数列新定义问题、导数新定义问题专项训练-2026届高三数学三轮冲刺

数列新定义问题、导数新定义问题专项训练 数列新定义问题、导数新定义问题专项训练 考点目录 数列新定义问题 导数新定义问题 考点一 数列新定义问题 例1．（25-26高三下·北京·月考）设无穷数列的前项和为，为单调递增的无穷正整数数列，记，定义. (1)若，，写出，的值； (2)若，求； (3)设，求证：对任意的无穷数列，存在数列，使得为常数列. 【答案】(1)9，35 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据等差数列前项和公式，以及题目所给定义，求出结果即可； （2）根据等比数列前项和公式，求出，根据题目所给集合的定义，对进行讨论，求出集合； （3）通过讨论为有限集和无限集时的不同情况，求出的值，进而证明结论. 【详解】（1）由，得； 由，得； 可知，； （2）由，得； 当为奇数时，时，， 此时. 当为偶数时，， 所以. 则. （3）在中， 若为有限集，设其最大元素为，且时，， 则当时，存在满足. 令， 则，所以； 若为无限集，设，其中， 设，则， ①若数列中只有有限项为正数，即，且当中没有正数项时， 取，则. 令，则， 所以； ②若数列中有无穷项为正数，将这些项依次记为，其中， 则， 令，则， 所以； 综上所述，对任意的无穷数列，存在数列，使得为常数列. 例2．（2026·北京朝阳·一模）若数列：，，…，（）满足如下两个性质，则称为数列： ①，，…，是1，2，…，的一个排列； ②，，…，是1，2，…，的一个排列. (1)判断数列：1，4，3，2和数列：5，1，4，2，3是否为数列？说明理由； (2)若数列：，，…，满足，，求证：数列：，，…，不是数列； (3)若数列：，，…，（）为数列，求的最小值. 【答案】(1)数列不是数列，是数列． (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）根据数列的定义判断即可； （2）利用反证法证明即可； （3）通过新定义得，从而设，得到其最小值. 【详解】（1）因为，而3，1，1不是1，2，3的一个排列，所以数列不是数列． 因为5，1，4，2，3是1，2，3，4，5的一个排列， 又，4，3，2，1是1，2，3，4的一个排列， 所以数列是数列． （2）假设数列为数列， 则． 因为与的奇偶性相同， 所以 与的奇偶性相同． 所以与的奇偶性相同． 又是偶数，是奇数，矛盾． 所以数列不是数列． （3）因为数列为数列， 所以， 且 . 所以． 所以 因为， 所以，即． 令， 则， 所以， 即数列为数列． 所以的最小值为． 例3．（2026·天津和平·一模）已知，等比数列的前项和为，正项等差数列的首项为5，且成等比数列． (1)求数列与数列的通项公式： (2)设，，．求证：若，满足，且有序实数对，则． (3)设，求集合的所有元素之和． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据等差、等比数列的概念和公式求通项. （2）结合（1）的结论，先明确和的表达式，再利用反证法进行证明. （3）先分析集合中元素的特征，表示出元素和. 方法一：利用错位相减求和法求和； 方法二：先化简得，利用错位相减求和法求，利用公式法求，即可得. 【详解】（1）设等比数列公比为，故． 设等差数列公差为， 由已知有， 解得，即， 则或（舍）， 则. （2）不妨先设， ， 可知时也成立， 假设，即成立， 若，不妨设， 则等价于， 因等式左侧不是3的倍数，等式右侧为3的倍数，所以左式与右式不相等，与假设矛盾， 所以假设不成立，此时．同理时，； 若，则，不妨设， 因为， 故 ．同理时，． 综上当时，． （3）先证取不同的的值各不相同，不妨设， 所以， 而， 所以， 由（2）可知，对不同的取值，均不相同． 故． 考虑中含有个个个， 因此． 法（一） ， 两式相减得： ， 所以，． 法（二） ， 设， ， 两式作差， ， 所以，，又， 所以，. 变式1．（2026·广西崇左·一模）若存在正整数k，使得对任意正整数n，都有（），则称数列为阶跳跃等差数列. (1)已知数列为1阶跳跃等差数列，且，，. （i）求，； （ii）求的前n项和. (2)已知数列为阶跳跃等差数列，且，，，从的前（）项中任选1项，记该项大于的概率为，证明：. 【答案】(1)（i）；（ii） (2)证明见解析 【分析】（1）（i）明确数列的递推公式，根据递推公式求数列的项； （ii）分为奇数和偶数讨论，分别求奇数项的和与偶数项的和即可. （2）先确定数列的通项公式，再利用错位相减法求和，即可证明所给不等式. 【详解】（1）（i）由为1阶跳跃等差数列，得， 则，，. （ii）当为偶数时，设（），前项包含个奇数项和个偶数项. 奇数项和， 偶数项和， 所以，则. 当n为奇数时，. 综上，. （2）因为数列为k阶跳跃等差数列，且，所以. 因为，， 所以，， ，， 当时，. 设（），则，则单调递增， 则，则， 所以的前（）项中不大于的项数为，则， 则. 设， 则， 则 ， 所以， 所以. 因为，所以. 变式2．（2026·安徽滁州·一模）在数列中，，若存在自然数，使得对于任意正整数n，数列是以为公差的等差数列，则称为“组差数列”． (1)若，判断是不是“组差数列”，并说明理由． (2)若是“组差数列，且为定值，证明：． (3)记的前n项和为，且为“组差数列”，证明：存在常数C，使得恒成立． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由可得，当时，可得，进而结合题设定义即可判断； （2）由题意可得，设，可得，进而得到，进而得到数列是等差数列，且公差为3，即可求出，再利用错位相减法求证即可； （3）令，由题意可得，即存在非负整数和整数，使得，此时，设这项中的最小值为，进而得到，进而求证即可. 【详解】（1）是“组差数列”，理由如下： 由，得， 当时，，则， 所以， 则数列是以2为公差的等差数列，且， 故是“组差数列”. （2）因为是“组差数列， 所以数列是以18为公差的等差数列， 则， 又为定值，所以可设，则， 所以， 所以数列是等差数列，且公差为， 则， 设， 则， 两式相减得，， 所以，即. （3）因为为“组差数列”， 所以数列是以为公差的等差数列， 则， 令，则， 对于任意正整数n，均存在非负整数和整数，使得， 此时， 设这项中的最小值为， 因为，所以， 从而， 则， 令，由对任意的实数均成立，则. 变式3．（25-26高三下·北京·月考）无穷数列满足：为正整数，且对任意正整数，记，（定义为集合A中的元素个数）． (1)若，请写出数列的前项； (2)求证：对于任意正整数，必存在，使得； (3)求证：“”是“存在，当时，恒有成立”的充要条件． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）. （2）假设存在正整数，使得对任意的，. 由题意，，考虑数列的前项： 其中至少有项的取值相同， 不妨设此时有：矛盾. 故对于任意的正整数，必存在，使得. （3）当时，数列为. 特别地，，，故对任意的： 若为偶数，则； 若为奇数，则. 综上，恒成立，特别地，取，有当时，恒有成立. 假设存在，使得“存在， 当时，恒有成立”，则数列的前项为： 后面的项顺次为： 对任意的，总存在，使得，，这与矛盾， 故若存在，当时，恒有成立，必有. 综上，“”是“存在，当时，恒有成立”的充要条件. 考点二 导数新定义问题 例1．（2026·辽宁大连·二模）定义：若存在，，使得曲线在点和点处有相同的切线l，则称切线l为曲线的“自公切线”.已知函数． (1)若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围； (2)证明：当时，曲线不存在“自公切线”； (3)若曲线有且只有两条“自公切线”，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由函数的单调性转化为导函数在区间恒成立，分离参数求解； （2）根据新定义转化为，换元后利用导数证明方程不成立即可得证； （3）根据新定义利用导数，分类讨论求解. 【详解】（1）当时，，， 由题意可知，，即在区间上恒成立， 设函数，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，所以，即. （2）当时，，， 假设在点和点处存在“自公切线”l， 则l的斜率，， 即， 同时， 故，即 不妨设，令，， 则， 所以在区间上单调递减，，故不成立， 所以当时，曲线不存在“自公切线”. （3）因为，所以为偶函数， 又由（2）可得，当时，曲线不存在“自公切线”， 所以当时，曲线也不存在“自公切线”． 假设在点和点处存在“自公切线”l， 则和只可能一正一负，不妨设，， 则l的斜率， 即 同时， 所以， 所以或，即或， ①当时，因为，所以， 所以，令，则， 当时，，在上单调递增，， 所以函数没有零点，此时没有满足题意的，即没有“自公切线”； 当时，时，，单调递减， 时，，单调递增， 所以， 因为，且时，， 当，即时，，没有零点，即没有“自公切线”； 当，即时，，有一个零点，即有一条“自公切线”； 当，即时，，有两个零点，即有两条“自公切线”． ②当时，，又，所以， 因为，所以， 所以， 设函数，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 且，，， 所以当，即时，有一个解，即有一条“自公切线”； 当，即时，有两个解，即有两条“自公切线”； 当或，即或时，无解，即没有“自公切线”． 又因为当时， 在情况①中，，； 在情况②中，，； 所以当时，与同时成立，有且只有一条“自公切线”． 综上所述，若曲线有且只有两条“自公切线”，实数a的取值范围是. 例2．（2026·云南昭通·二模）帕德近似是法国数学家帕德发明的用多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：．注：已知在处的阶帕德近似为． (1)求实数的值； (2)当时，试比较与的大小，并证明； (3)已知正项数列满足：，证明：． 【答案】(1)； (2)，证明见详解； (3)证明见详解. 【分析】（1）先对和进行两次求导，根据帕德近似定义，可得，，列方程即可求解； （2）由（1）得，令，求导可得，又，问题得证； （3）先构造并证明不等式，将、指数形式的关系放缩成不含指数的形式，即证明，利用（2）中的不等式，继续将、指数形式的关系放缩成不含指数的形式，即证明不等式的右边，继续利用、的关系，放缩并处理不等式，再利用不等式的特征构造函数证明不等式的左边. 【详解】（1）由题意，，， 则，， ， ， 又，， 所以，解得，， 所以； （2）当时，， 证明如下：由（1）得，，所以， 当时，，， 令，则， 所以在上单调递增， 所以，即， 所以， 即当时，，得证； （3）设，则， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以，即， 即，当且仅当时等号成立， 由题意，正项数列，，则，， 所以， 令，则， 当时，，所以在上单调递减， 所以，所以， 即，所以， 又数列为正项数列，，所以， 又由（2）可得，所以， 又因为，所以，即， 所以，即， 所以，则，所以， 又，也符合上式，所以， 要证即证，即证， 又，所以， 又，所以，即，所以， 令，则， 所以单调递增，所以成立， 所以成立， 所以成立，所以成立，所以，得证. 综上所述，可得. 例3．（2026·四川宜宾·模拟预测）记函数与的复合函数为，其导数为 .由此，我们定义函数的一种“嵌套导数”运算：对于可导函数，定义其1阶嵌套导数 为 ；定义其k阶嵌套导数且递归地为 . 例如，.已知函数. (1)求和的表达式； (2)若，求证：对任意 恒成立； (3)设，方程在区间上有唯一实数解.记，试探究的极值点个数与的关系，并说明理由. 【答案】(1) ，; (2)证明见解析; (3)答案见解析. 【分析】（1）按定义递归求导，先求 、，再逐层嵌套复合求导，最后整理表达式； （2）利用数学归纳法，先证明一阶嵌套导数符号与 ，然后假设 阶恒正，通过定义并结合 的符号分段讨论，递推得证； （3）由解得唯一正根 ，故 ，即或，前者给出，后者解的个数取决于的最小值与的大小关系，以为分界求出对应极值点个数. 【详解】（1）由，求导得 ，. 根据嵌套导数的定义，， 代入得：，对 求导， 得3阶嵌套导数：. （2）当时， ，， 用数学归纳法证明： 当时，，当时，，故； 当时，，故 ；当时，. 又对任意恒成立，且，故在上的最小值为0，且处取到. 假设当时，对任意恒成立， 则当时， ， 由归纳假设，单调递增，故，又，故. 当时，，故；当时,,，， 结合的单调性，得； 当时，. 所以对任意，恒成立. （3）由，，故等价于，无实根， 等价于，即，结合题意，故. ，求导得： 令，得或，即：，或. 分析的单调性：，故在上单调递减，在上单调递增， 最小值为：. 当，即时，方程无解，仅有1个解，故有1个极值点； 当，即时，方程有1个解，有2个解，故有2个极值点； 当，即时，方程有2个解，有3个解，故有3个极值点. 综上：当时，有1个极值点；当时，有2个极值点；当时，有3个极值点. 变式1．（2025·上海浦东新·二模）定义域为的可导函数满足，在曲线上存在三个不同的点，使得直线与曲线在点处的切线平行（或重合）．若成等差数列，则称为“等差函数”；若成等差数列且均为整数，则称为“整数等差函数”． (1)设，，分别判断和是否为“整数等差函数”，直接写出结论； (2)若为“整数等差函数”，求实数的最小值； (3)已知的导函数在上为增函数，且存在一个正常数， 使得对任意，成立，证明：为“等差函数”的充要条件是为常值函数． 【答案】(1)不是“整数等差函数”，是“整数等差函数” (2)答案见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）设公差为，根据所给定义及导数的几何意义得到，即可判断； （2）设公差为，则且，由得到从而确定的最小值； （3）首先证明充分性，再说明必要性，设公差为，结合所给定义得到，令，结合推出为常值函数. 【详解】（1）假设成等差数列，得， 设公差为，则， 对于：直线的斜率， 因为，所以曲线在点处的切线斜率为， 由题意，恒成立， 取，，则成等差数列且均为整数，故是“整数等差函数”． 对于，直线的斜率， 因为，所以曲线在点处的切线斜率为， 由题意， 若，则， 令，，则恒成立，所以在上单调递减， 所以，即在上恒成立， 即恒成立，所以无解， 故不是“整数等差函数”． （2）因为为“整数等差函数”，所以成等差数列且均为整数， 设公差为，则，且， 直线的斜率， 因为，所以曲线在点处的切线斜率为， 由题意，， 又的定义域为，有， 当时,,此时,无最小值； 当时,因为，， 所以 ， 则，可取使等号成立，故的最小值为; 综上，实数无最小值； （3）充分性，因为为常值函数，所以， 任意取等差数列 ，则直线的斜率， 曲线在点处的切线斜率为， 因为，所以为“等差函数”． 必要性，因为为“等差函数”，所以成等差数列， 设公差为，则， 直线的斜率， 曲线在点处的切线斜率为， 由题意，, ， 令， 则 ， 令， 则， 因为在上为增函数，所以，在上为增函数， 因为，所以，在上为增函数， 因为，所以在上恒成立， 又，由的单调性知， 故，， ，为常数， ， ， ， 接下来，一方面，因为，且在上为增函数， 所以在上为增函数，故，， 由，可得， 另一方面，因为， 所以，可得， 以此类推，在上恒成立，即为常值函数． 命题得证！ 变式2．（24-25高三上·湖北宜昌·月考）函数的导函数记为，若对函数的定义域内任意实数，存在实数，使得不等式成立，则称函数为上的＂函数＂． (1)判断函数是否是上的“函数”，请说明理由； (2)若函数是上的“函数”，求实数的取值范围； (3)已知函数是上的“函数”．若对任意的，当时，都有成立，求实数的最大值． 【答案】(1)不是，理由见解析； (2)； (3)6. 【分析】（1）根据定义直接判断即可； （2）结合定义可得对任意的恒成立，进而得到对任意的恒成立，令，进而结合导数分析单调性求得最值即可求解； （3）先根据定义得到对任意的恒成立，分类讨论求得，再结合题意可得，令，，进而结合导数分析求解即可. 【详解】（1）不是，理由如下： 因为，则， 由于，即对任意的不恒成立， 所以函数不是上的“函数”. （2）因为，所以， 因为函数是上的“函数”， 所以对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 令，则， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，即， 所以实数的取值范围为. （3）因为，所以， 因为函数是上的“函数”， 所以对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 当时，对任意的，上式恒成立，符号题意； 当时，恒成立， 设，， 则，所以函数在上单调递减， 所以，即； 当时，恒成立， 设，， 则，所以函数在上单调递减， 所以，即. 综上所述，. 若对任意的，当时，都有成立， 不妨设，则，于是有， 即， 令，， 则存在，使得在上为增函数， 于是存在，使得， 即对任意的恒成立， 可得对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 而函数在上单调递增，所以，即， 另一方面，当，时，，， 可得知恒成立，满足题意， 所以实数的最大值为6. 变式3．（24-25高三上·江西赣州·月考）已知函数的导函数为，的导函数为，对于区间A，若与在区间A上都单调递增或都单调递减，则称为区间A上的自律函数． (1)若是R上的自律函数． （ⅰ）求a的取值范围； （ⅱ）若a取得最小值时，只有一个实根，求实数t的取值范围； (2)已知函数，判断是否存在b，c及，使得在上不单调，且是及上的自律函数，若存在，求出b与c的关系及b的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ） (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）（i）根据函数新定义，列式求解，即可得答案；（ii）利用导数判断函数的单调性，求出其函数值情况，即可求得答案； （2）求出的导数以及二次导数，利用导数判断函数单调性，结合函数新定义，即可判断出结论. 【详解】（1）（ⅰ）因为， 所以，， 因为是R上的自律函数， 所以恒成立，恒成立， 所以 解得，所以a的取值范围是． （ⅱ）当时，， 设，则， 所以当时，，单调递减， 当或时，，单调递增， 因为，，， 所以若只有一个实根，t的取值范围是． （2）由得，， 令得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 由在上不单调，且是及上的自律函数， 得， 则，，     所以时， ， 在上单调递增，与已知矛盾， 所以不存在b，c及，使得在上不单调，且是及上的自律函数． 2 学科网（北京）股份有限公司 $数列新定义问题、导数新定义问题专项训练 数列新定义问题、导数新定义问题专项训练 考点目录 数列新定义问题 导数新定义问题 考点一 数列新定义问题 例1．（25-26高三下·北京·月考）设无穷数列的前项和为，为单调递增的无穷正整数数列，记，定义. (1)若，，写出，的值； (2)若，求； (3)设，求证：对任意的无穷数列，存在数列，使得为常数列. 例2．（2026·北京朝阳·一模）若数列：，，…，（）满足如下两个性质，则称为数列： ①，，…，是1，2，…，的一个排列； ②，，…，是1，2，…，的一个排列. (1)判断数列：1，4，3，2和数列：5，1，4，2，3是否为数列？说明理由； (2)若数列：，，…，满足，，求证：数列：，，…，不是数列； (3)若数列：，，…，（）为数列，求的最小值. 例3．（2026·天津和平·一模）已知，等比数列的前项和为，正项等差数列的首项为5，且成等比数列． (1)求数列与数列的通项公式： (2)设，，．求证：若，满足，且有序实数对，则． (3)设，求集合的所有元素之和． 变式1．（2026·广西崇左·一模）若存在正整数k，使得对任意正整数n，都有（），则称数列为阶跳跃等差数列. (1)已知数列为1阶跳跃等差数列，且，，. （i）求，； （ii）求的前n项和. (2)已知数列为阶跳跃等差数列，且，，，从的前（）项中任选1项，记该项大于的概率为，证明：. 变式2．（2026·安徽滁州·一模）在数列中，，若存在自然数，使得对于任意正整数n，数列是以为公差的等差数列，则称为“组差数列”． (1)若，判断是不是“组差数列”，并说明理由． (2)若是“组差数列，且为定值，证明：． (3)记的前n项和为，且为“组差数列”，证明：存在常数C，使得恒成立． 变式3．（25-26高三下·北京·月考）无穷数列满足：为正整数，且对任意正整数，记，（定义为集合A中的元素个数）． (1)若，请写出数列的前项； (2)求证：对于任意正整数，必存在，使得； (3)求证：“”是“存在，当时，恒有成立”的充要条件． 考点二 导数新定义问题 例1．（2026·辽宁大连·二模）定义：若存在，，使得曲线在点和点处有相同的切线l，则称切线l为曲线的“自公切线”.已知函数． (1)若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围； (2)证明：当时，曲线不存在“自公切线”； (3)若曲线有且只有两条“自公切线”，求实数a的取值范围． 例2．（2026·云南昭通·二模）帕德近似是法国数学家帕德发明的用多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：．注：已知在处的阶帕德近似为． (1)求实数的值； (2)当时，试比较与的大小，并证明； (3)已知正项数列满足：，证明：． 例3．（2026·四川宜宾·模拟预测）记函数与的复合函数为，其导数为 .由此，我们定义函数的一种“嵌套导数”运算：对于可导函数，定义其1阶嵌套导数 为 ；定义其k阶嵌套导数且递归地为 . 例如，.已知函数. (1)求和的表达式； (2)若，求证：对任意 恒成立； (3)设，方程在区间上有唯一实数解.记，试探究的极值点个数与的关系，并说明理由. 变式1．（2025·上海浦东新·二模）定义域为的可导函数满足，在曲线上存在三个不同的点，使得直线与曲线在点处的切线平行（或重合）．若成等差数列，则称为“等差函数”；若成等差数列且均为整数，则称为“整数等差函数”． (1)设，，分别判断和是否为“整数等差函数”，直接写出结论； (2)若为“整数等差函数”，求实数的最小值； (3)已知的导函数在上为增函数，且存在一个正常数， 使得对任意，成立，证明：为“等差函数”的充要条件是为常值函数． 变式2．（24-25高三上·湖北宜昌·月考）函数的导函数记为，若对函数的定义域内任意实数，存在实数，使得不等式成立，则称函数为上的＂函数＂． (1)判断函数是否是上的“函数”，请说明理由； (2)若函数是上的“函数”，求实数的取值范围； (3)已知函数是上的“函数”．若对任意的，当时，都有成立，求实数的最大值． 变式3．（24-25高三上·江西赣州·月考）已知函数的导函数为，的导函数为，对于区间A，若与在区间A上都单调递增或都单调递减，则称为区间A上的自律函数． (1)若是R上的自律函数． （ⅰ）求a的取值范围； （ⅱ）若a取得最小值时，只有一个实根，求实数t的取值范围； (2)已知函数，判断是否存在b，c及，使得在上不单调，且是及上的自律函数，若存在，求出b与c的关系及b的取值范围；若不存在，请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $