精品解析：重庆市四川外国语大学附属外国语学校2025-2026学年高二下学期第四次定时作业数学试题

高2027届第4次定时作业 一.选择题（共8小题） 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的导数，再利用导数的定义求得答案. 【详解】函数，求导得， 所以. 2. 5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同的选择的种数为（ ） A. 60 B. 125 C. 240 D. 243 【答案】D 【解析】 【分析】有分步计算原理即可得出结果. 【详解】每个同学由3种选择方式，5名同学共有种选择方式 故选：D 3. 的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】求得中，常数项及项，即可求解. 【详解】因为中常数项为1，项的系数为， 所以的展开式中，的系数为， 故选：D 4. 过点作曲线的切线，则切点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设出切点坐标并对函数求导，求得在切点处的切线方程并代入点坐标解方程即可. 【详解】易知函数的定义域为， 设切点坐标为，则可得， 此时切线斜率为，因此切线方程为， 代入点可得，即， 解得，即切点坐标为. 故选：C 5. 函数的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，先研究的单调性与函数值的情况，再结合复合函数单调性求得的单调性与函数值的情况，进而结合选项即可得答案. 【详解】令，则, 所以，当时，，单调递减； 当时，，单调递增 所以， 又因为，所以的定义域为 所以，根据复合函数的单调性，在上单调递增，在上单调递减，且 根据以上性质，只有C选项满足. 故选：C 6. 的展开式中的常数项为（ ） A. 61 B. 29 C. 309 D. 308 【答案】C 【解析】 【详解】的展开式中的常数项为． 7. 若函数，当方程有2个解时，则的取值范围（ ） A. B. 或 C. D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的导数，判断其单调性，求得极值，作出其大致图象，数形结合，求得当方程有2个解时，的取值范围. 【详解】由函数，得， 当 时，，递减， 当 时，，递增， 故 ，且当 时，， 故大致图象如图示： 故当方程有2个解时，则的取值范围为， 故选：C 8. 若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，得，即，即． 设，则，因为0，所以在上单调递增，所以，即． 设，则， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 所以，所以． 二.多选题（共3小题） 9. 下列求导正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】借助导数运算法则逐项计算即可得. 【详解】对A：若，则，故A正确； 对B：若，则，故B错误； 对C：若，则，故C错误； 对D：若，则 ，故D正确. 10. 某城市的智能交通系统使用无人机参与街道交通的巡检，现有7架无人机，有甲、乙、丙、丁4条街道需要巡检，若7架无人机都参与且每架无人机只巡检一条街道，则下列结论正确的是（ ） A. 若无人机完全相同，每条街道至少有一架无人机巡检，则共有35种不同的巡检方案 B. 若无人机完全相同，允许有的街道不用无人机巡检，则共有120种不同的巡检方案 C. 若给无人机按1～7编号，它们排队依次起飞，其中1号、2号两架无人机不相邻，则共有3600种不同的顺序 D. 若给无人机按1～7编号，已知甲、乙两街各至少需要2架无人机，丙、丁两街各至少需要1架无人机，则共有2100种不同的巡检方案 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据隔板法判断AB；根据插空法判断C；分类讨论判断D． 【详解】对于A，把7架无人机排成一排，它们之间有6个空，选3个空插入隔板分为4组对应4条街道，共有种，故A错误； 对于B，借4架无人机，共11架，排成一排共有10个空，选3个空插入隔板分为4组，再将借的4架无人机还回去，共有种不同情况，故B正确； 对于C，先排其余5架无人机，共有种排法，这5架排好后形成6个空，选2个空插入1号，2号无人机，有种排法，所以共有种，故C正确； 对于D，分两种情况，按2,2,2,1分组，有种， 按分组，有种， 则共有种，故D正确． 11. 已知函数与交于，两点，如图截取两函数在，之间部分图象得到一条封闭曲线，则下列说法正确的是（ ） A. 封闭曲线关于直线对称 B. 若点的横坐标为，则 C. 封闭曲线上的点到直线距离的最大值为 D. 封闭曲线上存在互异的两点，，分别过，作的切线，斜率记为，，满足 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，由反函数的性质即可判断；对B，令，构造函数，利用导数判断单调性可得，令，判断单调性结合零点存在性定理可判断；对C，根据对称性，转化为曲线上斜率为1的切线对应的切点到直线的距离，求解；对D，结合C，求出曲线上斜率为1的切线对应的切点存在，得解. 【详解】对于A，由函数，可得， 所以函数与函数互为反函数，所以封闭曲线关于直线对称，故A正确； 对于B，令，则， 令，则，所以在R上单调递增， 又，可得，即， 令，则， 易知，，即单调递减， ，，即单调递增， 又，，所以，故B错误； 对于C，设，由B知，当时，单调递减， 又，，所以， 所以封闭曲线上点的横坐标取值范围为，其中，， 由，则，令，得， 所以上斜率为1的切线对应的切点为， 由对称性，封闭曲线上的点到直线距离的最大值为点到直线的距离， 所以距离的最大值为 ，故C正确； 对于D，由，则，令，得， 所以曲线上斜率为1的切线对应的切点为， 所以封闭曲线上存在互异的两点和，对应的切线的斜率相等，故D正确. 故选：ACD. 三.填空题（共3小题） 12. 如图将一个矩形划分为如下的A、B、C、D、E、F六个区域，现用四种不同的颜色对这六个区域进行染色，要求边界有重合部分的区域（顶点与边重合或顶点与顶点重合不算）染上不同的颜色，并且每一种颜色都要使用到，则一共有__________种不同的染色方案. 【答案】192 【解析】 【分析】法一：间隔元素分析法，分同色，同色；同色，不同色；不同色，同色；不同色，不同色，结合和的颜色相同和不同，分类讨论，得到情况数，相加即可； 法二：相邻最多元素优先分析法，考虑到影响的元素最多，分各不同色， 和同色，结合同色，不同色，同色，不同色，共有类讨论，分类讨论，得到情况数，相加即可 【详解】法一：间隔元素分析法： ①同色，同色，则有两种上色方式，被确定，故有种； ②同色，不同色，则仅有1中上色方式，被确定，故有种； ③不同色，同色，则若与同色，则有1种上色方式； 若与不同色，则只有1种上色方式； 故有种； ④不同色，不同色， 1）同色，则有种；2）不同色，则有种. 综上，共有种方式. 法二：相邻最多元素优先分析法： 考虑到影响的元素最多： ①各不同色，1）同色，则有3种染色法，故共有种； 2）不同色，则有2种染色法，故共有：种； ②同色，1）同色，则只有1种染色法（4种颜色都要使用到）， 故有种；2）不同色，则有2种染色法，故有种. 综上：共有种染色方案. 故答案为：192. 13. 已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】分析可知函数是上的增函数，也是奇函数，可将所求不等式等价变形为在上恒成立，令，其中，利用导数求出函数的最大值，即可得出实数的取值范围. 【详解】显然函数是上的增函数，也是奇函数， 因为在上恒成立， 即在上恒成立， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 令，其中，则， 令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 故． 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 14. 若函数的图象在、两点处的切线相互垂直，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义分析可得，然后得出，化简即可得解. 【详解】当时，，则， 当时，，则， 设函数的图象在、两点处的切线斜率分别为、， 若，则，不合题意； 若，则，不合题意； 若，则，可得，即， 所以 . 故答案为：. 四.解答题（共5小题） 15. 已知函数，曲线在点处的切线与直线平行. （1）求a的值； （2）求函数的单调区间. 【答案】（1） （2）单调递增区间为和，单调递减区间为. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，由导数的几何意义得切线的斜率，利用两直线平行，斜率相等即可求得a的值； （2）对函数求导，利用导数研究函数的单调性即可求解. 【小问1详解】 函数，则， 则，而直线的斜率为， 因为曲线在点处的切线与直线平行， 则，解得， 【小问2详解】 由（1）可知，所以，定义域为， ， 令，即，化简可得，解得， 当时，函数单调递增。由，即，解得或， 所以的单调递增区间为和， 当时，函数单调递减，由，即，解得， 所以的单调递减区间为； 综上， 的单调递增区间为和，单调递减区间为. 16. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，证明：. 【答案】（1） 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减， （2） 由题意得， 令，则， 令，，令，， 则在上单调递增，在上单调递减， 则的极小值为，而， 可得，即得证. 【解析】 【分析】（1）对参数范围进行讨论，再利用导数求解单调性即可. （2）利用导数求出单调区间，进而得到最值证明不等式即可. 【小问1详解】 因为，所以， 当时，可得，此时在上单调递增， 当时，令，， 令，， 则在上单调递增，在上单调递减， 综上可得，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减， 【小问2详解】 略 17. 在的展开式中，第4项的二项式系数和第2023项的二项式系数相等. （1）求展开式中所有二项式系数的和； （2）求展开式中所有奇数项的系数和； （3）求展开式中系数最大的项是第几项？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用二项式系数的性质求出值，进而可得二项式系数的和； （2）设，则，则所有奇数项的系数和等于 ，计算可解； （3）设展开式中系数最大的项是第项，列不等式计算即可求解. 【小问1详解】 因为，所以. 所以展开式中所有二项式系数的和等于. 【小问2详解】 设，则， 所以展开式中奇数项的系数即为展开式中奇次项的系数 所以展开式中所有奇数项的系数和等于. 【小问3详解】 设展开式中系数最大的项是第项， 则，解得， 又因为，所以， 所以展开式中系数最大项是第1351项. 18. 已知函数，． （1）当时，求函数的最小值； （2）当时，证明：在上存在2个不同的零点，且； （3）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）证明如下： 当时，，即，可得， 令，， 令，由定义域为，可得，解得， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以． 又时，时， 所以在上2个不同的零点，即在上2个不同的零点， 设，令，， 则， ∴在上单调递减，∴， ∴，即，又，， 而在上单调递增，，故． （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数单调性和函数导数之间的关系，求出函数导数，进而判断函数单调性，求出函数最值； （2）根据函数零点与函数导数之间的关系，进而求出函数单调性，根据函数单调性判断函数最值，判断函数零点，再构造函数，根据函数单调性列出不等式，证明结果即可； （3）根据不等式恒成立的条件，构造函数，根据函数导数求出函数单调性和最值，求出参数范围. 【小问1详解】 由题意可知． 当时，，在上单调递减， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 令在上恒成立． 记，．则， 所以原不等式等价于在上恒成立． 可知，令，． 当时，，即在上单调递增，即在上单调递增， ∴， 当即时，，在上单调递增，，不等式恒成立； 当即时，存在使得， 即存在使得在上单调递减，在上单调递增， 即在上，不等式不恒成立．所以； 当时，，，， 可知在上单调递增， ，．即在上有唯一解， 使得，即时，在上单调递减， 时，，在上单调递增， 因为， ∴存在，使得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 即在上单调递增，在上单调递减， 而，． ∴当时，，即在上单调递增， 而，∴，∴． 19. 已知函数. （1）若，，求函数的单调区间及极值； （2）若，，且在定义域内恒成立，求实数b的取值范围. 【答案】（1）单调增区间是，单调减区间是，极大值为，无极小值； （2） 【解析】 【分析】（1）先求出函数的定义域，求导判断函数的单调性，进而求出极大值，判断无极小值即可； （2）依题求出的值，即得函数解析式，由不等式参变分离可得在上恒成立，令，利用求导判断其单调性求出其最小值，即得参数范围. 【小问1详解】 当，时，，函数的定义域为， 所以，令，得， 当时，，在上是增函数； 当时，，在上是减函数， 所以的极大值为，无极小值， 所以函数的单调增区间是，单调减区间是， 极大值为，无极小值； 【小问2详解】 由，，得，则，故， 由，可得， 又∵，由上式可得在上恒成立， 令，可得， 令，解得， 当时，，在上是减函数； 当时，，在上是增函数， ∴，所以， 故实数b的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2027届第4次定时作业 一.选择题（共8小题） 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 2. 5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同的选择的种数为（ ） A. 60 B. 125 C. 240 D. 243 3. 的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. 2 D. 4 4. 过点作曲线的切线，则切点坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 的展开式中的常数项为（ ） A. 61 B. 29 C. 309 D. 308 7. 若函数，当方程有2个解时，则的取值范围（ ） A. B. 或 C. D. 且 8. 若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二.多选题（共3小题） 9. 下列求导正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 某城市的智能交通系统使用无人机参与街道交通的巡检，现有7架无人机，有甲、乙、丙、丁4条街道需要巡检，若7架无人机都参与且每架无人机只巡检一条街道，则下列结论正确的是（ ） A. 若无人机完全相同，每条街道至少有一架无人机巡检，则共有35种不同的巡检方案 B. 若无人机完全相同，允许有的街道不用无人机巡检，则共有120种不同的巡检方案 C. 若给无人机按1～7编号，它们排队依次起飞，其中1号、2号两架无人机不相邻，则共有3600种不同的顺序 D. 若给无人机按1～7编号，已知甲、乙两街各至少需要2架无人机，丙、丁两街各至少需要1架无人机，则共有2100种不同的巡检方案 11. 已知函数与交于，两点，如图截取两函数在，之间部分图象得到一条封闭曲线，则下列说法正确的是（ ） A. 封闭曲线关于直线对称 B. 若点的横坐标为，则 C. 封闭曲线上的点到直线距离的最大值为 D. 封闭曲线上存在互异的两点，，分别过，作的切线，斜率记为，，满足 三.填空题（共3小题） 12. 如图将一个矩形划分为如下的A、B、C、D、E、F六个区域，现用四种不同的颜色对这六个区域进行染色，要求边界有重合部分的区域（顶点与边重合或顶点与顶点重合不算）染上不同的颜色，并且每一种颜色都要使用到，则一共有__________种不同的染色方案. 13. 已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是_____． 14. 若函数的图象在、两点处的切线相互垂直，则___________. 四.解答题（共5小题） 15. 已知函数，曲线在点处的切线与直线平行. （1）求a的值； （2）求函数的单调区间. 16. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，证明：. 17. 在的展开式中，第4项的二项式系数和第2023项的二项式系数相等. （1）求展开式中所有二项式系数的和； （2）求展开式中所有奇数项的系数和； （3）求展开式中系数最大的项是第几项？ 18. 已知函数，． （1）当时，求函数的最小值； （2）当时，证明：在上存在2个不同的零点，且； （3）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 19. 已知函数. （1）若，，求函数的单调区间及极值； （2）若，，且在定义域内恒成立，求实数b的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $