精品解析：江西南昌中学三经路校区2025-2026学年度第二学期4月份考试高一数学试题

2025~2026学年度第二学期南昌中学三经路校区4月份考试 高一数学 命题人：赵媛 审题人：谢姝颖 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的. 1. 下列各角中，与角终边相同的角是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用终边相同的角的定义求解. 【详解】因为，所以与角终边相同的角是. 故选：A. 2. 是的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据任意角的余弦值结合充分、必要条件分析判断即可. 【详解】若，则不一定成立，例如，即充分性不成立； 若，则，所以是的必要条件，即必要性成立； 故选：B. 3. 已知，，则，，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用诱导公式将不同名化同名比较与的大小，然后再比较与的大小，从而得出结论. 【详解】因为，且， 所以. 故选：. 【点睛】本题考查三角函数值大小的比较，较简单. 注意函数名的转化及三角函数单调性的应用. 4. 若函数为偶函数，则取得最小值时，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦型函数的图象和性质，结合已知条件推出的取值范围，再求出取得最小值时的值，从而求解. 【详解】根据正弦函数的图象和性质，若为偶函数，则， 已知函数为偶函数，则需满足，所以. 当时，，；当时，，， 所以取得最小值. 所以. 故选：C. 5. 已知在中，点在边上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的线性运算即可. 【详解】在中，，又点在边上，且， 则， 故选：A. 6. 若点是函数的图像的一个对称中心，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】令，得. 所以函数的图像的对称中心为. 若点是函数的图像的一个对称中心， 令，得. 当时，取得最小值，最小值为. 7. 已知平面向量且，则一定共线的三点是（    ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】先考虑向量共线时，的位置关系，再考虑向量不共线时，利用向量共线定理和平面向量基本定理逐项判断即可. 【详解】若向量共线，则共线，此时共线， 当向量不共线时， 对于A选项， ，所以三点共线，A正确； 对于B选项，设 ，则 ，即 无解，B错误； 对于C选项，设 ，则 ，即 ，无解，C错误； 对于D选项， ，设 ， 即 ，即 ，无解，D错误． 故选：A 8. 当时，函数的零点个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】令，然后通过分析方程在给定区间内的解的个数来确定函数的零点个数. 【详解】令，即，移项可得， 对于，其周期；对于，其周期； 当时，画出两个函数图象为： 由图象可以看出，方程在给定区间内的解的个数为6， 所以函数的零点个数为6. 二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的有（ ） A. B. 已知角的终边在上，则 C. 已知点在第四象限，则角终边在第二象限 D. 终边落在直线上的角的集合是 【答案】BC 【解析】 【分析】根据角的终边位置可判断A，根据齐次式特征可判断B，根据函数值的符号可判断C，结合角的终边位置可判断D. 【详解】对于A，因为，，所以，故，A不正确； 对于B，因为角的终边在上，所以，所以，B正确； 对于C，因为点在第四象限，所以，所以角终边在第二象限，C正确； 对于D，终边落在直线上的角的集合是，D不正确. 10. 已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 为奇函数 B. 函数的图象关于点对称 C. 在上单调递增 D. 若函数在上没有零点，则 【答案】BD 【解析】 【分析】利用“五点法”，结合图象求得，从而求得判断A，利用代入检验法判断B，利用检验最值点法判断C，利用正弦函数的性质得到关于的不等式，从而判断D. 【详解】依题意，可得，又，则，所以， 结合五点法作图，可得，则，所以， 对于A，，显然是偶函数，故A错误； 对于B，，故函数的图象关于点对称，故B正确； 对于C，当时，，函数取得最大值， 所以在上不是单调增函数，故C错误； 对于D，因为，则， 因为，当时，， 因为在上没有零点， 可得，解得，故D正确， 故选：BD. 11. 已知函数在区间上有且只有三个零点，则（ ） A. 是的一个周期 B. 的最大值为 C. 的取值范围是 D. 在区间可能有个解 【答案】BCD 【解析】 【分析】先求出整体角的范围，作出的图象，根据题意即可求得，判断C项；取，得，利用周期定义检验判断A项；利用函数在上的图象即可判断B，对D，直接求出的解，进而可得时，在区间至少有个解，即可求解.. 【详解】因，设，则，作出函数的图象如下： 要使函数在区间上有且只有三个零点， 需使，解得，故C正确； 不妨取，则，所以， 因为，此时不是的一个周期，故A错误； 又由图知，函数在区间上取得两个极大值，也是最大值，为1，故B正确， 对于D，由，即，得到或， 即或， 因为，所以从小到大的个非负根为， 当，即时，在区间至少有个解， 又，且，所以D正确. 三、填空题：共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，若，则_________. 【答案】0 【解析】 【详解】因为向量，所以， 若，则，解得. 13. 如图所示，这是两个齿轮旋转的示意图，被动轮随着主动轮的旋转而旋转.已知主动轮的半径为2，被动轮的半径为3，若主动轮旋转一周，则被动轮旋转的弧度数为______. 【答案】 【解析】 【分析】由主动轮和被动轮转过的弧长相等即可得结果. 【详解】根据题意可设被动轮旋转的弧度数为， 由于主动轮和被动轮转过的弧长相等，即，即， 故答案为：. 14. 已知点，则与向量方向相反的单位向量是_________. 【答案】 【解析】 【详解】由,则，所以与向量方向相反的单位向量是 四、解答题：共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或验算步骤. 15. 已知． （1）化简； （2）若是第二象限角，且，求的值； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简即可； （2）利用同角三角函数公式求出即可求解； （3）根据即可求解. 【小问1详解】 由题； 【小问2详解】 是第二象限角，且，， 则； 【小问3详解】 ， ． 16. （1）已知角的终边过点，求的值． （2）已知终边上一点，且，求的值． 【答案】（1）若，则；若，则．（2） 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的定义进行求解即可； （2）利用任意角的余弦函数的定义，求得，即可求得的值. 【详解】（1）， ①若，则，角是第二象限角， 所以， 所以． ②若，则，角是第四象限角， 所以． 所以． 综上，若，则；若，则． （2）由题意知， 由三角函数定义得． 又． ，，. 所以． 17. 如图，在中，点满足是线段的中点，过点的直线与边分别交于点. （1）若，求和的值； （2）若，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用基底法，用表示出，即可求解. (2)先根据已知条件，得到，，再根据，即可得，再根据三点共线，得，再由基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 又是线段的中点，所以， 又，且不共线， 所以. 【小问2详解】 因为， ， 由（1）可知，，所以， 因为三点共线，所以，即 又， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 18. 如图为一个水轮的示意图，水轮的半径为1米，水轮圆心距离水面米.以圆心为坐标原点，平行于水面为轴，垂直于水面为轴建系.已知水轮每分钟逆时针转动5圈，如果当水轮上点刚好到达水面处（图中点）开始计算时间，点离开水面处记作点. （1）当，点在转动过程中第一次使得时，记水轮与轴交于点，，求此时的值； （2）当时，求点距离水面的高度米，表示为时间秒的函数，并求点第一次到达最高点所需要的时间. 【答案】（1） （2），8秒 【解析】 【分析】（1）通过余弦定理求出圆心角，再通过角度变形与诱导公式将转化为，最后结合的坐标即得结果； （2）先根据水轮转速求出角速度，结合初始角度写出点的坐标，进而得到高度函数，再通过最高点的高度条件列方程即可求解时间. 【小问1详解】 由，根据余弦定理：，所以， 又， ，即， ， 又由，则， 故. 【小问2详解】 因为水轮每分钟逆时针转动5圈，则每秒逆时针转动， 由，可得， 可知秒后点， 则点到水面的高度为， 当第一次到达最高点时，即时，此时， 所以，即，所以 故点第一次到达最高点所需要的时间为8秒. 19. 已知函数的部分图象如图所示，函数的图象与轴的交点的纵坐标为. （1）求函数的解析式，并求其单调递减区间； （2）若函数在区间上的值域为，求实数的取值范围； （3）如图过点的直线与的图象交于点，且，求点的纵坐标. （参考公式：） 【答案】（1），单调减区间为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件，直接求出，即可求出的解析式，再由正弦函数的性质，即可求解； （2）根据条件，利用正弦函数的图象与性质，得，即可求解； （3）将的图象及点向量左平移个单位，设，根据条件可得，即可求解. 【小问1详解】 由图可知函数的周期为，则， 又由，可得， 又由图可知，有，有， 又由，所以，解得， 又由图可知，有，可得. 故函数的解析式为， 由，解得， 所以函数的单调减区间为. 【小问2详解】 当时，，因为， 又函数在区间上的值域为， 由正弦函数的图象和性质可知，解得， 所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 将函数的图象左移个单位，得到，又，将向左移个单位，得到， 又平移后仍有，则是的中点，且平移后两点纵坐标不变， 设，又，则，且， 则，且由图知，所以， 解得或（舍）， 所以点纵坐标为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期南昌中学三经路校区4月份考试 高一数学 命题人：赵媛 审题人：谢姝颖 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的. 1. 下列各角中，与角终边相同的角是（　　） A. B. C. D. 2. 是的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 3. 已知，，则，，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 若函数为偶函数，则取得最小值时，（ ） A. B. C. D. 5. 已知在中，点在边上，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 若点是函数的图像的一个对称中心，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知平面向量且，则一定共线的三点是（    ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 8. 当时，函数的零点个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的有（ ） A. B. 已知角的终边在上，则 C. 已知点在第四象限，则角终边在第二象限 D. 终边落在直线上的角的集合是 10. 已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 为奇函数 B. 函数的图象关于点对称 C. 在上单调递增 D. 若函数在上没有零点，则 11. 已知函数在区间上有且只有三个零点，则（ ） A. 是的一个周期 B. 的最大值为 C. 的取值范围是 D. 在区间可能有个解 三、填空题：共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，若，则_________. 13. 如图所示，这是两个齿轮旋转的示意图，被动轮随着主动轮的旋转而旋转.已知主动轮的半径为2，被动轮的半径为3，若主动轮旋转一周，则被动轮旋转的弧度数为______. 14. 已知点，则与向量方向相反的单位向量是_________. 四、解答题：共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或验算步骤. 15. 已知． （1）化简； （2）若是第二象限角，且，求的值； （3）若，求的值． 16. （1）已知角的终边过点，求的值． （2）已知终边上一点，且，求的值． 17. 如图，在中，点满足是线段的中点，过点的直线与边分别交于点. （1）若，求和的值； （2）若，求的最小值. 18. 如图为一个水轮的示意图，水轮的半径为1米，水轮圆心距离水面米.以圆心为坐标原点，平行于水面为轴，垂直于水面为轴建系.已知水轮每分钟逆时针转动5圈，如果当水轮上点刚好到达水面处（图中点）开始计算时间，点离开水面处记作点. （1）当，点在转动过程中第一次使得时，记水轮与轴交于点，，求此时的值； （2）当时，求点距离水面的高度米，表示为时间秒的函数，并求点第一次到达最高点所需要的时间. 19. 已知函数的部分图象如图所示，函数的图象与轴的交点的纵坐标为. （1）求函数的解析式，并求其单调递减区间； （2）若函数在区间上的值域为，求实数的取值范围； （3）如图过点的直线与的图象交于点，且，求点的纵坐标. （参考公式：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $