2025年吉林省《中考密卷8+2》数学(六)

2025年吉林省中考密卷8十2》数学（六） 数学满分120分。考试结束后，将答题卡交回。 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。 密 2.答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试题上答题无效。 一、单项选择题（每小题3分，共18分）》 封 1.若（一2）×口的运算结果为正数，则口内的数字可以为 ( 线 A.3 B.2 C.0 D.-1 内 2.“绿水青山就是金山银山”，某地积极响应党中央号召，大力推进农村厕所革命，已经累计投资 不 1.012×108元资金.数据1.012×108可表示为 () 要 答 A.10.12亿 B.1.012亿 C.101.2亿 D.1012亿 型 3.全国两会，习近平总书记在参加江苏代表团审议时指出，我们能不能如期全面建成社会主义现代化 题 强国，关键看科技自立自强.将“科技自立自强”六个字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一 种表面展开图，在原正方体中，与“强”字所在面相对面上的汉字是 密 A.自 B.立 C.科 D.技 封 4.下列方程中，有两个相等的实数根的是 线 A.(x-5)2=-1 B.(x-5)2=0 C.(x-5)2=1 D.(x-5)2=2 外 5.如图，直线l1∥L2∥L3,直线a,b与l1,l2,l3分别交于点A,B,C和点D,E,F.若AB:BC=2:3, 不 EF=9,则DE的长是 ( 要 A.4 B.6 C.7 D.12 写 6.如图，在扇形AOB中，∠AOB=80°，半径OA=3,C是AB上一点，连接OC,D是OC上一点，且 学 OD=DC,连接BD.若BD⊥OC,则AC的长为 () h 效 c D.π 姓 名 科 技 B 自 水 自强 B 第3题图 第5题图 第6题图 二、填空题（每小题3分，共15分） 7。一5的绝对值是 8.计算：8x3y÷(2x)2= 中考密卷8 9.实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示，比较大小：(a十1)(b一1)La1 b -10 0.(填“>”“<”或“=”) 10.一个三角形的两边长分别是1和4，若第三边的长为偶数，则第三边的长 第9题图 是 11.我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹.每人六 竿多十四，每人八竿恰齐足.”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹 竿.每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完.”若设有牧童x人，根据题意，可列方程为 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12.(6分)先化简，再求值：(a+3b)2+(a+3b)(a-3b),其中a=2,b=一1. 13.(6分)物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成.某学习小组在延时课上制作了A, B,C,D四张卡片，四张卡片除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀. A.铁钉生锈 B.滴水成冰 C.矿石粉碎 D.牛奶变质 第13题图 (1)小临从四张卡片中随机抽取一张，抽中C卡片的概率是 (2)小夏从四张卡片中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求小夏抽取两张卡片内容均为化学 变化的概率. 十2·数学 14.(6分)如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，DB=DC,点E,F分别为DB,BC的中点，连接 AE,EF,AF. (1)求证：AE=EF; D (2)当AF=AE时，设∠ADB=a,∠CDB=B,求a,B之间的数量关系式. 第14题图 15.(7分)某商场购进A,B两种商品，已知购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件 A商品和2件B商品总费用为620元. (1)求A,B两种商品每件进价各为多少元？ (2)该商场计划购进A,B两种商品共60件，且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍.若A 商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，为满足销售完A,B两种商品后获得的总利 润不低于1770元，则购进A商品的件数最多为多少？ 16.(7分)图1、图2、图3均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边 长均为1，点A,B,C均在格点上.只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按要求画图，保留作 图痕迹，不要求写画法. (1)在图1中画线段EF平分AB,且点E,F均在格点上； (2)在图2中画线段CD,线段CD平分△ABC的面积； (3)如图3，点P,Q均在格点上，连接PQ交AC于点M,连接BM,则△BCM的面积是 图1 图2 第16题图 2 中考密卷8 17.(7分)某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段. (1)初赛由10名教师评委和45名学生评委给每位选手打分（百分制）.对评委给某位选手的打分 进行整理描述并分析.下面给出了部分信息. a.教师评委打分： 86889091919191929298 b.学生评委打分的频数分布直方图如图（数据分6组：第1组82≤x<85,第2组85≤x<88, 第3组88≤x<91,第4组91≤x<94,第5组94≤x<97,第6组97≤x≤100) 频数 14 12 6 05N 828588919497100打分 第17题图 c.评委打分的平均数、中位数、众数如下表. 平均数 中位数 众数 密 教师评委 91 91 m 学生评委 90.8 93 根据以上信息，回答下列问题： ①m的值为 ,n的值位于学生评委打分数据分组的第 组； 封 ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为x,则x 91(填“>“=”或“<”)； (2)决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平 均数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前.5名专 业评委给进人决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下： 线 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 93 90 92 93 92 乙 91 92 92 92 92 丙 90 94 90 94 若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是 ,表中k(k 为整数)的值为 十2·数学 18.(8分)如图1，塑像AB在底座BC上，点D是人眼所在的位置.当点B高于人的水平视线DE时， 由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大.数学家研究发现：当经过A,B两 点的圆与水平视线DE相切时（如图2），在切点P处感觉看到的塑像最大，此时∠APB为最大 视角. (1)请依据图2的情形证明∠APB>∠ADB; (2)经测量，最大视角∠APB为30°，在点P处看塑像顶部点A的仰角∠APE为60°，点P到塑像 的水平距离PH为6m.求塑像AB的高.（结果精确到0.1m,参考数据：√3≈1.73） 密 封 线 视角 D 内 图1 图2 第18题图 答 密 19.(8分)金师傅购买了一辆某型号的新能源车，其电池电量为60千瓦时，目前有两种充电方案供选 封 择（如表），经测算金师傅发现电池剩余电量y(千瓦时)与已行驶里程x(千米)有如图关系。 线 方案 安装费用 每千瓦时所需费用 外 方案一：私家安装充电桩 2700元 0.6元 不 方案二：公共充电桩充电 0 1.8元（含服务费） 要 (1)已知新能源车充电时一般损耗率为1.2，电池剩余电量为零时，使用家用充电桩一次性充满电 写 需要费用为60×1.2×0.6=43.2（元），则电池剩余电量为零时到公共充电桩一次性充满电需 学 要多少费用？ h 号 (2)当已行驶里程大于300千米时，求出电池剩余电量y(千瓦时)与已行驶里程（千米）的函数解 批 析式，当电池剩余电量为10%时，会提示充电，此时理论上还能继续行驶多少千米？ 姓 (3)金师傅都是在电池剩余电量不低于30千瓦时就开始充电，请问累计行驶里程为多少千米时， 选择私家安装充电桩充电（含安装费用）更划算， 个y/千瓦时 60 50 404 30- 20 10 0 100200300400 x/千米 第19题图 2 中考密卷8 20.(10分)【发现问题】 在全等三角形研究“筝形”的数学活动中，学习了筝形的定义：有两组邻边分别相等的四边形叫做 筝形，以及筝形的边、角、对角线的性质.小明在学完轴对称后，将学过的角平分线的性质与判定定 理、线段垂直平分线的性质与判定定理的图形进行了整理，发现这些图形中都存在筝形，且筝形是 轴对称图形 【提出问题】 小明利用筝形是轴对称图形对它的面积进行了探究，得到了筝形面积与对角线的数量关系， (1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,CB=CD,对角线AC与BD相交于点O.求证： 1 S容形ABCD=2AC·BD. 【分析问题】 (2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD=a,CB=CD,AB⊥BC于点B,AD⊥CD于点D,点 M,N分别是AD,AB上的点，且∠MCD+∠NCB=∠MCN,求△AMN的周长.（用含a的 式子表示) 【解决问题】 (3)①如图3，在△ABC中，点D为△ABC内一点，AD平分∠BAC,且BD=CD.求证： AB=AC. ②如图4，在△ABC中，∠A=80°，∠B=30°，点D,E分别是边BC,AB上的动点，当四边形 AEDC为筝形时，则∠BDE= D 0 B 图1 图2 图3 图4 第20题图 十2·数学 21.(10分)如图，在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=60°，BC=3.点P从点B出发，以每秒1个单位长 度的速度沿BC向终点C运动.同时，点Q也从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿射线BC 运动.当点P到达点C时，P,Q同时停止运动.以PQ为对角线作矩形PNQM,PN∥AB.设矩形 PNQM和△ACB重叠部分面积为S(S>0),点P运动的时间为t秒. (1)线段PQ的长为（用含t的代数式表示）； (2)当点N落在AC上时，求t的值； (3)当点N在△ACB内部时，求S与t之间的函数解析式； (4)连接AM,当线段AM将矩形PNQM分成两部分的面积比为1：3时，直接写出t的值. C 第21题图 2 中考密卷8 22.(12分)二次函数y=x2-4m,x十5(m为常数). (1)当m=1时. ①写出这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标； ②若点(b,5)在这个抛物线上，求出b的值； ③当0≤x≤3时，求这个二次函数的最大值和最小值. (2)过点C(0,2)作直线1⊥y轴. ①当直线l与抛物线有一个公共点时，求m的值； ②当x≥m时，抛物线y=x2一4mx十5(m为常数)的最低点到直线l的距离为1，请直接写出 m的值. 密 线 4 十2·数学(3)MD的长为号或 .【解析：，点H是边AB的三等分点，BH=1或AH=1.①当BH=1时，如图1， 连接CM,则AH=2.,四边形ABCD是边长为3的正方形，.BC=CD=3,∠B=90°.根据折叠的性质可 得，CG=BC=3,GH=BH=1,∠HGC=∠B=90°，∴.CG=CD=3.在Rt△CGM和Rt△CDM中， (CG=CD, .Rt△CGM≌Rt△CDM(HL),.GM=DM.设GM=DM=x,则AM=3-x,HM=GH+ CM=CM, GM=1+.在R△AHM中，AM+AH=HM,(3-z)+2=(1+x)户，解得z-子∴DM=号：@当 AH=1时，如图2，连接CM,则BH=2.,四边形ABCD是边长为3的正方形，BC=CD=3,∠B=90°， 根据折叠的性质可得，CG=BC=3,GH=BH=2,∠HGC=∠B=90°，∴.CG=CD=3.在Rt△CGM和 CG=CD:R△CGM≌R△CDM(HL,GM=DM,设GM=DM=a,则AM=3-a R△CDM中，CM=CM, HM=GH+GM=2+a.在Rt△AHM中，AM2+AH2=HM,∴(3-a)2+1=(2+a)',解得a=5, 3 ∴DM=是综上，DM的长为或号】 M 图1 图2 第20题图 21.解：(1)4【解析：当点M落在AB上时，如图1.，∠BAC=90°，PQ∥AB,△PQM是等腰直角三角形， ∴∠BAC=∠APQ=∠PQM=90°，PQ=QM,∴.四边形APQM是正方形，则AP=PQ.,△ABC是等腰直 角三角形.∠C=45,△CPQ是等接直角三角形，∴CP=PQCP=AP-AC=4(cm,-Y 1 4(s).】 (2)点M落在AD上时，如图2.，在等腰直角三角形ABC中，AD⊥BC,.∠DAC=∠C=45°，△ACD是等 腰直角三角形.，AC=8cm,∴.CD=4√2.PQ∥AB,∠BAC=90°，∴.∠APQ=90°.△PQM是等腰直角 三角形，.∠QPM=45°，.∠APM=∠APQ-∠QPM=45°，.∠C=∠APM=45°.又∠CAD= ∠PAM,△CADn△PAMA-号，设CP=PQ=m,则PM=2PQ=Bm,:8=2m 842 m-号AP=aC-Cp-8号-9x=-5 131 (3)①当点Q在点D下方时，如图3.∠APQ=90°，∠QPM=45°，∴.∠APT=∠PAT=45°，.△APK和 △APT是等腰直角三角形，KT=AT,y=S△PKT=S△Par.:∠ATP=∠ADC=90°，∠PAT= ∠CAD△PATn△CaD.g-)-CD=AD=4E,SAc=16.AP=,AC-8 ÷治=（侵）y=,@当点Q在点D上方时，如图4.：AC=8,AP=,CP=PQ=8-,:QM 8-x,PM=2(8-x在等腰直角三角形APw中，PW=2.=2,MW=PM一Pw=82-3V2 2x, 六=5aw-saw-台8-1-号e反-3，)'=-7+1r-2综上所述， 4 中考密卷8 1x2(0<x≤4)， 7 +16x-324x<9》 0 0 M M 图1 图2 图3 图4 第21题图 22.解：(1)将点(4,0)代入y=x2+bx,则16+4b=0,解得b=-4,∴.抛物线的解析式为y=x2-4x. (2)口ABDC是矩形，.AB⊥AC,∴.B点与A点纵坐标相同，A,B关于对称轴对称.：y=x2一4x= 5 (x一2)2一4，∴.抛物线的对称轴为直线x=2,∴.m十m一1=4，解得m= 2 (3)由题可知，A(m,m2一4m),B(m一1，m2一6m+5).x轴将☐ABDC分成面积相等的两部分图形，∴.对 角线BC在x轴上，∴.B点在x轴上，则m2-6m+5=0,解得m=5或m=1.当m=5时，A(5,5),B(4,0), C(5,0),.BC=1,∴.S=1×5=5;当m=1时，A(1,-3),B(0,0),C(1,0),∴.BC=1,∴.S=1×3=3.综上所 述，□ABDC的面积为3或5. (0<m<号或8<m<1+,6。【解斩：A(m,m-m),Bm-1,m2-6m+5),∴平移后A的对痘点 E(m十1，m2-4m),B的对应点F(m,m2-6m十5).C(m,0),∴.平移后C的对应点H(m+1,0).当E点 在抛物线上时，A,E关于对称轴对称，∴m十m十1=4，解得m=号，此时抛物线与口EFGH有一个交点， ,AC=-m2+4m,.D(m-1,-2m十5)，.平移后D点的对应点G(m,一2m+5).当G点在抛物线上时， -2m+5=m2-4m,解得m=1十√6或m=1一√6（舍）.当m=1十√6时，此时抛物线与□EFGH有一个交 点，名<m<1十5时，抛物线与口EGH有两个交点.当F点在抛物线上时，m2-6m十5=m2-4m,解得 m二号，当y轴右侧抛物线与口EFGH的两个交点，一个在边HE上，一个在边EP上时，右公共点与左公类 点的横坐标之差始终小于1，∴<m<号：当y轴右侧抛物线与口EGH的两个交点，一个在边HE上，一 个在边FG上时，右公共点与左公共点的横坐标之差始终等于1；当H点在抛物线上时，(m十1)2一4(m十 1)=0,解得m=一1（舍）或m=3;当y轴右侧抛物线与口EFGH的两个交点，一个在边GH上，一个在边 GF上时，有公共点与左公共点的横坐标之差始终小于1,3<m<1十，6.综上所述，名<m<号或3<m< 5 1十√6时，抛物线y=x2+bx在y轴右侧的部分与口EFGH有两个公共点，且右公共点与左公共点的横坐标 之差小于1.】 2025年吉林省《中考密卷8+2》数学（六） -、1.D2.B3.C 4.B【解析：A.因为一1<0，此时方程(x一5)2=一1没有实数根，故本选项不符合题意；B.解方程得：x1=x2= 5,有两个相等实数根，故本选项符合题意；C.解方程得：x1=6,x2=4,有两个不相等实数根，故本选项不符合 题意；D.解方程得：x1=√2十5，x2=一√2+5，有两个不相等实数根，故本选项不符合题意.】 5.B【解析：l1∥L2∥L3,∴.AB:BC=DE:EF.AB：BC=2:3,EF=9,.DE=6.】 十2·数学 6.B【解析：如图，连接BC.,OD=DC,BD⊥OC,∴.BC=OB..OB=OC,.△OBC是等边三 角形，∠B0C=0∠A0B=0,∠A0C=20C的长为2903-号】 D =号 0 8.2xy【解析：原式=8x3y÷4x2=2xy.】 第6题图 9.>【解析：由数轴可得-1<a<0<1<b,则a+1>0,b-1>0,那么(a+1)(b-1)>0.】 10.4【解析：设第三边长为a,根据三角形的三边关系知，4一1<a<4十1，即3<a<5.又，第三边的长是偶数， a为4.】 11.6x+14=8x 三、12.解：(a+3b)2+(a+3b)(a-3b)=a2+6ab+9b2+a2-9b2=2a2+6ab.当a=2,b=-1时，原式=2×22+ 6×2×(-1)=8-12=-4. 13.解：(1) (2)四张卡片内容中是化学变化的有：A,D.画树状图如下. 开始 第13题图 共有12种等可能的结果，其中小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的结果有AD,DA,共2种，.小夏抽取 两张卡片内容均为化学变化的概率为品行 14.(1)证明：点E,F分别为DB,BC的中点EF=2CD.:∠DAB=90,E为DB的中点，AE=BD. .'DB=DC,..AE=EF. (2)解：，AF=AE,AE=EF,∴△AEF是等边三角形，∴∠AEF=60°.∠DAB=90°，点E,F分别为 DB,BC的中点，.AE=DE,EF∥CD,.∠ADE=∠DAE,∠BEF=∠BDC=B,则∠AEB=2∠ADE= 2a,∴∠AEF=∠AEB+∠FEB=2a十B=60°，∴a,B之间的数量关系式为2a十B=60°. 15,解，1)设A商品的进价是：元/件，B商品的进价是y元/件，根据题意得：5z十2y620 3x-4y=60, 解得=100， y=60. 答：A商品的进价是100元/件，B商品的进价是60元/件 (2)设购进m件A商品，则购进(60一m)件B商品.根据题意得：（150-10m+(80一60)(60-m)≥1770， |60-m≥2m, 解 得19≤m≤20，∴.m的最大值为20.答：购进A商品的件数最多为20件. 16.解：(1)如图1，连接EF交AB于点O,EF即为所求 (2)如图2，CD即为所求. 图1 图2 图3 第16题图 【解析：，AC2=22+22=8,BC2=12+12=2,AB2=32+12=10,∴.△BCM是直角三角形，根据题意 可得，△AMP△cQ,小2-26=2CM=号4C=言×8-23.：C=E,∠ACB=0,故 4 中考密卷8 △BCM的面积-号×2号×反-号】 31 17.解：(1)①914【解析：由题意得，教师评委打分中91出现的次数最多，故众数m=91.45名学生评委打分 数据的中位数是第23个数，故n的值位于学生评委打分数据分组的第4组.】 ②<【解析：若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为x,则元= 8×(88+90+91+91+91+91+92+92)=90.75,x<91.】 (②)甲92【解析：甲选手的平均数为号×(93+90+92+93+92)=92.乙选手的平均数为写×(91+92+ 92+92十92)=91.8.，丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，.丙选手的平均数大于或等于乙选手的平均 数：5名专业评委给乙选手的打分为91,92,92,92,92，乙达手的方差S2=号×[4×(92-91.8)+(91- 91.8)2]=0.16,5名专业评委给丙选手的打分为90,94,90,94，k,∴.乙选手的方差小于丙选手的方差，∴.丙选 手的平均数大于乙选手的平均数，小于或等于甲选手的平均数，∴.93+90+92十93十92≥90十94十90十94十 k>91+92+92+92+92,∴.92≥k>91.k为整数，.k(k为整数)的值为92.】 18.(1)证明：如图，设AD与圆交于M,连接BM,则∠AMB=∠APB.∠AMB> ∠ADB,∠APB>∠ADB 2解：：∠APH=60,PH=6m,tan∠APH=A日，AH=PH·tan60°=6y M- √3=6√3(m).:∠APB=30°，.∠BPH=∠APH-∠APB=60°-30°=30°. 第18题图 an∠BPH,六BH=PH·tan30°=6X号=2,3(m),AB=AH-BH 3 6√5-2√3=4√3≈4X1.73≈6.9(m).答：塑像AB的高约为6.9m. 19.解：(1)60×1.2×1.8=129.6（元），∴.电池剩余电量为零时到公共充电桩一次性充满电需要费用129.6元. (2)当x>300时，设y=x+b(k,b为常数，且k≠0).将坐标(300,30)和(400,10)代入y=kx+b,得 1 300k+b=30, k=- 1 解得 5,y=- 400k+b=10, 5x+90.-1 x+90≥0，x≤450.又：x>300,.300<x≤450， b=90, 六y关于x的函数解析式为y=-方x十90(300<x≤450).当y=60×10%=6时，得-号x十90=6，解得 1 x=420,450一420=30（千米），∴.此时理论上还能继续行驶30千米. (3)根据图象可知，当电池剩余电量不低于30千瓦就开始充电时，该新能源车每千米的耗电量为(60一30)÷ 300=(千瓦时).设累计行驶里程为m千米，则耗电量为%千瓦时.当充电%千瓦时：若选择私家安装充电 1 桩充电，需要费用为2700+%×1.2×0.6=0.072m十270，若选择公共充电桩充电，需要费用为%×1.2× 1.8=0.216m.当选择私家安装充电桩充电（含安装费用）更合算时，得0.216m>0.072m十2700，解得m> 18750,∴.累计行驶里程超过18750千米时，选择私家安装充电桩充电（含安装费用）更划算. 20.解：(1)证明：，AB=AD,CB=CD,∴.AC是BD的垂直平分线，∴AC⊥BD,OB=OD.,S筝形ACD= Sam+S8eSEm=号·AC·0D+·AC·OB=,AC(OD+OB).:OD+OB=BD, 1 1 S筝形AaCn=2AC·BD. 十2·数学 (2)解：如图2，延长AB到点E,使BE=DM,连接CE.,AB⊥BC,AD⊥CD,∴∠D=∠ABC=90°， CD=CB. ∴∠CBE=∠D=90°.在△CDM和△CBE中，{∠D=∠CBE,∴.△CDM≌△CBE(SAS),.∠DCM= DM=BE, ∠BCE,CM=CE.:'∠MCD+∠NCB=∠MCN,∴.∠NCB+∠BCE=∠NCM=∠NCE.在△MCN和 CM=CE, △ECN中，∠MCN=∠ECN,∴.△MCN≌△ECN(SAS),∴.NM=NE,∴.△ANM的周长=AM+NM+ CN=CN, AN=AM+NE+AN=AM+BE+NB+AN=AM+DM+AB=2AB=2a. (3)①证明：如图3，过点D作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,则∠DEB=∠DFC=90°.，AD平分∠BAC, ∴.DE=DF.在Rt△DEB和Rt△DFC中 ,DE=DF,:R△DEB≌R△DFC(HL),∠DBE=∠DCF BD=CD. ,BD=CD,∠DBC=∠DCB,∴∠DBE+∠DBC=∠DCF+∠DCB,即∠ABC=∠ACB,AB=AC. ②100°或40°【解析：分两种情况，如图4，当AE=DE,AC=CD时，连接CE.,CE=CE,△AED≌ △DEC(SSS),∴∠CDE=∠A=80°，∴.∠BDE=180°-80°=100°.如图5，当AE=AC,CD=CE时，连接 AD.,∠B=30°，∠BAC=80°，∠C=180°-80°-30°=70°.：AD=AD,∴.△AED≌△ACD(SSS), .∠AED=∠C=70°.∠AED=∠B十∠BDE,.∠BDE=70°-30°=40°.综上，∠BDE的度数为100 或40°.】 M B 图2 图3 图4 图5 第20题图 21.解：(1)2t【解析：PQ=BQ-BP=3t-t=2t.】 (2)如图1，，PN∥AB,∠CPN=∠B=30°.，四边形PNQM是矩形，.∠PNQ=90°，.∠CNQ+ ∠CNP=90°.∠ACB=90°，.∠CNP+∠CPN=90°，∴.∠CNQ=∠CPN=30°.在Rt△CNQ中，CQ= BQ-BC=3t-3,∠CNQ=30°，∴.QN=2CQ=2(3t-3).在Rt△PNQ中，PQ=2t,∠CPN=30°，QN= 23-30,由PQ=2QN得，2=431-3)1=号 (3)如图2，当点Q在BC上时，即0<t≤1，PN=PQ·cos∠QPN=2t·cos30°=√3t,QN=PQ· sn∠QPN=2·sim30=4s-5ag-号PN:QN=名×1-：，如图3，当点Q过点C时，即 1<4≤号，设QN交AC于点D.CQ=BQ-BC=31-3,∠QCD=90,∠PQN=90-∠QPN=90- 3w=0cD=0tm∠PQN=5(-3》.saw=cn.00-号a-8s-停- 1 92(0<≤1) 分(3t-3)2=-43t2+9V3f-93 2,..S 4r+9-2(<g》 4 中考密卷8 40u= 或g、【解析：如图4，当点Q在BC上，AM交QN于E时，由S6m=S得，MQ· Qg-=MQ·QN,QE=QN=.0∥AB,△w0E△AFE,架-g:QF=0· S如B=3·sm30-2,BF=B0·casB-3BF-QF-QE=-7=4,AF=AB-BF=2g- 1 33 2t, 3t 2 2333Et如图5，当点Q过点C时，AM交PN于O,同理可得：点O是PN的中一 点，作PG⊥AB于G,作OH LAB于H,可得△AOHO△OMP,Og=g:BG3 2Bp=3 ,GH= 1 ，aB=2AH=2g-3,0H=G-MP=-125-84=8 OP=3 t 3 综上所述， =或号】 M 3 图1 图4 图5 第21题图 22.解：(1)①当m=1时，二次函数为y=x2一4x+5=(x一2)2+1，∴.这个二次函数图象的对称轴为直线x=2, 顶点坐标为(2,1). ②将(b,5)代入抛物线解析式得：5=b2一4b+5,解得b=0或b=4. ③，二次函数图象的对称轴为直线x=2,抛物线开口向上，∴.当0≤x≤3时，二次函数的最大值为当x=0时 的函数值，即y=02一4×0十5=5；最小值为顶点纵坐标值，即ymm=1,∴.当0≤x≤3时，这个二次函数的 最大值为5，最小值为1. (2)①，过点C(0,2)作直线l⊥y轴，∴直线1的解析式为y=2.,直线1与抛物线有一个公共点，∴.二次函 数y=x2-4mx十5的顶点在直线y=2上.：y=x2-4m.x十5=(x-2m)2-4m2+5,.-4m2+5=2,解得 m 2 @m的值为一或一23或或1【解析：yz二4mx+5=(x-2m=4m+5,揽物线的对称细 为直线x=2m.又，x≥m,抛物线开口向上，∴.抛物线y=x2一4mx十5(m为常数)的最低点坐标为 (2m,一4m2十5).，最低点到直线L的距离为1，对称轴为直线x=2m,∴.当m>0,且x≥m时，顶点处有最 小值，.当直线l在最低点上方时，一4m2十5一2=一1，解得m=1或m=一1（舍）；当直线l在最低点下方 十2·数学 时，-4m+5-2-1,解得m=2 或m(舍.当m<0,且≥m时，t=m处有最小值，当直线1在量 低点上方时，m2-4m2+5=1,解得m=2,3( 3（舍)或m= 2 3;当直线1在最低点下方时，m2-4m2+5=3, 解得m=一 √ -或m= 3 3（舍).综上所述，m的值为-5或 或号1】 2025年吉林省《中考密卷8+2》数学（七） -、1.A 2.B【解析：a+2a=3a,则A不符合题意；a5÷a2=a3,则B符合题意；(-a)2·a3=a5,则C不符合题意； (2a3)2=4a‘,则D不符合题意.】 3.A 4.C【解析：：CD⊥AB,E为BC边的中点，∴.BC=2DE=√3.：AB=2,AC=1,.AC2+BC2=1+(W3)2= 4=2=AB,i∠ACB=902.amA-8C=5,∠A=60,∠ACD=∠B=30,∠DCE=60 .DE=CE,∴.∠CDE=60°，∴.∠CDE+∠ACD=90°.】 5.B【解析：：∠D=28°，.∠BOC=2∠D=56°.OC⊥AB,∴点C为AB的中点，∴.AC=BC,∠AOC ∠B0C=56,∴∠A0B=2X56=12.0A=0B,∠0AB=∠0BA=号X180-12)=3】 6.D【解析：矩形ABCD的边AD=5,OA:OD=1:4,.OA=1,OD=4,BC=5. :AB∥OC1,.∠ABO=∠DOC1.∠BAO=∠OD1C1=90°，∴.△AOB0 △DG0一器-8品：将矩形A8CD沿直线OE折叠到如图所示的位置， OD,=OD=4,D,C=DC=AB,AB=,∴.AB=2(负值舍去，.CD2. 0 A 图，连接OC,设BC与OC1交于F,.OC=√OD2+CD=√4+2=2√5. 第6题图 ,∠FOA=∠OAB=∠ABF=90°，.四边形OABF是矩形，.OF=AB=2,∠BFO=90°=∠EFC1,BF= OA=1,.CF=5-1=4.由折叠知，OC1=OC=2√5，EC1=EC=CF-EF=4-EF,.FC1=OC1-OF=2 √5-2.EF2+C1F2=EC,∴.EF2+(2√5-2)2=(4-EF)2,解得EF=√5-1，.E(1-√5,2).】 二、7.-3 8.垂线段最短 9.2【解析：四边形ABCD是矩形，对角线AC,BD相交于点0，OA=OC=号AC,OB=OD=专BD,且 AC=BD,OA=OB=OD.:AE垂直平分B0,∠AB0=90,BE=OE=号OB=)OA.:AE= v0A-0E=√0A-(20A)- OA=3,.0A=OD=2.】 10.2x(x-1)=21 4 中考密卷8 【解析：由作图过程可知，AD为∠CAB的平分线，∴.∠CAD=∠EAD.:AE=AC,AD=AD, ∴.△ACD≌△AED(SAS),.AE=AC=3,∠AED=∠C=90°，DE=CD.在Rt△ABC中，由勾股定理得， AB=√JAC2+BC=5,∴.BE=AB-AE=2.设DE=x,则CD=x,BD=4-x.在Rt△BDE中，由勾股定 理得，BD=DE+BE,即(4-z)=2+2,解得z=名DE的长是】 三、12.解：(1)③ (2)设a=x十4，b=x-3,依题意得：ab=(x+4)(x-3)=3,a-b=7,.(x+4)2+(x-3)2=a2+b2=(a b)2+2ab=72+2×3=55. 13.解：号 (2)如图，将A盘4等分，使得指向每个区域的可能性均等，用列表法表示所有等可能出现的结果如下. A盘 2 2 3 1+3=4 2+3=5 2+3=5 2+3=5 B盘 1+4=5 2+4=6 2+4=6 2+4=6 5 1+5=6 2+5=7 2+5=7 2+5=7 共有12种等可能出现的结果，其中指针指向的两个区域的数字之和大于5，即甲获胜的可能有7种，所以甲获 胜的概率为品，乙获胜的概率为品，所以这个游戏不公平，甲获胜的可能性较大。 14.证明：，四边形ABCD是平行四边形，.AB=CD,AB∥CD,∴.∠E=∠EDC.,BE=AB,∴.CD=AB, ∠E=∠EDC,∠BFE=∠DFC,∴.△EBF≌△DCF(AAS),∴.BF=CF. 15.解：(1)如图1，射线BD即为所求. (2)如图2，线段BE即为所求. (3)如图3，直线BF即为所求. B B B.3 图1 图2 图3 第15题图 ,由函数图象可知，k=1.6×60=96,∴这个函数的解析式为p= 96 16.解：(1)设这个函数的解析式为p= 当V=0.8时，2-9g120(kPa).答：气球内的气压是120k① (3)根据题意，当≤14时为安全范用，≤14，解得V空号，故为了安全起见，气球的体积应不小于号 1.解，1)被拍取的学生人数为10÷0-40，枚a=40X20%=8,补全颜数分布直方图如图所示 (2)360°×号=108.答：C所对扇形的圆心角的度数为108. 40 （3)将成绩从小到大排列，排在中间的两个数是75,76，枚中位数是75十76=75.5（分）. 2 十2·数学2025年吉林省《中考密卷8+2》数学（六） 答题卡 姓 名 贴条形码区 准考证号口口口 缺考标记， 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写 正确填涂 考生禁填！ 清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 ■ 由监考教师 注 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须 填 错误填涂 负责用黑色 字迹的签字 砂 用0.5mm黑色字迹的签字笔书写，字体工 整、笔迹清楚。 涂 ☑☒如 口三 笔填涂。 爱 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作 答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿 样 项 纸、试题卷上答题无效。 例 4.保持卡面清洁、不要折叠，不要弄破、弄皱，不 准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 选择题（请使用2B铅笔填涂） 1.A]B]D] 4.A▣BCDJ 2.[ABCD 5.A▣BCD 3.A▣BCD 6.A▣B]CD IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII 非选择题（请使用0.5mm黑色字迹的签字笔书写） 8. 9. 10. 1 12. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 13.(1) (2) 14.(1) (2) 第14题图 15.(1) (2) 16.(1) (2) 图 图2 图3 第16题图 (3) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 答题卡一11 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 17.(1)① 频数 14 ② 6 (2) 3 6 828588919497100打分 第17题图 18.(1) 视角」 (2) 图1 图2 第18题图 19.(1) 个y/千瓦时 50 40 (2) 30k 10 0 100200300400 x/千米 (3) 第19题图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 20.(1) B (2) 图 图2 图3 图4 第20题图 (3)① ② 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 21.(1) (2) 第21题图 (3) (4) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 答题卡一12 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请勿在此区域答题 22.(1)① ② ③ (2)① ② 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效