精品解析：2026年湖南长沙市华益中学中考二模适应性练习数学卷

2026年中考适应性练习数学（二） 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 2025年12月27日，首届湘超决赛在长沙贺龙体育场举行，本场比赛的现场观众人数约为44000名，将数据44000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列几何体的主视图和左视图不同的是（ ） A. B. C. D. 3. 第35届乒乓球亚洲杯于2026年2月4日至8日在海南海口举行．在比赛用球质量检测中，如果一个乒乓球的质量高于标准质量记作，那么表示（ ） A. 低于标准质量 B. 低于标准质量 C. 高于标准质量 D. 减少 4. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 某校九年级（1）班6名学生的体育中考成绩（单位：分）依次为：48，50，50，49，50，47，则这组数据的众数是（ ） A. 47 B. 48 C. 49 D. 50 6. 某公司今年月份的利润为万元，月份比月份减少，则该公司2月份的利润（单位：万元）为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，，都是的半径，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，分别沿，折叠，使点B与点A重合，点C与点A重合，则的周长为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 10. 已知P是反比例函数图象上的一点，点B的坐标为，A是y轴正半轴上的一点，且，，那么直线的解析式为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：_______． 12. 小玉参加“阖家闹元宵，讲成语故事”活动，从卡片背面分别写着“老马识途”“守株待兔”“走马观花”“画龙点睛”的4张卡片中随机抽取1张卡片，则该卡片背面的成语含有“马”字的概率是_____． 13. 分式方程的解为______． 14. 如图，拱桥可以近似地看作一个圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，如果这些钢索中最长的一根的长度为，则该圆弧的半径为______m． 15. 如果一个正多边形的内角和等于外角和的4倍，则这个正多边形每个外角的度数为______°． 16. 已知实数a，b，c满足，甲、乙、丙、丁四人分别进行了推导，得出结论如下： 甲：a，b，c中至少有一个是无理数； 乙：当时，； 丙：当a，b，c中有两个数相等时，； 丁：二次函数与一次函数的图象有两个交点； 以上结论中，正确的是______． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 解不等式组：，并写出不等式组的整数解． 19. 如图，在中，． （1）观察尺规作图的痕迹可以发现，是的_____，直线是线段的_____．（填序号） ①高线；②角平分线；③垂直平分线；④中线． （2）在（1）所作的图中，求的度数． 20. 为了培养学生的晨读习惯，某校在寒假期间开展了“我爱晨读”的活动，开学后随机抽取了90名学生，对他们平均每天的晨读时长（单位：min）进行了调查，并对数据进行收集、整理和描述，下列是其中的部分信息： 信息一：90名学生平均每天的晨读时长（单位：min）的频数分布表： 分组 合计 频数 9 12 a 24 b 9 90 信息二：90名学生平均每天的晨读时长（单位：min）的频数分布直方图： 根据以上信息，回答下列问题： （1）频数分布表中的组距是____，b=_____； （2）求a的值； （3）补全频数分布直方图； （4）该校决定将平均每天的晨读时长达到40分钟及以上的学生评为“晨读之星”．若该校有1200名学生，估计获得该称号的学生有多少名？ 21. 如图，在中，的平分线和的平分线交于点E，点E在边上，以为边作． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求四边形的周长． 22. 年春节期间，电影《飞驰人生》的热播带动了一批汽车模型的销售．某商家推出，两种赛车模型，已知每个种赛车模型的进价比种赛车模型贵元，用元购进种赛车模型和用元购进种赛车模型的数量相同． （1），两种赛车模型每个的进价分别是多少？ （2）根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过元的资金购进，两种赛车模型共个，那么最多能购进种赛车模型多少个？ 23. 材料阅读： 光从空气斜射入某种玻璃中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射，我们把入射角的正弦值和折射角的正弦值之比称为折射率（n），即，已知光线从空气进入某种玻璃时的折射率为． 问题解答： 如图，矩形为某种玻璃、一束光线从点P射向玻璃上的点O，折射后照到玻璃底部的点Q．测得，，若P，O，C三点在同一条直线上，请依据相关材料回答以下问题： （1）求的大小； （2）求的长． 24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（a为常数，）． （1）当时，求抛物线的顶点坐标； （2）设抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），顶点为C， ①当为等腰直角三角形时，求的面积； ②当为等边三角形时，求a的值； （3）已知，将抛物线向上平移1个单位长度得到新抛物线，若当（）时，y1的最大值与最小值之差为4，求a的取值范围． 25. 定义：如果四边形的一条对角线把这个四边形分成面积相等的两个三角形，那么这个四边形叫作和谐四边形，这条对角线叫作四边形的和谐对角线．如图1，在四边形中，若，则四边形为和谐四边形，为四边形的和谐对角线． （1）①判断：平行四边形______和谐四边形（填“是”或者“不是”）； ②如图2，已知四边形是和谐四边形，和谐对角线与对角线交于点O，求证：； （2）如图3，已知四边形是和谐四边形，和谐对角线与对角线交于点E，．猜想并证明与的数量关系； （3）如图4，中，，以为直径的分别交于点N，M，已知四边形是和谐四边形，连接交于点D，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考适应性练习数学（二） 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 2025年12月27日，首届湘超决赛在长沙贺龙体育场举行，本场比赛的现场观众人数约为44000名，将数据44000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：将数据44000用科学记数法表示为． 2. 下列几何体的主视图和左视图不同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：、圆柱的主视图和左视图都是长方形，主视图和左视图相同，不符合题意； 、三棱柱的主视图是长方形，中间有实线，左视图是长方形，中间没有实线，主视图和左视图不同，符合题意； 、正方体的主视图和左视图都是正方形，主视图和左视图相同，不符合题意； 、圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形，主视图和左视图相同，不符合题意． 3. 第35届乒乓球亚洲杯于2026年2月4日至8日在海南海口举行．在比赛用球质量检测中，如果一个乒乓球的质量高于标准质量记作，那么表示（ ） A. 低于标准质量 B. 低于标准质量 C. 高于标准质量 D. 减少 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知正量的含义，推得负量表示的相反意义即可得到答案. 【详解】∵题目规定高于标准质量记为正，高于标准质量记作， ∴负号表示与“高于标准质量”相反的意义，即低于标准质量， 因此表示低于标准质量，A选项符合. 4. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、，该选项不符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，该选项不符合题意； C、，该选项符合题意； D、，该选项不符合题意． 5. 某校九年级（1）班6名学生的体育中考成绩（单位：分）依次为：48，50，50，49，50，47，则这组数据的众数是（ ） A. 47 B. 48 C. 49 D. 50 【答案】D 【解析】 【分析】根据众数定义，统计每个数据的出现次数，找出出现次数最多的数据即可得到答案． 【详解】解：∵这组数据48，50，50，49，50，47中：47出现1次，48出现1次，49出现1次，50出现3次， ∴ 50是这组数据中出现次数最多的数， ∴ 这组数据的众数是50． 6. 某公司今年月份的利润为万元，月份比月份减少，则该公司2月份的利润（单位：万元）为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵月份的利润为万元，月份比月份减少， ∴减少的利润为万元， ∴月份利润为万元． 7. 如图，在中，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等腰三角形性质可得，再根据平行线的性质即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴． 8. 如图，，，都是的半径，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得，再由，求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：，， ， ， ， ， ． 9. 如图，在中，，分别沿，折叠，使点B与点A重合，点C与点A重合，则的周长为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】首先由折叠得到，，然后根据三角形周长公式求解． 【详解】解：由折叠得，，， ∴的周长为． 10. 已知P是反比例函数图象上的一点，点B的坐标为，A是y轴正半轴上的一点，且，，那么直线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过P作轴，轴，根据矩形的判定与性质得出矩形，，，证明，得出，可设P的横坐标是，则纵坐标是，根据待定系数法求出点的坐标，进而求出A的坐标，然后根据待定系数法求解即可． 【详解】解：过P作轴，轴， 则四边形是矩形， ∴，， 又， ∴， 又 ∴， ∴ ∴设P的横坐标是，则纵坐标是， ∴， 解得， ∴P的坐标是， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：_______． 【答案】()() 【解析】 【分析】提取公因式即可完成因式分解. 【详解】解：． 12. 小玉参加“阖家闹元宵，讲成语故事”活动，从卡片背面分别写着“老马识途”“守株待兔”“走马观花”“画龙点睛”的4张卡片中随机抽取1张卡片，则该卡片背面的成语含有“马”字的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】确定所有等可能的结果总数，再找出符合成语含有“马”字条件的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：根据题意，从4张卡片中随机抽取1张，所有等可能的结果总数为， 其中成语含有“马”字的结果有种，分别为“老马识途”和“走马观花”， ∴该卡片背面的成语含有“马”字的概率是． 13. 分式方程的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】先将分式方程去分母转化为一元一次方程，解一元一次方程后，检验所得根是否使分式分母不为零，即可得到原分式方程的解． 【详解】解： 去分母，两边同乘最简公分母，得 去括号得 移项，合并同类项得 系数化为得 检验：当时， 因此是原分式方程的解． 14. 如图，拱桥可以近似地看作一个圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，如果这些钢索中最长的一根的长度为，则该圆弧的半径为______m． 【答案】130 【解析】 【分析】本题考查了圆的综合应用，解题的关键是建立坐标系，以中点为原点，利用圆上三点坐标建立方程组求解．设圆心坐标为，由在圆上得，由最高点在圆上得，联立解方程即可求出半径． 【详解】解：以的中点为原点，所在直线为轴建立坐标系， 则，圆弧最高点坐标为， 由对称性知圆心在轴上，设圆心为，半径为， 在圆上， , 即，① 最高点在圆上， ，② 将②代入①，得 ， 解得， ． 故答案为：130． 15. 如果一个正多边形的内角和等于外角和的4倍，则这个正多边形每个外角的度数为______°． 【答案】36 【解析】 【分析】根据任意多边形外角和为，结合题目条件求出正多边形的边数，再计算每个外角的度数即可． 【详解】解：设这个正多边形的边数为， 根据题意列方程得： ， 解得， 因此这个正多边形每个外角的度数为： ． 16. 已知实数a，b，c满足，甲、乙、丙、丁四人分别进行了推导，得出结论如下： 甲：a，b，c中至少有一个是无理数； 乙：当时，； 丙：当a，b，c中有两个数相等时，； 丁：二次函数与一次函数的图象有两个交点； 以上结论中，正确的是______． 【答案】丁 【解析】 【分析】对已知条件变形得到，再逐一分析四个结论，利用完全平方公式，一元二次方程根的判别式等知识判断结论正误． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又， ∴． 甲：当时，满足，且均为有理数，故甲结论错误； 乙：当时，，可得，故乙结论错误； 丙：当时，由得， 若，则， 将代入得：， 整理得，解得，此时，存在两个数相等但的情况，故丙结论错误； 丁：联立， 消去并整理得， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴该一元二次方程有两个不相等的实数根，即两个函数图象有两个交点，故丁结论正确． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】4 【解析】 【详解】解： ． 18. 解不等式组：，并写出不等式组的整数解． 【答案】，整数解为2，3． 【解析】 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，然后写出整数解即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的整数解为2，3． 19. 如图，在中，． （1）观察尺规作图的痕迹可以发现，是的_____，直线是线段的_____．（填序号） ①高线；②角平分线；③垂直平分线；④中线． （2）在（1）所作的图中，求的度数． 【答案】（1）②；③ （2） 【解析】 【分析】（1）根据作图痕迹判断即可； （2）根据题意可得，，再利用三角形内角和求角即可． 【小问1详解】 解：根据题意，是的角平分线，直线是线段的垂直平分线； 【小问2详解】 解：是的角平分线， ， 直线是线段的垂直平分线， ， ， 又， ， ， ． 20. 为了培养学生的晨读习惯，某校在寒假期间开展了“我爱晨读”的活动，开学后随机抽取了90名学生，对他们平均每天的晨读时长（单位：min）进行了调查，并对数据进行收集、整理和描述，下列是其中的部分信息： 信息一：90名学生平均每天的晨读时长（单位：min）的频数分布表： 分组 合计 频数 9 12 a 24 b 9 90 信息二：90名学生平均每天的晨读时长（单位：min）的频数分布直方图： 根据以上信息，回答下列问题： （1）频数分布表中的组距是____，b=_____； （2）求a的值； （3）补全频数分布直方图； （4）该校决定将平均每天的晨读时长达到40分钟及以上的学生评为“晨读之星”．若该校有1200名学生，估计获得该称号的学生有多少名？ 【答案】（1）， （2） （3）见详解 （4）获得该称号的学生约有400人． 【解析】 【分析】（1）根据组中值的定义和频数分布直方图的数据求解即可； （2）用90减去其他组的频数即可求出的值； （3）根据（2）的数据，补全频数分布直方图即可； （4）利用样本估计总体即可求解． 【小问1详解】 解：依题意，频数分布表中的组距是， 结合频数分布表以及频数分布直方图，得出在的人数； 【小问2详解】 解：依题意，， 即在的人数为； 【小问3详解】 解：补全频数分布直方图，如图所示： ； 【小问4详解】 解：∵该校决定将平均每天的晨读时长达到40分钟及以上的学生评为“晨读之星”．且该校有1200名学生， ∴（人）， ∴获得该称号的学生约有400人． 21. 如图，在中，的平分线和的平分线交于点E，点E在边上，以为边作． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求四边形的周长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得到，则由角平分线的定义和平行线的性质可证明，则可得到，据此结合矩形的判定定理可证明结论； （2）由平行四边形的性质得到，，则，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵的平分线和的平分线交于点E， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵平分， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形的周长． 22. 年春节期间，电影《飞驰人生》的热播带动了一批汽车模型的销售．某商家推出，两种赛车模型，已知每个种赛车模型的进价比种赛车模型贵元，用元购进种赛车模型和用元购进种赛车模型的数量相同． （1），两种赛车模型每个的进价分别是多少？ （2）根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过元的资金购进，两种赛车模型共个，那么最多能购进种赛车模型多少个？ 【答案】（1） 种赛车模型每个的进价为元，种赛车模型每个的进价为元； （2） 最多能购进种赛车模型个． 【解析】 【分析】（1）设种赛车模型每个的进价为元，则种赛车模型每个的进价为元，根据题意列方程求解即可； （2）设购进种赛车模型个，则购进种赛车模型个，根据题意列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设种赛车模型每个的进价为元，则种赛车模型每个的进价为元， 根据题意可得， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴， ∴种赛车模型每个的进价为元，种赛车模型每个的进价为元． 【小问2详解】 解：设购进种赛车模型个，则购进种赛车模型个， 根据题意可得， 解得， ∴最多能购进种赛车模型个． 23. 材料阅读： 光从空气斜射入某种玻璃中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射，我们把入射角的正弦值和折射角的正弦值之比称为折射率（n），即，已知光线从空气进入某种玻璃时的折射率为． 问题解答： 如图，矩形为某种玻璃、一束光线从点P射向玻璃上的点O，折射后照到玻璃底部的点Q．测得，，若P，O，C三点在同一条直线上，请依据相关材料回答以下问题： （1）求的大小； （2）求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据求解即可； （2）首先求出，，求出，即可得到． 【小问1详解】 解：在中，， ∵ ∴，即 ∴ ∴； 【小问2详解】 解：∵在中，，， ∴，， ， ∴ ∴ ∴． 24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（a为常数，）． （1）当时，求抛物线的顶点坐标； （2）设抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），顶点为C， ①当为等腰直角三角形时，求的面积； ②当为等边三角形时，求a的值； （3）已知，将抛物线向上平移1个单位长度得到新抛物线，若当（）时，y1的最大值与最小值之差为4，求a的取值范围． 【答案】（1） （2）①1；②或 （3） 【解析】 【分析】（1）化为顶点式，即可求出顶点坐标； （2）①当时，，求得，由（1）可知，顶点C的坐标为，根据抛物线的对称性和等腰直角三角形的性质可求出边上的高，最后根据三角形面积公式求解即可； ②当时，根据题意，画出图形，．根据为等边三角形，可得，即可求解；当时，同理求解即可； （3）将平移后抛物线化为顶点式，得到对称轴，结合，，，可得到抛物线的最值情况，根据最大值与最小值之差为4列式计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴当时，抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：①当时，， 解得：，， ∴，， ∴， 由（1）可知，顶点C的坐标为， ∵为等腰直角三角形， ∴，， 设对称轴与x轴的交点为D， 则， ∴的面积为； ②当时，依照题意，画出图形，如图所示． ∵， ∴． ∵为等边三角形，， ∴ ∴点C的坐标为， ∴， ∴； 当时，同理可求， 综上，a的值为或； 【小问3详解】 解：∵抛物线向上平移1个单位长度得到新抛物线为， ∴对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵，， ∴当时，取到最大值为， 当时，取到最小值，最小值为， ∵的最大值与最小值之差为4， ∴， 化简得：， ∵， ∴， ∴， ∴． 25. 定义：如果四边形的一条对角线把这个四边形分成面积相等的两个三角形，那么这个四边形叫作和谐四边形，这条对角线叫作四边形的和谐对角线．如图1，在四边形中，若，则四边形为和谐四边形，为四边形的和谐对角线． （1）①判断：平行四边形______和谐四边形（填“是”或者“不是”）； ②如图2，已知四边形是和谐四边形，和谐对角线与对角线交于点O，求证：； （2）如图3，已知四边形是和谐四边形，和谐对角线与对角线交于点E，．猜想并证明与的数量关系； （3）如图4，中，，以为直径的分别交于点N，M，已知四边形是和谐四边形，连接交于点D，求的面积． 【答案】（1）①是；②见解析 （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）①根据和谐四边形的定义进行判断即可； ②过点作于点，过点作于点，根据，得到，证明，即可得证； （2）在上取一点T，使得，连接，证明四边形是平行四边形，进而得到，得到，推出，得到，再利用外角的性质，可得结论； （3）连接，，，设交于，由，得，故，可知和谐四边形中，和谐对角线，即，而，，有，从而，知，，设，由，有，可得，，求得，据此计算即可求解． 【小问1详解】 解：①平行四边形是和谐四边形； ②证明：过点作于点，过点作于点， 则：， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下： 如图中，在上取一点T，使得，连接． ∵四边形是和谐四边形，是和谐对角线， 由（2）可知：， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：连接，，，设交于，如图： 为的直径， ， ， ， ， 和谐四边形中，是和谐对角线，即， ，， ， ， ，， ∴是的中位线， ∴， 设，则， ， ， ， ， ，， ∵， ∴， ∴，， 在中，， 同理， ∴， ∴的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $