江苏省扬州市2025-2026学年高一下学期期中模拟练习一数学试题

高一下学期期中模拟练习一 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．用符号表示“点在直线上，直线在平面外”，正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．在下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形的面积为（   ） A．1 B． C． D．3 4．在中，若，则（    ） A． B． C． D． 5．若，，则（    ） A． B． C． D． 6．如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，，，在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高AB为（    ） A． B． C． D． 7．在中，角A、B、C的对边分别为a，b、c，若，是的角平分线，点在上，，，则（    ） A． B． C． D．4 8．如图，已知正三角形ABC的边长为，其中心为，以为圆心作半径为的圆，点M为圆上任意一点，则的取值范围为（   ）    A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列式子化简正确的是（   ） A． B． C． D． 10．设向量，下列说法正确的是（   ） A．若时，则 B．与垂直 C．若时，则 D．若时，在上的投影向量为 11．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且.以下命题正确的有（ ） A．若，则M为的重心 B．若M为的内心，则 C．若M为的垂心，，则 D．若，，M为的外心，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，，则______． 13．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．若满足条件的有两个，则c的取值范围是_______ 14．在中，O是的外心，G是的重心，且，则的最小值为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 如图，为空间四边形，点E、F分别是AB、BC的中点，点G、H分别在CD、AD上，且，．求证：    (1)E、F、G、四点共面； (2)EH、FG必相交且交点在直线BD上． 16．（15分） 在平面直角坐标系中，已知． (1)若为轴上的一动点，点．当三点共线时，求点的坐标； (2)若为直线OA的一动点，求的最小值及此时P的坐标； (3)若，且与的夹角，求的取值范围 17．（15分） 五一假期，杭州吴山广场的鸽子吸引了众多游客.热爱摄影的小华计划在广场一角架设一台可转动镜头的相机，希望可以捕捉到鸽子的展翅瞬间.小华设计了一个草图，为简化模型，假设广场形状为正方形，边长为1，已知相机架设于A点处，其可捕捉到图像的角度为，即，其中P，Q分别在边，上，记. (1)设与相交于点R，当时， （ⅰ）求线段的长； （ⅱ）求线段的长； (2)为节省能源，小华计划在广场上人员较多的时段关闭相机镜头的自动转动功能，为使相机能够捕捉到的面积（即四边形的面积记为S）最大，应取何值？S的最大值为多少？． 18．（17分） 在中，角，，所对应的边分别为，，，的面积为． (1)若为锐角三角形，且满足， ①求证：； ②设，求的取值范围； (2) 求的最大值． 19．（17分） 对于一个向量组（且），令，如果存在，使得，则称是该向量组的“向量”． (1)设，若是向量组的“2向量”，求实数的取值范围； (2)若，向量组是否存在“向量”若存在，求出正整数的值；若不存在，请说明理由； (3)已知均是向量组的“1向量”，若，，其中A是的内角，设的内角的对边分别为，若的平分线交于，，求的取值范围 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $参考答案及评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1 2 3 4 5 6 B B D C D A A A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 BD ABD ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.2 13.（5,2 14.22 10 3 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 【详解】(1) EH'&G 连接AC,EF,HG 由E,F分别为AB,BC中点，则EFIAC, 又DH=AD,DG=!CD,则HGAC, 3 :EF/HG, 所以E,F,G,H四点共面.(6分) (2) 由DH=AD,DG=CD, 3 1/7 易知HG=、AC, 3 又E,F分别为AB,BC中点，即EF=。AC, HG≠EF, 结合(1)的结论可知，四边形EFGH是梯形，因此直线EH,FG不平行， 设它们交点为P,Pe平面ABD,同理Pe平面BCD, 又平面ABDO平面BCD=BD,因此P∈BD, 即EH、FG必相交且交点在直线BD上，(13分) 16.(15分) 【详解】(1)设P(x,0),m=4,则B(4,2), 所以A'P=(x-1,2),A'B=(3,4), 因为币与B共线，所以4x-》=6,解得x= 21 所以当4，P,B三点共线时，点P的坐标为 304分 (2)由题可知，A(2,1),B(0,-4),C(-1,0), 因为P为直线01的一动点，所以设点P分： 则丽c-(41-k-+, 此时P坐标为？引：8分) 3)因为1=sin0,0∈(0，)，所以Asin0,2 sin, 所以CA=sin0+m-7, sin 因为C与CB的夹角a∈0,2 所以CA.CB>0恒成立， 所以CA.CB=sin0+m-7+8- 3 2 -m >0， 2 sin0 又因为0e(0,x),所以sin0>0, 所以sin20-7sin0+msin0+16-3m>0, 2/7 即(3-sin0)m<sin20-7sin0+16恒成立， 又因为3-sin0>0,所以m<sim29-7sim8+16,6∈(0，)恒成立，(12分) 3-sin0 令3-sin0=k,则k∈[2,3)， 换元可将m64-人+是+h人e2 k 因为k+4+224+1=5,当且仅当k=2时等号成立 所以当k=2时，k+4+1有最小值5， k 所以m的取值范围是：m<5(15分) 17.(15分) 【详解】1如图，建立平面直角坐标系，由0=名48=8C=1, 所以A(0,0),B1,0),C1,1),D0,1, 由a9:得餐8--5所以P写 6-3 tan 6=2-5, 仅uP4g则LDA0tam2taA6an7 6 在RtDAQ中，Dg=AD:tan∠DAQ=tan元=2-√5， 12 1 所以0l2-5小，所以kw2--号 3, 3= 所以直线PO的方程为)y-5。-5, 3 3(x-,化简得y=-5+25 3 [y=x =V3-1 又直线AC的方程为y=x,联立 y=-3+25,解得 -x+ 3 =5-1 3 所以R(3-1,5-1, 所以线段R=5-+(5--6-2.(7分) 3/7 D R 0 (4) B主 2)S=-1-5Am-SAe=1-)an0-tam(g-6) 4 1 sin0 sin(-0) 4 1 sin0 cos("-0)+sin(-0)cos0 4 =1 2 cos0 cos(-0) 2 4 -0) cos cos( 1 Sin =1--× 4 1 =1- cos0 cos( 0) 2(cos20+cos0 sin0) =1 =1- 1+cos20+sin 20 1+smn20+孕' 又0≤0≤经所以好≤20+≤， 44 所以当且仅当0=及时，5=1-=2-5米(15分) 8 V2+1 18.(17分) 【详解】(1)①设ABC外接圆半径为R,由正弦定理得：b=2 R sin B,c=2 R sin C, ABC是锐角三角形，则cosA=2 Rsin B-2 RsinC=sinB-sinC 2x2Rsin C 2sin C 所以2 cos Asin C=sinB-sinC, 又因为sinB=sin(A+C)=sin AcosC+cos Asin C 所以2 cos Asin C=sin AcosC+cos Asin C-sinC sin C=sin AcosC-cos Asin C=sin(A-C), 因此C=A-C或C+A-C=π(A=π舍去)，所以A=2C,(4分) 0<4=2c<号 ②烟为48C为党角三角形，所以0<8=-4-C=-30c号解得：名C<牙 6 2 cosC< 0<C< 2 4/7 若a=1,则由正弦定理得：b=asinB_sinB=sin4+Q-sin AcosC+cos AsinC sin A sin A sin A sin A m sin A sin 2C 2 sin C cos C,cos 4=cos 2C=2cos2 C-1 1 代入化简得：b=2cosC 2cosC 令t=cosC,b=ft)=2t- 中 2 2 则易得：fo)在 2’2 上是单调递增的， 2 3 所以b的取值范围是 V223 2’3 (9分) (2)因为S.4c=5 ab sinC，且c2=a2+b2-2 abcosC 2S absin C absin C sin C 令 2+5aba+b2-2abcosC+5abTab-2abcosC7-2cosC ,当且仅当a=b的时候等号成立，此时需 -2cosC的最大值， 求 sinC sin C 不妨设y 7-2c0sC:易得y>0,整理得：sinC+2 ycosC=7y 利用辅助角公式化简得：V1+4y2sin(C+p)=7y,其中tan0=2y, 而sin(C+p)∈-1，，因此7sV+4少2，所以49y2≤1+4y,解得y2≤ 5 又西为八0，所以，≤源。因此的龄大值是5 15 所以当且仅当a=b,sm1C+p)-=1时，。5经大值为得 2S (17分) 5 19.(17分) 【详解】(1)由题意可得：a≥a+a+a-a, a=(1,x-1),a2=(2,x-2),4=(3,x-3),a4=(4,x-4), 则√4+(x-42≥V22+2x-2,解得：-22≤x≤22.(4分) (2)存在”-1向量”，且”-1向量”为a,a,a6,理由如下： 5/7 由题意可得回=co2红+sin红=1， 4 若存在”-1向量a”,只需使S,+as1, 因为a= a=0,-1,4- 所以+- ,-停号，停如s 整理得1+V2cos匹+V2sin:+1s1,故√2cos匹+√2sin匹≤-1， 4 2n管到}-1，即m任+}e2-91. 所以5π+2m≤匹+≤7T+2,k∈Z,解得4+8k≤1≤6+8k,keZ, 4 44-4 当k=0时，4≤1≤6，故当t=4或5或6时，符合要求， 当k为其他整数时，均不合要求， 故存在”-1向量”，且”-1向量”为a,a,a6.(9分) (3)由题意，得回≥五+a,回≥+a国，回国≥a+a, 回≥+a平方得≥+a,即a≥(a+a,即a≥a+a+2a,a, 同理a≥a+a,+2a4,a≥a+a+2aa, 三式相加并化简，得：0≥+a,+a+2aa+2aa,+2a,a, 即(a+a+g≤0，a+a+a≤0，所以a+a+a=0, a=-aj-a;=-(sin A.cos A)-(-sin A-3,-cosA+1)=(3,-1), 可=5加4-c4=24-}1.得m(4君引分 因为0<A<π，所以A= 3 在aABM中，由正弦定理可得4M三， BM 1 sin B -sin B sinB sin∠BAM ,所以BM AM sin 6 6/7 同理△ACM中， CM =sinC,则1+1 BM CM =sin B+sin C, 又A=,B+C=2 3 所以sinB+sinC=sinB+si (2-B-sin B+sin 2 cos B-cos2 3 2 sin B sin B+ 3 -cos B=3sinB+ 6/ (17分)》 7/7