北京市昌平区第二中学2025--2026学年下学期九年级数学统练5

2026昌平二中初三年级数学统练5 2026.4.09 一、单选题 1．中国经典纹样，千古流传，深受人们喜爱．下列纹样示意图中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．如意纹 B．风车纹 C．冰裂纹 D．柿蒂纹 2．关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．最大值为4 B．最小值为4 C．最大值为6 D．最小值为6 3．如图，在中，O是边的中点．按下列要求作图：①以点B为圆心、适当长为半径画弧，交线段于点D，交于点E；②以点O为圆心、长为半径画弧，交线段于点F；③以点F为圆心、长为半径画弧，交前一条弧于点G，点G与点C在直线同侧；④作直线，交于点M．下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 4．是由中国初创公司杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司发布的模型，于2024年12月发布，它具有架构，总共有个参数．这里“”的含义是，即等于十亿．将用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 5．如图，等腰直角三角形中，，将绕点顺时针旋转，得到，连接，过点作交的延长线于点，连接，则随着的增大，的度数（    ） A．增大 B．减小 C．不变 D．先增大后减小 5题 6题 7题 6．如图，在中，，，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线分别交，于点，．以为圆心，长为半径画弧，交于点，连接、．则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 7．如图，直线、相交于点，．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 8．在平面直角坐标系中，，点为平面内的动点，若点满足，则点为线段的“好点”，则下列说法正确的有（    ） ①是“好点”；②所有“好点”围成的区域面积为 ③当且时，直线上有两个“好点”． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二、填空题 9．要使二次根式有意义，则的取值范围是_____． 10．分解因式：________． 11．方程的解为________． 12．如图， 在中，点在边上，，的延长线交于点．若，， 则 ． 12题 13题 14题 13．如图，与相切于点．点分别在，上，四边形为正方形，若，则_________． 14．（2019年北京市中考数学试题）把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为______． 15．如图，点O是正方形的中心，．在中，，过点D，，分别交，于点G，M，连接，，．若，，则的值为_________________ ． 16．小云被邀请玩一个拍灯挑战，规则如下：桌面上有40盏无差别的小灯，每个灯只有两种状态：亮或者暗，玩家可以通过拍灯来切换一盏灯的亮暗状态，但是每一盏灯只能拍一次．现40盏小灯中，已知有15盏灯亮，其余都是暗的．要求玩家蒙上双眼，将40盏小灯分成2组，如果玩家可以只通过拍灯的方式，使两组中亮着的小灯数一样多，即算挑战成功． （1）若将灯平均分成两组，经检查第一组里有5盏灯亮．如果只拍第一组的灯，则最少需要拍________盏，挑战成功． （2）小云的做法是：从40盏灯中任意选出n盏作为一组，然后将这n盏灯逐一拍一下，结果他挑战成功了，那么________． 三、解答题 17．计算： 18．解不等式组： 19．已知，求代数式的值． 20．某学校开展“浸书香校园，品诗词之美”读书活动．现有，两种诗词书籍整齐地叠放在桌子上，每本书籍和每本书籍厚度的比为，根据图中所给出的数据信息，求每本书籍的厚度． 21．（2024年北京市大兴区九年级中考一模数学试题）如图，在正方形中，点，分别在，上，，连接，射线和线段的延长线交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求线段的长． 22．在平面直角坐标系中，函数的图象是由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围． 23．某校开展“争做文化代言人，我是北京小使者”系列活动，号召同学们走出校园了解北京文化，积极参与志愿服务．该校从七、八两个年级中各随机抽取10名学生进行知识测评，并统计了这些学生每周志愿服务时长．下面给出了该活动的部分信息． a．七、八两个年级各10名学生每周志愿服务时长与知识测评得分情况统计图： b．学生每周志愿服务时长与志愿服务得分对应表： 每周志愿服务时长/小时 1 2 3 大于3 志愿服务得分/分 60 70 80 90 c．每名学生的知识测评得分和志愿服务得分相加得到综合得分，综合得分不低于160分的学生可获得“北京小使者”奖章． 根据以上信息，回答下列问题： (1)在两个年级分别抽取的10名学生中，记七、八年级学生每周志愿服务时长的中位数分别为，，则_____，记七、八年级学生知识测评得分的方差分别为，，则_____（填“＞”“＜”或“＝”）； (2)某年级所抽取的10名学生的综合得分频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组： ①该频数分布直方图反映的是_____（填“七”或“八”）年级的学生得分情况； ②该年级知识测评得分最高的学生其综合得分位于第_____组； (3)该校七年级有120名学生，八年级有100名学生．若所有学生都参与了系列活动，则估计两个年级可获得“北京小使者”奖章的学生总人数为_____． 24．如图，是的直径，点为一点，过点作的切线交的延长线于点D．连接，过点作的垂线，交于点，交于另一点． (1)求证：； (2)若，求的长． 25. 某食品厂研究两种天然防腐剂（添加剂A和添加剂B）对面包保质期的影响．添加剂A的效果在一定浓度范围内随浓度增加而提高，但超过最佳浓度后，由于副作用等原因，保质期反而下降．添加剂B的作用机理不同，通过实验发现，在测试浓度范围内，其保质期与浓度之间近似满足稳定的线性增长关系：． 在固定工艺下，改变添加剂A的添加浓度（单位：），测得面包的保质期（单位：天）数据如下： 添加剂浓度 0 20 40 60 80 100 120 保质期（天） 3 5 8 10 9 7 4 (1)以添加剂浓度为横坐标，保质期为纵坐标，在给定的坐标系中描出表中各点，并用平滑曲线连接． (2)①工厂分析发现，每增加添加剂，成本增加2元；而每延长1天保质期，可减少5元的损失．若增加添加剂能使保质期延长超过____天，则增加浓度是有利的（保留一位小数）． ②若面包从生产到售出的时间为10天，若保质期不足10天，则每短缺1天会造成5元的损失（不足1天的部分按比例计算）．当添加剂A浓度为时，总成本（添加剂成本与损失之和）为____元． (3)①若要求面包保质期至少为8天，且希望使用添加剂的浓度尽可能低，则选择添加剂A比选择添加剂B可以节省____的添加剂（保留整数）． ②当浓度在________范围内时，添加剂A的保质期至少比添加剂B的保质期多1天（保留整数）． 26．在平面直角坐标系中，抛物线（）与x轴交于点和点B，与y轴交于点，直线经过点． (1)求抛物线的表达式； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，求的长； ②若点M在抛物线上的点A与点B之间，连接，当四边形的面积随m的增大而减小时，求m的取值范围． 27．已知，在中，，，D为边上一动点（不与B，C重合），将线段绕点D顺时针旋转，得到线段，连接． (1)如图1，当，且点E在边上时，连接，判断线段与之间的关系，并证明； (2)如图2，当点E在内部时，在射线上有一点F，连接，使，依据题意补全图形，并用等式表示线段与的数量关系，并证明． 28．（北京清华大学附属中学2025--2026学年九年级下学期阶段学情自测数学试卷）在平面直角坐标系中，对于封闭图形，若存在两条平行直线和使得图形被分为面积相等的三个部分，则称直线和为图形的一组“三分平行线”，且称直线和间的距离为图形的一个“三分距离”，记为． 如图，点； (1)若图形为正方形，其中点在第四象限， ①已知直线和是正方形的一组“三分平行线”，则 ， ，此时对应的“三分距离”（正方形为） ； ②直接写出正方形的“三分距离”的取值范围： ； (2)若图形为菱形（在上方），点为其边上的一点，若直线和直线为菱形的一组“三分平行线”，且其对应的“三分距离”（菱形），直接写出点纵坐标取值范围． 试卷第1页，共3页 （第1页/共3页） 学科网（北京）股份有限公司 初三年级统练5答案 1 2 3 4 5 6 7 8 D C D D C D C A 9． 10． 11． 12． 13． 14．12 15． 16. 5 ；15 17． 解： ． 18． 解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为． 19． 解：∵， ∴， ∴ ． 20．每本书籍厚度为 解：设每本书籍厚度为，桌子高度为， 由题意可得：， 解得， 答：每本书籍厚度为． 21．(1)见解析 (2) （1）证明：四边形是正方形， ，． ， ．即． 又， 四边形是平行四边形． （2）解：四边形是正方形， ，，． ，， ． 在中， ，， ． ． ． 在中， ， ． 22．(1)； (2)且． 23．(1)<，> (2)①八；②4 (3)78 24．(1)见解析 (2) （1）证明：∵是切线，是直径， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 25．(1)见解析 (2)①；②18 (3)①60；②20；80 （1）解：描点并连线为： （2）解：①设增加添加剂能使保质期延长x天，增加浓度是有利的，则 ， 解得， 即增加添加剂能使保质期延长超过天，增加浓度是有利的． ②由题意可得，当时，， 即当添加剂A浓度为时，保质期为8天， 此时总成本为：（元）． （3）解：①由表格可知，若选择添加剂A，当时，， 即当保质期至少为8天时，添加剂A至少需要； 若选择添加剂B，当时，，解得， 即当保质期至少为8天时，添加剂B至少需要， 所以选择添加剂A比选择添加剂B可以节省添加剂为； ②当时，，，； 当时，，，； 当时，，，； 当时，，，； 当时，，，； 当时，，，； 当时，，，； 由上可知，当时，， ∴当浓度在范围内时，添加剂A的保质期至少比添加剂B的保质期多1天． 26．(1) (2)①6；② （1）解：∵抛物线（）与x轴交于点，与y轴交于点， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为． （2）解：①∵直线经过点， ∴， ∴， ∴， ∵过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N， ∴当时，， ∴， ∴; ②∵过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N， ∴， ∴， 对， 令， 则， 解得， ∴， ∴， ∴四边形的面积为， ∵， ∴当时， 四边形的面积随m的增大而减小， ∵点M在抛物线上的点A与点B之间， ∴， ∴， ∴m的取值范围是． 【点睛】根据四边形的面积的图象开口向下，可知当时，四边形的面积随m的增大而减小，加上点M在抛物线上的点A与点B之间，的限制． 27．(1)，，证明见解析 (2)图见解析，，证明见解析 （1）解： ，； 证明：由题意得，，， ， ， 是等边三角形， ， ，即， ，即； （2）解：依据题意补全图形如解图， ． 证明：如图，连接，取中点H，连接， ，H是的中点， ． ，， ， ， ， ， ． 28．(1) ，， (2)． （1）解：∵四边形是正方形，，，点在第四象限， ∴，， ∴，，， ∵直线和是正方形的一组“三分平行线”， ∴直线和将正方形分成三个面积为的区域， ， 设直线与交于，则， 解得， ∴直线过点， ∴， ∴把代入得，， ∴， 设直线与交于，则， 解得， ∴直线过点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 根据题意可知，当、平行于正方形的对角线时，正方形的“三分距离”最小， ∵四边形是正方形， ∴， 设，交于点，交于点，交于点，交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点到的距离， 同理可得，点到的距离为， ∴正方形的“三分距离”的最小值为， 当、平行于正方形的边时，正方形的“三分距离”最大， ∴正方形的“三分距离”的最大值为， ∴． （2）解：∵图形为菱形（在上方），， ∴，， ∵直线和直线为菱形的一组“三分平行线”， ∴点在或上， 设到的距离为， 若点在上，， ∴， ∴， ∴， 过点作，交于点，则四边形为平行四边形， ∴，， ∴直线为所在直线， 作于点， ∵（菱形）， ∴， 当时，， ∴平行四边形的最小内角的最小值为， 在线段上取，则四边形为平行四边形， ∴， ∴点在上方，以为圆心，为半径的圆弧上运动， ∴当时，点的纵坐标取最大值，的最大值为， 当点在点左侧时，过点作， 若，，则， ∴， 此时点的纵坐标取最小值， 作于点，作于点， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴； 设到的距离为， 若点在上，， ∴， ∴， ∴， ∴点在上方，以为圆心，为半径的圆弧上运动， ∴当时，点的纵坐标取最大值，的最大值为， 过点作，交于点，则四边形为平行四边形， ∴，， ∴直线为所在直线， 作于点， ∵（菱形）， ∴， 当时，， ∴平行四边形的最小内角的最小值为， 当点在点左侧时，，过点作， 设，则， 在中，， 解得，（舍去）， 作于点， ∴， ∴的最小值为， ∴， 综上所述，点的纵坐标的取值范围是． 答案第1页，共2页 初三年级统练5参考答案（第1页/共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $