第21章四边形教学设计2025-2026学年人教版八年级数学下册

课题：21.1.1四边形及多边形 教学目标 1.理解矩形的概念，明确矩形与平行四边形的区别与联系； 2.探索并证明矩形的性质，掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，发展推理能力. 重点难点 探索并证明矩形的性质. 教学方法 讲练结合 教学手段 多媒体 教学过程 一、本章引入 思考：现实世界的很多物体中都有四边形的形象，请说一说. 四边形的前置知识和后置知识结构如下： 研究图形性质的一般思路与方法：观察、实验、类比、推广、特殊化 设计意图：通过生活中建筑、农田、伸缩门等四边形实例，让学生直观感受四边形的广泛存在，激发学习兴趣。同时，梳理前置(长方形、正方形等)与后置(圆)知识，明确四边形在几何体系中的承上启下地位，引导学生用观察、实验、推理的方法探究图形性质. 复习回顾 问题1：什么是三角形？ 答：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形. 问题2：三角形的组成元素有哪些？又有哪些相关元素？ 答： 师生活动：教师通过提问“什么是三角形”三角形的组成元素有哪些”，引导学生回忆三角形的定义及边、内角、外角等组成元素，再通过结构图梳理中线、角平分线、高线等相关元素，学生口答并补充，教师板书完善. 设计意图：通过复习三角形的定义与元素，为类比学习四边形的概念和性质做好铺垫，帮助学生建立知识迁移的思维基础. · 探究新知 活动一：探究四边形的定义及组成元素 问题3：观察画某四边形的过程，类比三角形的概念，你能说出什么是四边形吗? 师生活动：教师引导学生类比三角形，自主归纳四边形定义；通过对比图形，辨析凸、凹四边形的区别；再通过观察对角线，认识内角、外角，并动手画外角，学生讨论回答，教师板书总结. 答：在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形. 组成四边形的各条线段叫作四边形的边，每相邻两条线段的公共端点叫作四边形的顶点. 问题4：比较四边形的定义与三角形的定义，为什么要强调“在平面内”呢?怎样命名四边形呢? 答：这是因为三角形中的三个顶点肯定都在同一个平面内，而四点有可能不在同一个平面内. 四边形用表示它的各个顶点的字母表示.字母要按照顶点的顺序书写. (可以按顺时针或逆时针的顺序.) 记作：四边形ABCD或四边形 ADCB 问题5：这两个四边形有什么不同？ 答：(1)四边形 ABCD 都在直线 CD 的同一侧，也都在直线 AB，BC，AD 的同一侧. (2)四边形 ABCD 不都在直线 CD（或 BC）的同一侧. 凸四边形：如下图，画出四边形 ABCD 的任何一条边所在直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫作凸四边形. 注意：今后，如无特殊说明，所讨论的四边形都是凸四边形. 对角线：连接四边形不相邻的两个顶点的线段，叫作四边形的对角线. 如图：线段AC、BD是四边形ABCD的两条对角线. 思考：AC 将四边形分为 _______ 和 _______ . BD 将四边形分为 _______ 和 _______ . 答：△ABC △ACD △BDA △BDC 四边形的两条对角线分别把四边形分成了两个三角形. 四边形的内角：与三角形类似，四边形相邻两边组成的角叫作四边形的内角，简称四边形的角； 四边形的角的一边与另一边的延长线组成的角叫作四边形的外角. 如图： ， ， ， 四边形ABCD的内角. 答：A B C D 操作：请在右图中分别画出四边形ABCD顶点A，C处的外角. 设计意图：通过类比迁移，让学生自主建构四边形概念；通过辨析与操作，深化对凸四边形、内角、外角的理解，为后续性质探究奠定基础. 活动二：探究四边形的内角和、外角和 问题6：我们知道，三角形的内角和是 180°，长方形的内角和是 360°. 那么，任意一个四边形的内角和是多少度？你能证明你的结论吗？ 师生活动：教师先抛出问题，引导学生猜想四边形内角和；再启发学生连接对角线，将四边形转化为两个三角形，学生观察并尝试推理，教师板书证明过程，共同得出结论. 分析：由于四边形的一条对角线将这个四边形分为两个三角形，所以四边形的有关问题就可以利用三角形的相关知识加以解决. 如图，在四边形 ABCD 中，连接对角线 AC，则四边形ABCD 被分为 △ABC 和 △ACD 两个三角形. 在△ABC 中，由三角形内角和定理，得 ∠1 + ∠B + ∠3 = 180°. 同理 ∠2 + ∠4 + ∠D = 180°. 由此可得 ∠DAB + ∠B + ∠BCD + ∠D = ∠1 + ∠2 + ∠B + ∠3 + ∠4 + ∠D =（∠1 + ∠B + ∠3）+（∠2 + ∠4 + ∠D） = 180°+ 180° = 360°. 即四边形的内角和等于 360°. （形内角和定理） 设计意图：通过猜想与证明，让学生体会“化归思想”，将四边形问题转化为三角形问题，培养逻辑推理能力，同时巩固三角形内角和知识. 问题7：如图，在四边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫作四边形的外角和. 四边形的外角和等于多少？ 师生活动：教师引导学生观察内角与外角的令补关系，启发学生利用“内角和+外角和=4×180°”的关系，学生尝试推导，教师板书推理过程，共同得出外角和为360°的结论. 分析：因为四边形的每一个内角与和它相邻的外角是邻补角，所以四边形的外角和与内角和的总和为 4 × 180°. 根据这个关系，可以利用四边形的内角和求出其外角和. 内角+其邻补角=180° 解：如图. ∵∠DAB 与∠1 是邻补角， ∴∠DAB + ∠1 = 180°. 同理∠ABC + ∠2 = 180°，∠BCD + ∠3 = 180°， ∠CDA + ∠4 = 180°. ∴∠DAB + ∠1 + ∠ABC + ∠2 + ∠BCD + ∠3 + ∠CDA + ∠4 = 720°. 而∠DAB + ∠ABC + ∠BCD + ∠CDA = 360°， ∴∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 360°. 总结：四边形的外角和等于360° 总结：四边形的内角和等于 360° 四边形的内角和等于 360° 几何语言： 在四边形 ABCD 中， ∴∠A +∠B +∠C +∠D = 360°. 四边形的外角和等于 360° 几何语言： 在四边形 ABCD 中， ∴∠1 +∠2 +∠3 +∠4 = 360°. 设计意图：通过内角与外角的关系推导外角和，深化对四边形性质的理解，强化“化归"与“整体”思想，培养学生的逻辑推理和知识迁移能力. 活动三：探究四边形的不稳定性 问题8：在“三角形”一章中，我们通过实验发现三角形具有稳定性，并在学习全等三角形时明白了其中的道理，那么四边形是否也具有稳定性呢? 如图①，在每个角上钉一枚钉子，将四根木条钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？ 如图②，在四边形木架上再钉一根木条，将它的一对不相邻的顶点连接起来，然后再扭动它，这时木架的形状还会改变吗？为什么？ 师生活动：教师引导学生动手扭动四边形木架，观察形状变化；再钉上木条连接对角，再次扭动并对比差异.随后组织学生讨论，列举生活中利用与克服四边形不稳定性的实例，教师补充点评. 答：图① 四条边确定后，四个角并不确定，四边形木架形状会发生改变. 结论：四边形不具有稳定性 图②形成两个三角形；木架形状不变. 结论：三角形具有稳定性 问题9：在日常生活中，有时需要利用四边形的不稳定性，你能举出一些例子吗? 答： 问题10：在日常生活中，有时又需要克服四边形的不稳定性，你能举出一些例子吗? 答： 设计意图：通过实验操作，让学生直观感受四边形的不稳定性，对比三角形稳定性，理解其本质差异；结合生活实例，体会数学与生活的联系，培养应用意识. · 应用新知 · 【经典例题】 师生活动：教师出示例题，引导学生分析已知条件，学生尝试独立解题，教师巡视指导；再组织学生交流解题思路，对比不同解法，教师板书规范步骤，强调知识综合应用. 例1 如图，在四边形ABCD中，∠A＝80 °，∠D＝140°，∠BCD的平分线CE交AB于点E，且EC∥AD，求出∠B的度数. 分析：利用平行线性质与角平分线定义，结合四边形内角和求解． 解：∵EC∥AD，∴∠D＋∠DCE＝180°. ∵∠D＝140°，∴∠DCE＝40°. ∵CE平分∠DCB，∴∠DCB＝2∠DCE＝80°. ∴在四边形ABCD中，∠B＝360°－∠A－∠D－∠DCB＝60°. 例2 如图所示，AB，BC，CD 是三根长度分别为1 cm，2cm，5cm的木棒，它们之间的连接处可以活动，在A，D之间拉一根橡皮筋，请根据四边形的不稳定性思考：这根橡皮筋可以拉到的最大长度为多少厘米？最短长度为多少厘米？ 解：由于 B，C两连接处可以活动， ∴当A、B、C、D 形成一条线段时，AD 最长， 此时AD=1+2+5=8(cm); 当A、B、C拉直，B，A 落在CD 上时，AD 最短， 此时AD=5-1-2=2(cm)， ∴这根橡皮筋可以拉到的最大长度为8cm，最短长度为2cm. 设计意图：通过例题巩固四边形内角和、平行线性质及不稳定性等知识，培养学生综合运用知识解决问题的能力，提升逻辑推理和规范表达能力. · 课堂练习 【教材练习】 1. 求出下列图形中 x 的值： 解：图①中，∵四边形的内角和等于 360°， ∴90 + 140 + x + x = 360. ∴ x = 65. 图②中，∵四边形的内角和等于 360°， ∴3x + 3x + 2x + 4x = 360. ∴x = 30. 图③中，与 x°角相邻的内角的度数为 (180－x)°. ∵四边形的内角和等于 360°， ∴120 + 75 + (180－x) + 80 = 360. ∴ x = 95. 2. 一个四边形的一组对角互补，它的另一组对角有什么关系？ 分析：如图，已知：∠1 + ∠2 = 180°，求 ∠3 与∠4 的关系. 解：如图，若 ∠1 + ∠2 = 180°，由四边形的内角和等于 360°，得 ∠3 + ∠4 = 360°－(∠1 + ∠2) = 360°－180°= 180°. ∴它的另一组对角也互补. 3. 下列图形中哪些具有稳定性？ 分析：解题秘方：关键是看各图形能否完全“分解”成三角形. 答：(1)、(4) 师生活动：教师出示练习题，学生独立完成，教师巡视并收集典型解法；随后组织小组交流，学生展示解题思路，教师点评并强调内角和、稳定性等核心知识的应用，规范解题步骤. 设计意图：通过分层练习，巩固四边形内角和、稳定性等知识，强化“化归”思想，培养学生规范表达和灵活运用知识的能力，提升数学素养. 【课堂训练】 1.下列说法正确的是(  ) A. 由四条线段组成的图形叫作四边形 B. 四边形有条对角线 C. 四边形的一个外角与相邻内角相等 D. 四边形的外角和等于内角和 答：D 2.四边形没有稳定性，当四边形的形状发生改变时，发生变化的是(     ) A. 四边形的外角和 B. 四边形的边长 C. 四边形的周长 D. 四边形的对角线长 分析：当四边形的形状发生改变时，四边形的外角和、四边形的边长、四边形的周长都不会发生变化，四边形的对角线长会变化故选D． 答：D 3.如图，在四边形中，，连接，平分，，，则的度数是(     ) A. B. C. D. 分析：由条件可知，则， ，，. 由条件可知， ，，  ∴  故选：． 答：B 4.如图，在四边形ABCD中，∠A=135°，∠B=∠D=90°，BC=，AD=4，则四边形ABCD的面积是           ． 分析：延长BA，CD相交于E，如图. ∵A=135°，B=D=90°, ∴C=360°-90°-90°-135°=45°, ∴△BCE和△ADE都是等腰直角三角形. S四边形ABCD=S△BCE-S△ADE ==24-8=16. 5.如图，在四边形中，，，的平分线与外角的平分线相交于点，探究与，之间的数量关系． 解：设，． ， ， ， ． 又， ． 师生活动：教师组织限时训练，学生独立完成；教师针对性讲评易错题，重点梳理第3题平行线与角平分线综合推理、第4题补形法求面积，引导学生总结解题模型. 设计意图：通过分层限时训练，强化四边形核心性质与综合解题方法，培养学生的审题能力与解题速度，查漏补缺，提升知识应用的灵活性与严谨性. · 课堂总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容. 1.四边形的定义是什么？什么叫作四边形的边、顶点、对角线？四边形的内角和外角的定义是什么？ 2. 四边形的内角和和外角和各是多少度？ 3.四边形有什么性质？ 板书设计： 作业内容： 教学反思 课题：21.1.2多边形及其内角和 教学目标 1.理解多边形的定义及相关概念(边、顶点、内角、外角、对角线). 2.掌握多边形内角和公式(n一2)×180°与任意多边形外角和为360°，并能灵活应用. 3.通过类比三角形、四边形的知识，培养迁移与归纳能力. 重点难点 理解多边形的定义及相关概念(边、顶点、内角、外角、对角线)； 掌握多边形内角和公式(n-2)×180°与任意多边形外角和为360°，并能灵活应用. 教学方法 讲练结合 教学手段 多媒体 教学过程 一、情景引入 在自然界中，蜜蜂用六边形构筑蜂巢，用最少的材料获得了最大的空间和最强的结构. 今天，我们就从这座神奇的“蜂窝”建筑出发，一起探索多边形的奥秘. 师生活动：教师展示蜂巢建筑图片，提问：“为什么蜜蜂选择六边形筑巢?”，学生观察图片，结合生活经验讨论，初步感知六边形的结构优势.教师引导学生从“材料、空间、结构”三个角度思考，引出多边形的学习主题 设计意图：从生活实例出发，激发学生好奇心与探究欲，让学生感受多边形在自然界与建筑中的应用，体会数学的实用性与美感，自然导入新课. 二、合作探究 活动一：探究多边形的定义及组成元素 问题1：多边形在生活中也很常见，观察图片，你能从中找出一些多边形的形象吗? 师生活动：教师展示生活中的多边形图片，引导学生观察并说出图形名称；追问学生类比四边形定义多边形，再让学生类比说出边、顶点等概念，教师补充纠正并总结定义要素. 追问：你能依照四边形的概念给这些图形命名吗? 多边形：在平面内，由 n（n ≥ 3）条线段 A1A2，A2A3，…，An－1An，AnA1 首尾顺次相接，组成的图形叫作多边形. 问题2：能否按照组成多边形的线段的条数将多边形进行分类呢？ 三角形是最简单的多边形 总结：多边形有几条边就叫作几边形. 问题3：请类比四边形，说出多边形的边、顶点、内角、外角、对角线的定义. 边：组成多边形的各条线段. 顶点：每相邻两条线段的公共端点. 内角：多边形相邻两边组成的角. 外角：多边形角的一边与另一边的延长线组成的角. 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段. 设计意图：从生活实例出发，通过类比迁移建构多边形概念，让学生感受“从特殊到一般”的思想，培养观察、归纳与表达能力，为后续学习奠定基础. 问题4：探究多边形对角线的条数. （互动探究） 师生活动：教师引导学生探究对角线，引导学生推导n边形对角线数量公式；结合公式确定边数的两种方法，组织学生完成六边形画图练习，标注边、顶点等要素并画出全部对角线，教师巡视指导. 总结：多边形中的数量关系： (1)顶点、边数、内角和外角：一个 n 边形有 n 个顶点，n 个内角，2n 个外角； (2)对角线条数：n 边形从一个顶点出发，能画出(n－3)条对角线，共有条对角线． 由对角线条数，确定多边形边数的两种方法: (1)已知过一个顶点的对角线条数 m，可根据 n－3＝m 求得多边形的边数； (2)已知所有对角线的条数 x ，可利用 建立等式，尝试给 n 取不同的值，让上面的等式成立． 练一练：指出图中六边形的边、顶点、内角和外角，画出它的全部对角线. 六边形的边：AB，BC，CD，DE，EF，FA. 顶点：点A，点B，点C，点D，点E，点F. 内角：∠BAF，∠ABC，∠BCD，∠CDE， ∠DEF，∠AFE 外角：∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6 对角线：AC，AD，AE，BD，BE，BF，CE，CF，DF. 设计意图：借助互动探究突破公式推导难点，通过“推导——应用——实操”的环节，落实对角线相关知识，培养学生的数形结合能力与逻辑推理能力，巩固多边形核心概念. 多边形同样用表示它的各个顶点的字母表示，例如，图中的五边形，记作“五边形ABCDE” 与四边形类似，在多边形中，有的是凸多边形，有的不是凸多边形，今后，如无特殊说明，所讨论的多边形都是凸多边形. 师生活动：教师展示凸、凹多边形图例，示范用顶点字母表示多边形；引导学生对比并归纳凸多边形特征，让学生观察图形判断是否为凸多边形，教师点评纠错. 设计意图：通过直观对比与辨析，让学生精准掌握凸多边形的定义与表示方法，强化几何图形的分类意识，培养观察分析与抽象概括能力，为后续内角和学习奠定基础. 问题5：正方形的边、角有什么特点？ 师生活动：教师先提问正方形边、角特点，再出示反例引导学生辨析；接着展示正三角形、正方形等图形，让学生归纳共性，尝试定义正多边形，教师补充强调“角相等、边相等”需同时满足. 答：各个角都相等；各条边都相等 （同时满足） 这个图形各个角都相等，但各条边不都相等，不是正方形 这个图形各条边都相等，但各个角不都相等，不是正方形 问题6：观察下图的多边形，它们的边、角有什么特点？你能给这样的多边形下个定义吗？ 答：它们的各个角都相等、各条边都相等 总结：各个角都相等、各条边都相等的多边形叫作正多边形. 注意：各个角都相等、各条边都相等必须同时满足. 设计意图：从学生熟悉的正方形出发，通过正反例对比，引导学生自主建构正多边形概念，渗透“定义需同时满足条件”的严谨性，培养归纳与辨析能力. 活动二：探究多边形的内角和 问题7：类比四边形的内角和的推导过程，你能推导出五边形和六边形的内角和各是多少度吗? 师生活动：教师引导学生类比四边形，从五边形、六边形入手，通过画对角线分割三角形，推导内角和；再组织学生探究其他分法，归纳出n边形内角和公式，最后总结正多边形内角的计算方法. 分析：从五边形的一个顶点出发，可以作____条对角线，它们将五边形分为____个三角形，五边形的内角和等于 180°×____． 从六边形的一个顶点出发，可以作____条对角线，它们将六边形分为____个三角形，六边形的内角和等于 180°×____． 答:2；3；3； 3；4；4 问题8：由上述推导过程，你能得出多边形的内角和与边数的关系吗? 答： 总结：一般地，从 n 边形的一个顶点出发，可以作 (n－3) 条对角线，它们将 n 边形分为 (n－2) 个三角形，n 边形的内角和等于 (n－2)× 180°. n 边形的内角和等于 (n－2)× 180°. 问题9：把一个多边形分成若干个三角形，还有其他分法吗?由新的分法，能得出多边形的内角和公式吗? n个三角形 内角和n180°360° (n2)180° (n1)个三角形 内角和(n1)180°180° (n2)180° 总结：由n边形的内角和公式(n－2)×180°可知n边形的内角和一定是180°的整数倍. 多边形的内角和随边数的变化而变化，边数每增加1，内角和就增加180°. 多边形内角和问题常通过添加辅助线将其转化为三角形的内角和问题. 方法总结： 正多边形的内角和可以用每个内角的度数乘正多边形内角的个数(或正多边形的边数)来表示. 因为正多边形的每个内角相等，所以正n边形的每个内角的度数为. 设计意图：让学生经历“特殊到一般”的推导过程，体会转化思想，自主建构内角和公式，培养逻辑推理与归纳能力，同时通过多种分法深化对公式本质的理解. 问题10：与四边形的外角和类似，在多边形的每个顶点处各取一个外角，它们的和叫作多边形的外角和.多边形的外角和等于多少度? 师生活动：教师引导学生类比四边形，通过“内角与外角互补”推导外角和；播放运动视角的视频，让学生直观理解外角和为360°；再总结其在正多边形中的应用，强调外角和与边数无关. 分析：多边形的每一个内角与和它相邻的外角是_______. n 边形的内角和与外角和的总和等于__________. n 边形的内角和等于_____________. ∴n 边形的外角和等于： . 答：邻补角；n × 180°；(n－2)×180°；n×180°－(n－2)×180°= 360° 问题11：你还有其他方法帮助理解为什么多边形的外角和等于 360°吗？ （互动探究） 总结：多边形的外角和等于 360°. 多边形的外角和在正多边形中的应用： (1)正n边形的每一个外角都是； (2)若正多边形的一个外角为α，则正多边形的边数为. 注意：1. 多边形的外角和是指每个顶点处取一个外角的和. 2. 多边形的外角和恒等于360°，与边数无关. 设计意图：从代数推导和直观运动两个维度，帮助学生理解外角和的本质，突破”与边数无关”的认知难点，培养多角度思考和数形结合的能力. · 应用新知 【教材例题】 师生活动：教师出示例题，引导学生明确已知条件与所求问题；师生共同分析，找出内角和与外角和的数量关系，列方程求解；教师规范解题步骤，强调公式应用与书写格式. 例1 一个多边形的内角和等于外角和的 2 倍，这个多边形是几边形？ 分析：多边形内角和等于(n－2)× 180°，外角和等于 360°，利用内角和与外角和公式列方程求解边数. 解：设这个多边形的边数为 n. 因为它的内角和等于 (n－2)× 180°，外角和等于 360°， 所以 (n－2)× 180° = 2 × 360°. 解得 n = 6. 因此这个多边形是六边形. 设计意图：通过典型例题，巩固内角和与外角和公式的综合应用，强化“方程思想”在几何解题中的运用，规范解题流程，帮助学生实现知识从理论到实践的转化. 【经典例题】 师生活动：教师出示两道例题，引导学生用比例法和分类讨论法分析；师生共同完成例2的方程求解，例3的三种截角情况讨论，教师板书规范步骤，强调分类思想. 例2 两个正多边形，它们的边数之比为1∶2，内角和之比为3∶8，求这两个多边形的边数. 分析：设两个正多边形的边数分别为k和2k(k为正整数)，根据内角和公式分别表示出它们的内角和，再根据内角和之比为3:8列出方程求解k，从而得到两个多边形的边数. 解：设这两个正多边形的边数分别为k，2k， 则其内角和分别为(k－2)×180°，(2k－2)×180°. 根据题意列方程得(k－2)×180°∶(2k－2)×180°＝3∶8，解得k＝5，则2k＝10. 因此，这两个正多边形的边数分别为5和10. 例3 一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和是2 880°，则原多边形的边数是多少？ 分析： 解：设原多边形的边数为n， 将一个多边形截去一个角后图形有以下三种情况： ①当边数增加1时，则有(n＋1－2)×180°＝2 880°，解得n＝17； ②当边数不变时，则有(n－2)×180°＝2 880°，解得n＝18； ③当边数减小1时，则有(n－1－2)×180°＝2 880°，解得n＝19. 综上可知，原多边形的边数是17 或18 或19. 特别提醒: 一个多边形(除三角形外)截去一个角后，按不同的截法可得到边数不同的三种多边形，即边数增加1，边数不变，边数减少1.以五边形为例，如图所示. 设计意图：通过典型例题，深化内角和公式的应用，培养学生的方程思想与分类讨论能力，提升几何问题的综合分析与严谨推理水平. · 课堂练习 【教材练习】 1. 求出下列图形中 x 的值： 解：图①中，∵五边形的内角和等于(5－2)×180°= 540°， ∴150 + 120 + 90 + x + 2x = 540. ∴x = 60. 图②中，∵六边形的内角和等于(6－2)×180°= 720°， ∴x + x + x + x + 90 + 90 =720. ∴ x = 135. 图③中，∵AB∥ CD，∴∠B +∠C = 180°. ∵∠A + ∠B + ∠C + ∠D +∠E = (5－2)×180°= 540°， 即 135 + 180 + 150 + x = 540， ∴x = 75. 2.（1）一个多边形的内角和等于 1080°，这个多边形是几边形？ （2）一个多边形的每一个内角都等于 120°，这个多边形是几边形？ （3）一个多边形的每一个外角都等于 72°，这个多边形是几边形？ 解：（1）设这个多边形的边数为 n. 则有 (n－2)×180°= 1080°. ∴ n = 8. 因此这个多边形是八边形. （2）由题意，得每一个外角都等于 180°－120°= 60°. ∵360°÷ 60°= 6，∴这个多边形是六边形. （3）∵360°÷ 72°= 5，∴这个多边形是五边形. 师生活动：教师布置教材练习，学生独立完成角度计算与边数求解；教师巡视点拨易错点，邀请学生板演并讲解思路，师生共同订正，梳理不同题型的解题方法. 设计意图：通过分层练习，巩固内角和、外角和公式的灵活运用，强化数形结合与方程思想，检测学生知识掌握情况，实现从例题到实战的迁移，提升解题熟练度. 【课堂训练】 1.若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引条对角线，则它是(    ) A. 十边形 B. 十一边形 C. 十二边形 D. 十三边形 分析：解：设这个多边形是边形．依题意，得， ． 故这个多边形是十三边形．答：D 2.若一个正多边形有条对角线，则这个多边形每个外角的度数是(    ) A. B. C. D. 分析：设这个正多边形的边数为， 正多边形共有条对角线， ，解得， 此正多边形的每个外角度数为， 故选：． 答：． 3.如图，在由一个正六边形和正五边形组成的图形中，的度数为(    ) A. B. C. D. 分析：如图， 正六边形一个内角为，正五边形一个内角为， 由题意得：，， 则， 所以． 答：C 4.如图，七边形中，，的延长线交于点，若，，，的外角和等于，则的度数为(    ) A. B. C. D. 分析：、、、的外角的角度和为， ， ， 五边形内角和， ， ． 故选B 答：B 5.在一个多边形中，一个内角相邻的外角与其他各内角的和为． 如果这个多边形是五边形，请求出这个外角的度数． 是否存在符合题意的其他多边形如果存在，请求出边数及这个外角的度数如果不存在，请说明理由． 解：设这个外角的度数是，则， 解得故这个外角的度数是． 存在设边数为，这个外角的度数是， 则，整理，得． ，即并且为正整数， 或故这个多边形的边数是，这个外角的度数为． 师生活动：教师出示限时训练题，学生独立完成；师生逐题分析，重点讲解截角、外角和等易错点，引导学生用方程和分类讨论法解题，教师点评并规范步骤. 设计意图：通过综合训练，强化多边形对角线、内角和、外角和等核心知识的应用，培养学生的逻辑推理与综合解题能力，提升应试熟练度. · 课堂总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容. 1.多边形的定义是什么？什么是正多边形？ 2.多边形的对角线关系是什么？ 3.多边形的内角和公式是什么？ 4.多边形的外角和等于多少度？ 板书设计： 作业内容： 教学反思 课题：21.2.1平行四边形及其性质（1） 教学目标 理解平行四边形的定义及性质 重点难点 根据平行四边形的性质进行简单的计算和证明 教学方法 讲练结合 教学手段 多媒体 教学过程 一、情景引入 平行四边形是常见的几何图形.学校的伸缩门、庭院的竹篱笆等，都有平行四边形的形象.你还能举出一些例子吗？ 二、合作探究 我们知道，两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形．平行四边形用“□”表示，如图，平行四边形 ABCD 记作“□ABCD”． ☀注意 表示平行四边形时，要按照顺时针或者逆时针方向依次书写各顶 点字母，不能打乱顺序． 几何语言：∵AD∥BC,AB∥DC,∴四边形ABCD是平行四边形. 1.根据定义画一个平行四边形； 2.观察刚画的平行四边形，除了“两组对边分别平行”，猜想并度量它的边之间还有什么关系？它的角之间呢？ 猜想： 平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等. 证一证： 已知：四边形ABCD是平行四边形.求证: （1）AD=BC,AB=CD, （2）∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC. 分析：上述证明涉及线段相等、角相等.而利用三角形全等得出全等三角形的对应边相等、对应角相等，是证明线段相等、角相等的一种重要方法，为此，可以通过添加辅助线构造两个三角形，利用三角形全等进行证明. 证明：连接AC. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD//BC,AB//CD. ∴∠DAC= ∠BCA, ∠BAC= ∠DCA. 又∵AC=CA， ∴△ABC≌△CDA. ∴AD=CB,AB=CD, ∠B= ∠D. 小结 平行四边形的性质1：平行四边形的对边相等； 平行四边形的性质2：平行四边形的对角相等. 几何语言： ∵四边形ABCD是平行四边形，∴ AB＝CD，AD＝BC. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，∠B＝∠D. 我们知道平行四边形的边角这两个基本要素的性质，那么平行四边形的对角线又具有怎样的性质呢? 如图，在□ABCD中，连接AC,BD,并设它们相交于点O. 猜一猜：OA与OC,OB与OD有什么关系? OA=OC,OB=OD 怎样证明这个猜想呢？ 证一证： 已知：如图,□ABCD的对角线AC、BD相交于点O. 求证：OA=OC，OB=OD. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD=BC，AD∥BC . ∴ ∠1=∠2，∠3=∠4, ∴ △AOD≌△COB（ASA）, ∴ OA=OC，OB=OD. 小结 平行四边形的性质3：平行四边形的对角线互相平分. 几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，∴ OA＝OB，OC＝OD. 三、例题讲解 【例1】如图，在□ABCD中，AB＝10,AD＝8,AC⊥BC．求BC,CD,AC,OA的长，以及□ABCD的面积． 【解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC=AD=8,CD=AB=10. ∵AC⊥BC， ∴△ABC是直角三角形. 根据勾股定理，AC===6. ∴OA=OC=AC=3, S□ABCD=BC∙AC=8×6=48. 【例2】如图，在□ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F． 求证：AE＝CF． 【证明】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝CB ，∠A＝∠C． ∵DE⊥AB，BF⊥CD， ∴∠AED＝∠CFB＝90〫． ∵∠A＝ ∠C ，∠AED＝∠CFB，AD＝CB． ∴△ADE≌△CBF (AAS)， ∴AE＝CF． 四、课堂总结 5、 课堂练习 1．（1）如果□ABCD中，∠A－∠B＝24°，则 ∠A＝_102_°，∠B＝__78_°，∠C＝__102_°，∠D＝__78_°； （2）如果□ABCD 的周长为 28 cm，且 AB∶BC＝2∶5，那么AB＝__4_cm， BC＝__10_cm，CD＝__4_cm，DA＝__10_cm． 2.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，若AD=16，AC=24，BD=12，则△OBC的周长为（　B　） A.26 B.34 C.40 D.52 3．如图，□ABCD中，∠ADC＝119°，BE ⊥DC于点E，DF⊥BC于点 F，BE与DF相交于点H，则∠BHF＝ 61 度． 解析：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD//BC， ∴∠ADF＝∠DFC． ∵DF⊥BC， ∴∠ADF＝90°． ∵∠ADC＝119°， ∴∠EDF＝29°． ∵BE⊥DC， ∴∠DEH＝90°， ∴∠DHE＝180°－90°－29°＝61°， ∴∠BHF＝∠DHE＝61°． 板书设计： 作业内容： 教学反思 课题：21.2.1平行四边形及其性质（2） 教学目标 1.利用平行四边形的性质定理解决简单问题，发展应用意识； 2.理解两条平行线之间距离的概念，能度量两条平行线之间的距离. 重点难点 能区分点与点、点到直线、两条平行线之间的距离的概念，会度量两条平行线之间的距离. 教学方法 讲练结合 教学手段 多媒体 教学过程 一）复习引入 问题1 平行四边形的定义是什么？ 两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形. 问题2 平行四边形有哪些性质？ 平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分. 设计意图：通过直接提问的方式，快速回顾平行四边形的定义和核心性质，唤醒学生的旧知记忆，为本节课性质的综合应用和新知识的学习做好知识铺垫，同时让学生明确本节课的学习基础，建立新旧知识的联系。 （二）合作探究 距离是几何中的重要度量之一．我们已经学习了点与点之间的距离、点到直线的距离．在此基础上，我们结合平行四边形的概念和性质，学习两条平行线之间的距离. 如图，a//b，c//d，c，d与a，b分别相交于A，B，C，D四点．由平行四边形的概念和性质可知，四边形ABDC是平行四边形，AB=CD． 两条平行线之间的距离 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫作这两条平行线之间的距离． 如图，a//b，A是a上的任意一点，AB⊥b，垂足为B，线段AB的长就是平行线a，b之间的距离. 问题 两条平行线之间的距离和点与点之间的距离、点到直线的距离有何联系与区别？ 设计意图：从学生已学的点与点、点到直线的距离出发，类比引出两条平行线之间的距离，符合学生的认知规律；通过平行四边形的性质推导平行线间平行线段相等，再逐步提炼出平行线之间的距离定义，让学生体会知识的形成过程；通过表格对比三种距离的研究对象、图形和核心特征，帮助学生理清概念间的联系与区别，突破概念理解的难点；整个探究过程渗透类比、从一般到特殊的数学思想，培养学生的抽象概括能力。 （三）典例分析 例2 如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相交于点E，F．求证OE=OF. 证明：在▱ABCD中，AB//CD， ∴∠EAO=∠FCO，∠AEO= ∠CFO. 又OA = OC， ∴△AOE≌△COF. ∴OE = OF. 例3 如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC．求证∠B=∠C. 分析 由于AD//BC，可以考虑运用平行线之间的距离，通过三角形全等进行证明. 证明：如图，在梯形ABCD中，AD//BC，过点A，D分别作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F. ∵AE，DF的长度是平行线AD，BC之间的距离， ∴ AE=DF. 又 AB = DC， ∴Rt△ABE≌Rt△DCF. ∴∠B=∠C. 追问 你还有其他证明方法吗？ 设计意图：两个例题层层递进，兼顾平行四边形性质的应用和新知识的落地，让学生逐步掌握本节课的核心内容。 （四）巩固练习 1.如图，四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=70°，BE平分∠ABC且与AD相交于点E，DF//EB且与BC相交于点F．求∠1的大小. 解：∵BE平分∠ABC，∴∠2=∠ABC=35°. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ADC=∠ABC=70°，AD//BC. 又∵DF//EB， ∴四边形BFDE是平行四边形， ∴∠3=∠2=35°， ∴∠1=∠ADC−∠3=35°. 2.如图，▱ABCD的周长为16，对角线AC，BD相交于点O，点E在AD上，OE⊥AC.求△CDE的周长. 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC， 又∵OE⊥AC， ∴OE垂直平分AC， ∴AE=CE， ∴C△CDE=CD+DE+CE=CD+DE+AE=CD+AD=C▱ABCD=8. 3.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠C=90°，AD=3，AB=4，BC=5，E为边BC上一点，AB//DE．求AD，BC之间的距离. 解：∵AD//BC，AB//DE， ∵四边形ABED是平行四边形， ∴DE=AB=4，BE=AD=3， ∴CE=BC−BE=2. 在Rt△CDE中，由勾股定理得： CD===2， ∴AD，BC之间的距离为2. 4.如图，直线l1//l2，△ABC与△DBC的面积相等吗？为什么？你还能画出一些与△ABC面积相等的三角形吗？ 5．已知直线a，b，c互相平行，直线a，b之间的距离是3cm，直线b，c之间的距离是4cm，那么直线a，c之间的距离为 或 ． 设计意图：分层设计练习题，兼顾基础应用和综合提升，覆盖平行四边形性质的综合应用、平行线之间的距离概念及性质的应用、梯形与平行四边形的结合问题等本节课的核心知识点；练习题既包括计算又包括证明，既考查概念理解又考查知识应用，全面提升学生的解题能力。 归纳总结 六）感受中考 1．（2023年福建）如图，在中，为的中点，过点且分别交于点．若，则的长为 10 ． 2．（2024年四川眉山）如图，在中，点是的中点，过点，下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数为（  C  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2023年海南）如图，在中，，，平分，交边于点，连接，若，则的长为（  C  ） A．6 B．4 C． D． 板书设计： 作业内容： 教学反思 课题：21.2.2平行四边形的判定（1） 教学目标 1.探索并证明平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形.在此过程中，发展推理能力. 2.利用平行四边形的判定定理解决简单问题，发展应用意识. 重点难点 探索并证明平行四边形的判定定理. 教学方法 讲练结合 教学手段 多媒体 教学过程 （一）复习引入 问题1 满足什么条件的四边形是平行四边形？ 两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形.（定义既是性质，又是判定.） 问题2 还有其他判定平行四边形的方法吗？你能说说平行四边形的性质定理的逆命题吗？ 对边相等的四边形是平行四边形；对角相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形. （二）合作探究 猜想1 对边相等的四边形是平行四边形. 已知：在四边形ABCD中，AB=CD，BC=AD，求证：四边形ABCD是平行四边形. 证明：连接AC. ∵AB=CD，BC=AD，AC=AC， ∴△ABC≌△CDA， ∴∠1=∠2，∠3=∠4， ∴AB//CD，BC//AD， ∴四边形ABCD是平行四边形. 平行四边形的判定定理1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 符号语言 ∵AB=CD，BC=AD， ∴四边形ABCD是平行四边形. 猜想2 对角相等的四边形是平行四边形. 已知：在四边形ABCD中，∠B=∠D，∠A=∠C， 求证：四边形ABCD是平行四边形. 证明：∵∠B=∠D，∠A=∠C， ∴2∠B+2∠A=360°， ∴∠B+∠A=180°， ∴BC//AD， 同理可证AB//CD， ∴四边形ABCD是平行四边形. 平行四边形的判定定理2 两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 符号语言 ∵∠B=∠D，∠A=∠C， ∴四边形ABCD是平行四边形. 猜想3 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 已知：在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD. 求证：四边形ABCD是平行四边形. 证明：∵OA=OC，OB=OD，∠AOB= ∠COD， ∴△AOB≌△COD， ∴∠OAB = ∠OCD， ∴AB//CD. 同理AD//BC. ∴四边形ABCD是平行四边形. 平行四边形的判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 符号语言 ∵AC和BD互相平分， ∴四边形ABCD是平行四边形. （三）典例分析 例4 如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，并且AE=CF．求证：四边形BFDE是平行四边形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO= CO， BO= DO. ∵AE=CF， ∴AO−AE=CO−CF， 即EO= FO. 又BO=DO， ∴四边形BFDE是平行四边形. 追问 你还有其他证明方法吗？ （四）巩固练习 1.如图，在四边形ABCD中，∠ADB=∠CBD，∠C+∠ABC=180°，四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由. 解：四边形ABCD是平行四边形，理由如下： ∵∠ADB=∠CBD，∠C+∠ABC=180°， ∴AD//BC，AB//CD， ∴四边形ABCD是平行四边形. 2.如图，AB=DC=EF，AD=BC，DE=CF．图中有哪些互相平行的线段？ 解：AB//DC//EF，AD//BC，DE//CF． 3.如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，若AB//CD，请添加一个条件 AD//BC (写一个即可)，使四边形ABCD是平行四边形． 4.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且E，F分别是OA，OC的中点，连接DE，DF，BE，BF．求证：四边形DEBF是平行四边形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO= CO， BO= DO. ∵点E，F分别是OA，OC的中点， ∴EO=AO，FO= CO， ∴EO=FO， 又BO= DO， ∴四边形DEBF是平行四边形. （5） 归纳总结 （六）感受中考 1．（2022年内蒙古赤峰）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形，其中一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是（   D ） A．四边形周长不变 B． C．四边形面积不变 D． 2．（2024年山东济宁）如图，四边形的对角线，相交于点O，，请补充一个条件 ，使四边形是平行四边形． 3．（2023年湖南邵阳）如图，在四边形中， ，若添加一个条件，使四边形为平行四边形，则下列正确的是（  D  ） A． B． C． D． 4．（2023年浙江杭州）如图，平行四边形的对角线相交于点，点在对角线上，且，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若的面积等于2，求的面积． （1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 又 ， 四边形是平行四边形． （2）解： ，， ， 四边形是平行四边形， ． （七）小结梳理 板书设计： 作业内容： 教学反思 课题：21.2.2平行四边形的判定（2） 教学目标 1.探索并证明平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.经历平行四边形判定定理的发现与证明过程，发展推理能力. 2.会综合运用平行四边形的性质和判定进行推理和计算. 重点难点 探索并证明平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 教学方法 讲练结合 教学手段 多媒体 教学过程 （一）复习引入 问题1 平行四边形有哪些判定方法？ 两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形； 对边相等的四边形是平行四边形； 对角相等的四边形是平行四边形； 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 问题2 如果只考虑四边形的一组对边，那么它们满足什么条件时这个四边形是平行四边形呢？ （二）合作探究 思考 对于平行四边形的一组对边，从它们的位置关系和数量关系考虑，你能得到什么结论？ 位置关系 平行四边形的对边平行. 数量关系 平行四边形的对边相等. 追问 类似于前面利用平行四边形的性质发现平行四边形的判定，你能得到利用一组对边判定一个四边形是平行四边形的方法吗？ 猜想 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 已知：在四边形ABCD中，AB CD. 求证：四边形ABCD是平行四边形. 证明：连接AC. ∵AB//CD，∴∠1=∠2. 又AB=CD，AC=CA， ∴△ABC≌△CDA. ∴BC=DA. 又AB=CD， ∴四边形ABCD是平行四边形. 平行四边形的判定定理4 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 符号语言 ∵AB CD， ∴四边形ABCD是平行四边形. （三）典例分析 例5 如图，在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.求证DE BF. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB CD. 又EB=AB，DF=CD， ∴EB DF. ∴四边形EBFD是平行四边形. ∴DE BF. （四）巩固练习 1.如图，为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的夹在铁轨之间的枕木长相等就可以了，你能说出其中的道理吗? 解：根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可知，由枕木和铁轨构成的四边形是平行四边形，而平行四边形的对边平行，所以两条铁轨平行. 2.如图，在▱ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F.求证：四边形AFCE是平行四边形. 解：∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴AE//CF. ∵S△ABD=S△CBD=S▱ABCD， ∴AE=CF. ∴四边形AFCE是平行四边形． 追问 你还有其他证法吗？ 3.如图，由六个全等的正三角形拼成的图形中，有多少个平行四边形?为什么? 答：图中有6个平行四边形. （6） 归纳总结 （六）感受中考 1．（2020年黑龙江）如图，在四边形ABCD中，AD//BC，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 AD=BC ，使四边形ABCD是平行四边形（填一个即可）． 2．（2023年湖北宜昌）如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点落在长边上的点处，并得到折痕，小宇测得长边，则四边形的周长为 ． 3．（2024年湖北武汉）如图，在中，点，分别在边，上，． (1)求证：； (2)连接．请添加一个与线段相关的条件，使四边形是平行四边形．（不需要说明理由） （1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴即， 在与中， ， ∴； （2）添加（答案不唯一） 如图所示，连接． ∵四边形是平行四边形， ∴，即， 当时，四边形是平行四边形. （七）小结梳理 板书设计： 作业内容： 教学反思 课题：21.2.3三角形的中位线 教学目标 1.理解三角形中位线的概念，掌握三角形中位线定理的内容； 2.经历探索，猜想，证明三角形的中位线定理的过程，进一步发展推理论证的能力. 重点难点 探索并证明三角形中位线定理. 教学方法 讲练结合 教学手段 多媒体 教学过程 （一）复习引入 前面我们研究平行四边形时，常常把它分成几个三角形，利用三角形全等研究平行四边形的有关问题.下面利用平行四边形研究三角形的有关问题. （二）合作探究 三角形的中位线 如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE.像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线. 思考1 一个三角形有几条中位线? 答：一个三角形有三条中位线. 思考2 三角形的中位线和中线一样吗? 答：三角形的中位线和中线不一样，中线是连接三角形的顶点与其对边中点的线段. 探究 观察图形，你能发现△ABC的中位线DE与边BC的位置关系吗?度量一下，DE与BC之间有什么数量关系？ 猜想 DE//BC，DE=BC. 追问 你能证明你发现的结论吗? 已知：如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点. 求证：DE//BC，DE=BC. 分析：我们既要证明两条线段所在的直线平行，又要证明其中一条线段的长等于另一条线段长的一半. 如图，将DE延长一倍(得到点F)后，可以将证明DE//BC，且DE=BC转化为证明DF BC，而这只要证明以B，C，F，D为顶点的四边形是平行四边形，进而只要证明四边形ADCF是平行四边形.由于DE=EF，E是AC的中点，所以四边形ADCF是平行四边形可以利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证明. 证明：如图，延长DE到点F，使EF=DE，连接FC，DC，AF. ∵AE=EC，DE=EF， ∴ 四边形ADCF是平行四边形. ∴CF DA. 又 D是AB的中点，∴ CF BD. ∴四边形DBCF是平行四边形， ∴ DF BC. 又 DE=DF， ∴DE//BC，且DE=BC. 三角形的中位线定理 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半. 符号语言 在△ABC中， ∵D，E分别是边AB，AC的中点， ∴DE//BC，DE=BC. （三）典例分析 例6 求证：顺次连接四边形各边的中点，所得的四边形是平行四边形. 已知：如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形. 分析：题目中给出了四边形各边中点，可以连接四边形的一条对角线，利用三角形中位线定理证明要证的四边形一组对边平行且相等，从而证明它是平行四边形. 证明：连接AC. ∵AH=HD，CG=GD， ∴HG//AC，且HG=AC. 同理EF//AC，且EF=AC. ∴ HG EF. ∴四边形EFGH是平行四边形. （四）巩固练习 1.如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点.以这些点为顶点，在图中，你能画出多少个平行四边形？为什么它们是平行四边形? 解：3个平行四边形，分别是▱ADEF，▱BEFD，▱ECFD，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可以证明. 2.如图，△ABC的中线BD，CE相交于点O，且F，G分别是OB，OC的中点.求证：四边形DEFG是平行四边形. 证明：∵点D，E分别是AC，AB的中点， ∴DE BC， ∵点F，G分别是OB，OC的中点， ∴FG BC， ∴DE FG， ∴四边形DEFG是平行四边形． 3.如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC.怎样利用三角形的中位线定理测出A，B两点间的距离? 方法1：如左图，分别选取AC，BC的中点D，E，连接DE，测量DE的距离，由DE=AB，就可以得到AB的距离. 方法2：如右图，分别延长CA，CB到点D，E，使DA=AC，BE=BC，连接DE，测量DE的距离，由AB =DE，就可以得到AB的距离. 设计意图：分层设计练习题，兼顾基础应用、证明推理和实际应用，全面强化三角形中位线定理的核心知识；整个练习环节既夯实了定理基础，又实现了定理的灵活应用，培养学生的几何解题能力。 （7） 归纳总结 （六）感受中考 1．（2025年江苏无锡）在中，、分别是、的中点．若，则的长为（　D　） A．2 B．4 C．6 D．8 2． （2025年四川资阳）如图，三角形的周长为，则它的三条中位线组成的三角形的周长是（  B ） 3． A． B． C． D． 3．（2025年四川广元）如图，在平行四边形中，，对角线，交于点O，点P是的中点，连接，点E是的中点，连接，则的长是（ C  ） A．1 B． C．2 D．4 4．（2025年山东淄博）已知：如图：在中，，分别为边，的中点，．求证：(1)； (2)． （1）证明：∵，分别为边，的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． （七）小结梳理 板书设计： 作业内容： 教学反思 课题：21.3.1矩形（1） 教学目标 1.理解矩形的概念，明确矩形与平行四边形的区别与联系； 2.探索并证明矩形的性质，掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，发展推理能力. 重点难点 明确矩形与平行四边形的区别与联系. 教学方法 讲练结合 教学手段 多媒体 教学过程 （一）复习引入 将几何图形的组成元素特殊化，可以获得新的研究对象：如将三角形的边特殊化，可以得到等腰三角形，将三角形的角特殊化，可以得到直角三角形.类似的，对四边形的边特殊化，可以得到平行四边形和梯形等.对平行四边形的角或边特殊化，可以得到特殊的平行四边形.本节课我们就来研究特殊的平行四边形. （二）合作探究 矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫作矩形，矩形也就是长方形. 问题 矩形也是常见的几何图形.门窗框、书桌面、地砖等都有矩形的形象.你还能举出一些例子吗？ 与研究平行四边形的性质类似，对于矩形，我们仍然从它的边、角、对角线出发进行研究. 思考 因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质.但由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢? 追问 说一说，如何证明“矩形的四个角都是直角”？ 矩形的特有性质1 矩形的四个角都是直角. 符号语言 ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°. 验证猜想 矩形的对角线相等. 思考 你能证明“矩形的对角线相等”这个结论吗？ 已知：在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O. 求证： AC=BD. 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=DC，∠ABC=∠DCB=90°， 又∵BC=CB， ∴△ABC≌△DCB， ∴AC=BD. 进一步可证：OA=OB=OC=OD 矩形的特有性质2 矩形的对角线相等. 符号语言 ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD. 矩形是轴对称图形， 它每组对边中点连线所在的直线 就是它的对称轴. 探究 如图，BO是Rt△ABC斜边AC上的中线，BO与AC有什么关系？ 猜想 BO=AC. 追问 你能证明这个猜想吗？ 证明：延长BO到点D，使OD=OB，连接AD，CD. ∵BO是Rt△ABC斜边AC上的中线，∴OA=OC， ∴四边形ABCD是平行四边形. 又∵∠ABC是直角， ∴四边形ABCD是矩形. ∴BD=AC. ∴BO=BD=AC. 直角三角形的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 符号语言 ∵BO是Rt△ABC斜边AC上的中线， ∴BO=AC. （三）典例分析 例1 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=4.求矩形ABCD的对角线的长. 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC与BD相等且互相平分. ∴OA=OB. 又∠AOB=60°, ∴△OAB是等边三角形. ∴OA=AB=4. ∴AC=BD=2OA=8. 例2 如图，△ABC中，AB=AC=10，点F为AB的中点，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于MN的长的一半为半径画弧，两弧交于点D，画射线AD交BC于点E，连接EF，则EF的长是（  A  ） A．5 B．5 C．8 D．5 （四）巩固练习 1.一个矩形的一条对角线长为8，两条对角线相交所成的角中有一个为120°.求这个矩形相邻两边的长. 答案：矩形相邻两边的长分别为4，4. 2.如图，四边形ABCD是矩形，点E在BC的延长线上，DE//AC，△DBE是等腰三角形吗？试说明理由. 解：△DBE是等腰三角形，理由如下： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD，AD//BE， 又∵DE//AC， ∴四边形ACED是平行四边形， ∴AC=DE， ∴BD=DE，即△DBE是等腰三角形. （8） 归纳总结 （六）感受中考 1．（2025年辽宁）如图，在矩形中，点在边上，，连接，若，，则的长为（　D　） A．1 B．5 C．2 D． 2．（2025年江苏无锡）如图，在矩形中，点在延长线上，点在延长线上，且，连接、． 求证：(1)；(2)． （1）证明：四边形是矩形， ，， ， 在和中， ， ； （2）证明： ， ， 又 ， ， ． （七）小结梳理 板书设计： 作业内容： 教学反思 课题：21.3.1矩形（2） 教学目标 1.经历矩形判定定理的猜想与证明过程，渗透类比思想，体会图形判定探究的一般思路； 2.掌握矩形的两个判定定理，能根据不同条件，选取适当的定理进行推理计算. 重点难点 矩形判定的探索、证明和应用. 教学方法 讲练结合 教学手段 多媒体 教学过程 （一）复习引入 问题1 满足什么条件的四边形是矩形？ 有一个角是直角的平行四边形叫作矩形.（定义既是性质，又是判定.） 问题2 还有其他判定矩形的方法吗？你能说说矩形的性质定理的逆命题吗？ 四个角都是直角的四边形是矩形.→有三个角是直角的四边形是矩形. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形.→对角线相等的平行四边形是矩形. （二）合作探究 猜想1 有三个角是直角的四边形是矩形. 已知：在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°， 求证：四边形ABCD是矩形. 证明：∵∠A=∠B=∠C=90°， ∴∠D=360°−(∠A+∠B+∠C)=90°， ∴∠A=∠C，∠B=∠D， ∴四边形ABCD是平行四边形. 又∵∠A=90°， ∴四边形ABCD是矩形. 矩形的判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形. 符号语言 ∵∠A=∠B=∠C=90°， ∴四边形ABCD是矩形. 猜想2 对角线相等的平行四边形是矩形. 已知：在▱ABCD中，AC=BD， 求证：四边形ABCD是矩形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=DC，AB//DC， ∴∠ABC+∠DCB=180°. ∵AB=DC，BC=CB，AC=BD， ∴△ABC≌△DCB， ∴∠ABC=∠DCB=90°， ∴四边形ABCD是矩形. 追问 你还有其他证明方法吗？ 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC=AC，OB=BD， ∵AC=BD，∴OA=OB=OC， ∴∠1=∠2，∠3=∠4. ∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°， ∴∠2+∠3=90°，即∠ABC=90°， ∴四边形ABCD是矩形. 矩形的判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形. 符号语言 ∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD， ∴四边形ABCD是矩形. 应用 工人师傅在做矩形门窗或零件时，为了确保它们的形状是矩形，不仅要测量它们的两组对边是否分别相等，还要测量它们的两条对角线是否相等.你知道其中的道理吗？ （三）典例分析 例2 如图，▱ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H.求证：四边形EFGH是矩形. 分析：根据已知条件，容易证明四边形EFGH的一个内角∠F为直角，同理可证∠H，∠AEB也为直角，从而证明四边形EFGH是矩形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB//CD. ∴∠BAD+∠ADC=180°. 又AF，DF分别平分∠BAD，∠ADC， ∴∠DAF+∠ADF=∠BAD+∠ADC =(∠BAD+∠ADC)=90°. ∴∠F=90°. 同理∠H=∠AEB=90°. ∴∠FEH=∠AEB=90°. ∴四边形EFGH是矩形. （4） 巩固练习 1．木艺活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（ C  ） A．测量两组对边是否分别相等 B．测量对角线是否互相垂直 C．测量是否有三个角是直角 D．测量对角线是否相等 2.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形，且AB=2.求▱ABCD的面积. 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=AC，OB=BD. ∵△OAB是等边三角形， ∴OA=OB=AB=2， ∴AC=BD=4， ∴四边形ABCD是矩形. 由勾股定理得：BC==2， ∴▱ABCD的面积=AB×BC=4. 3.如图，在△ABC中，AB=AC，D，E分别是线段BC，AD的中点，过点A作AF//BC交BE的延长线于点F，连接CF.求证：四边形ADCF是矩形. 证明：∵AB=AC，D是线段BC的中点， ∴BD=CD，AD⊥BC，即∠ADC=90°. ∵AF//BC，∴∠AFE=∠DBE， ∵E是线段AD的中点，∴AE=DE. 又∵∠AEF=∠DEB， ∴△AEF≌△DEB，∴AF=BD=CD， 又∵AF//CD，∴四边形ADCF是平行四边形， 又∵∠ADC=90°，∴四边形ADCF是矩形. 感受中考： 如图，在中，点O，D分别是边，的中点，过点A作交的延长线于点E，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，试判断四边形的形状，并证明． （1）证明：∵点为的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形； （2）解：当时，四边形是矩形， 理由如下： ∵ ，点是边上的中点， ∴ 即， ∵ 由（1）得四边形是平行四边形， ∴ 四边形是矩形. 小结梳理 板书设计： 作业内容： 教学反思 课题：21.3.2菱形（1） 教学目标 1.理解菱形的概念，会用菱形的性质解决简单的问题，发展抽象能力和应用意识； 2.经历类比矩形探究菱形性质的过程，通过观察、猜想、证明等活动，发展推理能力. 重点难点 探索并证明菱形的性质. 教学方法 讲练结合 教学手段 多媒体 教学过程 （一）复习引入 将几何图形的组成元素特殊化，可以获得新的研究对象：如将平行四边形的角特殊化，可以得到矩形.类似的，对平行四边形的边特殊化，可以得到菱形.本节课我们就来研究菱形的定义和性质. （二）合作探究 菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形. 问题 菱形也是常见的几何图形.有些门窗的窗格、美丽的中国结、活动挂架等都有菱形的形象.你还能举出一些例子吗? 与研究矩形的性质类似，对于菱形，我们仍然从它的边、角、对角线出发进行研究. 思考 因为菱形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质.但由于它的一组邻边相等，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢? 追问 说一说，如何证明“菱形的四条边都相等”？ 菱形的特有性质1 菱形的四条边都相等. 符号语言 ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=DA. 验证猜想 菱形的对角线互相垂直且平分，并且每一条对角线平分一组对角. 思考 你能证明“菱形的对角线互相垂直”这个结论吗？ 已知：在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O. 求证： AC⊥BD. 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD，点O是BD的中点， ∴AO⊥BD，即AC⊥BD. 追问 你还有其他证明方法吗？ 思考 证明“菱形的每一条对角线平分一组对角”. 已知：在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O. 求证： AC平分∠BAD和∠BCD， BD平分∠ABC和∠ADC. 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD，BO=DO， 又∵AO=AO， ∴△AOB≌△AOD(SSS)， ∴∠BAO=∠DAO，同理可证∠BCO=∠DCO， 即AC平分∠BAD和∠BCD， 同理可证：BD平分∠ABC和∠ADC. 追问 你还有其他证明方法吗？ 菱形的特有性质2 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 符号语言 ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA，∠ABD=∠CBD，∠ADB=∠CDB. 菱形的轴对称性 菱形是轴对称图形，它的每条对角线所在的直线就是它的对称轴. 填表 思考 由菱形两条对角线的长，你能求出它的面积吗? 分析：S菱形ABCD=4×S△AOB=4×AO×BO=4××AC×BD=AC×BD. 菱形的面积等于对角线乘积的一半. （三）典例分析 例3 如图，菱形花坛ABCD的边长为20 m，∠ABC=60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD.求两条小路的长（结果保留小数点后两位）和花坛的面积（结果保留小数点后一位）. 解：设AC，BD相交于点O. ∵ 花坛ABCD的形状是菱形， ∴AC⊥BD，∠ABO=∠ABC=×60°=30°. 在Rt△OAB中， AO=AB=×20=10， BO===10. ∴ 花坛的两条小路长 AC=2AO=20(m)， BD=2BO=20≈34.64(m). 花坛的面积 S菱形ABCD=4×S△ABO=4×AO·BO=200≈346.4(m2). 追问 你还有其他求花坛面积的方法吗？ （四）巩固练习 1.四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB=5，AO=4.求AC和BD的长以及菱形ABCD的面积. 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AC=2AO=8，BD=2BO. 在Rt△AOB中，由勾股定理得： BO===3， ∴BD=6， ∴S菱形ABCD=AC·BD=×8×6=24. 2.如图，在菱形ABCD中，BD=4，∠A:∠ABC=1:2.求△ABD的周长. 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD，AD//BC， ∴∠A+∠ABC=180°， 又∵∠A:∠ABC=1:2， ∴∠A=60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴C△ABD=3BD=12. ，突破教学难点。 （5） 归纳总结 （七）小结梳理 板书设计： 作业内容： 教学反思 课题：21.3.2菱形（2） 教学目标 1.经历菱形判定定理的探究过程，渗透类比思想，体会研究图形判定的一般思路； 2.掌握菱形的三种判定方法，能根据不同的已知条件，选择适当的判定定理进行推理和计算. 重点难点 菱形判定的探索、证明和应用. 教学方法 讲练结合 教学手段 多媒体 教学过程 （一）复习引入 问题1 满足什么条件的四边形是菱形？ 有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.（定义既是性质，又是判定.） 问题2 还有其他判定菱形的方法吗？你能说说菱形的性质定理的逆命题吗？ 四条边相等的四边形是菱形. 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形.→对角线互相垂直的平行四边形是菱形. （二）合作探究 猜想1 四条边相等的四边形是菱形. 已知：在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA， 求证：四边形ABCD是菱形. 证明：∵AB=CD，BC=DA， ∴四边形ABCD是平行四边形. 又∵AB=BC， ∴四边形ABCD是菱形. 菱形的判定定理1 四条边相等的四边形是菱形. 符号语言 ∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA， ∴四边形ABCD是菱形. 猜想2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 已知：在▱ABCD中，AC⊥BD， 求证：四边形ABCD是菱形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AC平分BD， 又∵AC⊥BD， ∴AC垂直平分BD， ∴AB=AD， ∴四边形ABCD是菱形. 追问 你还有其他证明方法吗？ 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=DO， ∵AC⊥BD，∴∠AOB=∠AOD=90°， 又∵AO=AO， ∴△AOB≌△AOD， ∴AB=AD， ∴四边形ABCD是菱形. 菱形的判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 符号语言 ∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形. （三）典例分析 例4 如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F.求证：四边形AFCE是菱形. 分析：已知AC⊥EF，由“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，只需证明四边形AFCE是平行四边形.由题意可知AO=CO，还需证明EO=FO. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AE//CF. ∴ ∠1=∠2. 又∠AOE=∠COF，AO=CO， ∴ △AOE≌△COF. ∴EO=FO. ∴ 四边形AFCE是平行四边形. 又AC⊥EF， ∴四边形AFCE是菱形. 追问 你能利用“四条边相等的四边形是菱形”证明这个例题吗? 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AE//CF，∴ ∠1=∠2. ∵EF垂直平分AC， ∴AE=CE，AF=CF， ∴∠2=∠3，∴∠1=∠3. 由“等角的余角相等”得： ∠AEO=AFO， ∴AE=AF，∴AE=CE=AF=CF， ∴四边形AFCE是菱形. （4） 巩固练习 1.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O且互相垂直平分.求证：四边形ABCD是菱形. 证明：∵对角线AC，BD互相平分， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵对角线AC，BD互相垂直， ∴四边形ABCD是菱形. 2.如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成的四边形ABCD是一个菱形吗？为什么？ 解：四边形ABCD是菱形，理由如下： ∵纸条的对边平行， ∴四边形ABCD是平行四边形. 作AB边上的高h1，作AD边上的高h2， ∵两张纸条等宽，∴h1=h2. ∵S▱ABCD=AB·h1=AD·h2，∴AB=AD， ∴四边形ABCD是菱形. 3.一张三角形纸片如图所示，请你用纸片折出一个菱形，使∠A是菱形的一个内角，和点A相对的顶点在边BC上，并说明所折图形是菱形的理由. 作法：1.作∠BAC的平分线，交BC于点D； 2.作AD的垂直平分线，交AB于点E，交AC于点F； 3.将△ABC沿直线EF折叠即可得到菱形AEDF. 证明：∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2. ∵EF垂直平分AD， ∴∠3=∠4=90°，AE=DE，AF=DF. 又∵AO=AO， ∴△AOE≌△AOF. ∴AE=AF，∴AE=DE=AF=DF， ∴四边形AEDF是菱形. 追问 你还有其他证明方法吗？ 证明：∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2. ∵EF垂直平分AD，∴AE=DE， ∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴AF//DE. 同理可证：AE//DF. ∴四边形AEDF是平行四边形. 又∵AE=DE， ∴四边形AEDF是菱形. 归纳总结 如图，四边形ABCD是菱形，E，F是对角线AC上的两点，且，连接BF，FD，DE，EB． 求证：四边形DEBF是菱形． 解：连接BD，交AC于点O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴，，， 又∵， ∴，即， ∴四边形DEBF是平行四边形． 又∵，即， ∴四边形DEBF是菱形． （七）小结梳理 板书设计： 作业内容： 教学反思 课题：21.3.3正方形（1） 教学目标 1.理解正方形与平行四边形、矩形、菱形概念之间的联系和区别； 2.能用正方形的定义和性质进行推理与计算，发展推理能力. 重点难点 正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系. 教学方法 讲练结合 教学手段 多媒体 教学过程 （一）复习引入 将几何图形的组成元素特殊化，可以获得新的研究对象：如将平行四边形的角特殊化，可以得到矩形，将平行四边形的边特殊化，可以得到菱形.类似的，将矩形的边特殊化或菱形的角特殊化，可以得到什么特殊的四边形呢？本节课我们就来研究一下. （二）合作探究 正方形的定义 对于一个平行四边形，如果它不仅有一组邻边相等，而且有一个角是直角，那么它就是正方形． 与研究矩形、菱形的性质类似，对于正方形，我们仍然从它的边、角、对角线出发进行研究. 探究 从正方形的边、角、对角线和它的轴对称性出发，写出正方形的性质，并证明其中的一些结论. 分析：正方形既是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形、菱形，因此它具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质. 符号语言 ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB//CD，BC//DA，AB=BC=CD=DA. ∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°. AC=BD，AC⊥BD，AO=BO=CO=DO. ∠BAC=∠DAC=∠BCA=∠DCA=∠ABD =∠CBD=∠ADB=∠CDB=45°. 思考 正方形、菱形、矩形、平行四边形之间有什么关系？与同学讨论一下，并列表或画框图表示这些关系. （三）典例分析 例5 求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形. 已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O. 求证：△ABO，△BCO，△CDO，△DAO是全等的等腰直角三角形. 证明：∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ AC=BD，AC⊥BD， ∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠AOD=90°，AO=BO=CO=DO. ∴△ABO，△BCO，△CDO，△DAO都是等腰直角三角形，并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO. （四）巩固练习 1.（1）把一张长方形纸片按如图方式折一下，就可以裁出正方形纸片.为什么？ （2）如何从一块矩形木板中裁出一块面积最大的正方形木板呢? 作法：1.在AF上截取AD=AB；2.在BE上截取BC=AB；3.连接CD，则四边形ABCD为正方形. 2.如图，一块正方形场地的四个顶点分别是A，B，C，D.李明和张华在边AB上取了一点E，EC=30 m，EB=10 m.这块场地的面积和对角线长分别是多少? 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B=90°，AB=BC. 在Rt△BCE中，由勾股定理得： BC==， ∴BC2=800，AC==. 答：这块场地的面积为800 m2，对角线长为40 m. 3.如图，一个正方形草坪的四个顶点分别是A，B，C，D.要修建BE和AF两条路，使点E，F分别在边AD，CD上，且DE=CF.这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？ 解：BE=AF，BE⊥AF，理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD=CD，∠BAE=∠ADF=90°， 又∵DE=CF，∴AD−DE=CD−CF，即AE=DF， ∴△BAE≌△ADF，∴BE=AF，∠1=∠2， ∵∠2+∠3=90°，∴∠1+∠3=90°， （5） 归纳总结 小结梳理 板书设计： 作业内容： 教学反思 课题：21.3.3正方形（2） 教学目标 1.理解正方形与平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别； 2.掌握正方形的判定方法，能根据不同条件，选取适当的定理进行推理计算. 重点难点 正方形判定的探索、证明和应用. 教学方法 讲练结合 教学手段 多媒体 教学过程 （一）复习引入 问题 填写相关内容 （二）合作探究 探究 分别从矩形、菱形、平行四边形、四边形出发，写出正方形的判定方法，并与同学交流你的结论. ①两组对边分别平行 ②两组对边分别相等 ③两组对角分别相等 ④对角线互相平分 ⑤一组对边平行且相等 ⑥一个角为直角 ⑦对角线相等 ⑧一组邻边相等 ⑨对角线互相垂直 ⑩三个角为直角 ⑪四条边相等 追问1 满足什么条件的平行四边形是正方形？ ⑥⑧；⑦⑨；⑥⑨等（答案不唯一） 追问2 满足什么条件的四边形是正方形？ ①⑥⑧；②⑦⑨；⑩⑧等（答案不唯一） （三）典例分析 例6 如图，E，F，G，H分别是正方形ABCD四条边上的点，且AE=BF=CG=DH.求证：四边形EFGH是正方形. 分析：要证明四边形EFGH是正方形，需证明它既是 菱形 ，也是 矩形 ，也就是要先证明它的 四条边相等 ，再证明它的 一个角是直角 ，而这可以由△AEH，△BFE，△CGF，△DHG全等得出. 证明：∵四边形ABCD是正方形，∴ AB=BC=CD=DA. 又AE=BF=CG=DH，∴ EB=FC=GD=HA. ∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°， ∴ △AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG. ∴ HE=EF=FG=GH. ∴四边形EFGH是菱形. ∵ △AEH≌△BFE，∴ ∠2=∠3. 又∠1+∠2=90°，∴ ∠1+∠3=90°. ∴ ∠HEF=180°−(∠1+∠3)=90°. ∴ 四边形EFGH是正方形. （4） 巩固练习 1.满足下列条件的四边形是不是正方形?为什么? (1)对角线互相垂直且相等的平行四边形；（ 是 ） (2)对角线互相垂直的矩形； （ 是 ） (3)对角线相等的菱形； （ 是 ） (4)对角线互相垂直平分且相等的四边形. （ 是 ） 2.下列命题中，是假命题的是（  D  ） A．四个角相等的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 3.在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若添加一个条件使该菱形为正方形，该条件可以是 AC=BD ．（或AB⊥BC） 4.如图，在 Rt△ABC中，∠ACB= 90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E，F.求证：四边形CEDF是正方形. 解：∵∠ACB= 90°，DE⊥BC，DF⊥AC， ∴∠ACB=∠DEC=∠DFC=90°， ∴四边形CEDF是矩形. ∵CD平分∠ACB， ∴∠DCE=∠ACB=45°， ∴∠CDE=90°−∠DCE=45°， ∴∠DCE=∠CDE， ∴CE=DE， ∴四边形CEDF是正方形. 5.王芳在商场看中一条丝巾，她不确定其是不是正方形样式，于是售货员拿起丝巾拉起一组对角把丝巾对折（如图所示），让王芳看丝巾是否完全重合，见她还有些犹豫，售货员又拉起另一组对角把丝巾对折，让她看丝巾是否也完全重合，王芳发现这两次都重合，就买下了这条丝巾，你认为王芳买的这条丝巾是正方形样式吗？为什么？ 结论 王芳买的这条丝巾不一定是正方形样式. （5） 归纳总结 如图，在菱形中，对角线，相交于点，点，在对角线上，且，．求证：四边形是正方形． 证明：∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ OA=OC，OB=OD且AC⊥BD， 又∵ BE=DF， ∴ OB-BE=OD-DF. 即OE=OF . ∵OE=OA， ∴OA=OC=OE=OF且AC=EF， 又∵AC⊥EF， ∴ 四边形AECF是正方形． 板书设计： 作业内容： 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $