北京市陈经纶中学2025-2026学年高一下学期期中数学模拟练习卷

北京陈经纶中学2025-2026学年高一下学期期中数学模拟练习卷 一、单项选择题：本大题共9小题，共45分。 1.在中，内角所对的边分别为，已知，则B的大小为    A. 或 B. 或 C. D. 2.的内角的对边分别为，若，，，则    A. B. C. D. 或 3.在钝角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则     A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 4.已知平面上的非零向量、，定义运算：，对于平面上任意非零向量、、，则    A. B. 若与不垂直，则 C. D. 若，则 5.颐和园的十七孔桥，初建于清乾隆年间；它的桥梁结构为拱形结构，这是悬链线在建筑领域的应用.悬链线出现在建筑领域，最早是由十七世纪英国杰出的科学家罗伯特胡克提出的，他认为当悬链线自然下垂时，处于最稳定的状态，反之如果把悬链线反方向放置，它也是一种稳定的状态，后来由此演变出了悬链线拱门，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为，则以下说法错误的是    A. B. C. D. 6.如图是一个向右传播的绳波在某一时刻绳子上各点的位置图，经过周期后，乙的位置将移至     A. x轴上 B. 最低点 C. 最高点 D. 不确定 7.在平面直角坐标系中，，与x轴的正半轴的夹角为，则向量的坐标是    A. B. C. D. 8.在中，若，，，则(    ) A. B. C. 或 D. 或 9.已知圆O是单位圆，点P在上，过点，的切线与OP于点T，设，定义：，则     A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 10.在平面直角坐标系xOy中，设角的终边上任一点到原点O的距离为r，规定：比值分别叫做的正割，余割，分别记作，，即已知，则        . 11.阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减振装置，被称为“镇楼神器”.某阻尼器模型的运动过程可近似看作单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系式为，其中若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为的时间分别为，，，且，，则        ，在一个周期内阻尼器偏离平衡位置的位移的大小小于的总时间为       12.若向量，且为单位向量，定义，则的取值范围是          . 13.给出定义：对于向量，若函数，则称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数．已知，，函数的伴随向量为，点P为函数的图象上一点，满足，则点P的坐标为          . 三、解答题：本题共2小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 14.本小题42分 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用，现有一个筒车按逆时针方向匀速转动，每10秒钟转动1圈.如图，将该筒车抽象为圆O，筒车上的盛水桶抽象为圆O上的点P，已知圆O的半径为2m，圆心O距离水面1m，且当圆O上点P从水中浮现时图中点开始计算时间. 在如图所示的平面直角坐标系上，将点P到水面的距离单位：m，且点P在水面下时h为负数表示为时间单位：的函数，求的解析式； 当，求盛水桶高度上升的区间. 15.本小题43分 我市某旅游区有一个人工湖，如图所示，它的边界是由圆O的半个圆弧为此圆弧的中点和直径MN构成.已知圆O的半径为1千米.为增加旅游收入，现在该人工湖上规划建造两个观景区：其中荷花池观景区的形状为矩形ABCD；喷泉观景区的形状为要求端点A，B均在直径MN上，端点C，D均在圆弧MPN上.设OC与直径MN所成的角为 试用分别表示矩形ABCD和的面积，并写出的范围； 若在矩形ABCD两侧线段AD，BC的位置架起两座观景桥，已知建造荷花池的总费用为5万元，建造观景桥的费用为每千米8万元包含桥的宽度费用，建造喷泉观景区费用为每平方千米16万元.问：当为多少时，建造该观景区总费用最低，并求出其最低费用值. 答案和解析 1.【答案】C  【解析】【分析】由正弦定理结合大边对大角即可得解. 【详解】由正弦定理得，即，解得， 又B为三角形内角，所以或，又因为，所以，即 故选： 2.【答案】D  【解析】【分析】根据正弦定理求解即可. 【详解】由正弦定理可得，， 因为，所以或，经检验均符合题意， 所以或 故选：D 3.【答案】A  【解析】【详解】由余弦定理得， 化简得，解出或2， 当时，为钝角三角形符合题意， 当时，为直角三角形不符合题意. 4.【答案】C  【解析】解：A选项，根据题意可知，与共线， 与共线， ，A错误； B选项，不妨取，，， 则， ， ， ， 故，B选项错误； C选项，根据题中定义结合平面向量数量积的运算性质可知， ，C选项正确； D选项，根据题意可知，， 利用题中定义结合平面向量数量积的运算性质可知， ， 为非零向量，，或当时，，D选项错误． 故选： 5.【答案】D  【解析】【分析】按照函数新定义以及指数幂的运算化简判断ABC选项；举反例判断D选项即可. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，由A项，可得， 则   ，故C正确； 对于D，取，则， ， 而， 则，故D错误. 故选：D 6.【答案】C  【解析】【分析】由相邻最高点与最低点的横坐标相差半个周期即可求得答案. 【详解】相邻最高点与最低点的横坐标相差半个周期，而乙在最低点， 所以经过周期后，乙的位置将移至最高点. 故选：C 7.【答案】C  【解析】【分析】设，再利用三角函数求出即得解. 【详解】设，则，， 故 故选： 8.【答案】D  【解析】解：在中，已知，，， 由正弦定理变形得：， 且，， 或 故选： 9.【答案】D  【解析】【分析】利用三角形相似，即可求解. 【详解】由图象可知，， 则，即， 所以 故选： 10.【答案】  【解析】解：由题意可得 故答案为： 根据题意结合任意角三角函数的定义化为正切运算求解即可． 本题考查了任意角的三角函数的定义，属于基础题． 11.【答案】   【解析】解：由题意得，其中，可得，， 可得的周期为， 可得， 可得， 又位移的大小即，可得， 可得， 可得，或，， 解得，或，， 可得总时间为， 故在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移的大小小于的总时间为 故答案为：， 由三角函数的对称轴与周期的关系知函数的周期为，进而求出，令，解不等式即可得出答案． 本题考查了正弦函数的性质的应用以及中参数的物理意义，考查了函数思想，属于中档题． 12.【答案】  【解析】解：由题意知，设， 则， 又，所以，所以 故答案为： 13.【答案】  【解析】【分析】结合题意可得，设，结合可得，根据，可得、，进而得到时，成立，进而求解. 【详解】由题意，，设，因为，所以，，，所以， 由，得，即， 因为，所以，所以， 又，所以当且仅当时，和同时等于， 此时成立，所以点P的坐标为 故答案为： 14.【答案】解：根据题意可知：的最小正周期， 且，则，解得， 因为，解得，则， 又因为，即， 且，则， 所以 因为， 若，则， 令或，解得或， 所以盛水桶高度上升的区间为或   【解析】根据题意可确定，结合最小正周期公式得到，根据最值得到，，再代入，可求即可得到的解析式； 以为整体，结合正弦型函数的单调性运算求解即可． 15.【答案】解：由题意，，易得： 所以矩形ABCD的面积为， 的面积为 设建造观景区所需总费用为， 由题意，，， 即，， 令，， 设，则， 由 从而 当，即时，有 所以最小值为万元 故当时，建造该观景区总费用最低，且最低费用约为20万元．   【解析】由题图知，根据矩形、三角形面积公式写出矩形ABCD和的面积； 由已知可得，，利用、关系，换元法及正弦型函数、二次函数性质求的最小值及其对应的值. 第1页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $