精品解析：辽宁营口市高级中学等校2025-2026学年高一下学期4月学情调研数学试题

高一年级学情调研 数学 本卷满分150分，考试时间120分钟. ☆注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置.考试结束后，将答题卡交回. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题可知， 又，所以. 2. 已知某扇形的弧长为1，面积为2，则该扇形圆心角的弧度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据扇形弧长和面积公式求解. 【详解】设该扇形半径为，圆心角为， 则，解得. 3. 若，则为（ ） A. 第一或第二象限角 B. 第二或第三象限角 C. 第二或第四象限角 D. 第三或第四象限角 【答案】B 【解析】 【详解】由题知，， 若是第一象限角，则，，故，不满足题意； 若是第二象限角，则，，故，满足题意； 若是第三象限角，则，，故，满足题意； 若是第四象限角，则，，故，不满足题意. 综上，为第二或第三象限角. 故选:B. 4. 设、为非零向量，则“”是“与的夹角为锐角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】设、的夹角为，根据求出的取值范围，利用区间的包含关系判断即可. 【详解】设、的夹角为，则， 因为、为非零向量，由可得，所以， 因为，所以“”“与的夹角为锐角”， 且“”“与的夹角为锐角”， 所以“”是“与的夹角为锐角”的必要不充分条件. 故选：B. 5. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数零点和单调性判断即可. 【详解】令，因为， 所以当时有：，方程无实数解， 当时有：，解得（舍去）或， 所以函数有一个零点，即函数图象与轴负半轴有交点，故A、D选项错误； 当时，函数，因为与在上单调递减， 所以当在上单调递减， 故B选项正确，C选项错误. 6. 若函数在区间上没有最小值，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】当时，， 在区间上没有最小值， ，解得， 的取值范围为． 7. 函数的单调递减区间为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】求出定义域，利用复合函数的单调性和正弦函数的图像和性质求出的单调递减区间就是所求的单调递减区间. 【详解】对于，令， 则，所以，. 因为为增函数， 所以的单调递减区间即为的单调递减区间， 所以，， 解得，， 所以的单调递减区间为，. 8. 当时，函数的零点个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】令，然后通过分析方程在给定区间内的解的个数来确定函数的零点个数. 【详解】令，即，移项可得， 对于，其周期；对于，其周期； 当时，画出两个函数图象为： 由图象可以看出，方程在给定区间内的解的个数为6， 所以函数的零点个数为6. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据不等式的性质就可以得到答案. 【详解】对于A：两个不等式相加得,所以A正确; 对于B：因为，所以,因为，所以,所以B正确; 对于C：两个不等式相乘得,所以C正确; 对于D：因为，所以,因为，所以,所以D错误. 故选：ABC 10. 为普及法制教育，对50名市民开展了一次法律知识竞赛答题活动，测试成绩统计如表所示，其中两个数据被遮盖. 成绩/分 92 93 95 96 98 99 100 人数 5 7 8 14 13 下列结论正确的是（ ） A. 众数为99 B. 极差为9 C. 分位数为96 D. 平均数大于中位数 【答案】AC 【解析】 【详解】根据题意，总共有50名市民， 所以成绩为或的共人， 则99分有14人，众数为99，A正确； 极差为，B错误； 因为，则第13个数分值为96，C正确； 中位数是第25和第26两个数的平均数，由于这两个数都是99， 所以中位数为99， 设成绩为的有个人， 平均数为 ， 所以平均数小于中位数，D错误. 11. 设是平面内共始点的三个非零向量，且两两不共线，,则下列命题中正确的是（ ） A. 关于的方程可能有两个不同的实数解 B. 关于的方程至少有一个实数解 C. 关于的方程最多有一个实数解 D. 关于的方程若有实数解，则三个向量的终点不可能共线 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A，由题设知对任意向量存在唯一的有序数对使，可得 ，，由唯一的对应性即可判断；对于B，取反例可得方程无实数解即可判断，对于C，判断当时方程有解，结合A的解析可判断；对于D，假设共线，可得，整理得，结合，可得，，推得方程无实数解，否定假设即可. 【详解】，，是平面内共始点的三个非零向量，且两两不共线，， 以，作为一组基底，则对任意向量，存在唯一的有序数对，使， 对于A，由方程，可得， 则有，，因与一一对应，故方程不可能两个实数解，故A错误； 对于B，若取，则方程组无解，故B错误； 对于C，当时，方程有解，结合A项结论，可知方程最多有一个实数解，故C正确； 对于D，设向量的公共始点为，终点分别为， 假设三点共线，则必存在实数使：， 即，整理得：， 由为非零向量，且两两不共线，可得， 所以，又， 所以，， 两式相加，，即，该方程无实数解，与题设矛盾， 故假设不成立，即三个向量终点不可能共线，故D正确. 故选：CD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在矩形中，，，则_____________. 【答案】 【解析】 【详解】在矩形中，，， . 13. 已知，则_____________． 【答案】## 【解析】 【详解】已知，， 由诱导公式， ． 14. 已知，函数和的零点分别为m，n，则的取值范围为_____________. 【答案】 【解析】 【详解】函数的零点为，可得，即， 因为，所以，可得， 当，时，，可得， 因此. 函数的零点为，可得，即， 令，可得， 代入可得， 当时，函数在上单调递增， 可得，代入可得，即， 代入可得，， 设函数， 在上单调递减，因此当时，在上单调递减，可得， 所以的取值范围为. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，其最大值为1. （1）求b的值，并求在上的解析式； （2）求不等式的解集. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦函数性质求出，再利用偶函数定义求出解析式. （2）在上解正弦不等式，再利用偶函数性质求出解集. 【小问1详解】 当时，的最大值为1， 则，解得，此时，， 而是定义在上的偶函数， 当时，，， 所以当时，. 【小问2详解】 当时，由，得，解得； 又函数是定义在上的偶函数， 则当时，由，得 所以不等式的解集为. 16. 已知平面向量，满足，. （1）若，求与的夹角； （2）若在上的投影的数量为，且平面向量满足，，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量的数量积的定义求解； （2）由向量的投影的数量公式得到，从而得到，由，得到与的夹角为或，利用向量的数量积的定义求出. 【小问1详解】 因为，， 所以， 又， 所以， 即与的夹角为. 【小问2详解】 因为在上的投影的数量为， 所以， 则， 又， 所以. 又，则与的夹角为或， 又，，所以当时，； 当时，. 综上，. 17. 已知函数. （1）若的最小正周期为，求的定义域及对称中心； （2）若在区间上单调递增，求的取值范围. 【答案】（1）定义域为，对称中心为，； （2）. 【解析】 【分析】（1）由解得，再利用正切函数的对称中心列式求解即可； （2）利用正切函数的单调区间列出不等式求解即得. 【小问1详解】 因为的最小正周期，所以，则， 由，，得，，所以的定义域为， 令，，得，， 所以的对称中心为，. 【小问2详解】 当时，， 因为在区间上单调递增， 所以，， 所以，即， 则，解得， 又，所以或，则或， 所以的取值范围为. 18. 已知函数. （1）若的最大值为4，求实数a的值； （2）若在上单调递增，求实数a的取值范围； （3）若，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分别求和时的取值范围，结合反比例函数和一次函数，比较两段的最值，结合最大值为4建立关于的方程求解； （2）根据分段函数在上单调递增，可得各段函数分别单调递增，且左段函数在处的函数值不大于右段函数在处的函数值，再根据单调性条件建立关于的不等式求解； （3）判断和与0的大小关系，分情况讨论，分别利用单调性、函数值大小建立不等式求解. 【小问1详解】 当时，，取不到4， 所以时，的最大值为4， 因为在上单调递增， 所以，则. 【小问2详解】 当时，单调递增； 当时，单调递增， 因为在上单调递增，只需，则， 所以实数a的取值范围为. 【小问3详解】 易知， 当，即， 因为在上单调递增，所以成立； 当，即， 因为在上单调递增，所以成立； 当时，，， 所以，， 所以，不符合题意. 综上所述，实数a的取值范围为. 19. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式； （2）设函数，，若，求t的最小值； （3）将的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），最后将所得图象向上平移3个单位长度，得到函数的图象.若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由图求出周期，再利用周期公式可求出，再将代入可求出，从而可求出的解析式； （2）根据条件求出，根据，分类讨论的情况，求最小值即可； （3）根据三角函数图象变换规律求出，根据条件得知，由，求出的范围，再利用余弦函数的性质可求出其最小值，再利用指数函数的性质求取值范围即可. 【小问1详解】 由图可得，，则， 所以，所以， 即，所以，， 则，，又，所以， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，所以， 因为，所以， 所以，或，， 解得，或，， 因为，所以对于，，当时，t的最小值为； 对于，，当时，t的最小值为， 因为，所以t的最小值为. 【小问3详解】 将的图象向左平移个单位长度，得到， 再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到， 最后将所得图象向上平移3个单位长度，得到. 若存在，使得不等式成立， 只需，当时，， 则，所以，所以， 所以，即， 又，所以，解得， 所以实数m的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级学情调研 数学 本卷满分150分，考试时间120分钟. ☆注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置.考试结束后，将答题卡交回. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知某扇形的弧长为1，面积为2，则该扇形圆心角的弧度数为（ ） A. B. C. D. 3. 若，则为（ ） A. 第一或第二象限角 B. 第二或第三象限角 C. 第二或第四象限角 D. 第三或第四象限角 4. 设、为非零向量，则“”是“与的夹角为锐角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 6. 若函数在区间上没有最小值，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 函数的单调递减区间为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 当时，函数的零点个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 为普及法制教育，对50名市民开展了一次法律知识竞赛答题活动，测试成绩统计如表所示，其中两个数据被遮盖. 成绩/分 92 93 95 96 98 99 100 人数 5 7 8 14 13 下列结论正确的是（ ） A. 众数为99 B. 极差为9 C. 分位数为96 D. 平均数大于中位数 11. 设是平面内共始点的三个非零向量，且两两不共线，,则下列命题中正确的是（ ） A. 关于的方程可能有两个不同的实数解 B. 关于的方程至少有一个实数解 C. 关于的方程最多有一个实数解 D. 关于的方程若有实数解，则三个向量的终点不可能共线 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在矩形中，，，则_____________. 13. 已知，则_____________． 14. 已知，函数和的零点分别为m，n，则的取值范围为_____________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，其最大值为1. （1）求b的值，并求在上的解析式； （2）求不等式的解集. 16. 已知平面向量，满足，. （1）若，求与的夹角； （2）若在上的投影的数量为，且平面向量满足，，求. 17. 已知函数. （1）若的最小正周期为，求的定义域及对称中心； （2）若在区间上单调递增，求的取值范围. 18. 已知函数. （1）若的最大值为4，求实数a的值； （2）若在上单调递增，求实数a的取值范围； （3）若，求实数a的取值范围. 19. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式； （2）设函数，，若，求t的最小值； （3）将的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），最后将所得图象向上平移3个单位长度，得到函数的图象.若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $