类型一】四边形及其内角和 1．如图，在中，，将沿虚线剪去，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，将三角形纸片沿折叠，当点落在四边形的外部时，测量得，，则为（   ） A． B． C． D． 3．如图，，是四边形的外角，，分别平分和且相交于点P．若，，则________．    【类型二】多边形的内外角 1．某设计师正在设计一个多边形形状的装饰图案，已知该多边形的内角和恰好等于其外角和的两倍，则这个多边形是（    ） A．四边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形 2．龟背纹是中国传统经典的几何装饰纹样．如图是丝绸上设计的正六边形龟背纹图案，则它的一个内角的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，过四边形一个顶点的所有对角线，将其分成2个三角形；过五边形一个顶点的所有对角线，将其分成3个三角形；过六边形一个顶点的所有对角线，将其分成4个三角形，…，若过边形一个顶点的所有对角线，将其分成了15个三角形，则_____． 【类型三】正多边形的内外角 1．一个正多边形的内角和比其外角和的度数大，则它的边数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．一个正多边形的每一个内角都等于，则这个正多边形的边数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．正六边形的外角和是______度． 【类型四】平行四边形的性质求解 1．如图，在平面直角坐标系中，的对角线的中点为原点O，轴，若点A的坐标为，，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在平行四边形中，平分，交于点平分，交于点E，若，，则的长为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 3．在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，是平行四边形的对角线，点E在上，，，则______° 【类型五】三角形的中位线性质求解 1．如图，是的中位线，的角平分线交于点，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知长方形，R，P分别是，上的点；E，F分别是，的中点，当点P在上从点B向点C移动，而点R不动时，那么下列结论成立的是（    ） A．线段的长逐渐增大 B．线段的长逐渐减少 C．线段的长不变 D．线段的长先增大后变小 3．如图，在四边形中，，，分别是边的中点，则四边形的周长是______． 【类型六】平行线之间的距离 1．已知直线，，在同一平面内，且，与之间的距离为，与之间的距离为，则与之间的距离是（    ） A． B． C．或 D．以上都不对 2．如图，在平行四边形中，，，过点A作，垂足为E，，则与之间的距离为（   ） A． B．6 C． D． 3．如图，在中，是上一点，过的中点，若，则图中阴影部分的面积为___________． 【类型七】矩形的性质求解 1．如图，矩形中，对角线交于O点．若，，则的长为（    ） A．4 B． C．3 D．5 2．把一张矩形纸条按如图所示的方式折叠，EF是折痕．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，矩形的对角线相交于点，点为上的一点，连接，为的中点，若，则的长为_____． 【类型八】菱形的性质求解 1．如图，在菱形中，对角线与交于点，点为上一点，连接，若，，则的长为（    ） A．12 B．15 C．17 D．20 2．如图，四边形为菱形，对角线，相交于点，于点，连接，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 3．菱形一条对角线长为6，另一条对角线长为8，则面积为_________ 【类型九】正方形的性质求解 1．如图，在正方形中，点在的垂直平分线上，连接、，于点，，若，则的长为（  ） A．1 B． C． D． 2．如图，为正方形的对角线，延长到点，使，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知正方形的边长为4，点E、F分别在边和上，将该正方形沿着翻折，点A落在处，点B恰好落在边CD上的点处，如果四边形的面积为6，那么的面积是_________． 【类型十】中点四边形 1．如图顺次连接矩形四条边的中点得到四边形，若，，则四边形的面积为（   ） A．6 B．6.5 C．7 D．7.5 2．如图，菱形各边的中点分别为，，，，若四边形的面积为，则菱形的面积为（　 　） A． B． C． D．4 3．如图，顺次连接任意四边形各边中点，所得的四边形是中点四边形． 下列四个叙述： ①中点四边形一定是平行四边形； ②当四边形是矩形，中点四边形也是矩形； ③当四边形是菱形，中点四边形也是菱形； ④当四边形是正方形，中点四边形也是正方形．其中正确的结论是________（只填代号） 【类型十一】斜中定理 1．如图，在中，点D，E分别是边，的中点，连接，点F在线段上，连接，，若，，，则的长为（   ） A．10 B．12 C．8 D．16 2．如图，在等腰直角中，，M、N分别为、上的点，，P为上的点，且，，则（    ） A． B． C． D．或 3．如图，在平行四边形中，和相交于点O，E、F、G分别是、、的中点，连接，，则的周长为 __________________ ． 【类型一】平面镶嵌 1．小明用两个全等的正五边形硬纸片和一个正m边形硬纸片拼了一个平面图形，这三个硬纸片的拼接处无空隙，不重叠．如图所示，则m的值为（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 2．如图，图①是通过平面图形的镶嵌所呈现的图案，图②是其局部放大示意图，由正十二边形、正六边形和正方形构成，其中边的延长线与对角线交于点E，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间没有空隙，也没有重叠地铺成一片，我们称之为图形的密铺．如图，是用全等的三角形或四边形材料密铺而成的地面．以下哪两种边长相等的正多边形材料组合能够密铺地面___________（填序号）①正三角形与正八边形；②正方形与正八边形；③正三角形与正六边形；④正五边形与正十边形． 【类型二】平行四边形的证明 1．如图，在平行四边形中，、分别是、边上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若平分，，，，求平行四边形的周长． 2．如图，将的对角线向两个方向延长，分别至点E和点F，，求证：四边形是平行四边形． 3．如图，已知是等边三角形，点分别在线段、上，，，连接、、、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，求证：． 【类型三】菱形的证明 1．矩形的对角线相交于点O，，，、交于点E，证明：四边形是菱形． 2．如图，在中，，，分别以A，C为圆心，大于线段一半的长为半径画弧，相交于M，N两点，过M，N作直线交于点E，连接，点D是的中点，连接并延长至点F，使． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求菱形的面积． 3．如图，矩形的对角线，相交于点，是的中点，连接并延长至点，使，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，求四边形的面积和的长． 【类型四】矩形的证明 1．如图，中，，平分，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)过点E作于，若，，求的长． 2．如图，在中，，为边上的高，过点A作，过点D作，与交于点E，与交于点F，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)求四边形的面积． 3．如图，在四边形中，，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)点E是上一点，点F是的中点，连接，，，若，，，求的长． 【类型五】正方形的证明 1．如图，四边形中，，，，将绕点B逆时针旋转得到，连接，过点B作于点F，交于点G，若． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长． 2．如图，在等腰直角三角形中， ，，D是的中点，过点D 作于点E，于点F，连接． (1)求证：四边形为正方形． (2)若，求的长度． 3．如图，四边形是菱形，对角线、交于点，点、是对角线所在直线上两点，且，连接、、、，． (1)求证：四边形是正方形； (2)若正方形的面积为，，求点到线段的距离． 【类型六】尺规作图 1．如图，在平行四边形中，点是对角线上一点，连接． (1)用尺规完成基本作图：作，交线段于点，连接，（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，求证：四边形是平行四边形，请根据以下思路完成填空： 证：四边形是平行四边形， ，， ①___________， 在和中， ， ②___________，， ，③___________， ， ④___________， 四边形是平行四边形． 2．如图，在四边形中，，，点E为的中点． (1)尺规作图：作的平分线，与交于点F，连接． (2)求证：四边形是菱形 3．如图，已知矩形， (1)尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）： ①作的平分线，交边于点． ②过作，垂足为； (2)求证：四边形是正方形． 【类型一】四边形的平移问题 1．数学小组将两块全等的含30°角的三角尺按较长的直角边重合的方式摆放，并通过平移对特殊四边形进行探究.如图1，其中，，，将沿射线方向平移，得到，分别连接，（如图2所示），下列有关四边形的说法正确的是（    ） A．先是平行四边形，平移个单位长度后是菱形 B．先是平行四边形，平移个单位长度后是矩形，再平移个单位长度后是正方形 C．先是平行四边形，平移个单位长度后是矩形，再平移个单位长度后是菱形 D．在平移的过程中，依次出现平行四边形、矩形、菱形、正方形 2．矩形的边，，点E是边上一点，将沿折叠得到，点D恰好落在边上点F处，如图，将线段沿着射线方向平移得到对应线段，连接，当是等腰三角形时，平移的距离为______________． 3．实践与探究： (1)如图甲，正方形纸片的边长为，沿对角线剪开，然后固定纸片把纸片沿剪痕方向平移得到，连接、、． ①在平移过程中，试判断四边形的形状，并说明理由；与不重合 ②在平移过程中，求的最小值； (2)如图乙，菱形纸片的边长为，，沿对角线剪开，然后固定纸片，把纸片沿剪痕方向平移得到，连接、、，在平移过程中，求的最小值． 【类型二】四边形的折叠问题 1．如图，将矩形沿对角线折叠，点落在处，交于点．将沿折叠，点落在内的处，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2．将长方形形纸片（如图①，）沿过点所在的直线折叠，使得点落在边上处，折痕为（如图②）再沿过点的直线折叠，使得点落在边上的处，点落在边上的处，折痕为（如图③，如果第二次折叠后，点正好在的平分线上，，__________. 3．【综合与实践】综合实践课上，老师让同学们以“简单矩形折叠”为主题开展学习活动，同学们积极参与了矩形折叠活动． (1)操作与证明： ①如图①所示，小华将矩形沿折叠后，使得点C与点A重合，点D与点G重合，若，则_______，_______； ②如图②所示，张三将矩形沿对角线折叠后，使得点C与点E重合，与交于点F，过点D作交BC于点G，求证：四边形是菱形； (2)迁移应用： 如图③所示，李四将矩形沿对角线折叠后，使得点C与点E重合，与交于点F，连接，若，，求的长． 【类型三】四边形的旋转问题 1．如图，机器人从点出发朝正东方向走了到达点，记为第1次行走；接着，在点处沿逆时针方向旋转后向前走到达，记为第2次行走；再在点处沿逆时针方向旋转后向前走到达点，记为第3次行走，…，以此类推，该机器人从出发到第一次回到出发点时所走过的路程为（    ） A． B． C． D． 2．如图，正方形与等边三角形的顶点A重合，，，M是的中点，将绕顶点A旋转，在旋转过程中，当时，点M到点C的距离为______．      3．【问题情境】 同学们以“特殊平行四边形的旋转”为主题开展探究活动． 【操作发现】 （1）如图1，正方形和正方形，连接，．线段与线段之间的数量关系是________；直线与直线的夹角度数为________；（注：两条直线的夹角是指两条直线相交所形成的小于等于的角） （2）如图2，当正方形绕点旋转时，线段与线段之间的数量关系是________；直线与直线的夹角度数为________． 【深入探究】 （3）如图3，若四边形与四边形都为菱形，且，，猜想线段与的数量关系及直线与的夹角度数，并说明理由． 【迁移探究】 （4）如图3，在（3）的条件下，，在菱形绕点旋转过程中，求线段的最小值． 【类型四】坐标系中的平行四边形 1．（1）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，已知点，，如何求顶点C的坐标呢?下面是小明和小颖的求解思路：    小明：如图，分别过点B，C向x轴作垂线，垂足为D和E，   在平行四边形中，有，，则 ，又，故（ ），所以，…… 小颖：在平行四边形中，有，且，因为点O水平向右平移3个单位长度得到点，所以点水平向右平移3个单位长度得到点C，于是点C的坐标为 ． 请将填空处的内容依次填在横线上： ， ， ． （2）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，已知点，，求顶点R的坐标．    2．如图，在直角坐标系中，点是坐标原点，四边形是平行四边形，点的坐标为，点的坐标为，． (1)求点的坐标和的对称中心的坐标； (2)动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向点匀速运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点运动的时间为秒，则当为何值时，的面积是面积的一半？ (3)当的面积是面积的一半时，在平面直角坐标系中找到一点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，点、的坐标分别为、．将先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到． (1)请直接写出点的坐标_________，点的坐标_________． (2)请判断与重叠部分的形状，并证明你的结论． (3)点是平面内一动点，是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【类型五】坐标系中的特殊平行四边形 1．如图，在平面直角坐标系中，长方形的边在x轴上，边在y轴上，点B的坐标为，D是边上一点（不与点A、B重合），将沿直线翻折，使点B落在点E处． (1)如图1，当点E恰好落在y轴时，连接，求的长度． (2)如图2，当点E恰好落在长方形的对角线上时，求点D的坐标． (3)如图3，当以O、C、E三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求的面积． 2．如图，平面直角坐标系中，点为坐标原点，四边形为矩形，，点是的中点，点在边上以每秒2个单位长的速度由点向点运动，设运动时间为秒． (1)直接写出坐标：______，______)； (2)当四边形是平行四边形时，求的值； (3)在平面直角坐标系内是否存在点，使得以为顶点四边形为菱形，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 3．正方形的边长为6，O为平面直角坐标系的原点，D是的中点． (1)如图，点A的坐标为 ，点C的坐标 ，点D的坐标 ； (2)如图，点P在上， 且坐标为，若三角形的面积为12，求a的值； (3)在坐标轴上是否存在点Q，使三角形的面积是正方形面积的一半．若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【类型六】四边形中的动点求t 1．如图，在平行四边形中，，，．动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P运动的时间为t秒． (1)用含t的代数式表示 ； (2)当时，求t的值； (3)请问是否存在t的值，使得A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 2．如图，在中，，，边上的高为12．点从点出发，沿以每秒5个单位长度的速度运动．点从点出发沿以每秒10个单位长度的速度运动．、两点同时出发，当其中一点到达终点时，、两点同时停止运动．设运动的时间为（秒），连接． (1)当点与点重合时，的值为________． (2)直接写出的长（用含的代数式表示）； (3)当平分面积时，求的值； (4)当时，直接写出的值． 3．如图，在长方形中，，．点为上一点，，动点从点出发，沿方向以每秒2个单位的速度向终点运动，连接、．设点运动的时间为秒． (1)用含有的代数式表示的长； (2)当时，求的长度； (3)①当是等腰三角形时，直接写出的值； ②当是直角三角形时，直接写出的值． 【类型七】四边形中的新定义 1．新定义题型构思巧妙，立意新颖，重在考查学生的学习能力，实践能力及创新精神，让我们试试吧：我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫作“等邻角四边形”． (1)定义理解：    如图①，已知四边形为等邻角四边形，且，求的度数． (2)定义运用： 如图②，在五边形中，，对角线平分，求证：四边形为等邻角四边形； (3)定义拓展： 如图③，在等邻角四边形中，，点为边边上的一动点，过点作，垂足分别为，试猜想，在点的运动过程中，的值是否会发生改变，并说明理由． 2．阅读与思考 下面是小敏同学在日常学习过程中，通过翻阅资料了解到的一个新内容，请认真阅读材料内容，并完成相应的任务． 等垂四边形 【概念理解】 定义：如果一个四边形中有一组对角相等，且这组对角的顶点连线与该四边形的一边垂直，那么这个四边形叫作“等垂四边形”．如图1，在四边形中，若，且，则四边形为“等垂四边形”． 【性质探索】 如图1，根据定义，探索“等垂四边形”的性质可得结论：． 证明：四边形是“等垂四边形”， …… 任务： (1)在图1中，若，，则的度数为___________． (2)完成【性质探索】中的证明过程． (3)如图2，已知锐角，请你在图中作出“等垂四边形”．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 3．综合与实践 在以往的学习过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“豫式四边形”进行研究． 定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“豫式四边形”． (1)初步判断 下列初中阶段常见的四边形中，一定属于“豫式四边形”的是________（填序号）． ①矩形  ②正方形  ③菱形  ④平行四边形 (2)性质探究 根据定义可得出“豫式四边形”的边、角的性质．下面继续进行相关探究． ①如图1，“豫式四边形”中，，．写出图中除条件外相等的线段，并说明理由； ②如图2，在四边形中，，平分，若，求证：四边形为“豫式四边形”； (3)拓展应用 如图3，中，，在直线的右上方存在点D，使得四边形为“豫式四边形”，当该“豫式四边形”中有一内角为时，请直接写出的长． 【类型八】无刻度尺作图 1．阅读与理解下面是小刚同学的一篇数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务． 正方形网格中“无刻度直尺作图”问题初探 正方形网格中使用无刻度直尺作图是一种经典的几何构造问题，其核心是仅用无刻度直尺和给定网格，通过有限的步骤完成特定的几何构造任务，如：构造线段上的特殊点或与线段相关的特殊角等． 如图，在正方形网格中，已知线段和的端点均为格点．利用无刻度的直尺解决下面的问题． 类型一：构造特殊点 问题1：求作线段的中点F． 思路：如图，延长到E，利用网格构造线段，满足且，连接，则与的交点即为线段的中点F．（依据） 问题2：求作线段的中点M． … 类型二：构造角平分线 问题3：求作的平分线． 思路：如图，延长到D使得，利用网格构造线段，满足且，连接，则为的平分线． … 任务： (1)问题1中“依据”的内容是 ． (2)请用无刻度的直尺在图中参照问题1的思路，作线段的中点M．（保留作图痕迹）； (3)请用无刻度的直尺在图中参照问题3的思路，作的平分线．（保留作图痕迹）． 2．如图，已知四边形为菱形，延长到点，使得，过点作，交的延长线于点（保留作图痕迹，不写作法）． (1)如图①，用无刻度的直尺作直线直线不与重合）； (2)如图②，用无刻度的直尺作出一个矩形． 3．阅读材料，无刻度直尺作图不同于传统的尺规作图，它只能用来画直线、射线或线段．在作图时，关键在于根据几何图形的特征确定与题意相符的两个点或一个点（另一点已知），再利用“两点确定一条直线”这一基本事实即可．       (1)图1、图2均为正方形网格，请仅用无刻度直尺完成下列画图，保留作图痕迹． ①如图1，点A、B为格点，画出线段的中点O； ②如图2，点A、B、C为格点，画出的平分线； (2)借助（1）中画图的经验解决下面的问题： 如图，已知平行四边形中，请仅用一把无刻度直尺完成下列画图，保留作图痕迹． ①如图3，点E、F分别在、上，，连接，请在上画点O，使点O为的中点； ②如图4，若，点E为上一点，请在上画点G，使； ③如图5，在②的条件下，若，连接，点P为上一点，请以为边画一个菱形，你所画的菱形为______． 1．（25-26八年级下·山东日照·月考）在中，，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·河北廊坊·月考）如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变）．当增大时，则的度数（    ） A．增大 B．增大 C．减小 D．减小 3．（25-26九年级下·辽宁抚顺·月考）如图，在菱形中，，对角线，过点A作，垂足为E，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级下·重庆·月考）如图，在正方形中，点是边上一点，交于点，以，为邻边构造平行四边形，连接，若，则等于（    ）． A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·河南信阳·月考）如图，1角硬币是1992年6月1日中国人民银行发行的第四套金属流通币之一，该硬币呈圆形，边缘是正九边形的形状，则从该九边形的一个顶点最多能引出对角线的条数是________． 6．（25-26八年级下·山东德州·月考）如图，在▱中，已知，，平分交边于点，则等于____ 7．（25-26八年级下·陕西西安·月考）如图，四边形是一张长方形纸片，，沿过点的折痕将翻折，使得点落在上（如图中的点），折痕交于点，此时测得，则__________ 8．（25-26八年级下·北京·月考）如图，在中，，分别是，上的点，．求证：． 9．（25-26八年级下·江苏盐城·月考）如图，将的边延长至点，使，连接,若 ． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的面积． 10．（25-26八年级下·福建福州·月考）如图，菱形的对角线相交于点O，且，．点E在线段上，且，点F为线段上一动点． (1)求的长； (2)若时，连接，求四边形的面积； (3)记的最小值为a，的最小值为b．求的值． 1．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）在平行四边形中，，则度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·重庆·期中）下列说法正确的是（    ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是正方形 C．一组邻边相等的四边形是菱形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 3．（25-26九年级下·陕西西安·期中）在菱形中，．若菱形的周长为8，则此菱形的高为（   ） A． B．4 C．1 D．2 4．（25-26九年级上·重庆·期中）如图，在正方形中，为中点，连接，将沿所在的直线翻折到正方形所在的平面内得，连接、，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·云南曲靖·期中）已知平行四边形的周长为40，，则 ______， ______． 6．（24-25八年级下·甘肃临夏·期中）如图，菱形中，E、F分别是、的中点，若，则菱形的周长是________． 7．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，已知，正五边形的顶点、分别在射线、上，则_____ ． 8．（25-26九年级下·福建泉州·期中）如图，点分别在菱形的边上，且．求证：． 9．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）如图，在矩形中，，．点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点，的运动速度都是，连接，，．设点，的运动时间为． (1)当为何值时，四边形是矩形？ (2)当为何值时，四边形是菱形？ 10．（25-26八年级下·福建·期中）完成以下问题 (1)正方形，分别在边上（不与端点重合），，与交于点． 如图（），若平分，直接写出线段，，之间等量关系； 如图（），若不平分，中线段，，之间等量关系还成立吗？若成立请证明；若不成立请说明理由 (2)如图（），矩形，，．点分别在边上，，，求的长度． 1．（24-25八年级上·重庆北碚·期末）下列命题中是真命题的是（    ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是平行四边形 C．一组对边平行且有一个角为直角的四边形是矩形 D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 2．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图，在中，，若，则的周长为（   ） A．12 B．24 C．30 D．36 3．（24-25八年级下·上海·期末）如图，用四根相同长度的木条制作成正方形，测得对角线长为，如果将此正方形变形为菱形，且，那么菱形对角线长为（    ） A．10 B． C． D． 4．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，分别以为边向外作正方形，正方形，连接，则的长为（   ） A．10 B．9 C． D． 5．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，则它斜边上的中线为___________cm． 6．（25-26九年级上·重庆·期末）如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数为______． 7．（21-22八年级上·山东济南·期末）如图，垂直平分，交于E，，垂足为A，，则的长为_____． 8．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在梯形中，，，若点为的中点，连接，交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若是等边三角形，且，求的长． 9．（24-25八年级下·广西钦州·期末）综合与探究． 【问题背景】 （1）数学活动课上，老师提出了一个问题：如图1，点E为的边上一点，连接，，请探究的面积与面积的关系？“领航”学习小组在数学活动中发现：的面积等于面积的2倍．请你写出完整的解答过程． 【尝试应用】 （2）如图2，长方形中，点E为边上一点，点F为右侧一点，，若，，，求的长； 【深入思考】 （3）如图3，中，点E为边上一点，点F为边上一点，连接，交于点G，连接，若，证明：平分．    10．（25-26八年级上·山西临汾·期末）【实践与操作】折纸是我国一种传统的民间艺术．在数学活动课上，老师组织同学们展开了一次折纸探究活动． 活动一：（1）如图1：在数学活动课上，老师在一张矩形纸片上任意取一条与边不垂直的线段，将纸片沿折叠，重叠的部分一定是__________三角形． 活动二：（2）借助活动一，“爱思”小组的操作如下： ①把长方形对折，使边与重合，然后展开，折痕为． ②把沿过点A的直线翻折，使点B落在折痕上的点G处． ③连接． 则为等边三角形．请你说明这样做的理由． 活动三：（3）老师又提出一个问题：如图：是边长为4的正方形，所在的直线是它的对称轴．通过对折，在上找一点M，使为等边三角形，画出折痕，并求出折痕上的点到点A的距离．请解答此问题． 学科网（北京）股份有限公司 $