精品解析：江西南昌市外国语学校2025-2026学年下学期高一数学4月月考试卷

南昌市外国语学校2025-2026学年下学期 高一数学4月月考试卷 出题人：吴宏华 审题人：叶鸿斌 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. 1 B. C. D. 2. 点在平面直角坐标系中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 在平行四边形ABCD中，为AB中点，为BC上一点，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，若，则实数的值为（ ） A. 2 B. C. D. 5. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 6. 砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气.如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形截去同心扇形所得图形，已知，，，则该扇环形砖雕的面积为（ ）. A. B. C. D. 7. 如图所示，已知，点，满足，，与交于点，交于点，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数相邻两零点之间的距离为1，且图象经过点，若函数在区间有4个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 与一定是共线向量 B. “向量，共线”是“直线”的充要条件 C. 向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使 D. 的充要条件是 10. 已知函数的图象关于点中心对称．则（ ） A. 的最小正周期为 B. 直线是曲线的对称轴 C. 将的图象向右平移个单位可得到函数的图象 D. 在区间上单调递增 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，在上单调递增 B. 若，且，则函数的最小正周期为 C. 若的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的最小值为3 D. 若在上恰有4个零点，则的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，向量在向量方向上的投影向量的模为________． 13. 将函数的图象向左平移个单位，得到函数.图象，若函数为奇函数，则的最小值是_____. 14. 已知点在以为圆心，3为半径的圆上，且，则的取值范围__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知角的终边经过点，求下列各式的值： （1）； （2）． 16. 已知，，，. （1）若，求的值； （2）若与的夹角为，求实数的值． 17. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式 （2）若函数在上有两个零点，求实数m的取值范围． 18. 如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P． （1）求中线的长； （2）求的余弦值． （3）设，求t的值，并用向量方法证明． 19. 已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为． （1）求在上的单调减区间； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域； （3）对于（2）中的函数，记方程在上的根从小到大依次为，试确定的值，并求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌市外国语学校2025-2026学年下学期 高一数学4月月考试卷 出题人：吴宏华 审题人：叶鸿斌 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式计算得解. 【详解】. 故选：B 2. 点在平面直角坐标系中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据弧度制与象限角的知识，判断与的正负，进而确定点所在的象限. 【详解】因为，，且，所以弧度的角是第二象限角.  根据余弦函数的性质，在第二象限中，余弦值是负数，所以.  根据正切函数的性质，在第二象限中，正切值是负数，所以.  在平面直角坐标系中，横坐标小于且纵坐标小于的点在第三象限， 因为点中，，所以点在第三象限.  即点在平面直角坐标系中位于第三象限. 故选：. 3. 在平行四边形ABCD中，为AB中点，为BC上一点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为是的中点，， 因为，所以，又， 由题意得，故B正确. 4. 已知向量，若，则实数的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 所以， 因为，所以， 解得． 5. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】B 【解析】 【分析】将函数变形为，利用图象平移变换将函数平移即可． 【详解】因为， 所以只需要将函数的图象操作如下， 向左平移个单位长度就可以得到的图象． 6. 砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气.如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形截去同心扇形所得图形，已知，，，则该扇环形砖雕的面积为（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用扇形的面积公式求解. 【详解】因为扇形的圆心角为 又因为，， 所以，该扇环形砖雕的面积为. 故选：C 7. 如图所示，已知，点，满足，，与交于点，交于点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，由共线，存在使 ， 由 共线，存在使， 联立系数相等： ，解得：， ，因此：，故选项 A 错误； 对于B，， 若，则： ​，显然系数不相等，选项B错误； 对于C，由于，且在 上，故设， 则， 结合 ，得：，解得，选项C错误； 对于D，由， 所以，故选项 D 正确. 8. 已知函数相邻两零点之间的距离为1，且图象经过点，若函数在区间有4个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先由已知条件求出函数的解析式，再根据定义域内含有4个零点，确定端点的取值范围，得到实数的取值范围. 【详解】由条件可知函数的周期为2，, 当时，，即 ， ， ，， 若函数在区间有4个零点， 则， 解得：. 故选：B 【点睛】本题考查三角函数的解析式，图象和性质，属于中档题型，本题的关键是理解函数的分析方法，一般由定义域，先求的范围，再根据的图象分析函数的性质. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 与一定是共线向量 B. “向量，共线”是“直线”的充要条件 C. 向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使 D. 的充要条件是 【答案】AD 【解析】 【详解】与一定是共线向量，A对； 若向量，共线，则四点共线或，反之则成立， 故“向量，共线”是“直线”的必要不充分条件，B错； 向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使， 若，，则不存在实数，使，故C错； 的充要条件是，即，故D对． 10. 已知函数的图象关于点中心对称．则（ ） A. 的最小正周期为 B. 直线是曲线的对称轴 C. 将的图象向右平移个单位可得到函数的图象 D. 在区间上单调递增 【答案】AC 【解析】 【分析】先求出的解析式，结合正弦型函数的图象及性质逐项判断即可. 【详解】由题意知，，所以，，即， 又，所以，所以. 选项A：最小正周期，A正确. 选项B：对称轴应满足，，解得，. 故不存在，使得，B错误. 选项C：的图象向右平移个单位得到，C正确. 选项D：当时，. 又在上单调递增，在上单调递减，所以在区间上不是单调递增，D错误. 故选：AC. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，在上单调递增 B. 若，且，则函数的最小正周期为 C. 若的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的最小值为3 D. 若在上恰有4个零点，则的取值范围为 【答案】AD 【解析】 【分析】对A，由复合函数单调性即可判断；对B，由题可得，由此即可判断；对C，由题意得，，结合的范围即可判断；对D，根据，，得到，进一步列出不等式组即可求解. 【详解】对于A，当时，，，则， 由正弦函数单调性可知在上单调递增，故A正确； 对于B，由可知，一个为函数的最大值，一个为函数的最小值. 又因为，则当且仅当，即，所以函数的最小正周期为π，故B错误； 对于C，若的图象向左平移个单位长度后，得到的函数解析式为， 其图象关于轴对称，则，，所以，， 又因为，则的最小值为4，故C错误； 对于D，，，则， 若在上恰有4个零点，则当且仅当，得，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，向量在向量方向上的投影向量的模为________． 【答案】3 【解析】 【详解】向量在向量方向上的投影向量为， 故向量在向量方向上的投影向量的模为. 13. 将函数的图象向左平移个单位，得到函数.图象，若函数为奇函数，则的最小值是_____. 【答案】1 【解析】 【分析】求出平移后的解析式，根据函数的奇偶性得到方程，求出，进而得到最小值. 【详解】的图象向左平移个单位， 得到函数， 因为为奇函数，所以，解得， 又，故当时，取得最小值，最小值为1. 故答案为：1 14. 已知点在以为圆心，3为半径的圆上，且，则的取值范围__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得是圆的直径，结合向量线性运算用表示，再结合向量不等式求解范围. 【详解】由，可得是圆的直径，因此是的中点，故. 因为 ，且， 所以. 因为，，则， 所以， 即，当且仅当共线时等号成立. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知角的终边经过点，求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）（2）利用三角函数定义及诱导公式可得. 【小问1详解】 角的终边经过点，所以 ， 所以. 【小问2详解】 依题意， 16. 已知，，，. （1）若，求的值； （2）若与的夹角为，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量坐标运算即可求解； （2）由数量积的坐标运算以及定义，列方程即可化简求解. 【小问1详解】 若，则，，所以， 所以． 【小问2详解】 ， ． 即，平方得：， ∴或， ． 由于，所以不符合要求，故舍去； ∴． 17. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式 （2）若函数在上有两个零点，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由图象结合余弦函数的性质得出解析式即可； （2）由余弦函数的性质得出函数的值域，进而结合图象解题即可. 【小问1详解】 由图可知， 由，得，得， 因为，所以， 得，又，所以，故 【小问2详解】 由题意可知，与直线有两个交点， 因为，所以， 则，，作出简图为 若函数在上有两个零点，由图可知， 故m的取值范围为 18. 如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P． （1）求中线的长； （2）求的余弦值． （3）设，求t的值，并用向量方法证明． 【答案】（1） （2） （3），证明见解析 【解析】 【分析】（1）运用中线长的向量表达式，结合数量积定义可解； （2）转化为向量夹角余弦值可解； （3）根据中线的性质及三点共线求证即可. 【小问1详解】 因为为BC的中点，， ， . 【小问2详解】 因为， , ， . 【小问3详解】 ，证明如下： ， 因为三点共线， 所以，又， 所以， 所以，解得. 19. 已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为． （1）求在上的单调减区间； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域； （3）对于（2）中的函数，记方程在上的根从小到大依次为，试确定的值，并求的值． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）根据条件，求得，再利用正弦函数的性质，即可求解； （2）利用图象平移变换得，再利用正弦函数的性质，即可求解； （3）令，在同一坐标系中作出和的图象，数形结合，即可求解. 【小问1详解】 因为函数为奇函数，则， 所以，又，所以， 又图象的相邻两对称轴间的距离为，则，又，所以， 故，由，得到， 又，令，得到，所以在上的单调减区间为. 【小问2详解】 由（1）知，将函数的图象向右平移个单位长度，得到， 再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到， 所以，当时，，所以， 故函数的值域为. 【小问3详解】 因为，由，得到，即， 令，又，则， 在同一坐标系中作出和的图象，如图所示， 又，由图知与有四个交点， 且， 又，所以的值为， 且 故 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $