精品解析：广东江门市新会华侨中2025—2026学年九年级下学期第一次学业素质展示数学试题

侨中25-26学年九年级下第一次学业素质展示数学试题 一、选择题：（以下每小题均为A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请把正确选项的字母选入该题的括号内，每小题3分，共30分） 1. 下列各数中：5，，0，，，，负数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【详解】解：5，，0，，，中， 负数有：，，，共个． 2. 据国内产品榜统计数据，某款搜索工具在上线仅20天后，其日活跃用户数（）迅速突破两千万大关，达22150000．将数据22150000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．据此求解即可． 【详解】解：． 故选：D． 3. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，直接利用二次根式的概念，被开方数不小于0，进而得出答案． 【详解】解：式子在实数范围内有意义，则， 解得：． 故选：C． 4. 如图，菱形的两条对角线相交于，若，，则菱形的周长是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由菱形的性质计算出和，利用勾股定理计算出，从而得出菱形的周长． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，，， 由勾股定理可得，， ∴菱形的周长为． 5. 同时掷两枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，下列事件中是不可能发生的事件是( ) A. 点数之和为12 B. 点数之和小于3 C. 点数之和大于4且小于8 D. 点数之和为13 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：找到一定不会发生的事件即可． 解：A、6点+6点=12点，为随机事件，不符合题意； B、例如：1点+1点=2点，为随机事件，不符合题意； C、例如：1点+5点=6点，为随机事件，不符合题意； D、两枚骰子点数最大之和为12点，不可能是13点，为不可能事件，符合题意． 故选D． 考点：随机事件． 6. 公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时．若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据工作效率和合作时间列方程． 【详解】解：设单独处理需x小时，则单独处理需小时， ∵总工作量为1， ∴的工作效率为，的工作效率为， 合作工作效率为， 合作时间小时完成， ∴， 即， 故选：D． 7. 如图，已知，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握全等三角形的对应角相等成为解题的关键． 先根据三角形内角和定理求得，然后根据全等三角形的对应角相等即可解答． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴． 故选C． 8. 二次函数（，为常数）的图象如图，有实数根的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用图象直接得出的取值范围即可． 【详解】解：一元二次方程有实数根，可以理解为和有交点， 由图可得， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了利用图象观察方程的解，正确利用数形结合是解此题的关键． 9. 如图直线ab，射线DC与直线a相交于点C，过点D作DE⊥b于点E，已知∠1＝25°，则∠2的度数为( ) A. 115° B. 125° C. 155° D. 165° 【答案】A 【解析】 【分析】如图，过点D作ca．由平行线的性质进行解题． 【详解】解：如图，过点D作ca． 则∠1=∠CDB=25°． 又ab，DE⊥b， ∴bc，DE⊥c， ∴∠2=∠CDB+90°=115°． 故选A． 【点睛】本题考查了平行线的性质．能正确作出辅助线是解决此题的关键． 10. 如图，E、F、G、H四点分别在正方形的四条边上，．若，，则的内切圆半径为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形内切圆的性质，掌握相关知识点是解题关键．根据正方形的性质证明全等，得到，设，利用勾股定理求出，，令的内切圆圆心为，连接、、，令切点为M，N，P，然后连接，，，则，，，根据内切圆的性质得到，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：正方形ABCD， ，， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：或， ，， 令的内切圆圆心为，连接、、，令切点为M，N，P，然后连接，，，则，，， 内切于， ， ， ， ， 解得：，即的内切圆半径为2， 故选：B． 二、填空题．请把下列各题的正确答案填写在横线上．（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：____________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题解题的关键是掌握及的运算法则．先计算，再计算，最后求差即可． 【详解】解：． 12. 若，，则的值为_________． 【答案】9 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的应用，熟记公式结构正确将原式分解因式是解题的关键． 通过因式分解，将原式化为，然后代入已知条件计算． 【详解】 ； ，， 所以原式 ． 故答案为：9． 13. 如图，在平面直角坐标系中，O为原点，正方形的顶点B在y轴正半轴上，且顶点A的坐标为，，则的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，正切的定义，由正方形的性质得到，由点A的坐标为，得到，利用勾股定理求出，最后由正切的定义即可求解． 【详解】解：四边形是正方形，， ∴， ∵点B在y轴正半轴上，点A的坐标为， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 如图，与位似，点为位似中心，若与的面积比为，则为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查位似图形，根据位似图形面积比是位似比的平方，对应点到位似中心的距离比也是位似比即可得解． 【详解】解：∵与位似，与的面积比为， ∴与位似的位似比是， ∴． 故答案为：． 15. 如图，点在以为直径的半圆上，，若，则的弧长是_____． 【答案】 【解析】 【分析】由圆周角定理可得，再根据弧长公式计算即可． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ， 的长是． 三、解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算与证明： （1）解不等式，把它的解集表示在如图所示的数轴上． （2）如图，为中点，，，．求证：． 【答案】（1）；解集表示在数轴上见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据去括号、移项、合并同类项、系数化为步骤进行求解即可； （2）根据平行线的性质可得，然后利用即可得证． 【小问1详解】 解：， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得； 解集表示在数轴上如图所示： 【小问2详解】 证明：， ， 在和中， ， ． 17. 安全教育是学校教育的重要环节，提高学生的安全意识，使其具备安全知识和自救能力，养成良好的安全行为习惯，对于保障学生的人身安全和营造平安和谐的校园环境有重要意义．某校为加强安全教育，开展了“防溺水”安全知识测试，现从中随机抽取50份测试卷，将测试成绩分成6组（得分用表示），如下表所示： 组别 分组 人数 5 7 10 a 10 6 请根据以上信息，完成下列问题： （1）_____； （2）这50份测试成绩的中位数在_____组 （3）若测试的平均分不低于70分，则认为该校的安全教育比较成功，否则需要每周加一节安全教育课，将40，50，60，70，80，90分别作为这六组成绩的平均分，估计该校是否需要给全校学生每周加一节安全教育课． 【答案】（1）12 （2）D （3）该校需要给全校学生每周加一节安全教育课 【解析】 【分析】（1）用50减去其它五组的人数，即可求解； （2）根据中位数的定义解答即可； （3）求出这50人测试的平均分，即可求解． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：∵A，B，C组的人数之和为，A，B，C，D组的人数之和为， ∴这50份测试成绩的中位数在D组； 【小问3详解】 解：， ∵， ∴该校需要给全校学生每周加一节安全教育课． 18. 如图，在中，． （1）实践与操作：用尺规作图法过点作边上的高；(保留作图痕迹，不要求写作法) （2）应用与计算：在（1）的条件下，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法作图即可，可用圆规以点D为圆心，在上找到两个点到点D的距离相等，再分别以这两个点为圆心，相等且大于这两点距离的一半为半径画弧，再找到一个到这两个点的距离相等的点，连接最后得到的点与点D所得线段所在的直线就是高所在的直线，据此画图即可； （2）先利用度角的余弦值求出，再由计算即可． 【小问1详解】 解：依题意作图如下，则即为所求作的高： 【小问2详解】 ∵，，是边上的高， ∴，即， ∴． 又∵， ∴， 即的长为． 【点睛】本题考查尺规作图—作垂线，度角的余弦值，掌握过直线外一点作垂线的方法和度角的余弦值是解题的关键． 四、解答题（每小题9分，共27分） 19. 如图，M是四边形对角线的交点，轴于点C，轴于点，反比例函数：的图象经过点M，M是的中点． （1）求经过点A的反比例函数的表达式； （2）若点D恰好也在图象上，证明：四边形是菱形． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题将反比例函数与四边形的性质结合，解题关键是利用反比例函数的性质和中点坐标求出相关点的坐标关系，再结合菱形的判定定理进行证明，考查了知识的综合运用能力． 设点M的坐标为，根据点M在反比例函数上，求出，根据轴，M是的中点，求出点A的坐标，设经过点A的反比例函数的表达式为，代入点A的坐标即可解答； 根据题意证明与互相垂直平分即可得证． 【小问1详解】 解：设点M的坐标为， 点M在反比例函数上， ， 轴，M是的中点， 点A的坐标为， 设经过点A的反比例函数的表达式为， 把代入可得， 即， 又， ， 则反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 证明：设点M的坐标为， 轴， 点D的纵坐标与点M的纵坐标相同， 点D在图象上， 点D的坐标为， 由知，，即， 点M的坐标为， ， 是的中点， ； 轴，轴， 轴，轴， 即， 四边形是菱形． 20. 随着时代的发展，手机“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流．某种手机支架如图1所示，立杆垂直于地面，其高为，为支杆，它可绕点旋转，其中长为，为悬杆，滑动悬杆可调节的长度． （参考数据：） （1）如图2，当三点共线，时，且支杆与立杆之间的夹角为，求端点距离地面的高度； （2）调节支杆，悬杆，使得，，如图3所示，且点到地面的距离为，求的长．（结果精确到） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作，垂足为，根据已知易得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）过点D作交于点，过点C作，交于点K，交于点H，则，，得，由得，在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得，从而可得，进而得，最后利用平角定义可得，从而在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答． 【小问1详解】 解：如图所示，过点D作，垂足为E， ， ， 在中，， ， ， ， 端点D距离地面的高度为； 【小问2详解】 解：如图所示，过点D作交于点，过点C作，交于点K，交于点H， 由题意得，，， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， 在中，， ． 21. 综合与实践 【项目主题】配方法的应用． 【项目准备】 （1）利用完全平方公式将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．配方法是一种重要的数学方法，常用于求代数式的最值．例如：求代数式的最小值，由____①_____可知，当时，有最小值，最小值是_____②_____．配方法也可以对一些多项式进行因式分解，例如：分解因式，原式_____③_____＝____④_____ 【项目解决】 （2）当分别为的三边长，且满足时，c的取值范围是__⑤_____； （3）如图，在四边形中，．若，则四边形面积的最大值为_____⑥_____． 【答案】（1）；；； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据配方法进行配方即可； （2）把化为，再进一步求解即可； （3）由，结合，再进一步求解即可. 【小问1详解】 解：由可知，当时，有最小值，最小值是． 配方法也可以对一些多项式进行因式分解， 例如：分解因式，原式. 【小问2详解】 解：， ， ， ，， ，， ∵， ∴． 【小问3详解】 解：∵在四边形中，， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴四边形面积的最大值为. 五、解答题（每小题12分，共24分） 22. 某校数学兴趣小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动． 【研究背景】羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直． 【收集数据】某次羽毛球飞行的高度y（单位：m）与距发球点的水平距离x（单位：m）的对应值如下表（不考虑空气阻力）． 水平距离x/m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 … 竖直高度y/m 1.1 1.8 2.3 2.6 2.7 2.6 2.3 m 1.1 … 【探索发现】数学小组借助计算机画图软件，建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现羽毛球飞行路线是抛物线的一部分． 【建立模型】 （1）根据表格直接写出顶点坐标与m的值． 【应用模型】 （2）保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变，发球点高度不变，改变发球位置，设解析式为发球点与球网的水平距离是．若羽毛球飞过球网正上方时，飞行的高度超过，且球的落地点与球网的水平距离小于．求b的取值范围． 【答案】（1）顶点坐标为， （2）b的取值范围为 【解析】 【分析】（1）把，代入，用待定系数法求出函数解析式即可解答； （2）根据题意知，当时，，当时，，解不等式组求出b的取值范围． 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为， 把，代入得： ， ∴． ∴， ∴顶点坐标为， 当时，； 【小问2详解】 解：∵保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变， ∴， ∴解析式为， 当时，， 解得； ∵球的落地点与球网的水平距离小于6， ∴当时，， 解得， ∴b的取值范围为． 23. 在一次数学课上，老师请同学们思考如何通过折纸的方法来确定正方形一边上的一个三等分点． 【操作探究】 “乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作： 第 1 步：如图 1，将边长为6的正方形纸片对折，使点A与点 B 重合，展开铺平，折痕为； 第 2 步：再将边沿翻折得到； 第 3 步：延长交于点H，则点H为边的三等分点． 证明如下：连接，正方形沿折叠， ，， 又， （①） ．设， ∵E是的中点，则， 在中，可列方程： ② ， 解得： ，即H是边的三等分点． “破浪”小组进行如下操作： 第 1 步：如图 2 所示，先将正方形纸片对折，使点A与点B重合，展开铺平，折痕为； 第 2 步：再将正方形纸片对折，使点B与点D重合，展开铺平，折痕与折痕交于点G； 第 3 步：过点G 折叠正方形纸片，使折痕． 【过程思考】 （1）“乘风”小组的证明过程中，①处的推理依据是 ； ②处所列方程是 ； （2）结合“破浪”小组操作过程，判断点M是否为边的三等分点，并证明你的结论； 【拓展提升】 （3）①如图 3，将矩形纸片对折，使点A和点D重合，展开铺平，折痕为，将沿翻折得到，过点G折叠矩形纸片，使折痕 ，若，求的值． ②在边长为6的正方形中，点E是射线上一动点，连接，将沿翻折得到，直线与直线交于点H．若，请直接写出的长． 【答案】（1）①HL②（2）点M是边的三等分点，证明见解析 （3） ①3；②3或12 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理和勾股定理即可得到答案． （2）证明，得，再根据平行线的性质即可求解． （3）①根据中点的定义、矩形的性质、折叠的性质可得．，，再证明四边形是矩形可得、；然后证明可得；设，，则、、、、，然后代入求得x的值，进而求得，最后求比例即可；②分点H在线段上和点H在的延长线上两种情况，分别根据正方形的性质、勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：（1）如图：连接， ∵正方形沿折叠， ，， 又， （） ．设， ∵E是的中点，则， 在中，可列方程：． 解得： ，即H是边的三等分点． 故答案为：，． （2）点M是边的三等分点， 证明如下： 分别是的中点，正方形， ∴， ，， ， ， ∵， ∴， ，即． ∴点M是边的三等分点． （3）①分别是的中点， ∴， 结合折叠的性质可得：．，， ∴， ∵， ． ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 设，，则，，，， ∴， ∴，整理得：，解得：或（舍弃）， ∴， ∴； ②如图∶当点H在线段上时，则， 设，则 ∴在中，由勾股定理得，，解得：； ； 如图∶当点H在的延长线上时，连接， ∵正方形的边长为6， ，． 由折叠的性质得∶， 又∵， ， ． 设． ，． 在，由勾股定理，可知， ，解得． 综上所述，的长为3或12． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、折叠的性质、正方形的性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 侨中25-26学年九年级下第一次学业素质展示数学试题 一、选择题：（以下每小题均为A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请把正确选项的字母选入该题的括号内，每小题3分，共30分） 1. 下列各数中：5，，0，，，，负数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 据国内产品榜统计数据，某款搜索工具在上线仅20天后，其日活跃用户数（）迅速突破两千万大关，达22150000．将数据22150000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，菱形的两条对角线相交于，若，，则菱形的周长是（ ）． A. B. C. D. 5. 同时掷两枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，下列事件中是不可能发生的事件是( ) A. 点数之和为12 B. 点数之和小于3 C. 点数之和大于4且小于8 D. 点数之和为13 6. 公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时．若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 8. 二次函数（，为常数）的图象如图，有实数根的条件是（ ） A. B. C. D. 9. 如图直线ab，射线DC与直线a相交于点C，过点D作DE⊥b于点E，已知∠1＝25°，则∠2的度数为( ) A. 115° B. 125° C. 155° D. 165° 10. 如图，E、F、G、H四点分别在正方形的四条边上，．若，，则的内切圆半径为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题．请把下列各题的正确答案填写在横线上．（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：____________． 12. 若，，则的值为_________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，O为原点，正方形的顶点B在y轴正半轴上，且顶点A的坐标为，，则的值为______． 14. 如图，与位似，点为位似中心，若与的面积比为，则为__________． 15. 如图，点在以为直径的半圆上，，若，则的弧长是_____． 三、解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算与证明： （1）解不等式，把它的解集表示在如图所示的数轴上． （2）如图，为中点，，，．求证：． 17. 安全教育是学校教育的重要环节，提高学生的安全意识，使其具备安全知识和自救能力，养成良好的安全行为习惯，对于保障学生的人身安全和营造平安和谐的校园环境有重要意义．某校为加强安全教育，开展了“防溺水”安全知识测试，现从中随机抽取50份测试卷，将测试成绩分成6组（得分用表示），如下表所示： 组别 分组 人数 5 7 10 a 10 6 请根据以上信息，完成下列问题： （1）_____； （2）这50份测试成绩的中位数在_____组 （3）若测试的平均分不低于70分，则认为该校的安全教育比较成功，否则需要每周加一节安全教育课，将40，50，60，70，80，90分别作为这六组成绩的平均分，估计该校是否需要给全校学生每周加一节安全教育课． 18. 如图，在中，． （1）实践与操作：用尺规作图法过点作边上的高；(保留作图痕迹，不要求写作法) （2）应用与计算：在（1）的条件下，，，求的长． 四、解答题（每小题9分，共27分） 19. 如图，M是四边形对角线的交点，轴于点C，轴于点，反比例函数：的图象经过点M，M是的中点． （1）求经过点A的反比例函数的表达式； （2）若点D恰好也在图象上，证明：四边形是菱形． 20. 随着时代的发展，手机“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流．某种手机支架如图1所示，立杆垂直于地面，其高为，为支杆，它可绕点旋转，其中长为，为悬杆，滑动悬杆可调节的长度． （参考数据：） （1）如图2，当三点共线，时，且支杆与立杆之间的夹角为，求端点距离地面的高度； （2）调节支杆，悬杆，使得，，如图3所示，且点到地面的距离为，求的长．（结果精确到） 21. 综合与实践 【项目主题】配方法的应用． 【项目准备】 （1）利用完全平方公式将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．配方法是一种重要的数学方法，常用于求代数式的最值．例如：求代数式的最小值，由____①_____可知，当时，有最小值，最小值是_____②_____．配方法也可以对一些多项式进行因式分解，例如：分解因式，原式_____③_____＝____④_____ 【项目解决】 （2）当分别为的三边长，且满足时，c的取值范围是__⑤_____； （3）如图，在四边形中，．若，则四边形面积的最大值为_____⑥_____． 五、解答题（每小题12分，共24分） 22. 某校数学兴趣小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动． 【研究背景】羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直． 【收集数据】某次羽毛球飞行的高度y（单位：m）与距发球点的水平距离x（单位：m）的对应值如下表（不考虑空气阻力）． 水平距离x/m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 … 竖直高度y/m 1.1 1.8 2.3 2.6 2.7 2.6 2.3 m 1.1 … 【探索发现】数学小组借助计算机画图软件，建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现羽毛球飞行路线是抛物线的一部分． 【建立模型】 （1）根据表格直接写出顶点坐标与m的值． 【应用模型】 （2）保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变，发球点高度不变，改变发球位置，设解析式为发球点与球网的水平距离是．若羽毛球飞过球网正上方时，飞行的高度超过，且球的落地点与球网的水平距离小于．求b的取值范围． 23. 在一次数学课上，老师请同学们思考如何通过折纸的方法来确定正方形一边上的一个三等分点． 【操作探究】 “乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作： 第 1 步：如图 1，将边长为6的正方形纸片对折，使点A与点 B 重合，展开铺平，折痕为； 第 2 步：再将边沿翻折得到； 第 3 步：延长交于点H，则点H为边的三等分点． 证明如下：连接，正方形沿折叠， ，， 又， （①） ．设， ∵E是的中点，则， 在中，可列方程： ② ， 解得： ，即H是边的三等分点． “破浪”小组进行如下操作： 第 1 步：如图 2 所示，先将正方形纸片对折，使点A与点B重合，展开铺平，折痕为； 第 2 步：再将正方形纸片对折，使点B与点D重合，展开铺平，折痕与折痕交于点G； 第 3 步：过点G 折叠正方形纸片，使折痕． 【过程思考】 （1）“乘风”小组的证明过程中，①处的推理依据是 ； ②处所列方程是 ； （2）结合“破浪”小组操作过程，判断点M是否为边的三等分点，并证明你的结论； 【拓展提升】 （3）①如图 3，将矩形纸片对折，使点A和点D重合，展开铺平，折痕为，将沿翻折得到，过点G折叠矩形纸片，使折痕 ，若，求的值． ②在边长为6的正方形中，点E是射线上一动点，连接，将沿翻折得到，直线与直线交于点H．若，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $