精品解析：四川省泸县第五中学2025-2026学年高一下学期第一学月考试数学试题

高2025级2026年春期第一学月考试 数学学科试题 第I卷（选择题共58分） 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据并集的概念求解. 【详解】因为，所以. 2. 已知扇形的圆心角为，半径为6，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为圆心角为，其弧度数，， 所以． 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量平行的坐标表示，代入即可求解. 【详解】因为，， 所以，解得. 故选：D. 4. 已知角的终边经过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据三角函数定义求出，再利用诱导公式化简后代入计算. 【详解】因为角终边经过，所以， 所以. 5. 如图，中，点D是线段的中点，E是线段的靠近A的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将用、表示，然后利用平面向量的减法可得出关于、的表达式. 【详解】因为为线段的中点，则 ， 因为点是线段上靠近的三等分点，则， 因此，. 故选：A. 6. 当时，函数取得最大值，则的最小值是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】使用辅助角公式化简，代入，利用最大值条件并给赋值即可求解. 【详解】， 取，则， 由题意得,即， 整理得，因为，令，则， 即的最小值为1. 7. 基本再生数与世代间隔T是流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指两代间传染所需的平均时间.在型病毒疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与，T近似满足.有学者基于已有数据估计出.据此，在型病毒疫情初始阶段，累计感染病例数增加至的3倍需要的时间约为（ ）(参考数据：) A. 2天 B. 3天 C. 4天 D. 5天 【答案】D 【解析】 【分析】 根据已知数据先求出，可得，则由解出即可. 【详解】，，即，解得， ，则， 解得，则， 故累计感染病例数增加至的3倍需要的时间约为5天. 故选：D. 8. 若函数在上的最大值为4，则的取值范围为（ ） A. B. C. [1，15] D. [1，17] 【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式画出函数图象，数形结合即可求出的取值范围. 【详解】可知在单调递增，在单调递增， 且，画出函数图象， 观察图象可知，要使在上的最大值为4，需满足. 故选：C. 【点睛】本题考查已知分段函数的最值求参数范围，属于基础题. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，选错或不选的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 任意向量，若且与同向，则 B. 已知向量与向量的夹角为，，，则 C. 若，则与的夹角为锐角 D. 已知，为单位向量，且，则在上的投影向量为 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A，向量是既有大小又有方向的量，向量本身不能比较大小，只有向量的模（长度）可以比较大小， 所以“” 的表述本身不符合向量的定义，A错误； 对于B，因为 ， 所以，B正确； 对于C，由，得，所以的范围是，C错误； 对于D，因为，为单位向量，且， 所以在上的投影向量为，D正确． 10. 下列各式的值为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A. 利用两角和的正弦公式求解；选项B. 利用二倍角的余弦公式求解； 选项C. 利用两角和的正切公式和诱导公式求解；选项D. 利用平方差公式，同角关系式和二倍角的余弦公式求解. 【详解】选项A. ，故选项A正确； 选项B. ，故选项B正确； 选项C. ，故选项C错误； 选项D. ，故选项D正确. 11. 已知函数，下列说法正确的是（     ） A. 的图象关于点对称 B. 在区间上单调递增 C. 在区间上的值域为 D. 若，其中，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据函数的性质，利用代入验证或整体代换逐项分析. 【详解】对于A：因为，故的图象关于点对称，A正确； 对于B：由得， 且在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增，在上单调递减，B错误； 对于C：由得， 因在上单调递增，在上单调递减， 且当或时，，当时，， 所以在区间上的值域为，C错误； 对于D：若，则， 不妨设，则， 则，，， 解得，， 所以，D正确. 故选：AD. 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题（共3小题，每题5分，共15分.） 12. 已知，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量运算的坐标表示计算． 【详解】由题意． 13. 已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当时，，则的值为____________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据周期性和奇函数的性质可得，从而可以求值. 【详解】根据题意，是定义在R上周期为2的奇函数， 所以. 故答案为： 14. 在中，为边上的一点，且，若为边上的一点，且满足，则的最小值为_______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据向量共线定理得出的关系，然后利用基本不等式得最小值. 【详解】，则， ， 因为三点共线， 所以 又，所以，， 所以， 所以时，取得最小值. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据同角的三角函数关系式进行求解即可； （2）根据两角差的余弦公式进行求解即可. 【小问1详解】 因为，所以， 因为， 所以 【小问2详解】 16. 已知向量，且． （1）求向量与的夹角． （2）若向量与互相垂直，求k的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由向量模的坐标运算得出，再根据向量数量积的定义及运算律求解即可； （2）由已知得，根据向量数量积的运算律及已知条件代入求解即可． 【小问1详解】 由，得，设向量与的夹角为， 由，，又，所以， 所以，解得， 所以向量与的夹角为． 【小问2详解】 由向量向量与互相垂直，得， 所以，即， 解得或． 17. 已知函数的部分图象如下图所示． （1）求函数的解析式． （2）若将函数的图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的倍，再将其图象沿x轴向左平移个单位得到函数的图象，求不等式的解集． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由图象求出，和的值即可求出函数的解析式． （2）根据函数图象变换求出的解析式，进而解不等式即可. 【小问1详解】 由图象知，，即，又， 所以，所以，则 又函数过点，所以， 所以，所以，解得. 又，所以，即． 【小问2详解】 将函数的图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的倍， 可得函数， 再将其图象沿x轴向左平移个单位得到函数的图象， 所以， 由，可得，所以， 所以，所以， 所以不等式的解集为． 18. 已知向量，，函数，． （1）求函数的对称轴； （2）若函数在上有零点，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量的数量积的坐标公式求出，利用正弦函数的图像和性质求出对称轴； （2）由函数在上有零点,得到在上有解，从而得到和在上有交点，由的范围求出的范围，利用正弦函数的图像和性质得到的范围，结合正弦函数的图像得到实数的取值范围. 【小问1详解】 ，， 即， ，解得， 则的对称轴方程为. 【小问2详解】 ，， 函数在上有零点, 在上有解， 在上有解， 和在上有交点， ，，， ，， 和在上有交点， ，实数的取值范围是. 19. 已知函数的图象关于原点对称． （1）求实数的值； （2）若，求的取值范围； （3）若存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的性质，代入表达式化简后即可得到答案； （2）先由（1）得的表达式，再根据函数单调性的定义，任取并作差，通过判断差的正负来证明在上单调递减，由函数的单调性即可得到的取值范围； （3）先化简不等式左边得到，再代入的表达式，换元转化为函数最值问题，最后观察函数的单调性求出最小值，从而得到的取值范围. 【小问1详解】 因为函数的图象关于原点对称，所以函数是奇函数， 令可得，，解得， 因此，实数的值为. 【小问2详解】 由（1）可知，则，则任取且， 则，即，因此函数在上单调递减， 由，解得，又由于，所以的取值范围是. 【小问3详解】 因为，，所以即， 令，因为，所以，则不等式转化为，整理得， 设，则， 因为，且函数和在上单调递增，所以在上单调递增， 所以，所以，即实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2025级2026年春期第一学月考试 数学学科试题 第I卷（选择题共58分） 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知扇形的圆心角为，半径为6，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知角的终边经过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，中，点D是线段的中点，E是线段的靠近A的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 6. 当时，函数取得最大值，则的最小值是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 7. 基本再生数与世代间隔T是流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指两代间传染所需的平均时间.在型病毒疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与，T近似满足.有学者基于已有数据估计出.据此，在型病毒疫情初始阶段，累计感染病例数增加至的3倍需要的时间约为（ ）(参考数据：) A. 2天 B. 3天 C. 4天 D. 5天 8. 若函数在上的最大值为4，则的取值范围为（ ） A. B. C. [1，15] D. [1，17] 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，选错或不选的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 任意向量，若且与同向，则 B. 已知向量与向量的夹角为，，，则 C. 若，则与的夹角为锐角 D. 已知，为单位向量，且，则在上的投影向量为 10. 下列各式的值为的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，下列说法正确的是（     ） A. 的图象关于点对称 B. 在区间上单调递增 C. 在区间上的值域为 D. 若，其中，则 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题（共3小题，每题5分，共15分.） 12. 已知，，则______． 13. 已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当时，，则的值为____________． 14. 在中，为边上的一点，且，若为边上的一点，且满足，则的最小值为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，. （1）求的值； （2）求的值. 16. 已知向量，且． （1）求向量与的夹角． （2）若向量与互相垂直，求k的值． 17. 已知函数的部分图象如下图所示． （1）求函数的解析式． （2）若将函数的图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的倍，再将其图象沿x轴向左平移个单位得到函数的图象，求不等式的解集． 18. 已知向量，，函数，． （1）求函数的对称轴； （2）若函数在上有零点，求实数的取值范围． 19. 已知函数的图象关于原点对称． （1）求实数的值； （2）若，求的取值范围； （3）若存在，使得成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $