精品解析：广东揭阳第一中学2025-2026学年高一第二学期段考一数学试题

揭阳一中106届高一第二学期段考一数学科试题 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】集合，解不等式，得，则， 集合，因为，所以是非负整数，解不等式，得，所以， 则. 2. 已知，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求出，再由共轭复数的概念得到，从而解出． 【详解】因为，所以，即． 故选：A． 3. 在四边形中，若，则“”是“四边形是正方形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据，判断出四边形的形状，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】在四边形中，若，则四边形为平行四边形， 若，则平行四边形为菱形，但不一定为正方形， 四边形是正方形时，必有，即有， 故“”是“四边形是正方形”的必要不充分条件. 故选：B. 4. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数解析式得出函数的奇偶性和时，函数的符号，运用排除法得选项． 【详解】∵∴，∴为奇函数，故排除A，B； 当时，，故排除D， 故选：C． 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象. 5. 如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10 m到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是（ ） A. 10 m B. 10m C. 10m D. 10m 【答案】D 【解析】 【分析】在△BCD中，CD＝10 m，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，利用正弦定理求得BC，在Rt△ABC中，根据，即可得出答案. 【详解】解：在△BCD中，CD＝10 m，∠BDC＝45°， ∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°， 由正弦定理，得＝， BC＝＝10（m）. 在Rt△ABC中，tan 60°＝，AB＝BC×tan 60°＝10（m）. 故选：D. 6. 已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，得是中点，从而得出，，作于，即为向量在向量上的投影向量，设，求出，后可得结论． 【详解】因为，所以是中点，则是圆直径，， 又，所以是等边三角形，， 设，则，作于，则，所以， 即为向量在向量上的投影向量，． 故选：B． 7. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交射线，于不同的两点，.设，，则下列选项错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的共线定理可得，即可判断A，利用均值不等式判断BCD. 【详解】由图可知， 因为，且三点共线， 所以，即，选项A正确； ，当且仅当时等号成立，B正确； ，当且仅当时等号成立，C正确； ，当且仅当，即时等号成立，D错误. 8. 函数，已知为图象的一个对称中心，直线为图象的一条对称轴，且在上单调递减．记满足条件的所有的值的和为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由一条对称轴和一个对称中心可以得到或，由在上单调递减可以得到，算出的大致范围，验证即可. 【详解】由题意知：或 ∴或 ∴或 ∵在上单调递减，∴ ∴ ①当时，取知 此时，当时， 满足在上单调递减，∴符合 取时，，此时，当时，满足在上单调递减，∴符合 当时，，舍去，当时，也舍去 ②当时，取知 此时，当时， ，此时在上单调递增，舍去 当时，，舍去，当时，也舍去 综上：或2，. 故选：A. 【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，难度较大，易错点在于已知一条对称轴和一个对称中心要分两种情况分析. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知平面内的一组基底，，则向量，也能作为一组基底 B. 若，则和的夹角为 C. D. 若，，则在复平面内所表示的点的集合是一个圆环（不含边界） 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A选项，因为，是一组基底，即，不共线，假设，共线，即， 显然这样的不存在，所以，不共线，即，可以作为一组基底，A正确； 对于选项B，设和的夹角为，设，显然， 所以，所以，所以，所以，所以B错误； 对于选项C，，所以C错误； 对于选项D，复数 满足，在复平面上， 表示点到原点的距离， 因此条件表示距离大于且小于，即所有以原点为圆心、半径分别为和的圆之间的区域（不包括两个圆周上的点），这是一个圆环（不含边界），所以D正确. 10. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列命题为真命题的是（ ）． A. 若，则 B. 若，则是钝角三角形 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，，，则满足条件的三角形有且只有一个 【答案】ABD 【解析】 【分析】由正弦定理结合结论大角对大边可判断A；由余弦定理结合正弦定理的边角互换可判断B；由正弦定理的边角互换结合二倍角的正弦公式可判断C；由余弦定理求出可判断D. 【详解】对A选项，根据结论大角对大边，则有， 又因为正弦定理，所以，故A正确； 对B选项，由可得， ∴，为钝角三角形，故B正确； 对C选项，由可得，∴， ∴或，是直角三角形或等腰三角形，故C错误； 对D选项，由， 则，解得， 故，满足条件的三角形有且只有一个，故D正确. 故选：ABD． 11. 已知两个不相等的非零向量，两组向量和均由3个和2个排列而成，记，表示S所有可能取值中的最小值，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则与无关； B. 若，则与无关； C. 若，则； D. 若，，则的夹角为. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意确定可能有三种情况，比较大小，确定，利用，可得，判断A; 若，设,求得，判断B;若，则化简，判断C, 若，，利用数量积定义求得，判断D. 【详解】因为两组向量和均由3个和2个排列而成， 故可能有三种情况; ;②;③, ， ， 故； 若，则,则与无关,故A正确； 若，设，则，则与有关，B错误； 若，则，故C正确； 若，，则， 故，由于，故，故D错误； 故选：AC 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知向量，若，则______． 【答案】## 【解析】 【详解】由题设， 所以. 13. 如图，中，点是线段的中点，是线段上靠近的三等分点，设，，则______（用，表示）. 【答案】 【解析】 【详解】由题意知：点是线段的中点，则， 是线段上靠近的三等分点，则, 所以. 14. 定义在上函数满足，且当时，．若当时，，则的最小值等于________． 【答案】 【解析】 【分析】转化条件为在区间上，，作出函数的图象，数形结合即可得解． 【详解】当时，故， 当时，故…， 可得在区间上，， 所以当时，，作函数的图象，如图所示， 当时，由得， 由图象可知当时，，所以的最小值为． 故答案为：． 四、解答题 15. 已知向量的夹角为． （1）求； （2）若与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据定义得出数量积的值，并根据，代入即可求解； （2）将条件转化为且与不共线时，计算，解不等式即可得到结果． 【小问1详解】 因为向量与的夹角为，且， 所以， 所以； 【小问2详解】 因为向量与的夹角为，且， 所以， 若，即，解得， 当与共线时，此时满足，解得， 此时与共线，且方向相反， 故与夹角为钝角时，且， 所以的取值范围是． 16. 在中，内角，，的对边分别为，，，的面积为.已知. （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形，，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理，结合三角形面积公式，整理化简即可求得结果； （2）根据正弦定理构造关于的函数，结合三角形是锐角三角形，求得的范围，再求函数在对应区间上的值域即可. 【小问1详解】 因为中，面积为， 又，，则， 所以，又，所以. 【小问2详解】 若为锐角三角形，由（1）知，， 由正弦定理得，所以； 因为， 所以 ， 又为锐角三角形，所以，则， 所以，故, 所以，即取值范围是. 17. 为有效保护和恢复洞庭湖的生态环境，提升其综合功能，相关部门对洞庭湖的水环境进行了治理.治理后，经调查得知湖中某种鱼的数量（万条）与时间年对应2019年的函数关系式为其中为常数，且的图象是一条连续不断的曲线.已知2019年和2021年该种鱼的数量分别为20万条和40万条.参考数据：. （1）求的值； （2）根据此模型，请你预测2035年该种鱼的数量是否会超过58万条. 【答案】（1） （2）会超过 【解析】 【分析】（1）由题意，可得，解方程，代入解析式，即可得答案； （2）计算的值，与58比较，即可得答案. 【小问1详解】 由题意得，2021年对应，所以， 代入解析式，可得：， 解得. 因为的图象是一条连续不断的曲线，所以当时，两段的函数值相等， 即， 解得. 【小问2详解】 由（1）得当时，， 因为2035年对应， ， . 所以预测2035年该种鱼的数量会超过58万条. 18. 设. （1）求的值及的单调递增区间； （2）若，，求的值. 【答案】（1）；； （2） 【解析】 【分析】（1）先化简的解析式，代入即可求得的值；整体代入法即可求得的单调递增区间； （2）先求得，再利用两角和的正弦公式即可求得的值. 【小问1详解】 ， 则， 由，可得 则的单调递增区间. 【小问2详解】 由（1）得 又由，可得，则， 由，可得，又， 则，则 则 19. 法国伟大的军事家、政治家拿破仑一生钟爱数学，他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以任意的三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”.如图，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，以，，为边向外作三个等边三角形，其中心分别为D，E，F. （1）求角A； （2）若，且的周长为9，求； （3）若的面积为，求的角平分线的取值范围. 【答案】（1）； （2）9； （3）. 【解析】 【分析】（1）由已知，利用正弦定理边化角，结合和角的正弦公式计算得解. （2）则（1）的结论，利用余弦定理求出，再利用数量积的定义计算即得. （3）由（2）中信息，利用三角形面积公式求出，再求出的范围，借助函数单调性求出范围. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理得， 又，则， 又，于是即，又， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，由正的周长为，得， 依题意，， 在中，由余弦定理得， 则，即， 在中，由余弦定理得，即，联立解得， 所以. 【小问3详解】 由正的面积为，得， 由（2）知，即， 由，得， 于是，又，则， 又，即，解得，因此， 令函数，而函数与在上均单调递增， 则函数在上单调递增，从而，则， 所以的取值范围是. 【点睛】思路点睛：求三角形中线段长的最值问题，主要方法有两种，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 揭阳一中106届高一第二学期段考一数学科试题 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 3. 在四边形中，若，则“”是“四边形是正方形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10 m到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是（ ） A. 10 m B. 10m C. 10m D. 10m 6. 已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交射线，于不同的两点，.设，，则下列选项错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 函数，已知为图象的一个对称中心，直线为图象的一条对称轴，且在上单调递减．记满足条件的所有的值的和为，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知平面内的一组基底，，则向量，也能作为一组基底 B. 若，则和的夹角为 C. D. 若，，则在复平面内所表示的点的集合是一个圆环（不含边界） 10. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列命题为真命题的是（ ）． A. 若，则 B. 若，则是钝角三角形 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，，，则满足条件的三角形有且只有一个 11. 已知两个不相等的非零向量，两组向量和均由3个和2个排列而成，记，表示S所有可能取值中的最小值，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则与无关； B. 若，则与无关； C. 若，则； D. 若，，则的夹角为. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知向量，若，则______． 13. 如图，中，点是线段的中点，是线段上靠近的三等分点，设，，则______（用，表示）. 14. 定义在上函数满足，且当时，．若当时，，则的最小值等于________． 四、解答题 15. 已知向量的夹角为． （1）求； （2）若与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 16. 在中，内角，，的对边分别为，，，的面积为.已知. （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形，，求的取值范围. 17. 为有效保护和恢复洞庭湖的生态环境，提升其综合功能，相关部门对洞庭湖的水环境进行了治理.治理后，经调查得知湖中某种鱼的数量（万条）与时间年对应2019年的函数关系式为其中为常数，且的图象是一条连续不断的曲线.已知2019年和2021年该种鱼的数量分别为20万条和40万条.参考数据：. （1）求的值； （2）根据此模型，请你预测2035年该种鱼的数量是否会超过58万条. 18. 设. （1）求的值及的单调递增区间； （2）若，，求的值. 19. 法国伟大的军事家、政治家拿破仑一生钟爱数学，他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以任意的三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”.如图，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，以，，为边向外作三个等边三角形，其中心分别为D，E，F. （1）求角A； （2）若，且的周长为9，求； （3）若的面积为，求的角平分线的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $