2025年吉林省《中考密卷8+2》数学(四)

2025年吉林省（中考密卷8十2》数学（四） 数学满分120分。考试结束后，将答题卡交回。 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。 密 2.答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试题上答题无效。 封 一、单项选择题（每小题3分，共18分） 线： 1.一12的相反数是 内 7 B.一12 c号 12 D.- 不 A.12 要 2.实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是 答 A.a<-2 B.b<2 C.a>b D.-a<b 题： 3.如图是某几何体的表面展开后得到的平面图形，则该几何体是 A.三棱锥 B.圆锥 C.三棱柱 D.长方体 4.小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方 密 程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是一2和 封 一5，则原来的方程是 () 线 A.x2+6x+5=0 B.x2-7x+10=0 C.x2-5x+2=0 D.x2-6x-10=0 外 不 5.如图，直线y=一 2x+1与x轴，y轴分别交于A,B两点，以AB为边在第一象限内作正方形 要 ABCD,则点D的坐标为 () 写 A.(1,3) B.(2,4) C.(2,3) D.(3,2) 学 6.如图，AB是半圆O的直径，C为半圆O上一点，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交BA于点 h 号 M,交BC于点N,分别以点M,N为圆心，大于2MN的长为半径画弧，两弧在∠ABC的内部相交 批 于点D,画射线BD,连接AC.若∠CAB=50°，则∠CBD的度数是 ( 姓 A.30° B.259 C.20° D.15° 名 c" D米 -3-2-10123 M 第2题图 第3题图 第5题图 第6题图 二、填空题（每小题3分，共15分） 7.不等式组 z+2>3(1-x), 的解集是 1-2x≤2 中考密卷8 8.下图中的三种实践方式：木匠弹墨线、打靶瞄准、拉绳插秧等，反映了直线的一个基本事实 是： 木匠弹墨线 打靶瞄准 拉绳插秧 第8题图 9.如图，AD是⊙O的直径，△ABC是⊙O的内接三角形.若∠DAC=∠ABC,AC=4,则⊙O的直径 AD- 10.我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十 六.问人数、鸡价各几何.”其大意是：“今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又 差16钱.问人数、鸡价各是多少.”设共有x人合伙买鸡，根据题意，可列方程为 1.如图，口ABCD中，BD为对角线，分别以点A,B为圆心，以大于号AB的长为半径画弧，两弧相交 于点M,N,作直线MN交AD于点E,交AB于点F,若AD⊥BD,BD=4,BC=8,则AE的长 为 第9题图 第11题图 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 126分)先化简，再求做产2其中-8小乐同学的计算过程如下。 2x_1 2x 1 解二4x-2(红+2》x-2)x-20 2x x+2 -(x+2)(x-2）(x-20+2)…② 2x-x+2 …③ =(x+2)(x-2) x+2 =(x+2)(x-2)④ 。…⑤ 当x=3时，原式=1. (1)小乐同学的解答过程中，第 步开始出现了错误； (2)请帮助小乐同学写出正确的解答过程。 3 十2·数学 13.(6分)有同型号的A,B两把锁和同型号的a,b,c三把钥匙，其中a钥匙只能打开A锁，b钥匙只 能打开B锁，c钥匙不能打开这两把锁. (1)从三把钥匙中随机取出一把钥匙，取出c钥匙的概率等于 (2)从两把锁中随机取出一把锁，从三把钥匙中随机取出一把钥匙，求取出的钥匙恰好能打开取出 的锁的概率. 14.(6分)如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F,求证：DE=DF. 第14题图 15.(7分)直播购物逐渐走进了人们的生活.某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播 销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件.通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元， 日销售量增加10件. (1)若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？ (2)小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元.为提高市场竞争力，促进线下销 售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过(1)中的售价，则该商品至少需要打 几折销售？ 中考密卷8 16.(7分)图1、图2均是由边长为1的小正方形组成的3×3网格，△ABC的顶点均在格点上.利用网 格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法. (1)在图1中，点D为△ABC的边AC的中点，在边AB上找一点E,连接DE,使△ADE的面积 为△ABC面积的4 (2)在图2中，△ABC的面积为 (3)在图2中，在△ABC的边AC上找一点F,连接BF,使△ABF的面积为管 图1 图2 第16题图 密 17.(7分)如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，顶点A,B都在反比例函数y=(x>0)的图象上，直线 AC⊥x轴，垂足为D,连接OA,OC,并延长OC交AB于点E.当AB=2OA时，点E恰为AB的 中点，若∠AOD=45°，OA=22. (1)求反比例函数的解析式； (2)求∠EOD的度数. B 0 D 线 第17题图 4 十2·数学 18.(8分)如图，某海域有两灯塔A,B,其中灯塔B在灯塔A的南偏东30°方向，且A,B相距16,3海 3 里.一渔船在C处捕鱼，测得C处在灯塔A的北偏东30°方向，在灯塔B的正北方向. (1)求B,C两处的距离； (2)该渔船从C处沿北偏东65°方向航行一段时间后，突发故障滞留于D处，并发出求救信号.此 时，在灯塔B处的渔政船测得D处在北偏东27°方向，便立即以18海里/小时的速度沿BD方 向航行至D处救援，求渔政船的航行时间.（注：点A,B,C,D在同一水平面内；参考数据： tan65°≈2.1，tan27°≈0.5) 北 D 密 个 659 C 封 30% 线 4 27 内 309 第18题图 9 答 19.(8分)【问题背景】 题 “刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具.综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置 的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置. 密 【实验操作】 封 综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm,开始放水后每隔 线 10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据大致如表所示： 外 流水时间t/min 0 10 20 30 40 不 水面高度h/cm(观察值) 30 29 28 27 26 要 (1)分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化，你能得出什么结论； 写 【建立模型】 学 小组讨论发现：“t=0,h=30”是初始状态下的准确数据，水面高度h和流水时 ●节流阀 h 间t满足一次函数关系， 批 (2)请根据表格中的数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式； 姓 【模型应用】 第19题图 名 综合实践小组利用建立的模型，预测了后续的水面高度 (3)当流水时间为100min时，求水面高度h的值； (4)当甲容器中的水全部流入乙容器时，实验结束，求实验结束的时间. 中考密卷8 20.(10分)【问题提出】 (1)如图1，在边长为6的等边△ABC中，点D在边BC上，CD=2,连接AD,则△ACD的面积为 【问题探究】 (2)如图2，已知在边长为6的正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在边CD上，且∠EAF= 45°，若EF=5,求△AEF的面积； 【问题解决】 (3)如图3是某市华南大道的一部分，因自来水抢修，需要在AB=4米，AD=4√3米的矩形 ABCD区域内开挖一个△AEF的工作面，其中E,F分别在BC,CD边上（不与点B,C,D重 合)，且∠EAF=60°，为了减少对该路段的交通拥堵影响，要求△AEF面积最小，那么是否存 在一个面积最小的△AEF？若存在，请求出△AEF面积的最小值；若不存在，请说明理由 图1 图2 图3 第20题图 十2·数学 21.(10分)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=2,AC=4,CD是边AB上的中线，动点P从点C 出发，以每秒√5个单位长度的速度沿折线CD一DB向终点B运动.过点P作PQ⊥AC于点Q, 以PQ为边作等腰直角三角形PQN,∠QPN=90°，使点N,C始终在PQ的两侧.设点P的运动 时间为t(s)(t>0),△PQN与△ADC重合部分图形的面积为S. (I)用含t的代数式表示DP的长； (2)当点N落在边AB上时，求t的值； (3)求S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围. Q 第21题图 1 中考密卷8 22.(12分)如图，抛物线y=一x2+bx十c经过点A(一1,0)，B(3,0),与y轴交于点C.点P是抛物 线上的动点，且横坐标为m,过点P作y轴的平行线，交直线BC于点Q,以PQ为边在PQ的右 侧作正方形PQMN, (1)求出此抛物线的解析式； (2)当点P在直线BC上方的抛物线上时，求PQ的长（用含m的代数式表示）； (3)当抛物线的顶点落在正方形PQMN的边上（包括顶点）时，求m的值； (4)当此抛物线在正方形PQMN内部图象（含抛物线与正方形的交点）的最高点与最低点的纵坐 标之差为2时，直接写出m的值. 备用图 第22题图 密 封 线 :.....… 十2·数学AD·DM,DM=CD÷AD=14=16=9.QF/AB,.△CQF∽△CAM,8-D设QP为五 g分，-婴0P/C088器g-言AP-把此时-94秒。 当P运动到D时，Q与C重合，∠PQF=90,如图4，此时AP=16,放1=16÷4=4（秒），00<1<4，当D 在线段DB上运动时，P从D运动到B时，∠CQF为钝角，如图5.当P与B重合时，AB=25,此时t=25÷ 4-华（秒4<华综上所述的取值粒围为01<9或0<1<4或4<华 (0:=1秒或号秒或号.秋【解析：①如图6，当FMLAB时，设正方形QFMP的边长为，连接CM. 0PCDi△AP0 ADC6-A8-86则Ap-专a0-g,CM-00-0- x,DM= AD-AP-PM=16-号.CD+MD=CM12+6-子）广-(0-号)广，解得x=3支=0（合 去)，AP=号=4，=4÷4=1（秒）.②如图7，当时FMLAB时，设QP=ND=QF=FM=x.由对称 得FC平分∠MFQ,.△CNF为等腰直角三角形，∴.CN=NF=12-x,.QN=x-(12-x)=2x-12, CQ=20-号.QN+CN=C0,2x-12)+12-x)=(20-号)广，解得z=号或x=-6(含去)。 AP-号--1÷4-号（秒.@如图8，当PMLAB时，设GD=QP=QF=FM=,:Qr/ CD△QPBO△CDB,8S-器是-明则PB=方GQ=PD=BD-PB=4-由对称得 FC平分∠MQ△CGF为等腰直角三角形，CG=GF,12-1=4-日x+z,解得x-华AP- 1 12492 AB-PB-20-3> 651=92 ÷423 秒）.综上所述：=1秒政号秒或号秒】 5 C(Q D(P)B 图2 图3 图4 D P B M D D P B 图5 图6 图7 图8 第21题图 1-a+b=0, a=-2, 22.解：(1)将点A(-1,0),B(3,0)代入y=x2+ax+b,. 解得 9+3a+b=0, b=-3. 2-抛物线的爵析式为=72z一3当x=0时一3，C0,-,S=s .C点到AB的距离与P点到AB的距离相等，P的纵坐标为士3，.P点坐标为(0，一3)或(2，一3)或 (1士√7,3).m≠0，.P点坐标为(2，一3)或(1土√7,3). (3)①：P点横坐标为m,P(m,m2-2m一3).：以E(受，-1)为对称中心构造矩形PQMN,∴M点坐标 3 中考密卷8 为(0，-m2+2m+1).,PQ⊥x轴，.Q(m,-m2+2m+1),N(0,m2-2m-3)..y=x2-2x-3= (x一1)2一4，.抛物线的对称轴为直线x=1,顶点为(1，一4).P点在抛物线对称轴右侧，.m>1.当N点 与C点重合时，矩形PQMN的边与抛物线有且仅有两个交点，此时一3=m2一2m一3，解得m=0(舍)或m= 2,.h=0,不符合题意；当P与Q重合时，-m2+2m+1=m2-2m-3,解得m=1十√3或m=1一√3（舍）.当 M与C重合时，一m2+2m十1=-3，解得m=1+√5或m=1-√5（舍），∴.1十√3<m<1+√5时，如图1，矩形 PQMN的边与抛物线有且仅有两个交点，此时h=m2-2m-3-(-m2+2m+1)=2m2-4m一4；当抛物线 的顶点在MQ上时，一m2十2m十1=一4，解得m=1十√6或m=1一√6（舍），.当m>1十√6时，如图2，矩形 PQMN的边与抛物线有且仅有两个交点，此时h=m2-2m一3+4=m2一2m+1.综上所述，当1十√3<m< 1+√5时，h=2m2-4m-4;当m>1+√6时，h=m2-2m+1. ②当m≤2时，抛物线在矩形内部的图象（不包括边界）从左至右逐渐下降，当1十√3<≤1十√5时，抛物线在 矩形内部的图象（不包括边界）从左至右逐渐上升.【解析：由①可知，P(m,m2一2m一3)，M(0,一m2+2m十1)， Q(m,一m2+2m十1)，N(0,m2一2m一3).当m<0时，如图3，抛物线在矩形内部的图象（不包括边界）从左 至右逐渐下降.当N点与C点重合时，m2一2m一3=一3，解得m=0或m=2,∴.0<m≤2时，如图4，抛物线 在矩形内部的图象（不包括边界）从左至右逐渐下降.当点P与点Q重合时，m2一2m一3=一m2+2m+1,解 得m=1+√3或m=1一√3（舍）.当M点与C点重合时，-3=一m2+2m+1,解得m=1+√5或m=1一 √5（舍），，当1十√3<m≤1十√5时，如图5，抛物线在矩形内部的图象（不包括边界）从左至右逐渐上升.综上 所述，当m≤2时，抛物线在矩形内部的图象（不包括边界）从左至右逐渐下降，当1十√3<m≤1十√5时，抛物 线在矩形内部的图象（不包括边界）从左至右逐渐上升.】 B 图1 图2 图3 图4 图5 第22题图 2025年吉林省《中考密卷8+2》数学（四） -、1.A 2.D【解析：由数轴得，-2<a<-1,2<b<3,∴a<b,一a<b,∴.D选项符合题意.】 3.C【解析：由几何体的表面展开后得到的平面图形可知：侧面为三个相同的长方形，上下底面为全等的三角形， 符合三棱柱的特征，所以该几何体是三棱柱.】 4.B【解析：设原来的方程为ax2+bx十c=0(a≠0)，由题知，-么=6+1=7，C=一2X(一5)=10，所以6= a a -7a,c=10a,所以原来的方程为ax2-7ax+10a=0,即为x2-7x+10=0.】 5.D【解析：如图，过点D作DE⊥x轴于点E,,四边形ABCD为正方形，∴∠BAD= 90°，AB=AD..∠OBA+∠OAB=90°，∠OAB+∠EAD=90°，∴.∠OBA=∠EAD. ∠OBA=∠EAD, 在△OAB和△EDA中，∠AOB=∠DEA=90°，.△OAB≌△EDA(AAS),∴.OA= AB=AD, 0 A DE,0B=AE.令一次函数y=-2x+1中x=0,则有y=1,即点B的坐标为(0,1)： 第5题图 十2·数学 令一次函数y=-x十1中y=0,则有-x+1=0,解得x=2,即点A的坐标为(2.0)BD=0A=2, OE=OA十AE=OA十OB=2+1=3,.点D的坐标为(3,2).】 6.C【解析：，AB是半圆O的直径，∴.∠ACB=90°..∠CAB=50°，.∠ABC=90°-50°=40°.由题意得，BD 为∠ABC的平分线，∠CBD=∠ABD=号∠ABC=20】 二、7.x>号【解析： x+2>3(1-x)①， 1-2x≤2②， 由①得x>,由②得：z≥-号则不等式组的解集为x>】 8.两点确定一条直线 9.42【解析：如图，连接CD.:∠DAC=∠ABC,.AC=DC,AC=CD.:AD是⊙O 的直径，∴∠ACD=90°，.△ACD是等腰直角三角形，∴.CD=AC=4,.AD=√2AC= 4√2.】 10.9x-11=6x+16 第9题图 11.5【解析：，四边形ABCD是平行四边形，∴.AD=BC=8.AD⊥BD,∴.∠ADB= 90,AB=AD+BD=V8+=45,由作图知，MN垂直平分AB,AF=号AB=25,EF⊥AB. 4a8 VVOH3V.V☑=VZ&.06=a☑ 84√ ,AE=5.】 三、12.解：(1)③ 2x 1 2x 1 2x x十2 (2) 2x-x-2 x2-4- x-—2=(z+2(z-2)）-x-2=(x+2)(x-2)-(x-2)(x+2)=(x+2)(-2) x-2 红+2》z-2z十2当x=3时，原式=号 1 18.解.0号 (2)画树状图如图. 开始 锁 钥匙 第13题图 共有6种等可能的结果，其中取出的钥匙恰好能打开取出的锁的结果有2种，即Aα，Bb,.取出的钥匙恰好能 打开取瑞的锁的藏率为号-号 14.证明：如图，连接BD,,四边形ABCD是菱形，∴.∠EBD=∠FBD,在△DEB和 ∠DEB=∠DFB, △DFB中，∠EBD=∠FBD,∴.△DEB≌△DFB(AAS),.DE=DF. BD=BD, 15.解獬：(1)设售价应定为x元，则每件的利润为(x一40)元，日销售量为20十 10(60-x)=（140-2x)件.依题意得：(x-40)(140-2x)=(60-40)×20,整理 第14题图 5 得：x2-110x+3000=0,解得x1=50,x2=60(舍去).答：售价应定为50元. (2)设该商品需要打a折销售，由题意得，62.5×品≤50，解得a≤8，答：该商品至少需要打8折销售. 4 中考密卷8 16.解：(1)如图1中，点E即为所求. (2)4【解析：△ABC的面积=3X3-号×1X8-×2×2-合×1X3=4,】 (3)如图2中，点F即为所求. 图1 图2 第16题图 17.解：(1)直线AC⊥x轴，垂足为D,∠AOD=45°，△AOD是等腰直角三角形.OA=2√2，.OD= 2A(2,2).顶点A在反比例函数y=（x>0)的图象上，∴k=2×2=4,∴反比例函数的解 为y=4(x>0). (2),AB=2OA,点E恰为AB的中点，∴.OA=AE,∴.∠AOE=∠AEO.Rt△ABC中，∠ACB=90°， .CE=AE=BE,∴.∠ECB=∠EBC.:∠AEO=∠ECB+∠EBC=2∠EBC,BC∥x轴，∴.∠EOD= ∠ECB,..∠AOE=2∠EOD.∠AOD=45°，.∠EOD=15°. 18,解，1)由题意得，∠ACB=∠ABC=30,AC=AB=163海里，如图，过A作AH1 北 650 3 AB=9×165 30 BC于H∠AHC=∠AHB=90,CH=BH,CH=BH=3 2 3 A<--H 8(海里)，.BC=2CH=16(海里).答：B,C两处的距离为16海里. 7 (2)如图，过D作DG LBC于G.在R△BDG中，BG=DG DG 30° tan27≈0.5 =2DG.在 B DG 第18题图 RACDG中，CGan652%:BC=BG=CG,∴2DG月 DC-16,.DG= 2.1 10.5(海里)，：CG=5(海里)，则BG=BC+CG=21(海里).：BD=√BG+DG_21,5(海里，渔政船 2 的航行时同为25÷18-5（小时。 19.解：(1)观察表格可知，每隔10min水面高度减小1cm. （2)设h=:+b,把(0,30)，(10,29)代人得.6=30， .∴.h=-0.1t+30. 10k+b=29, 解得6-30， k=-0.1, (3)在h=-0.1t+30中，令t=100得：h=一0.1×100+30=20，∴.当流水时间为100min时，水面高度h的 值为20cm. (4)在h=-0.1t+30中，令h=0得：0=-0.1h+30,解得t=300,.实验结束的时间是300min. 20.解：(1)3√3【解析：如图1所示，过点A作AE⊥BC于E..△ABC是边长为6的等边三角形，∴.AC= BC=6,CE=2BC=3∴AE=VAC-CE=V6-3=35,CD=2∴Sw=名AE.CD=35.】 (2)如图2所示，延长EB到G使得BG=DF,连接AG.四边形ABCD是正方形，.AB=AD,∠D= ∠ABG=∠BAD=90°，∴.△ABG≌△ADF(SAS),.AG=AF,∠DAF=∠BAG.:∠EAF=45°， ∴.∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=45°，∴.∠BAG+∠BAE=45°，则∠EAG=∠EAF=45°.又 ,AE=AE,∴.△AEF≌△AEG(SAS),.EG=EF=5,S△AEF=S△AEG·AB=6,.S△AEF=S△AEG= 2AB·EG=15. 十2·数学 (3)存在一个面积最小的△AEF,其面积为96一48√3.理由如下：如图3，把△ADF绕点A顺时针旋转90°并 把边长缩小为原来的，得到△ABG,AG-停AF,∠FAG=90.:∠EAF=60,∠EAG=30.过点E 作EM⊥AG于M,作EN⊥AF于N,则四边形AMEN是矩形，ME=AN= tan ZEANNE NE 3 :SE 2AG·ME 1 ”S△AEF 专AF·NE 方，则SA=3S△A当△ABG的面积最小时，△AEF的面积最小.作△ABG 的外接圆，圆心为O,连接OA,OG,OE,过点O作OH⊥EG于H.设OG=OA=OE=r,∴.∠GOE= 2∠GAE=60,∠G0H=∠E0H=30,OH=30 1 2rGE-2GH=r.SANGE=7GE AB- 2GE=2r,当r最小时，△AEG的面积最小.0A+0H≥AB,r千9r≥4，r≥16-8V3,当A,O H三点共线时，r有最小值，最小值为16一8√3，则(S△AEF)最小值=3(S△Ac)最小值=3X2X(16一8√3)=96一 483,,∴.存在一个面积最小的△AEF,其最小值为96一48√3 ED B 图1 图2 图3 第20题图 21.解：(1)：∠ACB=90°，BC=2,AC=4,AB=√BC2+AC=√22+4=2N5.CD是边AB的中线， “DC=2AB=5.:动点P从点C出发，以每秒5个单位长度的速度沿折线CD-DB向终点B运动， ∴.PC=√5t,.当P在DC上时，DP=√5-√5t;当P在DB上时，DP=√5t-√5 (2)当点N落在AB边上时，点P只能在CD上.CD是直角三角形ABC的中线，则△ACD为等腰三角形， 设∠DCA=∠A=s则anA-C号-ane,则aa-点cmse-25如图1，过点D作DH LNP于 点H.由题意得，△NPD为等腰三角形，且∠DNP=∠A=a,则NP=2HP=2PD·cosa=2X(W5-√5t)X 25-4-4,而P0-PC·6na=5:,5-,=4-,解得1=号 4 (3)当0≤号时，由(2②)知PQ=,△PQN与△ADC重合部分图形的面积S=1=t;当←1<1 时，如图2，过点H作HF⊥PN于点F.由(2)知PE=4-4t,.EN=PN-PE=5t-4.,tanA= ∠EH-安能-小EF名即HE子Hr-号5aw 2EN HF-号×(G1-4)X54_6,.△PQN与△ADC重合部分图形的面积S=SAo-Sam- 3 6 6 3 3 3 t一31 D F D Q 图1 图2 第21题图 4 中考密卷8 22.解：(1)抛物线y=-x2十bx十c经过点A(-1,0),点B(3,0),. 1-6十c=0,解得6=2：此抛物线 -9+3b+c=0 c=3, 的解析式为y=一x2+2x十3. (2)令x=0,则y=3,∴.C(0,3),.OC=3.设直线BC的解析式为y=kx十n,.{ n=3, 线BC的解析式为y=一x十3.，点P是抛物线上的动点，且横坐标为m,∴.P(m,一m2十2m十3).：过点P 作y轴的平行线，交直线BC于点Q,.Q(m,一m十3).，点P在直线BC上方的抛物线上运动，∴.PQ= (-m2+2m+3)-(-m+3)=-m2+3m. (3).y=一x2十2x+3=一(x-1)2十4，.抛物线y=一x2+2x十3的顶点坐标为(1,4).①当m≥1时，.抛 物线的顶点落在正方形PQMN的边上（包括顶点），.此时点P与抛物线的顶点重合，∴.m=1;②当m<1 时，抛物线的顶点落在正方形PQMN的边上（包括顶点)，∴此时点Q的纵坐标与顶点的纵坐标相同， ∴.一m十3=4，∴m=一1.综上，抛物线的顶点落在正方形PQMN的边上（包括顶点）时，m的值为1或一1. 4)m的值为1或2或3-√1☑ 2. 【解析：当此抛物线在正方形PQMN内部图象的最高点与最低点的纵坐 标之差为2时，则有PQ=2.①点P在直线BC的上方时，∴.一m2+3m=2,.m=1或m=2.②点P在直线 BC的下方时，，PQ=(-m十3)-(-m2+2m十3)=m2-3m,∴.m2-3m=2,解得m 3十7（不合题意， 2 舍去)或m-3-综上，当此抛物线在正方形PQMN内部的图象的最高点与最低点的纵坐标之差为2 2 时m的值为1或2或3】 2025年吉林省《中考密卷8+2》数学（五） -、1.A2.C 3.C【解析：由题意，去掉上层的任意一个小正方体前后，从左边看到的图形，都是2列，且第1列有2个图形，第 2列有1个图形，没有发生变化；从上面看到的图形都是3列，第1列有1个图形，第2列有2个图形，第3列有 1个图形，且位置不变；从前面看到的图形第1列或第2列会减少1个图形.】 4.C【解析：设BC=x,则BD=BA=x+1.在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB2=AC2+BC2,即(x+1)2= 52+x2,解得x=12,即BC=12.】 5.C【解析：由图中可知，点A(一2,3)，将△ABC先向右平移3个单位，得点A坐标为(1,3)，再绕原点O旋转 180°，得到△A'B'C',则点A的对应点A'的坐标是(-1，一3).】 6C【折：由题知，5aae-10新2D-智mS心10- 360 360 3π(cm),所以山水画所在纸 面的面积为400一25 /3π-3r=125x(cm2).】 二7<一号【餐折：车的值为负2a十3<0解得a<一号】 8.-6【解析：a2-b2=12,∴.(a十b)(a-b)=12.a-b=-2,.a+b=-6.】 9.70【解析：∠CDE+∠ADC=1S0,∠B+∠ADC=180,∠CDE=∠B.∠B=安∠A0C=号× 140°=70°，∴.∠CDE=70°.】 x+2y=50, 10. 3x+y=50 11.18°【解析：由作图可得，CF⊥AB于F,∴.∠BFC=90°，.∠BCF=90°-∠B=36°.又，AB=AC,∠B= 54°，∴.∠ACB=∠B=54°，.∠ACF=54°-36°=18°.】 十2·数学2025年吉林省《中考密卷8十2》数学（四） 答题卡 姓 名 贴条形码区 准考证号口口口 缺考标记， 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写 正确填涂 考生禁填！ 清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 ■ 由监考教师 注 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须 填 错误填涂 负责用黑色 用0.5mm黑色字迹的签字笔书写，字体工 涂 ☑☒如 字迹的签字 砂 整、笔迹清楚。 口三 笔填涂。 爱 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作 答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿 样 项 纸、试题卷上答题无效。 例 4.保持卡面清洁、不要折叠，不要弄破、弄皱，不 准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 选择题（请使用2B铅笔填涂） 1.A]B]D] 4.A▣BCDJ 2.[ABCD 5.A▣BCD 3.A▣BCD 6.A▣B]CD IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII 非选择题（请使用0.5mm黑色字迹的签字笔书写） 8. 9. 10. 11. 12.(1) (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 13.(1) (2) 14. 第14题图 15.(1) (2) 16.(1) 图1 图2 第16题图 (2) (3) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 答题卡一7 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 17.(1) B 第17题图 (2) 18.(1) D 1659 30 (2) 27 30 第18题图 19.(1) (2) (3) (4) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 20.(1) (2) 图 图2 图3 第20题图 (3) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 21.(1) 第21题图 (2) (3) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 答题卡一8 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请勿在此区域答题 22.(1) (2) 备用图 第22题图 (3) (4) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效