2026年欧洲女子奥林匹克数学竞赛EGMO数学试题（第一天）

Language:Chinese (Simplified) Day:1 2026年4月11日，周六 题日1.如果2026×2026的棋盘格的20262个格子里至少有一个是红色的，则称该棋盘格为波尔多 方.如果一个长方形区域包含奇数个红色方格，则称其为奇方 求：最大的正整数M,使得任何2026×2026的波尔多方中，都存在一个至少包含M个格子的奇 方 注：一个长方形区域是一个由格子构成的长方形，它的四边和棋盘格的四边平行 题日2.给定正整数n.从黑板上的数1开始，小钰做如下操作：每一步中，她先选一个整数了，满足 1≤j≤n,然后把黑板上的数V改成数j·R().其中，R(x)表示和x最接近的整数：如果x正好是 连续两个整数的中点，则向上取整.例如，R(1.3)=1,R(1.5)=2,R(1.8)=2. )证明：对于每一个n,都存在一个正整数B,小钰永远不会在黑板上得到比B更大的数. b)对于每一个给定的，用f(n)表示通过有限步操作后能在黑板上能得到的最大数.证明：存在一 个正整数N,使得对所有n≥N,f(n)都能被2026整除， 题目3.记所有实数的集合为R.求所有满足如下条件的函数f:R→R: 对于任意实数x,y,都有 f(f(a)+f》2）=(e+fe+. Language:Chinese (Simplified) 考试时长：4小时30分钟 每题7分