精品解析：2026年山东济南市平阴县九年级学业水平考试数学模拟试题一模

2026年九年级学业水平考试 数学模拟试题一 温馨提示： 1．本试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分， 考试时间120分钟，满分150分． 2．答题前，考生务必认真阅读答题纸中的注意事项，并按要求进行填、涂和答题． 第Ⅰ卷 选择题 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 6的相反数是（ ） A. B. C. D. 6 2. “阳马”是由长方体截得的一种几何体，如图水平放置的“阳马”的主视图为（ ） A. B. C. D. 3. 2025年5月14日12时12分，全球首个太空计算星座在酒泉卫星发射中心成功发射，此次发射的太空计算星座共有12颗卫星，其中10颗为“内江城市卫星星群”成员，若每颗卫星每天处理的数据量为字节，则“内江城市卫星星群”每天处理的总数据量可达到字节，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，D点在上，连接．根据图中标示的度数，则的值是（ ） A. B. C. D. 8. 在分别写有，1，2的三张卡片中，不放回地随机抽取两张，这两张卡片上的数恰好互为相反数的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点E，与边相交于点F；②以点B为圆心，长为半径画弧，与边相交于点G；③以点G为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点H；④作射线，与相交于点M，与边相交于点N．则下列说法一定正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是坐标原点，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，顶点为，对称轴为直线，其中，且．以下结论：①；②；③是钝角三角形；④若方程的两根为、，则，．其中正确结论有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷 非选择题（共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分，直接填写答案． 11. 实数m在数轴上对应点的位置如图所示，则______0．（填“>”“=”或“<”） 12. 不透明袋子中装有13个球，其中有3个红球、4个黄球、6个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为____________． 13. 如图，正五边形的边的延长线交于点F，则的大小为________度． 14. 甲、乙两辆运输车，先后从M地出发，沿着同一条公路匀速行驶，前往目的地N，两车到达N地后均停止行驶．如图，分别是甲、乙两车离M地的距离与甲车行驶的时间x（h）之间的函数关系．则x=______h，甲、乙两车相距． 15. 如图，折叠正方形ABCD的一边BC，使点C落在BD上的点F处，折痕BE交AC于点G．若，则CG的长是________． 三、解答题：共10小题，满分90分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤 16. 计算：． 17. 解不等式组：并写出它的所有整数解． 18. 如图，在矩形中，点E，F在边上，连接，．当时，求的长． 19. 某型号起重机吊起一货物M在空中保持静止状态时，如图1，货物M与点O的连线恰好平行于地面，米，．（参考数据：，结果精确到1米） （1）求直吊臂的长； （2）如图2，直吊臂与的长度保持不变，绕点O逆时针旋转，当时，货物M上升了多少米？ 20. 如图，是的外接圆，是的直径，点E在的延长线上，连接，． （1）求证：是的切线． （2）过点C作，垂足为D，若的面积是的面积的3倍，，求的长． 21. 某班级拟开展科技主题班会活动，现从“科技安全”，“科技畅想”，“科技生活”，“科技前沿”，“科技故事”中挑选一个主题．全班同学通过投票选出最受欢迎的主题，投票结果的条形统计图与扇形统计图如下：请根据以上信息，完成下列问题： （1）本次投票共 ___________ 人参与，其中科技安全所占百分比为 ___________ ，并补全条形统计图． （2）为确定班会科技主题，从该班选择7名学生代表为“科技畅想”和“科技故事”打分，分数列表如下： 科技畅想 10 9 9 3 6 9 10 科技故事 9 10 7 8 6 8 8 平均数 中位数 众数 科技畅想 a b 9 科技故事 8 8 c 求表中的数据： ___________ ， ___________ ， ___________ ． （3）扇形统计图中，科技前沿组对应的圆心角的度数是___________ °； （4）该学校总人数为500人，请估计其中投科技生活的人数是多少？ 22. 2025年6月5日是第54个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元． （1）求甲、乙两种路灯的单价； （2）该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少． 23. 如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于两点．一次函数的图象过点与反比例函数交于另一点，与轴交于点，其中，． （1）求反比例函数和一次函数的表达式 （2）求的面积； （3）连接，在直线上是否存在点，使以为顶点的三角形与相似．若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于、两点，与y轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，过点B的直线与抛物线的另一个交点为点D，点M为抛物线对称轴上的一点，连接，设点M的纵坐标为n，当时，求n的值； （3）如图2，点N是抛物线的顶点，点P是x轴上一动点，将顶点N绕点P旋转后刚好落在抛物线上的点H处，请直接写出所有符合条件的点P的坐标． 25. 在中，，将绕点旋转得到，点的对应点落在边上，连接． （1）如图，求证：； （2）如图，当，时，求的长； （3）如图，过点作的平行线交的延长线于点，过点作的平行线交于点，与交于点．求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年九年级学业水平考试 数学模拟试题一 温馨提示： 1．本试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分， 考试时间120分钟，满分150分． 2．答题前，考生务必认真阅读答题纸中的注意事项，并按要求进行填、涂和答题． 第Ⅰ卷 选择题 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 6的相反数是（ ） A. B. C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相反数的概念，根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案．掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键． 【详解】解：6的相反数是． 故选：A． 2. “阳马”是由长方体截得的一种几何体，如图水平放置的“阳马”的主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的主视图，熟练掌握主视图的定义（从物体正面观察得到的平面图形）是解题的关键．主视图是从几何体正面观察得到的平面图形，据此分析该“阳马”正面看到的形状 ． 【详解】解：主视图是从物体正面看所得到的图形．观察水平放置的“阳马”，从正面看，看到的是一个三角形．对比四个选项，只有选项符合从正面看到的图形特征，其他三项都不符合题意． 故选：． 3. 2025年5月14日12时12分，全球首个太空计算星座在酒泉卫星发射中心成功发射，此次发射的太空计算星座共有12颗卫星，其中10颗为“内江城市卫星星群”成员，若每颗卫星每天处理的数据量为字节，则“内江城市卫星星群”每天处理的总数据量可达到字节，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法．将大数用科学记数法表示时，需将其写成的形式，其中，为整数． 【详解】解：， 故选：C． 4. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； C、不是中心对称图形，但是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】本题考查整式的运算．熟练掌握合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方等基本法则，是解题的关键． 运用合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方逐一验证各选项的正确性，即得． 【分析】A、合并同类项时，系数相加，字母部分不变．，而非 ，故A错误． B、同底数幂相乘，底数不变，指数相加．，故B正确． C、同底数幂相除，底数不变，指数相减．，而非 ，故C错误． D、积的乘方等于各因式乘方的积．，故D错误． 故选：B． 6. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，根据二次根式的定义，被开方数必须非负，即，解不等式即可确定x的取值范围． 【详解】解：在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故选：D． 7. 如图，在中，D点在上，连接．根据图中标示的度数，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的内角和定理得到，再根据三角形的外角的性质得到，即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴，即， ∴ 8. 在分别写有，1，2的三张卡片中，不放回地随机抽取两张，这两张卡片上的数恰好互为相反数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列表法求概率，列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，列表如下： 1 2 1 2 共有6种等可能的结果，其中两张卡片上的数恰好互为相反数的情况有，两种， ∴； 故选：B． 9. 如图，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点E，与边相交于点F；②以点B为圆心，长为半径画弧，与边相交于点G；③以点G为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点H；④作射线，与相交于点M，与边相交于点N．则下列说法一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质及三角形外角的性质．由作法可得，再结合作图步骤分析角平分线、全等三角形、三角形外角的性质、等腰三角形的判定，逐一验证选项即可． 【详解】解：如图，连接，， 由作图可得，，， ∴， ∴， A项：若，则，已知条件不足，故A结论不一定正确； B项：若，则，已知条件不足，故B结论不一定正确； C项：当是等腰直角三角形，时， 如图，过点M作， 可得， 由平分，，得：，， ∴， 由勾股定理得，， 显然，故C结论不一定正确； D项：∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴，故D结论一定正确， 故选：D． 10. 如图，是坐标原点，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，顶点为，对称轴为直线，其中，且．以下结论：①；②；③是钝角三角形；④若方程的两根为、，则，．其中正确结论有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】首先由抛物线开口向上得到，然后由对称轴得到，然后由抛物线与y轴交于负半轴得到，即可判断①；由对称轴为直线得到，然后将代入抛物线得到，代入得到，然后根据得到，即可判断②；设抛物线对称轴与x轴交于点E，将代入抛物线得到，求出，然后求出，得到，得到，即可判断③；分别将和代入方程，整理求出和或6，进而求解即可． 【详解】∵抛物线开口向上 ∴ ∵对称轴为直线 ∴ ∵抛物线与y轴交于负半轴 ∴ ∴，故①错误； ∵对称轴为直线 ∴ ∵在抛物线上 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，故②正确； 如图所示，设抛物线对称轴与x轴交于点E， 将代入 将，代入得， ∴ ∵ ∵对称轴为直线， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴是钝角三角形，故③正确； ∵ ∴当时，， ∴方程转化为 解得； ∴当时，， ∴方程转化为 解得或6； ∵方程的两根为、 ∴，，故④正确． 综上所述，其中正确结论有3个． 故选：C． 【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，二次函数和x轴交点问题，解直角三角形，解一元二次方程等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 第Ⅱ卷 非选择题（共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分，直接填写答案． 11. 实数m在数轴上对应点的位置如图所示，则______0．（填“>”“=”或“<”） 【答案】< 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，先结合数轴的信息，得，且，故，即可作答． 【详解】解：观察数轴，得，且， ∴ 即， 故答案为：<． 12. 不透明袋子中装有13个球，其中有3个红球、4个黄球、6个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比，解题的关键是掌握概率公式． 用绿球的个数除以总球的个数即可得出答案． 【详解】解：袋子中绿球的个数为6， 球的总数为13， 所以抽到绿球的概率为， 故答案为：． 13. 如图，正五边形的边的延长线交于点F，则的大小为________度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形外角和定理，三角形内角和定理，多边形外角和为360度，据此可求出的度数，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：五边形是正五边形， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 甲、乙两辆运输车，先后从M地出发，沿着同一条公路匀速行驶，前往目的地N，两车到达N地后均停止行驶．如图，分别是甲、乙两车离M地的距离与甲车行驶的时间x（h）之间的函数关系．则x=______h，甲、乙两车相距． 【答案】1.5或4.5或6.5 【解析】 【分析】先分别运用待定系数法求得甲、乙两车离M城的距离与甲车行驶的时间之间的函数关系式，分两种情况进行解答即可． 【详解】解：设甲所在的直线为，乙所在的直线为， 将，代入可得：， 解得：． ∴乙所在直线的表达式为：； 当时，， 把代入，得：，解得， ∴甲所在的直线的表达式：； 当时，；解得， ∴甲所在的直线的表达式：，其中； 当时，甲、乙两车相距．则，即， 解得或， 当时，甲、乙两车相距．则，即， 解得， 综上可知，1.5或4.5或6.5时，甲、乙两车相距． 15. 如图，折叠正方形ABCD的一边BC，使点C落在BD上的点F处，折痕BE交AC于点G．若，则CG的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质和折叠的性质计算和，发现是等腰三角形，又因为是等腰直角三角形，得出的结论，最后根据求解即可． 【详解】解：设与交于点， ∵四边形是正方形， ∴，， 由折叠可得：，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设， 在中，， 解得：， 即． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质和折叠的性质，灵活运用这些知识是解题的关键． 三、解答题：共10小题，满分90分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤 16. 计算：． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，涉及负整数和零指数幂，二次根式的乘法运算等知识点，熟练掌握运算法则是解题的关键． 分别计算零指数幂、负整数指数幂，二次根式的乘法，计算绝对值，特殊角的三角函数值，再进行加减计算即可． 【详解】解： ． 17. 解不等式组：并写出它的所有整数解． 【答案】，整数解为 【解析】 【分析】解两个不等式，取两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，再找到整数解即可． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集为． ∴整数解为． 18. 如图，在矩形中，点E，F在边上，连接，．当时，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质和已知证明，得到，再利用勾股定理即可求出的长． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴ 在和中， ∴ ∴ ∴． 19. 某型号起重机吊起一货物M在空中保持静止状态时，如图1，货物M与点O的连线恰好平行于地面，米，．（参考数据：，结果精确到1米） （1）求直吊臂的长； （2）如图2，直吊臂与的长度保持不变，绕点O逆时针旋转，当时，货物M上升了多少米？ 【答案】（1）直吊臂的长为10米 （2）上升了5米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，旋转的性质，矩形的性质与判定，正确理解题意，构造直角三角形是解题的关键． （1）根据，即可解，即可求解； （2）记旋转后的点的对应点为，延长交于点，过点作于点，可得四边形为矩形，则米，在中，由求出，再由，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∵，米， ∴在中，（米）， 答：直吊臂的长为10米； 【小问2详解】 解：记旋转后的点的对应点为，延长交于点，过点作于点，则， 由题意得：米，米， ∴， ∴四边形为矩形， ∴米， 在中，米， ∴（米）， ∴货物上升了5米． 20. 如图，是的外接圆，是的直径，点E在的延长线上，连接，． （1）求证：是的切线． （2）过点C作，垂足为D，若的面积是的面积的3倍，，求的长． 【答案】（1）证明：连接， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由等边对等角得到，则，由直径所对的圆周角是直角得到，进而得到，据此可证明结论； （2）证明，根据相似三角形的性质作答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵于点D， ∴， ∵， ∴， ， 或（不符合题意，舍去）， ． 21. 某班级拟开展科技主题班会活动，现从“科技安全”，“科技畅想”，“科技生活”，“科技前沿”，“科技故事”中挑选一个主题．全班同学通过投票选出最受欢迎的主题，投票结果的条形统计图与扇形统计图如下：请根据以上信息，完成下列问题： （1）本次投票共 ___________ 人参与，其中科技安全所占百分比为 ___________ ，并补全条形统计图． （2）为确定班会科技主题，从该班选择7名学生代表为“科技畅想”和“科技故事”打分，分数列表如下： 科技畅想 10 9 9 3 6 9 10 科技故事 9 10 7 8 6 8 8 平均数 中位数 众数 科技畅想 a b 9 科技故事 8 8 c 求表中的数据： ___________ ， ___________ ， ___________ ． （3）扇形统计图中，科技前沿组对应的圆心角的度数是___________ °； （4）该学校总人数为500人，请估计其中投科技生活的人数是多少？ 【答案】（1）50，20%，见解析 （2）8，9，8 （3） （4）人 【解析】 【分析】（1）由科技生活的人数除以占比得到投票人数，用总人数减去其余的人数求出科技安全的人数，再除以总人数，即可求出占比，以及补全条形统计图； （2）用科技前沿组的占比乘以即可； （3）根据样本估计总体的思想求解即可． 【小问1详解】 解：本次投票人数为：（人）， 科技安全人数为：（人）， ∴占比为：， 补全条形统计图为： 故答案为：； 【小问2详解】 解：， 将“科技畅想”的打分排列为：3，6，9，9，9，10，10， 则中位数； 在“科技故事”打分中，8分出现次数最多， ∴， 故答案为：8，9，8； 【小问3详解】 ， 即科技前沿组对应的圆心角的度数是； 【小问4详解】 （人） 即估计其中投科技生活的人数是人． 22. 2025年6月5日是第54个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元． （1）求甲、乙两种路灯的单价； （2）该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少． 【答案】（1）甲、乙两种路灯的单价分别为元，元 （2）购买甲种路灯盏，购买乙种路灯盏，费用最少 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组以及一元一次不等式、一次函数的应用，根据题意列出方程组，不等式以及一次函数关系式是解题的关键； （1）设甲、乙两种路灯的单价分别为元，根据题意列出方程组，即可求解； （2）设购买甲种路灯盏，则购买乙种路灯盏，列出不等式，求得，设购买费用为元，得出，进而根据一次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：设甲、乙两种路灯的单价分别为元，根据题意得， 解得： 答：甲、乙两种路灯的单价分别为，元 【小问2详解】 解：设购买甲种路灯盏，则购买乙种路灯盏，根据题意得， 解得： 设购买费用为元，根据题意得， ∵ ∴当取得最大值时，取得最小值， ∴时，（盏）， 即购买甲种路灯盏，购买乙种路灯盏，费用最少， 答：购买甲种路灯盏，购买乙种路灯盏，费用最少． 23. 如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于两点．一次函数的图象过点与反比例函数交于另一点，与轴交于点，其中，． （1）求反比例函数和一次函数的表达式 （2）求的面积； （3）连接，在直线上是否存在点，使以为顶点的三角形与相似．若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），； （2）； （3）存在，或． 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，相似三角形的性质，两点距离计算公式，勾股定理的逆定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （）把点坐标代入反比例函数解析式，求出反比例函数解析式，则可求出点坐标，再把点和点坐标代入一次函数的解析式中求出一次函数的解析式； （）求出点的坐标，再利用三角形面积计算公式求解即可； （）利用对称性可得点坐标，利用两点距离计算公式和勾股定理的逆定理可证明，则只存在和这两种情况，当时，则，此时点D为的中点，利用中点坐标公式可得答案；当时，则，可求出，；设，则，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：把代入到中得：，解得， ∴反比例函数解析式为， 在中，当时，， ∴； 把，代入到中得：，解得， ∴一次函数的表达式为， 【小问2详解】 解：在中，当时，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵直线经过原点， ∴由反比例函数的对称性可得点的坐标为，， ∵，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴与不垂直， ∵与相似， ∴只存在和这两种情况， 当时，则，， ∴，， ∴此时点D为的中点， ∴点D的坐标为； 当时，则，， ∴，， 设， ∴， 解得， ∴， ∴点D的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于、两点，与y轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，过点B的直线与抛物线的另一个交点为点D，点M为抛物线对称轴上的一点，连接，设点M的纵坐标为n，当时，求n的值； （3）如图2，点N是抛物线的顶点，点P是x轴上一动点，将顶点N绕点P旋转后刚好落在抛物线上的点H处，请直接写出所有符合条件的点P的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或或或 【解析】 【分析】（1）直接由待定系数法即可求解； （2）先联立抛物线与直线求出交点的坐标，再求出对称轴，则得到点的坐标表示，再由两点间距离公式建立方程求解即可； （3）顶点，设，由旋转得，当时，过点作轴的平行线，过点分别作平行线的垂线，垂足为点，证明，表示出，将点代入，得，解方程即可；当时，作出同样的辅助线，同理可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴相交于、两点，与y轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：联立， 解得：， ∴， ∵， ∴对称轴为直线，顶点为， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴的值为； 【小问3详解】 解：由（2）得顶点，设， 由旋转得， 当时， 过点作轴的平行线，过点分别作平行线的垂线，垂足为点， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 将点代入， 得， 整理得：， 解得：， ∴或； 当时，过点作轴的平行线，过点分别作平行线的垂线，垂足为点， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 将点代入， 得， 整理得：， 解得：， 或， 综上所述：所有符合条件的点P的坐标为：或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，两点间距离公式等知识点，难度较大，解题的关键在于构造“三垂直”全等模型． 25. 在中，，将绕点旋转得到，点的对应点落在边上，连接． （1）如图，求证：； （2）如图，当，时，求的长； （3）如图，过点作的平行线交的延长线于点，过点作的平行线交于点，与交于点．求证：． 【答案】（1）见解析； （2）； （3）见解析． 【解析】 【分析】（）由旋转性质可得，，，所以，然后通过相似三角形的判定方法即可求证； （）由，，则有，过作，，则，在中，，即，则，，通过勾股定理得，又，则，然后代入即可求解； （）设旋转角为，，，，，，再证明，通过全等三角形的性质可得，又，则． 【小问1详解】 证明：∵将绕点旋转得到，点的对应点落在边上， ∴，，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴，， ∴， 过作， ∴， ∴， 在中，，即， 解得：，（舍去）， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 证明：设旋转角为， 则，，，，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $