精品解析：山东省泰安一中青年路校区2025-2026学年高二4月诊断测试数学试题

泰安一中2025—2026学年下学期4月份学情检测 高二数学试题 时间：120分钟 总分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 0 2. 曲线在点处的切线方程为，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 3. 已知，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则“”是“，且，恒成立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 5. 集合，，从，中各取一个元素，作为点的坐标，可以得到不同的点的个数是（ ） A. 12 B. 11 C. 6 D. 5 6. 已知函数，若且，则的最小值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 7. 在许多实际问题中，一个因变量往往与几个自变量有关，即因变量的值依赖于几个自变量，这样的函数称为多元函数.例如，某种商品的市场需求量不仅与其市场价格有关，而且与消费者的收入以及这种商品的其他代用品的价格等因素有关，即决定该商品需求量的因素不止一个而是多个.我们常常用偏导数来研究多元函数.以下是计算二元函数在处偏导数的全过程：，，所以，，由上述过程，二元函数，则（ ） A. 1 B. C. D. 8. 已知函数，，若对，，使成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 时，取得最大值 B. 时，取得极大值 C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 当时，函数的最大值为 B. 若函数图象的对称中心为，则 C. 函数在上一定存在减区间 D. 函数必有3个零点 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 在上单调递减 C. 时，的最小值是0 D. 在内有且只有4个极值点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 给如图所示的四个区域涂色，有4种不同的颜色可选，相邻区域颜色不能相同，则共有______种不同的涂色方案. 13. 已知函数的导函数为，且对任意，，若，则不等式的解集为______． 14. 若过点的任意一条直线都不与曲线相切，则实数的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 有一项活动，要从2位老师，2名男同学，3名女同学中指定人员参加. （1）只需一人，有多少种不同的选法？ （2）需要两人，一位老师，一位学生，有多少种不同的选法？ （3）需要三人，一位老师，两位学生，有多少种不同的选法？ 16. 已知函数f(x)＝kx3－3(k＋1)x2－k2＋1(k>0)，且f(x)的减区间是(0， 4)． （1）求实数k的值； （2）当x>k时，求证：2>3－. 17. 已知某企业生产一种产品的固定成本为400万元，每生产万件，需另投入成本万元，假设该企业年内共生产该产品万件，并且全部销售完，每1件的销售收入为100元，且 （1）求出年利润（万元）关于年生产零件（万件）的函数关系式（注：年利润年销售收入年总成本）； （2）将年产量定为多少万件时，企业所获年利润最大. 18. 已知函数. （1）若曲线在处的切线与直线平行，求实数的值； （2）若函数在内不单调，求实数的取值范围. （3）若在上单调递增，求实数的取值范围. 19. 已知函数，是两个不同的正数，且满足. （1）讨论的单调性； （2）若函数在闭区间上的最大值为0，求的值； （3）当时，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泰安一中2025—2026学年下学期4月份学情检测 高二数学试题 时间：120分钟 总分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据瞬时变化率的概念计算． 【详解】 ． 2. 曲线在点处的切线方程为，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】由题可知， 且曲线在点处的切线方程为，即， 所以，所以 3. 已知，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，且等号仅在  时成立， 所以在上严格单调递增， 由可得，解得或， 所以不等式的解集为. 4. 已知，则“”是“，且，恒成立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】“，且，恒成立”等价于函数在上单调递减， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 所以，因为 显然“”是“”的必要不充分条件， 即 “”是“，且，恒成立”的必要不充分条件. 5. 集合，，从，中各取一个元素，作为点的坐标，可以得到不同的点的个数是（ ） A. 12 B. 11 C. 6 D. 5 【答案】B 【解析】 【详解】从中取一个元素作为横坐标，从中取一个元素作为纵坐标，共有个； 从中取一个元素作为横坐标，从中取一个元素作为纵坐标，共有个； 又点重复，故可以得到不同的点的个数是个． 6. 已知函数，若且，则的最小值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】令，由已知得，， ∴，令，， 令，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， ∴. 7. 在许多实际问题中，一个因变量往往与几个自变量有关，即因变量的值依赖于几个自变量，这样的函数称为多元函数.例如，某种商品的市场需求量不仅与其市场价格有关，而且与消费者的收入以及这种商品的其他代用品的价格等因素有关，即决定该商品需求量的因素不止一个而是多个.我们常常用偏导数来研究多元函数.以下是计算二元函数在处偏导数的全过程：，，所以，，由上述过程，二元函数，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】，， 所以 8. 已知函数，，若对，，使成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的性质得到的值域，利用导数求出的值域，结合恒成立及存在性问题得到值域的关系，再列不等式求解． 【详解】解：函数，开口向下，对称轴为， 时，， ，， 令，解得， 则时，，单调递减， 时，，单调递增， ，又， 则时，， 对，，使成立， ， ，解得． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 时，取得最大值 B. 时，取得极大值 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】通过导函数图象，确定函数的单调区间，再结合选项逐个判断即可. 【详解】由导函数图象可知当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 选项A：因为 在上单调递增，且，因此在 处取不到最大值，A错误， 选项B：左侧 ， 单调递增；右侧 ， 单调递减， 且，因此 时 取得极大值，B正确， 选项C：由 ，且  在 单调递增，可得 ，C正确， 选项D：在单调递增，因此 ，故不成立，D错误. 10. 已知函数，则（ ） A. 当时，函数的最大值为 B. 若函数图象的对称中心为，则 C. 函数在上一定存在减区间 D. 函数必有3个零点 【答案】BCD 【解析】 【详解】A选项：当时，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当x无限趋于正无穷大时，也无限趋于正无穷大， 当x无限趋于负无穷大时，也无限趋于负无穷大， 所以没有最大值，选项A错误； B选项：法一：，令， 则，结合三次函数对称性可知，所以，选项B正确； 法二：若函数图象的对称中心为， 则对任意实数，恒有， 所以，代入化简得； C选项：，， 所以，解得，或， 所以当时， 所以在上单调递减，C选项正确； D选项：，显然， 令，，又， 所以有两个不为0的根，所以有3个零点，D选项正确. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 在上单调递减 C. 时，的最小值是0 D. 在内有且只有4个极值点 【答案】ACD 【解析】 【分析】由奇偶性的概念可判断A，通过求导确定单调性，再结合函数对称性可判断BCD. 【详解】A选项：定义域为， ，是奇函数，选项正确； B选项：，，， 故在上单调递增，选项错误； C选项：当，，， 故在单调递增，所以的最小值是，选项正确； D选项：，，解得：或， 当时，，当，， 当时，， 即在，单调递增，在单调递减， ∴在内有且只有2个极值点， 结合奇函数的对称性，在内有且只有4个极值点，选项正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 给如图所示的四个区域涂色，有4种不同的颜色可选，相邻区域颜色不能相同，则共有______种不同的涂色方案. 【答案】84 【解析】 【详解】当A和C颜色相同， 第一步涂A：共4种颜色可选，所以有种选择； 第二步涂B：由于B与A不同色，只有剩下的种颜色可选，所以有种选择； 第三步涂C：由于C与A同色，只有种选择； 第四步涂D：此时D仅需与A（C）不同色，有种选择； 所以根据分步计数乘法原理可知此类方案数为：； 当A和C颜色不同， 第一步涂A：共4种颜色可选，所以有种选择； 第二步涂B：由于B与A不同色，只有剩下的种颜色可选，所以有种选择； 第三步涂C：由于C与A不同色，且与B不同，只有剩下的种颜色可选，所以有种选择； 第四步涂D：此时D既与A不同色，又与C不同色，由于A与C也不同色，故只有种选择； 所以根据分步计数乘法原理可知此类方案数为：； 利用分类计数加法原理，把这两类相加可得总方案数为：. 13. 已知函数的导函数为，且对任意，，若，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】构造，求导，再利用函数单调性解不等式即可． 【详解】构造，， ∴在上单调递增，又， 则不等式可转化为，即, 故，故解集为． 14. 若过点的任意一条直线都不与曲线相切，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】设出切点，求出切线方程，问题转化为无实根，求出方程有实数解对应的的范围，由此可得结论. 【详解】设点为曲线C上任意一点， 由，得， 则曲线C在点B处的切线l的方程为． 据题意，切线l不经过点， 则关于的方程无实根， 即无实根， 假设方程有解. 因为时，方程无解， 所以方程有解等价于方程有解， 设，则， 当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增. 又当时，；当时，. ，，当时，；当时，， 根据以上信息，作出函数的大致图象， 观察图象，可得当时，方程有解， 所以或， 所以由无实根，可得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 有一项活动，要从2位老师，2名男同学，3名女同学中指定人员参加. （1）只需一人，有多少种不同的选法？ （2）需要两人，一位老师，一位学生，有多少种不同的选法？ （3）需要三人，一位老师，两位学生，有多少种不同的选法？ 【答案】（1）7 （2）10 （3）20 【解析】 【分析】（1）若只需选1人参加，用分类加法计数原理求出全部不同选法即可； （2）将男生女生归为一类，再用分步乘法计数原理求出所有不同选法即可. （3）用分步乘法计数原理，求出所有不同的选法； 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 . 16. 已知函数f(x)＝kx3－3(k＋1)x2－k2＋1(k>0)，且f(x)的减区间是(0， 4)． （1）求实数k的值； （2）当x>k时，求证：2>3－. 【答案】（1）k＝1 （2） 令g(x)＝2＋－3， g′(x)＝－. 令g′(x)＝0，得x＝1. 当x＞1时，g′(x)>0， g(x)＝2＋－3在(1，＋∞)上单调递增． 又因为g(1) ＝0， x＞k＝1，所以g(x)＞0，则2>3－. 【解析】 【分析】（1）由题意知f′(x)＝0的两根为0和4，计算即可得出结果. （2）构造函数g(x)＝2＋－3，利用导数求出函数最值即可得出结果. 【小问1详解】 f′(x)＝3kx2－6(k＋1)x＝3kx， k＞0. 由题意知f′(x)＝0的两根为0和4，故＝4，解得k＝1； 【小问2详解】 略 17. 已知某企业生产一种产品的固定成本为400万元，每生产万件，需另投入成本万元，假设该企业年内共生产该产品万件，并且全部销售完，每1件的销售收入为100元，且 （1）求出年利润（万元）关于年生产零件（万件）的函数关系式（注：年利润年销售收入年总成本）； （2）将年产量定为多少万件时，企业所获年利润最大. 【答案】（1） （2）80万件 【解析】 【分析】（1）根据售价和成本，分段求出函数式即可； （2）根据已求的利润表达式，结合导数和基本不等式的知识分段求最值并比较即可. 【小问1详解】 由题意得，总售价固定为， 当产量不足60万箱时，. 当产量不小于60万箱时，. 则 【小问2详解】 设， 当时，，令，得， 得在上单调递增，在上单调递减， 则； 当时，由基本不等式有 当且仅当，即时取等号； 又因为，所以当时，所获利润最大，最大值为1300万元 18. 已知函数. （1）若曲线在处的切线与直线平行，求实数的值； （2）若函数在内不单调，求实数的取值范围. （3）若在上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，结合两条直线平行的性质进行求解即可； （2）根据函数在内不单调，即有解，再参变分离得到参数的取值范围，注意端点值的讨论； （3）根据函数导函数与单调性的关系，结合换元法、一元二次不等式解集的性质进行求解即可． 【小问1详解】 因为， 所以， 曲线在处的切线与直线平行， 而直线的斜率为， 所以，得； 【小问2详解】 已知在内不单调， 即在内有极值点， 令，则， 又，∴， 当时，恒成立，不合题意， 综上，； 【小问3详解】 因为在上单调递增，所以在上恒成立， 所以，即， 令，，即， 令，，要使， 只需，解得， 即实数的取值范围是． 19. 已知函数，是两个不同的正数，且满足. （1）讨论的单调性； （2）若函数在闭区间上的最大值为0，求的值； （3）当时，证明：. 【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减. （2） （3）法1：由（1），令，，当时，由，得，整理可得， ，，∴. 要证明，只需证明， 即证， 即证，即，两边取自然对数，即证， 化简转化为要证， 又，即证， 设，， ， 设，，所以在上单调递增， 所以，即，从而在上单调递增， 所以，故原命题成立. 法2： 由题意，若记，那么，是两根，，可转化为，是两根， 令，，令，，解，； ，，所以在上单调递增，在上单调递减， 不妨设，要证，即，只需证， 只需证， 令，， 当时，，， ∴，在上单调递增，，式得证，目标得证． 【解析】 【分析】（1）利用导数讨论函数单调性即可； （2）分、、三种情况，根据单调性得到最大值，再求即可； （3）法1：根据题意转化为证，再构造函数，利用导数证明恒成立即可；法2：由题知，是两根，即，是两根，根据极值点偏移构造，即可． 【小问1详解】 解：函数的定义域为，， 由，可得，由，可得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 由（1），当时，，在上单调递增， ，∴； 当时，，在上单调递减，，与前提矛盾，舍去； 当时，在上单调递增，在上单调递减，，不合题意； 综上，； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $