精品解析：黑龙江牡丹江地区2025-2026学年下学期九年级练习题数学

九年级练习题 数学 一、选择题（每小题3分，满分30分） 1. 下列图形是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图，如图所示，则搭成该几何体的小正方体的个数最多是（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 一组数据3，4，7，x，y，13中，唯一的众数是13，平均数是7，这组数据的中位数是（ ） A. B. 5 C. D. 7 5. 某体育赛事经过层层筛选，主办方最终确定了参赛队伍，并在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两队之间进行两场比赛），已知整个小组赛阶段共比赛30场，则参加比赛的球队有（ ） A. 5支 B. 6支 C. 7支 D. 8支 6. 若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 7. 购买甲、乙两种笔记本共用50元．若甲种笔记本单价为4元，乙种笔记本单价为6元，且甲种笔记本数量是乙种笔记本数量的整数倍，则购买笔记本的方案有（ ） A. 2种 B. 3种 C. 4种 D. 5种 8. 如图，在中，，点A在反比例函数的图象上，点B，C在x轴上，，延长交y轴于点D，连接，若的面积等于2，则k的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 9. 如图，和都是等腰直角三角形，，，，，为边中点，连接，且三点恰好在一条直线上，交于点，连接．若，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，等腰中，，于，的平分线分别交，于，，点为的中点，的延长线交于，连接，，． 下列结论；①为等腰三角形；②；③平分；④；⑤．其中正确的是（ ） A. ①③④⑤ B. ①②③⑤ C. ①②④⑤ D. ①②③④⑤ 二、填空题（每小题3分，满分30分） 11. 2025年我国新能源汽车全年销量约为辆，将数据用科学记数法表示为____． 12. 函数中，自变量x的取值范围是_______． 13. 如图，已知，，，，在一条直线上，，请添加一个条件______，使四边形是平行四边形． 14. 一个扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的面积为_______ ． 15. 关于x的不等式组恰好有5个整数解，则m的取值范围是_____． 16. 学校招募运动会广播员，从三名男生和一名女生共四名候选人中随机选取两人，则两人恰好是一男一女的概率是______． 17. 如图，是的直径，是的切线，与交于点，为上一点，若，则_____． 18. 如图，矩形中，，，点是边上的中点，点是边上的动点，将沿着翻折，点落在点处，连接，．若是等腰三角形，则线段的长是______． 19. 在矩形中，，，P是矩形内一点，且，则的最小值为_____． 20. 如图，在平面直角坐标系中，，，，都是等边三角形，点B的坐标为，点，，，都在直线上，点，，，，都在x轴上，则点的坐标为_____． 三、解答题（满分60分） 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 如图，在平面直角坐标中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，的三个顶点坐标分别是，，． （1）将向左平移4个单位，再向下平移1个单位，得到，请画出； （2）将（1）中的绕着原点O顺时针旋转得到，请画出； （3）在（2）的条件下，求线段在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）． 23. 抛物线与x轴交于点和B两点，与y轴交于点，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）在直线下方的抛物线上是否存在一点P，使得，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 24. 为鼓励学生探索用AI解决身边的问题，某校开展了设计智能图书借阅模型竞赛活动．学校对参赛模型进行了评比，评比结果分为四个等级（A：高等级，B：中等级，C：进阶级，D：基础级）．学校随机调查了部分参赛模型所获等级情况，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题： （1）本次调查的模型作品共有______个； （2）扇形统计图中“B：中等级”所对应的扇形圆心角为______度，并补全条形图； （3）在本次活动中，该校共收集到60个模型作品，请估计获得“C：进阶级”的模型作品有多少个． 25. 同一条公路上依次有A，B，C三地，甲车从B地出发，先匀速驶向C地，到达C地后立即调头（调头时间不计），途经B地驶往A地；同时乙车从A地出发匀速驶向B地，途中休息一个小时，两车同时到达各自目的地．两车距C地路程y（）与两车行驶时间x（）之间的函数关系如图所示，请结合图象回答下列问题： （1）乙车行驶速度是_____，B、C两地相距________千米； （2）求线段所表示的甲车距C地的路程y（）与x（）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）请直接写出两车出发多长时间相距240千米． 26. 已知正方形，连接，点E是直线上一点，连接，以为直角边作等腰，，过F作交直线于点G． （1）当点E在线段上时（如图），证明； （2）当点E在线段的延长线上时（如图②），探究线段之间的数量关系，并加以证明； （3）当点E在线段的延长线上时（如图③），直接写出线段之间的数量关系（不用证明）． 27. 某数码配件店计划购进A、B两款手机壳，已知购进3个A种手机壳和2个B种手机壳共需190元，购进4个A种手机壳和3个B种手机壳共需270元． （1）每个A种手机壳和每个B种手机壳的进价分别是多少元？ （2）A种手机壳每个售价45元，B种手机壳每个售价75元．若该配件店计划购进A、B两种手机壳共100个，其中A种手机壳不少于40个，两种手机壳全部售出后获得的利润不低于2080元，问有哪几种进货方案？ （3）厂家为拓宽市场，下调了两种手机壳的进价：每个A种手机壳降价5元，每个B种手机壳降价10元，该配件店若用（2）中获利最大的方案进货，节省下来资金全部用于再次同时购进A、B两种手机壳，请直接写出再次购进时，两种手机壳数量之和最大的购进方案． 28. 在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，的长分别是一元二次方程的两个根，且．点E在x轴上，平分交于点D，． （1）求点B的坐标； （2）若动点P从点E出发，点P以每秒3个单位长度的速度沿线段向终点C运动，同时动点Q从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿线段向终点O运动，其中一个点到达终点时，另一个点也同时停止运动．设的面积为S，P，Q运动时间为t秒，请直接写出S与t的函数关系，并写出自变量t的取值范围； （3）在（2）的条件下，当时，若点M是直线上一点，N是平面内一点，是否存在以B，Q，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出菱形的个数，并写出其中任意3个M点坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级练习题 数学 一、选择题（每小题3分，满分30分） 1. 下列图形是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A.既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意； B. 既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，不符合题意； C. 是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D. 是中心对称图形，但不是轴对称图形，符合题意． 2. 由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图，如图所示，则搭成该几何体的小正方体的个数最多是（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】B 【解析】 【分析】根据主视图和左视图可得该几何体分为上下两层，确定每一层最多有多少个小正方体即可得到答案． 【详解】解：由主视图和左视图可知，该几何体分为上下两层，下面一层最多有9个小正方体，上面一层最多有2个小正方体， ∴搭成该几何体的小正方体的个数最多是个． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的基本运算，需要分别根据合并同类项法则，积的乘方法则，单项式乘单项式法则，多项式乘多项式法则计算各选项，判断运算是否正确 【详解】解：选项A：∵ 合并同类项时，系数相加，字母与字母的指数不变， ∴ ，A错误； 选项B：∵ 积的乘方等于各因式乘方的积，负数的偶次幂为正数， ∴ ，B错误； 选项C：∵ 单项式相乘，系数相乘，同底数幂相乘，指数相加， ∴ ，C错误； 选项D：∵ ， ∴ D运算正确 4. 一组数据3，4，7，x，y，13中，唯一的众数是13，平均数是7，这组数据的中位数是（ ） A. B. 5 C. D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】先根据众数的定义确定的值，再将数据排序，根据中位数的定义求出中位数，进而分析选项． 【详解】解：这组数据的众数是13， 或或二者同时为13， ∵平均数是7， ∴当时，， 解得：， ∴这组数据重新排列后为：2，3，4，7，13，13， 中位数为：． 同理，当时，求得：， ∴这组数据重新排列后为：2，3，4，7，13，13， 中位数为：． 两数都为13时，不符合题意， ∴中位数为． 5. 某体育赛事经过层层筛选，主办方最终确定了参赛队伍，并在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两队之间进行两场比赛），已知整个小组赛阶段共比赛30场，则参加比赛的球队有（ ） A. 5支 B. 6支 C. 7支 D. 8支 【答案】B 【解析】 【分析】设参加比赛的球队数量为，根据双循环赛制的场次规则列出一元二次方程，求解后舍去负根即可得到结果 【详解】解：设参加比赛的球队有支， ∵双循环赛制中，每两队之间进行场比赛， ∴总比赛场次可表示为 根据题意列方程得， 整理得， 解得 ，， ∵球队数量为正整数， ∴舍去负根， 得，即参加比赛的球队有支 6. 若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据分式方程解的情况求参数范围，用到分式方程解法和一元一次不等式的知识，先解分式方程得到x关于m的表达式，再根据解为正数、分母不为零两个条件列不等式求解 【详解】解：对分式方程， 方程两边同乘去分母， ， ， 展开整理得， 分式方程的解为正数， ，即， 解得， 又分式方程分母不为零， ， 即， 解得， 综上，的取值范围是且 7. 购买甲、乙两种笔记本共用50元．若甲种笔记本单价为4元，乙种笔记本单价为6元，且甲种笔记本数量是乙种笔记本数量的整数倍，则购买笔记本的方案有（ ） A. 2种 B. 3种 C. 4种 D. 5种 【答案】A 【解析】 【分析】设甲、乙两种笔记本的购买数量，根据总费用列出二元一次方程，结合x、y为正整数，且甲数量是乙的整数倍，利用整除性确定符合条件的方案数． 【详解】解：设购买甲种笔记本本，购买乙种笔记本本， 根据题意得 ， 整理得 ，变形得 ， ∵、均为正整数， ∴， ∴， 又∵为偶数，是奇数， ∴为奇数，的可能取值为， ∵甲种笔记本数量是乙种笔记本数量的整数倍，即为正整数， 分别验证： 当时，，是整数，符合条件； 当时，，不是整数，不符合； 当时，，是整数，符合条件； 当时，，不是整数，不符合； ∴符合条件的方案共种． 8. 如图，在中，，点A在反比例函数的图象上，点B，C在x轴上，，延长交y轴于点D，连接，若的面积等于2，则k的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】作于E，连接，根据等腰三角形的性质得出，根据相似三角形的性质求得，进而根据题意求得，根据反比例函数系数k的几何意义即可求得k的值． 【详解】解：作于E，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 9. 如图，和都是等腰直角三角形，，，，，为边中点，连接，且三点恰好在一条直线上，交于点，连接．若，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作于，可得是等腰直角三角形，得到，即得，，即得到，再根据线段中点定义即可求解． 【详解】解：如图，过点作于，则， ∵是等腰直角三角形，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为边中点， ∴． 10. 如图，等腰中，，于，的平分线分别交，于，，点为的中点，的延长线交于，连接，，． 下列结论；①为等腰三角形；②；③平分；④；⑤．其中正确的是（ ） A. ①③④⑤ B. ①②③⑤ C. ①②④⑤ D. ①②③④⑤ 【答案】D 【解析】 【分析】利用全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质逐项判定即可． 【详解】解：等腰中，，于， ， 平分， ， ，，， ， 为等腰三角形， ①正确； 等腰中，，， ，， ，是的中点， ， ， ， ， ， ②正确； ，，，， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ③正确； ，， ， ， ， ， ， ， ④正确； , ， ， ， ，，， ， ， ， ， ⑤正确． 二、填空题（每小题3分，满分30分） 11. 2025年我国新能源汽车全年销量约为辆，将数据用科学记数法表示为____． 【答案】 【解析】 【分析】把一个数表示成（，为整数）的形式，其中的值由小数点移动的位数确定． 【详解】解：． 12. 函数中，自变量x的取值范围是_______． 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次根式和分式有意义的条件，被开方数大于等于0，可知：，分母不等于0，可知：，就可以求出自变量x的取值范围． 【详解】解：由题意得，且， 解得且． 故答案为：且． 【点睛】本题考查了函数自变量取值范围的确定，本题根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件即可求解． 13. 如图，已知，，，，在一条直线上，，请添加一个条件______，使四边形是平行四边形． 【答案】（或或或） 【解析】 【分析】利用全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定证明即可． 【详解】解：， ； 添加， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； 添加， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； 添加， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形； 添加， ， ，， ，， 四边形是平行四边形； 故答案为：（或或或）． 14. 一个扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的面积为_______ ． 【答案】 【解析】 【分析】先利用弧长公式求出扇形半径，再根据扇形面积公式计算结果． 【详解】解：设扇形的半径为， 由题意得， 解得 ， ∴． 15. 关于x的不等式组恰好有5个整数解，则m的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先解不等式组，写出不等式组的解集，再根据恰有5个整数解，可求出m的范围． 【详解】解： 解①得：， 解②得：， 则不等式组的解集是：． ∴不等式组恰好有5个整数解， ∴整数解是2，3，4，5，6． 则． 16. 学校招募运动会广播员，从三名男生和一名女生共四名候选人中随机选取两人，则两人恰好是一男一女的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】列表展示所有等可能的结果数，再找出恰好为一男一女的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：列表如下： 男1 男2 男3 女 男1 （男1，男2） （男1，男3） （男1，女） 男2 （男1，男2） （男2，男3） （男2，女） 男3 （男1，男3） （男2，男3） （男3，女） 女 （女，男1） （女，男2） （女，男3） 由表知，共有12种等可能结果，其中两人恰好是一男一女的有6种结果， 所以两人恰好是一男一女的概率为． 17. 如图，是的直径，是的切线，与交于点，为上一点，若，则_____． 【答案】##35度 【解析】 【分析】先由切线的性质得，可得的度数，再由求出的度数，最后利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得出的度数． 【详解】解：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 18. 如图，矩形中，，，点是边上的中点，点是边上的动点，将沿着翻折，点落在点处，连接，．若是等腰三角形，则线段的长是______． 【答案】或或 【解析】 【分析】当时，可知是的垂直平分线，由折叠的性质可知；以点为原点建立平面直角坐标系，过点作，，可知点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，由折叠的性质可知，根据是等腰三角形，再分和两种情况求解． 【详解】解：四边形是矩形，，， ，， 是等腰三角形， 如下图所示，当时，过点作， 则点在的垂直平分线上， 点是的中点， 点在的垂直平分线上， 点、、三点共线， ， ， 由折叠可知，， 四边形是正方形， ； 如下图所示，以点为原点建立平面直角坐标系，过点作，， ，， 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 则点的坐标为， 由折叠可知， 设点的坐标为， 则有， 整理得：， 当时， 可得：， 整理得：， ， 整理可得：， 把代入， 可得：， 解得：， ， 点的坐标为， ，， ， 又， 四边形为矩形， ， 由折叠可知， ， ， ， ， ， ， ； 当时， 可得：， 整理可得：， ， 代入可得：， 整理可得：， 把代入， 可得：， 解得：， ， 点的坐标为， ， ， ， ， ； 综上所述，或或. 19. 在矩形中，，，P是矩形内一点，且，则的最小值为_____． 【答案】20 【解析】 【分析】在上取点E，使得，根据题意得出，再由相似三角形的判定和性质得出，，，即求的最小值即可，点P的运动轨迹为以点B为圆心，2为半径，在圆内的部分，连接，当点三点共线时，取得最小值，结合图形，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：在上取点E，使得， ∵矩形中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴求的最小值即可， ∵P是矩形内一点，且， ∴点P的运动轨迹为以点B为圆心，2为半径，在圆内的部分， 连接，当点三点共线时，取得最小值， ∴， ∴， ∴的最小值为20． 20. 如图，在平面直角坐标系中，，，，都是等边三角形，点B的坐标为，点，，，都在直线上，点，，，，都在x轴上，则点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】作轴，交轴于点，设，易求，从而，根据等边三角形和外角的性质，可得，进而，，求出，同理可求，，，，观察得出规律，即可求解． 【详解】解：作轴，交轴于点， B的坐标为 ， 点在直线上， 设， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 同理可得，，， ， 点的坐标为． 三、解答题（满分60分） 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，利用特殊角的三角函数值求得的值，再代入计算即可求出值． 【详解】解： ． ∵， ∴原式． 22. 如图，在平面直角坐标中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，的三个顶点坐标分别是，，． （1）将向左平移4个单位，再向下平移1个单位，得到，请画出； （2）将（1）中的绕着原点O顺时针旋转得到，请画出； （3）在（2）的条件下，求线段在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求； （2） 如图所示，即为所求； （3） 【解析】 【分析】（1）根据平移作图即可； （2）根据旋转的作图方法作图即可； （3）据图象得：，再由扇形的面积计算公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 根据图象得：， ∵旋转， ∴线段在旋转过程中扫过的面积为：． 23. 抛物线与x轴交于点和B两点，与y轴交于点，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）在直线下方的抛物线上是否存在一点P，使得，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，， 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得直线的解析式，求得，过点P作轴交于点K，根据，利用三角形面积公式列式计算即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得，解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：令，则， 解得或， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 设， ∵，， 设直线的解析式为， 由题意得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图，过点P作轴交于点K， 则， ∴， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或． 24. 为鼓励学生探索用AI解决身边的问题，某校开展了设计智能图书借阅模型竞赛活动．学校对参赛模型进行了评比，评比结果分为四个等级（A：高等级，B：中等级，C：进阶级，D：基础级）．学校随机调查了部分参赛模型所获等级情况，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题： （1）本次调查的模型作品共有______个； （2）扇形统计图中“B：中等级”所对应的扇形圆心角为______度，并补全条形图； （3）在本次活动中，该校共收集到60个模型作品，请估计获得“C：进阶级”的模型作品有多少个． 【答案】（1）20 （2）90； 补全条形图如图所示： ； （3）估计获得“C：进阶级”的模型作品有24个． 【解析】 【分析】（1）由“D：基础级”模型作品个数及占总作品个数的百分比即可得到作品总数； （2）根据（1）中所得作品总数和“B：中等级”作品数可求得其所占百分比，再用乘以所占百分比可得对应扇形圆心角的度数； （3）利用样本估计总体即可得到答案． 【小问1详解】 解：； 则本次调查的模型作品共有20个， 【小问2详解】 解：“B：中等级”作品数为， ； 【小问3详解】 解：（个）， 答：估计获得“C：进阶级”的模型作品有24个． 25. 同一条公路上依次有A，B，C三地，甲车从B地出发，先匀速驶向C地，到达C地后立即调头（调头时间不计），途经B地驶往A地；同时乙车从A地出发匀速驶向B地，途中休息一个小时，两车同时到达各自目的地．两车距C地路程y（）与两车行驶时间x（）之间的函数关系如图所示，请结合图象回答下列问题： （1）乙车行驶速度是_____，B、C两地相距________千米； （2）求线段所表示的甲车距C地的路程y（）与x（）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）请直接写出两车出发多长时间相距240千米． 【答案】（1）80，100 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）用乙车前半段行驶路程除以前半段行驶时间即可求出乙车行驶速度，求出乙车后半段行驶路程，即可求出B、C两地距离； （2）先求出甲车行驶速度，进而求出E表示的数，可知自变量的取值范围，设线段的函数关系式为，将，代入计算即可； （3）设两车出发相距240千米，分情况列方程求解即可． 【小问1详解】 解：乙车行驶速度是； ∴乙车后半段行驶路程为， ∴B、C两地相距； 【小问2详解】 解：由图象结合（1）可知D表示100， ∴甲车行驶速度为， ∴甲车行驶用时， 即E表示， ∴ 设线段的函数关系式为，则， 由图象可知函数经过，， ∴， 解得：， ∴线段的函数关系式为； 【小问3详解】 解：设两车出发相距240千米． ∵两车出发前相距，且甲车速度比乙车快， ∴段不存在两车相距240千米的情况； 在段：当乙车休息前， 两车出发相距240千米时，乙车距C地路程为千米，甲车距C地路程为千米， 此时， 解得：，在范围内； 当乙车休息后， 两车出发相距240千米时，乙车距C地路程为千米，甲车距C地路程为千米， 此时， 解得：，在范围内； 由图可知乙车休息时两车距离小于乙车行驶时，即此时不存在两车相距240千米的情况； 综上所述，两车出发或相距240千米． 26. 已知正方形，连接，点E是直线上一点，连接，以为直角边作等腰，，过F作交直线于点G． （1）当点E在线段上时（如图），证明； （2）当点E在线段的延长线上时（如图②），探究线段之间的数量关系，并加以证明； （3）当点E在线段的延长线上时（如图③），直接写出线段之间的数量关系（不用证明）． 【答案】（1） 证明：作交的延长线于点， 由旋转的性质知，， ∵正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴； （2）， 理由如下： 作交的延长线于点， AI 由旋转的性质知，， ∵正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）作交的延长线于点，求得，利用证明，得到，再证明四边形为矩形，推出，据此证明结论成立； （2）（3）同（1）的方法求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：， 作于点， 由旋转的性质知，， ∵正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴． 27. 某数码配件店计划购进A、B两款手机壳，已知购进3个A种手机壳和2个B种手机壳共需190元，购进4个A种手机壳和3个B种手机壳共需270元． （1）每个A种手机壳和每个B种手机壳的进价分别是多少元？ （2）A种手机壳每个售价45元，B种手机壳每个售价75元．若该配件店计划购进A、B两种手机壳共100个，其中A种手机壳不少于40个，两种手机壳全部售出后获得的利润不低于2080元，问有哪几种进货方案？ （3）厂家为拓宽市场，下调了两种手机壳的进价：每个A种手机壳降价5元，每个B种手机壳降价10元，该配件店若用（2）中获利最大的方案进货，节省下来资金全部用于再次同时购进A、B两种手机壳，请直接写出再次购进时，两种手机壳数量之和最大的购进方案． 【答案】（1）A种手机壳进价30元，B种手机壳进价50元 （2）共3种进货方案．①A种手机壳40个，B种手机壳60个，②A种手机壳41个，B种手机壳59个，③A种手机壳42个，B种手机壳58个 （3）购进A种手机壳24个，B种手机壳5个 【解析】 【分析】（1）设每个A种手机壳进价元，每个B种手机壳进价元，根据题意列出二元一次方程组，求解即可； （2）设购进A种手机壳个，则购进B种手机壳个，根据题意列出不等式，求解即可； （3）设再次购进A种手机壳个，购进B种手机壳个，根据题意列出二元一次方程，结合，，且都是整数，求解即可． 【小问1详解】 解：设每个A种手机壳进价元，每个B种手机壳进价元， 根据题意得， 解得， 答：每个A种手机壳进价30元，每个B种手机壳进价50元； 【小问2详解】 解：设购进A种手机壳个，则购进B种手机壳个， 由题意得， 解得， ∵，且为整数， ∴或41或42， ∴共3种进货方案． ①A种手机壳40个，B种手机壳60个； ②A种手机壳41个，B种手机壳59个； ③A种手机壳42个，B种手机壳58个； 【小问3详解】 解：计算（2）中获利最大的方案： 方案1：元； 方案2：元； 方案3：元； 获得最大的方案是方案1， 节省的资金：元， 设再次购进A种手机壳个，购进B种手机壳个， 根据题意得，化简得， 需要是5的倍数，且，，且都是整数， 当时，，； 当时，，； 当时，，； 综上，购进A种手机壳24个，B种手机壳5个，两种手机壳数量之和最大． 28. 在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，的长分别是一元二次方程的两个根，且．点E在x轴上，平分交于点D，． （1）求点B的坐标； （2）若动点P从点E出发，点P以每秒3个单位长度的速度沿线段向终点C运动，同时动点Q从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿线段向终点O运动，其中一个点到达终点时，另一个点也同时停止运动．设的面积为S，P，Q运动时间为t秒，请直接写出S与t的函数关系，并写出自变量t的取值范围； （3）在（2）的条件下，当时，若点M是直线上一点，N是平面内一点，是否存在以B，Q，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出菱形的个数，并写出其中任意3个M点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）①当Q在上运动时，；②当Q在上运动时， （3）存在，5个，，，，， 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法解方程得，再由矩形的性质即可确定点的坐标； （2）根据全等三角形的判定和性质得出，，确定，过点P作于点F，利用相似三角形的判定和性质得出，然后分两种情况分析：当Q在上运动时，当Q在上运动时，结合图形，利用三角形面积公式计算即可确定函数解析式； （3）当时，代入（2）中函数解析式得出，确定，再由待定系数法确定直线的函数解析式为，设点，依据菱形的性质得出以B，Q，M为顶点的三角形是等腰三角形，分三种情况分析：当时，当时，当时，分别建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：， ∴， 解得：， ， ， ∵矩形， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵平分， ， 又， ， ， ∴在中，， ， 过点P作于点F， ， ， ， ， ， ， 当Q在上运动时， ； 当Q在上运动时， ； 【小问3详解】 当时， 当时，， 整理得：，方程无解； 当时，， 解得：或（舍去）， ∵动点Q从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿线段向终点O运动， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设直线的函数解析式为， 代入得：， 解得：， ∴， 设点， 由（1）得， ∵以B，Q，M，N为顶点的四边形是菱形， ∴以B，Q，M为顶点的三角形是等腰三角形， 当时， ， 解得：， ∴，， ∴， 当时， ， 解得：， ∴ ∴； 当时， ， 解得：，， ∴，， ∴，； 综上可得：存在，5个，，，，， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $