精品解析：河南南阳市第一中学校2025-2026学年高二下学期4月检测数学试题

高二年级2026年春期4月检测数学学科 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知函数在处可导， 若，则（ ） A. B. C. D. 2. 在下列的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么的值为（ ） 2 4 1 2 x y A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 已知数列为等差数列，且，3，成等比数列，则为（ ） A. 1 B. C. D. 4. 数列满足：，，是的前项和，则（ ） A. 4042 B. 2021 C. D. 5. 一个各项均为正数的等比数列，其每一项都等于它后面的相邻两项之和，则公比（ ）． A. B. C. D. 6. 已知分别是等差数列与的前项和，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 某人于2020年6月1日去银行存款a元，存的是一年定期储蓄，2021年6月1日将到期存款的本息一起取出再加a元之后还存一年定期储蓄，此后每年的6月1日他都按照同样的方法在银行取款和存款．设银行定期储蓄的年利率r不变，则到2025年6月1日他将所有的本息全部取出时，取出的钱共有（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 8. 已知数列是公比为的正项等比数列，且，若，则（ ） A. 4050 B. 2025 C. 4052 D. 2026 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. （多选）已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，求a的值（ ） A. 0 B. C. D. 2 10. 已知数列的前项和为，，，数列的前项和为，，则下列选项正确的为（ ） A. 数列是等比数列 B. 数列是等差数列 C. 数列的通项公式为 D. 11. 已知红色箱子内有6个红球､2个黄球，黄色箱子内有2个红球､6个黄球，所有球除颜色外完全相同，现从这两个箱子中随机摸球，具体摸球规则如下：第一次从黄色箱子中摸出一个球再放回去，第2次从“与第1次摸出的球颜色相同的箱子”内摸出一个球然后再放回去，…，第次从“与第次摸出的球颜色相同的箱子”内摸出一个球然后再放回去，若记第次摸出的球是黄球的概率为，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，12-13每题5分，14题第一空2分，第二空3分，共15分．） 12. 根据导数的几何意义，则函数在处的导数值为___________． 13. 已知等差数列的首项为，前项和为，若，且，则的取值范围为__________． 14. 已知数列满足，且是的等差中项，是数列的前项和，则__________，___________. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，） 15. 已知是首项为1的等比数列，数列满足． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 16. （1）已知函数，若曲线在处的切线也与的图象相切，求a的值． （2）过点作曲线的切线，若这样的切线有且仅有两条，求实数a的取值范围． 17. 牧草再生力强，一年可收割多次，富含各种微量元素和维生素，因此成为饲养家畜的首选.某牧草种植公司为提高牧草的产量和质量，决定在本年度（第一年）投入40万元用于牧草的养护管理，以后每年投入金额比上一年减少，本年度牧草销售收入估计为30万元，由于养护管理更加精细，预计今后的牧草销售收入每年会比上一年增加． （1）设n年内总投入金额为万元，牧草销售总收入为万元，求，的表达式； （2）至少经过几年，牧草销售总收入才能超过总投入？（，） 18. 设是数列的前n项和，已知，． （1）证明：是等比数列； （2）若，求数列的前n项和； （3）记，若不等式恒成立，求实数m的取值范围． 19. 已知数列的通项公式为，数列是所有正偶数从小到大排列构成的数列，数列是由，的公共项从小到大排列构成的数列， （1）求，，，及的通项公式； （2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列， ①求，的值； ②在数列中是否存在项，，（其中，互异）成等比数列？若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级2026年春期4月检测数学学科 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知函数在处可导， 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的极限定义求解即可． 【详解】由，有，有. 故选：B. 2. 在下列的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么的值为（ ） 2 4 1 2 x y A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得出的值后求解 【详解】由题意知表格为 2 4 6 1 2 3 1 故． 故选：A 3. 已知数列为等差数列，且，3，成等比数列，则为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设数列的公差为，根据，3，成等比数列得+可得答案． 【详解】设数列的公差为， 因为，3，成等比数列，所以， 所以+， 所以， 故选：A. 4. 数列满足：，，是的前项和，则（ ） A. 4042 B. 2021 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，得出，周期为3，利用周期性可得答案. 【详解】因为，， 由得， 进而得：，，可得：， ． 故选：D. 5. 一个各项均为正数的等比数列，其每一项都等于它后面的相邻两项之和，则公比（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设各项均为正数的等比数列为，且公比为，根据其每一项都等于它后面的相邻两项之和，由求解. 【详解】解：设各项均为正数的等比数列为，且公比为， 因为其每一项都等于它后面的相邻两项之和， 所以，即， 所以，解得或（舍去）， 故选：C 6. 已知分别是等差数列与的前项和，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的性质可得：，将所求的式子化简，再利用等差数列前项和即可求解. 【详解】因为数列是等差数列，所以， 所以， 又因为分别是等差数列与的前项和，且， 所以, 故选：. 7. 某人于2020年6月1日去银行存款a元，存的是一年定期储蓄，2021年6月1日将到期存款的本息一起取出再加a元之后还存一年定期储蓄，此后每年的6月1日他都按照同样的方法在银行取款和存款．设银行定期储蓄的年利率r不变，则到2025年6月1日他将所有的本息全部取出时，取出的钱共有（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】D 【解析】 【分析】根据从2021年6月1日起，将到期存款的本息一起取出再加a元之后还存一年定期储蓄，即求解. 【详解】设此人2020年6月1日存入银行的钱为元，2021年6月1日存入银行的钱为元，以此类推， 则2025年6月1日存入银行的钱为元，那么此人2025年6月1日从银行取出的钱有元． 由题意，得，，，……， ， 所以． 故选：D． 8. 已知数列是公比为的正项等比数列，且，若，则（ ） A. 4050 B. 2025 C. 4052 D. 2026 【答案】A 【解析】 【分析】先由得，再由等比中项的性质得， 再得定值，直接代入求和即可. 【详解】由数列是公比为的正项等比数列，故， 因为，故， 即有， 由，则当时， 有， 设， ， ，， 故． 故选：. 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. （多选）已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，求a的值（ ） A. 0 B. C. D. 2 【答案】AB 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求得曲线在点处的切线方程为，再联立方程并结合二次方程的根求解即可. 【详解】因为的导数为， 所以曲线在处的切线斜率为， 所以曲线在处的切线方程为，即． 因为切线与曲线只有一个公共点， 所以联立得：①有且只有一解， 当时，①式变为，则，方程①有且只有一解，符合题意; 当时，则，，解得. 综上，或. 10. 已知数列的前项和为，，，数列的前项和为，，则下列选项正确的为（ ） A. 数列是等比数列 B. 数列是等差数列 C. 数列的通项公式为 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由可得，，可判断A,B的正误，再求出，可判断C的正误，利用裂项相消法求，可判断D的正误. 【详解】因为， 所以，， 即，且， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，故A正确，B错误； 所以，即，故C正确； 因为， 所以， 故D错误； 故选：AC. 11. 已知红色箱子内有6个红球､2个黄球，黄色箱子内有2个红球､6个黄球，所有球除颜色外完全相同，现从这两个箱子中随机摸球，具体摸球规则如下：第一次从黄色箱子中摸出一个球再放回去，第2次从“与第1次摸出的球颜色相同的箱子”内摸出一个球然后再放回去，…，第次从“与第次摸出的球颜色相同的箱子”内摸出一个球然后再放回去，若记第次摸出的球是黄球的概率为，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据概率公式得出，再证明为等比数列，即可得出答案. 【详解】由题意可知， 若记第次摸出的球是黄球的概率为，则第次摸出的球是红球的概率为 则第次摸到黄球的概率为 即，故为首项为，公比为的等比数列 即，故， 故选：ABD 三、填空题（本题共3小题，12-13每题5分，14题第一空2分，第二空3分，共15分．） 12. 根据导数的几何意义，则函数在处的导数值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的几何意义得函数在处的导数值为半圆在点处切线的斜率，利用即可求解. 【详解】由题意得，设，又，即， 所以函数表示以原点为圆心，半径为的半圆， 则函数在处的导数值为半圆在点处切线的斜率， 又，由，解得. 13. 已知等差数列的首项为，前项和为，若，且，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列通项和前项和的函数性可证得数列为等差数列，结合已知等式可求得，由可构造不等式组求得结果. 【详解】设等差数列的公差为， ，， 数列是以为首项，为公差的等差数列， ，解得：； ，，解得：， 即的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】结论点睛：若数列为等差数列，公差为，为数列的前项和，则数列是以为首项，为公差的等差数列. 14. 已知数列满足，且是的等差中项，是数列的前项和，则__________，___________. 【答案】 ①. 171 ②. 【解析】 【分析】先求出，分和，求出通项公式，进而分组求和，得到答案. 【详解】由题知，解得， 当是偶数，是奇数，故， 所以，因为， 故是首项为，公比为2的等比数列， 故，. 所以当时，， 所以 ； . 故答案为：171； 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，） 15. 已知是首项为1的等比数列，数列满足． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件得到方程，求出公比，从而得到通项公式； （2）先得到，裂项得到，进而求和即可. 【小问1详解】 设的公比为，根据题意，当时，． 即，解得．所以． 【小问2详解】 因为，所以， 方程两边都除以得． 所以． 于是． 16. （1）已知函数，若曲线在处的切线也与的图象相切，求a的值． （2）过点作曲线的切线，若这样的切线有且仅有两条，求实数a的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）先求曲线在处的切线方程，再设切线方程与的图象相切于点，利用公切线即可求解； （2）设切点坐标为，利用斜率公式得，进而得，利用二次方程即可求解. 【详解】（1），，又， 曲线在处的切线方程为． 设直线与的图象相切于点， ，， 切线方程为，即， ，解得， 所以； （2）对求导得， 设切点坐标为，则过点的切线的斜率， 化简得， 依题知，关于的方程有两个不相等的实数根， ，解得或， 故实数a的取值范围是． 17. 牧草再生力强，一年可收割多次，富含各种微量元素和维生素，因此成为饲养家畜的首选.某牧草种植公司为提高牧草的产量和质量，决定在本年度（第一年）投入40万元用于牧草的养护管理，以后每年投入金额比上一年减少，本年度牧草销售收入估计为30万元，由于养护管理更加精细，预计今后的牧草销售收入每年会比上一年增加． （1）设n年内总投入金额为万元，牧草销售总收入为万元，求，的表达式； （2）至少经过几年，牧草销售总收入才能超过总投入？（，） 【答案】（1）， （2）至少经过3年，牧草总收入超过追加总投入 【解析】 【分析】(1)利用等比数列求和公式可求出n年内的旅游业总收入与n年内的总投入； (2)设至少经过年旅游业的总收入才能超过总投入，可得，结合(1)进行化简并换元参数解不等式，进而可得结果. 【小问1详解】 由题知，每年的追加投入是以40为首项，为公比的等比数列， 所以，； 同理，每年牧草收入是以30为首项，为公比的等比数列， 所以，. 【小问2详解】 设至少经过n年，牧草总收入超过追加总投入，即， 即， 令，，则上式化为，即， 解得，即，所以，， 即，所以， 所以，至少经过3年，牧草总收入超过追加总投入． 18. 设是数列的前n项和，已知，． （1）证明：是等比数列； （2）若，求数列的前n项和； （3）记，若不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过作差法得到，再通过配凑即可求证； （2）由（1）确定通项公式，再结合错位相减法和等差数列求和公式即可求解； （3）通过分参得到，构造，通过作差法判断单调性，确定最大值，即可求解. 【小问1详解】 已知， 当时，， 两式相减得： ， 整理得： ，， 当时，， ，满足， 又， 因此是首项为1，公比为2的等比数列，得证； 【小问2详解】 由(1)得， 因此： ， 设前项和为， 则， ， 两式相减得：， 即， 又数列前项和为， 因此； 【小问3详解】 由得：，因此， 化简不等式左边： ，， 因此， 不等式恒成立， 等价于对任意恒成立， 设 则 ， 当，， 即时，； 当时，， 因此的最大值为​，故， 即的取值范围为. 19. 已知数列的通项公式为，数列是所有正偶数从小到大排列构成的数列，数列是由，的公共项从小到大排列构成的数列， （1）求，，，及的通项公式； （2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列， ①求，的值； ②在数列中是否存在项，，（其中，互异）成等比数列？若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由. 【答案】（1），，，，. （2）①，；②不存在，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据数列中的每一项都能被2整除，可推出所求数列即为，进而写出前三项和通项公式； （2）①先确定和时，对应的等差数列的首尾两项，进而可解得公差，的值； ②利用等差数列的通项公式可得；假设在数列中存在三项（其中）成等比数列，利用等差数列和等比数列的定义及反证法即可判断. 【小问1详解】 因为，，所以数列中的每一项都能被2整除， 所以数列中的每一项都是数列中的项，又数列，都是递增数列， 所以由，的公共项从小到大排列构成的数列即为， 则，，，，. 【小问2详解】 ①由，得，易得，，， 由题意，在2和4之间插入1个数，使这3个数组成一个公差为的等差数列，故； 在4和8之间插入2个数，使这4个数组成一个公差为的等差数列，故. ②不存在，理由如下： 由题意，即，所以. 假设在数列中存在三项，，（其中）成等比数列， 则，即，化简得. 又因为，所以， 可得，即， 又因为，代入可得， 化简得，则有，即，这与题设矛盾. 所以在中不存在三项，，（其中）成等比数列 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $