10.2 事件的相互独立性（知识清单+题型突破）讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

10.2　事件的相互独立性 1．在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念． 2．能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题． 相互独立事件的概念 对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝ P(A)P(B) 成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立． 判断两个事件相互独立的方法 (1)定量法：利用P(AB)＝ P(A)P(B) 是否成立可以准确地判断两个事件是否相互独立． (2)定性法：直观地判断一个事件发生与否对另一个事件发生的概率是否有影响，若 没有影响 就是相互独立事件． 相互独立事件的性质 (1)必然事件与任意事件相互独立，不可能事件与任意事件相互独立． (2)如果事件A与事件B相互独立，那么A与与B与也都相互独立． 【注意】当三个事件A，B，C两两独立时，等式P( ABC )＝P(A)P(B)P( C )一般不成立. 相互独立事件概率求解的关注点 (1)求相互独立事件同时发生的概率的步骤：①确定各事件是相互独立的．②确定各事件会同时发生．③先求每个事件发生的概率，再求其积． (2)解决这类问题的关键是将事件看作若干事件相互独立的情形，还要注意互斥事件的拆分，以及对立事件概率的求法． (3)已知两个事件A，B相互独立，它们的概率分别为P(A)，P(B)，则有 事件 表示 概率 A，B同时发生 AB P(A)P(B) A，B都不发生 PP A，B恰有一个发生 ∪ A，B中至少有一个发生 P(A)P＋P·P(B)＋P(A)·P(B) A，B中至多有一个发生 ∪∪ P(A)P＋P·P(B)＋P·P 题型一 独立事件的判断 1．（25-26高一下·贵州遵义·月考）掷一枚质地均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件，则（    ） A．B包含A B．A与B对立 C．A与B互斥 D．A与B相互独立 2．（25-26高二下·黑龙江·开学考试）（多选）已知随机事件满足，且事件与相互独立，则下列说法正确的是（    ） A．若与相互独立，则 B．若，则与相互独立 C．若与互斥，且与也相互独立，则 D．若与相互独立，且与也相互独立，则 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）假定生男、生女是等可能的，一个家庭中有若干个小孩，事件表示“一个家庭中既有男孩又有女孩”，事件表示“一个家庭中最多有一个男孩”．对下列两种情形，判断事件与事件是否相互独立． (1)一个家庭中有2个小孩； (2)一个家庭中有3个小孩． 4．（25-26高一上·山西忻州·期末）一个不透明的袋子中装有大小和质地相同的6个球，其中有2个红球，2个绿球，2个蓝球，从袋中一次性随机取出2个球，设事件“2个球颜色相同”，事件“2个球中至少有一个红球”，事件“2个球中至多有一个红球”，事件“2个都不是红球”，则（    ） A．与互斥 B．与对立 C．与相互独立 D． 5．（25-26高二上·福建宁德·期末）在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，设事件“向上的点数是奇数”，事件“向上的点数是2或4”，事件“向上的点数是2或5”，则下列说法正确的是 （    ） A．与对立 B．与互斥 C．与相互独立 D．与相互独立 题型二 相互独立事件与互斥事件 6．（25-26高二上·四川成都·期中）某企业为了推动技术革新，计划升级某电子产品，该电子产品核心系统的某个部件由2个电子元件组成．如图所示，部件是由元件与元件组成的串联电路，已知元件，正常工作的概率都为，且元件工作是相互独立的．    (1)求部件正常工作的概率； (2)为了促进产业革新，该企业计划在核心系统中新增两个另一产地的电子元件，使得部件正常工作的概率增大．已知新增元件正常工作的概率为，且四个元件工作是相互独立的．现设计以下两种方案： 方案一：新增两个元件都和元件并联后，再与串联； 方案二：新增两个元件，其中一个和元件并联，另一个和元件并联，再将两者串联．则该公司应选择哪一个方案，可以使部件正常工作的概率达到最大？ 7．（24-25高一下·福建福州·期末）甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有3道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题互不影响； (1)求甲、乙两人共答对5道题目的概率． (2)若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，求甲、乙两人只有一人通过面试的概率． 8．（24-25高一下·贵州遵义·期末）（多选）现有6个分别标有数字1，2，3，4，5，6的相同小球，从中有放回地随机抽取两次，每次取1个球，记事件甲：第一次取出的球的数字是3，事件乙：第二次取出的球的数字是6，事件丙：两次取出的球的数字之和是8，事件丁：两次取出的球的数字之差的绝对值是3，则（   ） A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互对立 D．丙与丁互斥 9．（24-25高一下·湖南长沙·期末）（多选）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，事件A表示“第一次取出的球的数字是偶数”，事件B表示“第二次取出的球的数字是奇数”，事件C表示“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（   ） A．A与B为互斥事件 B． C． D．B与C相互独立 10．（2025高三·全国·专题练习）（多选）已知事件，且，则（    ） A．事件与事件互为对立事件 B．若事件与事件互斥，则 C．若事件与事件互斥，则 D．若，则事件与事件相互独立 11．（25-26高一上·全国·课后作业）已知事件A，B满足，则下列结论正确的是（   ） A．若A与B相互独立，则 B．若A与B互斥，则 C．A与B相互对立 D．若，则 题型三 独立事件的乘法公式 12．（25-26高一下·安徽合肥·月考）甲、乙两人进行三局两胜制的乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率均为，每局比赛彼此独立且没有平局，则乙获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 13．（25-26高一下·全国·课堂例题）某校田径队有三名短跑运动员，根据平时的训练情况统计甲、乙、丙三人100m跑（互不影响）的成绩在13s内（称为合格）的概率分别为，，．若对这三名短跑运动员的100m跑的成绩进行一次检测，则： (1)三人都合格的概率与三人都不合格的概率分别是多少？ (2)出现几人合格的概率最大？ 14．（2026·江苏常州·模拟预测）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投，先投中者获胜，直到有人获胜或每人都已投三次结束，设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各自投篮互不影响. (1)求比赛结束但仍没有决出胜负的概率； (2)求甲获胜的概率. 15．（25-26高三下·浙江杭州·月考）甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定打6局，每局必分胜负，无平局．每局比赛中，获胜方得1分，失败方得0分．已知甲在每局比赛中获胜的概率是，乙在每局比赛中获胜的概率为，且各局结果相互独立．在整个比赛过程中，甲的累计得分始终不小于乙的累计得分的概率是（    ） A． B． C． D． 题型四 独立事件的实际应用 16．（25-26高一下·浙江·开学考试）某校运动会期间开设了知识竞赛，比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛；若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，，在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，.甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响. (1)若从甲、乙两人中选取1人参加比赛，选谁参赛赢得比赛的概率更大？ (2)若甲、乙两人均参加比赛，求两人中恰好只有1人赢得比赛的概率. 17．（2026·广东梅州·一模）甲乙两人下棋比赛，规则是谁先赢2局，谁便赢得奖金5400元.根据以往的交手记录，每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每局比赛相互独立.然而因突发事件，比赛未能举行，为公平服众，奖金按照比赛正常进行时各自赢得比赛的概率之比进行分配，则甲分得奖金（    ）元. A．3600 B．3800 C．4000 D．4200 18．（25-26高一上·贵州遵义·期末）某连锁超市在店庆期间，针对线上、线下两种消费渠道推出抽奖活动．已知顾客线上抽奖中奖的概率为，线下抽奖中奖的概率为，且两种渠道抽奖结果相互独立． (1)若某顾客在两种渠道各抽奖1次，求该顾客恰好有1次中奖的概率； (2)若某顾客连续3天只参与线上抽奖，每天抽奖1次，求该顾客恰好有2天中奖的概率； (3)商场设置“终极幸运奖”，规则为先参与2次线下抽奖，再参与2次线上抽奖，若这4次抽奖中至少有3次中奖，则可获得该奖项，求顾客获得“终极幸运奖”的概率． 19．（25-26高一上·北京房山·期末）甲､乙两人参加猜成语对抗赛.甲､乙两人在每次比赛中各猜一个成语，若一方猜对且对方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局.已知每次比赛中，甲､乙猜对的概率分别为和，且每次比赛中甲､乙猜对与否互不影响，各次比赛结果也互不影响. (1)求在一次比赛中甲获胜的概率； (2)求在一次比赛中平局的概率； (3)求在两次比赛中，甲至少获胜一次的概率. 20．（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·月考）甲、乙两队进行排球比赛，采取五局三胜制（先赢得三局比赛的队伍获胜，比赛结束）.根据两队比赛的历史数据分析，甲、乙两队在第一局比赛中取胜的概率均为，但受心理等因素的影响，前一局比赛的结果对后一场比赛会产生影响，若比赛结束时场次不超过四局，甲队在某一局比赛取胜，则下一局比赛取胜的概率比上一局取胜的概率增加，反之，则下一局比赛取胜的概率比上一局取胜的概率降低，若比赛进入第五局决胜局，则不论第四局胜负如何，该局甲取胜的概率为. (1)求比赛三局结束的概率； (2)求乙取胜，比赛结束的概率. 21．（2025高一·全国·专题练习）已知甲、乙两队参加知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响． (1)分别求甲队总得分为0分和2分的概率； (2)求甲队得2分且乙队得1分的概率． 1．（24-25高一下·浙江宁波·期末）甲、乙两人独立地攻克一道难题，已知两人能攻克的概率分别是，，则下列概率计算正确的是（   ） A．该题被攻克的概率为 B．该题未被攻克的概率为 C．该题至少被一人攻克的概率为 D．该题至多被一人攻克的概率为 2．（25-26高一上·河南南阳·月考）先后两次掷一枚质地均匀的骰子，表示事件“两次掷出的点数之和是），表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，表示事件“两次掷出的点数相同”，表示事件“至少出现一个奇数点”，则（   ） A．与互斥 B． C．与对立 D．与相互独立 3．（24-25高一下·河北沧州·期末）投掷一枚均匀的骰子，事件A：点数大于2；事件B：点数小于4；事件C：点数为偶数.则下列关于事件描述正确的是（    ） A．A与B 是互斥事件 B．A 与B 是对立事件 C．A与C是独立事件 D．B与C 是独立事件 4．（24-25高一上·河南焦作·期末）某科研小组共60名成员，他们需要完成甲、乙、丙、丁四个科研项目，科研成员随机参与，且每个人可以参与一个或多个项目．若参与甲项目的有30人，参与乙项目的有10人，参与丙项目的有20人，参与丁项目的有30人，参与了甲项目或乙项目的共有40人，同时参与了甲项目和丙项目的有10人，参与了甲项目或丁项目的共有60人，则下列说法正确的是（   ） A．参与甲项目与参与乙项目不互斥 B．参与甲项目与参与丁项目互斥但不对立 C．参与丙项目与参与丁项目不相互独立 D．参与甲项目与参与丙项目相互独立 5．（25-26高一下·全国·课后作业）已知，是相互独立事件，若，，则（   ） A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 6．（25-26高一上·江西吉安·期末）（多选）若，，，则（   ） A．事件与不互斥 B．事件与对立 C．事件与互相独立 D． 7．（25-26高一上·辽宁丹东·期末）（多选）设事件满足，则下列命题正确的有（   ） A．若，则与相互独立 B．若与相互独立，则 C． D．若，则 8．（24-25高二上·四川成都·期中）（多选）下列对随机事件概率的说法正确的有（   ） A．若相互独立，则 B．若互斥，则 C． D． 9．（24-25高二上·上海·期末）某学生做两道选择题，已知每道题均有4个选项，其中有且只有一个正确答案．该学生随意填写两个答案，则两个答案都选错的概率为____________． 10．（25-26高二下·全国·单元测试）现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次命中的概率为，向乙靶射击两次，每次命中的概率为，该射手每次射击的结果相互独立．该射手完成以上三次射击，恰好命中一次的概率为________． 11．（24-25高一下·安徽黄山·期末）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，每轮比赛甲、乙各射击一次，已知甲中靶的概率，乙中靶的概率为，每轮比赛中甲、乙两人射击的结果互不影响，若在一轮射击中，恰好有一人中靶的概率为，则___________. 12．（24-25高一下·江苏无锡·期末）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，共进行两轮活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，在每轮活动中，甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响． (1)求“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率； (2)求两轮活动结束后，甲恰好比乙多猜对一个成语的概率． 13．（24-25高一下·福建福州·期末）目前低碳的生活理念流行，越来越多的年轻人加入自行车骑游行列.某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过小时免费，超过小时的部分每小时收费元（不足一小时的部分按一小时计算）.有甲、乙两人分别来该租车点租车骑游（各租一车一次），设甲、乙不超过小时还车的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时还车的概率分别为，；两人租车时间互不影响且都不会超过3小时. (1)求甲、乙两人租车时间超过2小时，且不超过3小时的概率； (2)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率； (3)求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率 14．（2025·广东·三模）甲乙两人独立破译一份密码，已知各人能破译的概率分别是，，求： (1)两人中只有一人成功破译的概率； (2)密码被成功破译的概率． 15．（25-26高一上·辽宁大连·期末）在一次数学练习中，甲､乙两人同时独立做同一道数学题，已知甲､乙能做对的概率分别是0.7和0.6. (1)求两人都做对此数学题的概率； (2)求恰有一人做对此数学题的概率. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.2　事件的相互独立性 1．在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念． 2．能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题． 相互独立事件的概念 对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝ P(A)P(B) 成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立． 判断两个事件相互独立的方法 (1)定量法：利用P(AB)＝ P(A)P(B) 是否成立可以准确地判断两个事件是否相互独立． (2)定性法：直观地判断一个事件发生与否对另一个事件发生的概率是否有影响，若 没有影响 就是相互独立事件． 相互独立事件的性质 (1)必然事件与任意事件相互独立，不可能事件与任意事件相互独立． (2)如果事件A与事件B相互独立，那么A与与B与也都相互独立． 【注意】当三个事件A，B，C两两独立时，等式P( ABC )＝P(A)P(B)P( C )一般不成立. 相互独立事件概率求解的关注点 (1)求相互独立事件同时发生的概率的步骤：①确定各事件是相互独立的．②确定各事件会同时发生．③先求每个事件发生的概率，再求其积． (2)解决这类问题的关键是将事件看作若干事件相互独立的情形，还要注意互斥事件的拆分，以及对立事件概率的求法． (3)已知两个事件A，B相互独立，它们的概率分别为P(A)，P(B)，则有 事件 表示 概率 A，B同时发生 AB P(A)P(B) A，B都不发生 PP A，B恰有一个发生 ∪ A，B中至少有一个发生 P(A)P＋P·P(B)＋P(A)·P(B) A，B中至多有一个发生 ∪∪ P(A)P＋P·P(B)＋P·P 题型一 独立事件的判断 1．（25-26高一下·贵州遵义·月考）掷一枚质地均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件，则（    ） A．B包含A B．A与B对立 C．A与B互斥 D．A与B相互独立 【答案】D 【详解】对于A，因为，，因此不包含，故A错误； 对于BC，因为，， 因此与不是对立事件，也不是互斥事件，故BC错误； 对于D，由于，，而， 故，所以， 所以A与B相互独立，故D正确． 2．（25-26高二下·黑龙江·开学考试）（多选）已知随机事件满足，且事件与相互独立，则下列说法正确的是（    ） A．若与相互独立，则 B．若，则与相互独立 C．若与互斥，且与也相互独立，则 D．若与相互独立，且与也相互独立，则 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，结合概率的性质、互斥事件、相互独立事件的概率公式，逐项分析判断即可. 【详解】因为事件与相互独立，所以事件与相互独立， 所以， 因为，A正确； ，又， 所以，又， 所以，即与相互独立，B正确； 因为与互斥，所以， 又因为与相互独立， 所以，C错误； 因为与相互独立，所以， 又因为与相互独立，所以，故D正确. 故选：ABD. 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）假定生男、生女是等可能的，一个家庭中有若干个小孩，事件表示“一个家庭中既有男孩又有女孩”，事件表示“一个家庭中最多有一个男孩”．对下列两种情形，判断事件与事件是否相互独立． (1)一个家庭中有2个小孩； (2)一个家庭中有3个小孩． 【答案】(1)事件与事件不相互独立 (2)事件与事件相互独立 【分析】（1）列举所有可能性，求出对应概率，根据独立事件概念判断即可； （2）列举所有可能性，求出对应概率，根据独立事件概念判断即可. 【详解】（1）若家庭中有2个小孩，样本空间为{（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）}，共有4个样本点． 由等可能性，知每个样本点发生的概率都为． 此时（男，女），（女，男）（男，女），（女，男），（女，女）， 而（男，女），（女，男）， 则，，． 显然， 故在一个家庭中有2个小孩的前提下，事件与事件不相互独立． （2）若家庭中有3个小孩，样本空间为｛（男，男，男），（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男），（男，女，女），（女，女，男），（女，男，女），（女，女，女）}，共有8个样本点． 由等可能性，知每个样本点发生的概率都为． 此时（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男），（男，女，女），（女，女，男），（女，男，女）（男，女，女），（女，女，男），（女，男，女），（女，女，女）， 而（男，女，女），（女，女，男），（女，男，女）， 则，，． 显然，故在一个家庭中有3个小孩的前提下，事件与事件相互独立． 4．（25-26高一上·山西忻州·期末）一个不透明的袋子中装有大小和质地相同的6个球，其中有2个红球，2个绿球，2个蓝球，从袋中一次性随机取出2个球，设事件“2个球颜色相同”，事件“2个球中至少有一个红球”，事件“2个球中至多有一个红球”，事件“2个都不是红球”，则（    ） A．与互斥 B．与对立 C．与相互独立 D． 【答案】D 【分析】由和互斥事件、对立事件定义即可判断AB；由即可判断C；由交事件定义计算即可判断D. 【详解】将2个红球、2个绿球和2个蓝球分别记为， 则从袋中一次性随机取出2个球的样本空间为共15个样本点， 由题意共3个样本点，共9个样本点， 共14个样本点，共6个样本点， 所以，故A与D不互斥，故A错误； ，故B与C不互斥，故B错误； 因为，一个样本点， 所以，即，故C错误； ，故D正确. 故选：D 5．（25-26高二上·福建宁德·期末）在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，设事件“向上的点数是奇数”，事件“向上的点数是2或4”，事件“向上的点数是2或5”，则下列说法正确的是 （    ） A．与对立 B．与互斥 C．与相互独立 D．与相互独立 【答案】D 【分析】对A，由对立事件的概率关系判断；对B，由互斥事件的概念判断；对C、D，由相互独立事件的概念判断. 【详解】， 对于A：因为，所以不对立，A错误； 对于B：因为当向上的点数为时，事件同时发生，所以不互斥，B错误； 对于C：因为事件“向上的点数是2”，，， ，所以与不相互独立； 对于D：因为事件“向上的点数为”，，又， 所以，所以与相互独立. 故选：D. 题型二 相互独立事件与互斥事件 6．（25-26高二上·四川成都·期中）某企业为了推动技术革新，计划升级某电子产品，该电子产品核心系统的某个部件由2个电子元件组成．如图所示，部件是由元件与元件组成的串联电路，已知元件，正常工作的概率都为，且元件工作是相互独立的．    (1)求部件正常工作的概率； (2)为了促进产业革新，该企业计划在核心系统中新增两个另一产地的电子元件，使得部件正常工作的概率增大．已知新增元件正常工作的概率为，且四个元件工作是相互独立的．现设计以下两种方案： 方案一：新增两个元件都和元件并联后，再与串联； 方案二：新增两个元件，其中一个和元件并联，另一个和元件并联，再将两者串联．则该公司应选择哪一个方案，可以使部件正常工作的概率达到最大？ 【答案】(1) (2)选择方案二可以使部件正常工作的概率最大． 【分析】（1）利用事件的基本关系与相互独立事件的乘法公式计算即可； （2）利用和事件与积事件的关系结合对立事件的乘法公式计算两方案的概率，作差比较大小即可. 【详解】（1）记事件分别表示元件正常工作，则， 事件表示正常工作， 由元件工作是相互独立的，则． （2）设方案一、二正常工作的概率分别为，设新增的两个元件为， 记事件分别表示新增的两个元件正常工作，则． 事件分别表示元件不正常工作，由于四个元件工作相互独立， 则 ． 所以； 所以， 所以选择方案二可以使部件正常工作的概率最大． 7．（24-25高一下·福建福州·期末）甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有3道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题互不影响； (1)求甲、乙两人共答对5道题目的概率． (2)若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，求甲、乙两人只有一人通过面试的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式，再结合互斥事件加法公式即可求解； （2）先求甲乙两人分别没通过面试的概率，再利用对立事件，即可得到甲乙两人分别通过面试的概率，然后利用两人中仅有一人通过，结合两相互独立事件概率乘法公式即可求解. 【详解】（1）设“甲答对3道题目”, “甲答对2道题目” “乙答对3道题目”， “乙答对2道题目”，根据独立事件的性质，可得， ，    ， ，     ， 设为 “甲、乙两人共答对5道题目”， 则，因为与互斥，与，与分别相互独立，， 所以甲、乙两人共答对5道题目的概率． （2）C=“甲通过面试”，D=“乙通过面试”，与相互独立， ， E=“甲、乙两人只有一人通过面试”，则，因为与互斥， 与，与分别相互独立， 所以甲、乙两人只有一人通过面试的概率 8．（24-25高一下·贵州遵义·期末）（多选）现有6个分别标有数字1，2，3，4，5，6的相同小球，从中有放回地随机抽取两次，每次取1个球，记事件甲：第一次取出的球的数字是3，事件乙：第二次取出的球的数字是6，事件丙：两次取出的球的数字之和是8，事件丁：两次取出的球的数字之差的绝对值是3，则（   ） A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互对立 D．丙与丁互斥 【答案】BD 【分析】利用样本空间法，分别计算4个事件的概率，以及选项中两个事件同时发生是概率，再结合独立事件，互斥事件的定义，即可判断选项. 【详解】，事件丙包含，共5个基本事件，所以，，所以，甲与丙不相互独立，故A错误； 事件丁包含共6个基本事件，所以，，所以，甲与丙相互独立，故B正确； ，，所以，乙与丙不相互独立，故C错误； 事件丙和丁没有公共事件，不可能同时发生，所以丙和丁互斥，故D正确. 故选：BD 9．（24-25高一下·湖南长沙·期末）（多选）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，事件A表示“第一次取出的球的数字是偶数”，事件B表示“第二次取出的球的数字是奇数”，事件C表示“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（   ） A．A与B为互斥事件 B． C． D．B与C相互独立 【答案】BD 【分析】首先根据题意将的可能情况列出来，然后根据互斥事件、独立事件和概率知识对选项逐一判断即可. 【详解】不放回的随机取两次，共有种不同结果. 由题意，共15种结果； 共15种结果. 共12种结果. , 对于选项A： 事件和事件能同时发生，比如，所以不是互斥事件，所以A错误； 对于选项B：，所以B正确； 对于选项C：，，所以，所以C错误； 对于选项D：，. 由于，所以相互独立，所以D正确. 故选：BD. 10．（2025高三·全国·专题练习）（多选）已知事件，且，则（    ） A．事件与事件互为对立事件 B．若事件与事件互斥，则 C．若事件与事件互斥，则 D．若，则事件与事件相互独立 【答案】BD 【分析】根据对立事件的定义、互斥事件概率公式、相互独立事件的性质及概率公式计算判断作答. 【详解】由于对立事件的概率和为1，但，A错误； 若事件与事件互斥，则，B正确； 若事件与事件互斥，则不可能同时发生，即，C错误； 因为，所以事件与事件相互独立， 则事件与事件相互独立，D正确． 故选：BD. 11．（25-26高一上·全国·课后作业）已知事件A，B满足，则下列结论正确的是（   ） A．若A与B相互独立，则 B．若A与B互斥，则 C．A与B相互对立 D．若，则 【答案】D 【详解】对于A，若A与B相互独立，则A与相互独立，所以，故A错误．对于B，若A与B互斥，则A，B不可能同时发生，即，故B错误．对于C，，由于不确定A与B是否互斥，所以无法确定两事件是否对立，如抛掷一枚质地均匀的骰子，观察试验的结果，设事件 “出现奇数点”；事件“出现点数不大于3”，则，但事件A，B并不互斥，也不对立，故C错误．对于D，若，则，则，故D正确． 题型三 独立事件的乘法公式 12．（25-26高一下·安徽合肥·月考）甲、乙两人进行三局两胜制的乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率均为，每局比赛彼此独立且没有平局，则乙获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得，乙比赛两局直接获胜的概率为， 乙比赛完三局才获胜的概率为. 所以乙获胜的概率为. 13．（25-26高一下·全国·课堂例题）某校田径队有三名短跑运动员，根据平时的训练情况统计甲、乙、丙三人100m跑（互不影响）的成绩在13s内（称为合格）的概率分别为，，．若对这三名短跑运动员的100m跑的成绩进行一次检测，则： (1)三人都合格的概率与三人都不合格的概率分别是多少？ (2)出现几人合格的概率最大？ 【答案】(1)， (2)出现恰有一人合格的概率最大． 【分析】（1）先设事件并明确已知概率，由事件独立性计算三人都合格和三人都不合格的概率； （2）分别计算恰有一人和恰有两人合格的概率，比较概率大小确定最大概率的情况. 【详解】（1）设甲、乙、丙三人100m跑合格分别为事件，显然相互独立， 表示三人都合格，表示三人都不合格， 则，，， ，，， 设恰有人合格的概率为． 三人都合格的概率为， 三人都不合格的概率为， 所以三人都合格的概率与三人都不合格的概率均为． （2），，两两互斥， ∴恰有两人合格的概率为 ， 恰有一人合格的概率为：， 结合（1）可知中最大，所以出现恰有一人合格的概率最大. 14．（2026·江苏常州·模拟预测）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投，先投中者获胜，直到有人获胜或每人都已投三次结束，设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各自投篮互不影响. (1)求比赛结束但仍没有决出胜负的概率； (2)求甲获胜的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设事件“甲在第次投篮投中”，设事件“乙在第次投篮投中”， 记“比赛结束但仍没有决出胜负”为事件，则，利用独立事件和互斥事件的概率公式即可得解； （2）记“甲获胜”为事件，由题意，根据概率的加法公式和独立事件的概率公式即可得解. 【详解】（1）设事件“甲在第次投篮投中”， 事件“乙在第次投篮投中”，， 则，，，， 记“比赛结束但仍没有决出胜负”为事件，则， 可得， 所以比赛结束但仍没有决出胜负的概率为 （2）记“甲获胜”为事件，则， 可得， 所以甲获胜的概率为． 15．（25-26高三下·浙江杭州·月考）甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定打6局，每局必分胜负，无平局．每局比赛中，获胜方得1分，失败方得0分．已知甲在每局比赛中获胜的概率是，乙在每局比赛中获胜的概率为，且各局结果相互独立．在整个比赛过程中，甲的累计得分始终不小于乙的累计得分的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分甲赢3局，乙赢3局、甲赢4局，乙赢2局、甲赢5局，乙赢1局、甲赢6局，乙赢0局，结合要求计算出每种情况的排列数，再独立事件的乘法和概率加法公式求解． 【详解】情况一：甲赢3局，乙赢3局，且甲的累计得分始终不小于乙的累计得分， 符合题意的获胜情况有：甲乙甲乙甲乙、甲乙甲甲乙乙、甲甲乙乙甲乙、甲甲乙甲乙乙、 甲甲甲乙乙乙共5种，此时概率； 情况二：甲赢4局，乙赢2局， 从6局中选4局甲赢，有种， 其中不符合题意的获胜情况有：乙乙甲甲甲甲、 乙甲乙甲甲甲、乙甲甲乙甲甲、 乙甲甲甲乙甲、乙甲甲甲甲乙、甲乙乙甲甲甲共6种， 则符合题意的获胜情况有9种，此时概率； 情况三：甲赢5局，乙赢1局， 符合题意的情况有种，此时概率； 情况四：甲赢6局，乙赢0局，此时概率； 综上，概率． 题型四 独立事件的实际应用 16．（25-26高一下·浙江·开学考试）某校运动会期间开设了知识竞赛，比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛；若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，，在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，.甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响. (1)若从甲、乙两人中选取1人参加比赛，选谁参赛赢得比赛的概率更大？ (2)若甲、乙两人均参加比赛，求两人中恰好只有1人赢得比赛的概率. 【答案】(1)甲； (2) 【分析】（1）应用独立事件概率乘积公式计算求解； （2）应用独立事件概率乘积公式及对立事件概率公式计算，最后应用互斥事件概率和公式求解； 【详解】（1）甲赢得比赛的概率是，乙赢得比赛的概率是， ，∴甲赢得比赛的概率更大. （2）甲赢乙输的概率是，甲输乙赢的概率是， 相加得两人中恰好只有1人赢得比赛的概率. 17．（2026·广东梅州·一模）甲乙两人下棋比赛，规则是谁先赢2局，谁便赢得奖金5400元.根据以往的交手记录，每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每局比赛相互独立.然而因突发事件，比赛未能举行，为公平服众，奖金按照比赛正常进行时各自赢得比赛的概率之比进行分配，则甲分得奖金（    ）元. A．3600 B．3800 C．4000 D．4200 【答案】C 【详解】甲要赢得比赛，需要先赢两局，可能的比赛局数为2局或3局. 2局结束，即甲连赢2局，概率为； 3局结束，即前2局甲、乙各赢1局，第3局甲赢，概率为， 所以甲赢得比赛的总概率为. 同理可求得乙赢得比赛的总概率为. 所以甲分得奖金为元. 18．（25-26高一上·贵州遵义·期末）某连锁超市在店庆期间，针对线上、线下两种消费渠道推出抽奖活动．已知顾客线上抽奖中奖的概率为，线下抽奖中奖的概率为，且两种渠道抽奖结果相互独立． (1)若某顾客在两种渠道各抽奖1次，求该顾客恰好有1次中奖的概率； (2)若某顾客连续3天只参与线上抽奖，每天抽奖1次，求该顾客恰好有2天中奖的概率； (3)商场设置“终极幸运奖”，规则为先参与2次线下抽奖，再参与2次线上抽奖，若这4次抽奖中至少有3次中奖，则可获得该奖项，求顾客获得“终极幸运奖”的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）恰好有1次中奖，拆成2个互斥事件的和，由独立事件、互斥事件的概率公式求解即可； （2）恰好有2天中奖拆成3个互斥事件的和，即第天不中且其余两天中，由独立事件、互斥事件的概率公式求解即可； （3）4次抽奖中至少有3次中奖，拆成3个互斥事件的和，由独立事件、互斥事件的概率公式求解即可. 【详解】（1）设顾客在线上抽奖中奖为事件A, 线下抽奖中奖为事件B, 设某顾客在两种渠道各抽奖1次，恰好有1次中奖为事件C, 则. （2）设第次线上抽奖中奖为事件， 设某顾客连续3天只参与线上抽奖，每天抽奖1次，恰好中奖两次为事件D， 则. （3）设顾客获得终极幸运奖为事件E，则线上恰好中一次且线下两次全中，或线上两次全中且线下恰好中一次，或者线上线下均两次全中， 则. 19．（25-26高一上·北京房山·期末）甲､乙两人参加猜成语对抗赛.甲､乙两人在每次比赛中各猜一个成语，若一方猜对且对方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局.已知每次比赛中，甲､乙猜对的概率分别为和，且每次比赛中甲､乙猜对与否互不影响，各次比赛结果也互不影响. (1)求在一次比赛中甲获胜的概率； (2)求在一次比赛中平局的概率； (3)求在两次比赛中，甲至少获胜一次的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用独立事件的概率公式计算出甲在一次比赛中获胜的概率； （2）利用独立事件的概率公式及概率加法公式可计算出在一次比赛中平局的概率； （3）利用独立事件和对立事件的概率公式可求得在两次比赛中，甲至少获胜一次的概率. 【详解】（1）记在一次比赛中，甲猜对为事件A，乙猜对为事件B. 则在一次比赛中甲获胜的概率为. （2）在一次比赛中平局的概率为. （3）由（1）知，在一次比赛中甲获胜的概率为，所以在一次比赛中甲没有获胜的概率为. 且各次比赛结果也互不影响，所以两次比赛，甲均没有获胜的概率为. 所以在两次比赛中，甲至少获胜一次的概率为. 20．（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·月考）甲、乙两队进行排球比赛，采取五局三胜制（先赢得三局比赛的队伍获胜，比赛结束）.根据两队比赛的历史数据分析，甲、乙两队在第一局比赛中取胜的概率均为，但受心理等因素的影响，前一局比赛的结果对后一场比赛会产生影响，若比赛结束时场次不超过四局，甲队在某一局比赛取胜，则下一局比赛取胜的概率比上一局取胜的概率增加，反之，则下一局比赛取胜的概率比上一局取胜的概率降低，若比赛进入第五局决胜局，则不论第四局胜负如何，该局甲取胜的概率为. (1)求比赛三局结束的概率； (2)求乙取胜，比赛结束的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分析可知甲或乙均连胜3局，求各局获胜的概率，结合独立事件的概率乘法公式运算求解； （2）分析可知4局胜者依次为甲，乙，乙，乙、乙，甲，乙，乙和乙，乙，甲，乙，求各局获胜的概率，结合独立事件的概率乘法公式运算求解. 【详解】（1）记“比赛三局结束”为事件A，则甲或乙均连胜3局， 则每局获胜的概率依次为，，， 所以. （2）记“乙取胜，比赛结束”为事件B， 若4局胜者依次为甲，乙，乙，乙， 则乙每局的概率依次为，，，； 若4局胜者依次为乙，甲，乙，乙， 则乙每局的概率依次为，，，； 若4局胜者依次为乙，乙，甲，乙， 则乙每局的概率依次为，，，； 所以. 21．（2025高一·全国·专题练习）已知甲、乙两队参加知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响． (1)分别求甲队总得分为0分和2分的概率； (2)求甲队得2分且乙队得1分的概率． 【答案】(1)甲队总得分为0分和2分的概率分别为. (2)甲队得2分且乙队得1分的概率为. 【分析】（1）（2）运用独立事件概率相关知识，可容易解出. 【详解】（1）设甲队总得分为0分为事件，甲队总得分为2分为事件. 甲队总得分为0分，即甲队三人都回答错误，其概率. 甲队总得分为2分，即甲队三人中有1人答错，其余2人答对，其概率. （2）设乙队得1分为事件，甲队得2分且乙队得1分为事件.则 ， 所以. 综上，(1)甲队总得分为0分和2分的概率分别为；(2)甲队得2分且乙队得1分的概率为. 1．（24-25高一下·浙江宁波·期末）甲、乙两人独立地攻克一道难题，已知两人能攻克的概率分别是，，则下列概率计算正确的是（   ） A．该题被攻克的概率为 B．该题未被攻克的概率为 C．该题至少被一人攻克的概率为 D．该题至多被一人攻克的概率为 【答案】D 【分析】根据独立事件同时发生的概率公式，结合选项，即可求解. 【详解】A.该题被攻克为至少有1人攻克该题的概率，故A错误； B.该题未被攻克的概率为，故B错误； C.由A可知，该题至少被1人攻克的概率为，故C错误； D.该题至多被1人攻克 概率为，故D正确. 故选：D 2．（25-26高一上·河南南阳·月考）先后两次掷一枚质地均匀的骰子，表示事件“两次掷出的点数之和是），表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，表示事件“两次掷出的点数相同”，表示事件“至少出现一个奇数点”，则（   ） A．与互斥 B． C．与对立 D．与相互独立 【答案】D 【分析】根据互斥事件与对立事件的关系判断A,C；根据对立事件概率计算即可判断B；根据结合古典概型求解概率，结合独立事件概率性质即可判断D. 【详解】若两次掷出的点数之和是4，由于每次掷出的点数都在1到6之间， 所以第一次掷出的点数一定小于4，而“两次掷出的点数相同”中的“”的点数之和等于4， 故与不互斥，故A错误； “至少出现一个奇数点”的对立事件是“两次掷出的点数都是偶数点”， 所以，故B错误； 由于“至少出现一个奇数点”的对立事件是“两次掷出的点数都是偶数点”．故B与D不是对立的，故C错误； 先后两次掷一枚质地均匀的骰子，两次出现的点数组有种等可能的不同情况， 第二次掷出的点数为偶数的情况有共18种不同情况， 两次掷出的点数相同的情况有：共6种， 两次掷出的点数相同且第二次掷出的点数为偶数的情况有共3种情况， 所以， 所以，所以独立，故正确． 故选：D. 3．（24-25高一下·河北沧州·期末）投掷一枚均匀的骰子，事件A：点数大于2；事件B：点数小于4；事件C：点数为偶数.则下列关于事件描述正确的是（    ） A．A与B 是互斥事件 B．A 与B 是对立事件 C．A与C是独立事件 D．B与C 是独立事件 【答案】C 【分析】根据互斥事件，对立事件，独立事件概率公式和定义，即可判断选项. 【详解】和有公共事件：点数为3，所以不是互斥事件，也不是对立事件，故AB错误； 事件表示点数为4或6，，，，所以，所以与是独立事件，故C正确； 事件表示点数为2，则，，，所以，所以与不是独立事件，故D错误 故选：C 4．（24-25高一上·河南焦作·期末）某科研小组共60名成员，他们需要完成甲、乙、丙、丁四个科研项目，科研成员随机参与，且每个人可以参与一个或多个项目．若参与甲项目的有30人，参与乙项目的有10人，参与丙项目的有20人，参与丁项目的有30人，参与了甲项目或乙项目的共有40人，同时参与了甲项目和丙项目的有10人，参与了甲项目或丁项目的共有60人，则下列说法正确的是（   ） A．参与甲项目与参与乙项目不互斥 B．参与甲项目与参与丁项目互斥但不对立 C．参与丙项目与参与丁项目不相互独立 D．参与甲项目与参与丙项目相互独立 【答案】D 【分析】A选项，根据甲乙项目的参加情况得到，即可得到参与甲项目与参与乙项目互斥；B选项，根据甲丁项目的参加情况得到，即可得到参与甲项目与参与丁项目互斥且对立；C选项，根据参与甲项目与参与丁项目对立和得到，然后得到，，，最后利用乘法公式判断；D选项，利用乘法公式判断即可. 【详解】设总人数为，记参与甲，乙，丙，丁项目分别为事件， 由题意可得，故， 故参与甲项目与参与乙项目互斥，故A错误； 由题意可得，，故， 故参与甲项目与参与丁项目互斥且对立，故B错误； 由题意得， 故，， 故，故参与丙项目与参与丁项目相互独立，故C错误； ， 故参与甲项目与参与丙项目相互独立，故D正确． 故选：D． 5．（25-26高一下·全国·课后作业）已知，是相互独立事件，若，，则（   ） A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 【答案】A 【分析】根据独立事件、互斥事件、对立事件的概率公式计算. 【详解】因为，是相互独立事件，所以，和，均相互独立， 因为两两互斥， 所以， 因为，所以， 则，得． 故选：A 6．（25-26高一上·江西吉安·期末）（多选）若，，，则（   ） A．事件与不互斥 B．事件与对立 C．事件与互相独立 D． 【答案】ACD 【分析】根据互斥事件和对立事件的概念，以及积事件的概念，判断选项A，B正误；根据事件相互独立的概念，判断选项C的正误，根据和事件概率的求法，判断选项D的正误； 【详解】已知，即事件同时发生的概率不为，所以事件与不互斥，所以A正确； 已知事件与不互斥，则事件与不对立，所以B错误； 已知，则，因为，所以， 所以事件与互相独立，所以C正确； 可知，所以D正确； 故选：ACD. 7．（25-26高一上·辽宁丹东·期末）（多选）设事件满足，则下列命题正确的有（   ） A．若，则与相互独立 B．若与相互独立，则 C． D．若，则 【答案】ABC 【分析】由条件证明，结合独立事件的定义判断A；若与相互独立，由概率的加法公式求结论判断B；当时，有最小值，当与互斥时，有最大值，故C正确；若，所以；，所以，故D错误. 【详解】对于A，因为，所以， 由，得， 因为，所以， 所以与相互独立，故A正确； 对于B，若与相互独立，则，由概率的加法公式 ，故B正确； 对于C，当时，有最小值， 当与互斥时，有最大值； 所以，故C正确； 对于D，若，则，所以； 又因为， 根据德摩根定律有，又因为，所以，故 所以 所以，故D错误； 故选：ABC. 8．（24-25高二上·四川成都·期中）（多选）下列对随机事件概率的说法正确的有（   ） A．若相互独立，则 B．若互斥，则 C． D． 【答案】ACD 【分析】对于选项A：利用相互独立的性质即可判断；对于选项B：由互斥可得到，而不一定为0，进而做出判断；对于选项C：由，结合与互斥即可判断；对于选项D：由事件的关系可得与是对立事件，结合概率的性质即可判断. 【详解】对于选项A：因为相互独立，所以与也相互独立，所以,故选项A正确； 对于选项B：因为互斥，所以与不能同时发生，故，而不一定为0,故选项B错误； 对于选项C：因为，而与互斥，故，故选项C正确； 对于选项D：因为，，故与是对立事件，所以，故选项D正确. 故选：ACD. 9．（24-25高二上·上海·期末）某学生做两道选择题，已知每道题均有4个选项，其中有且只有一个正确答案．该学生随意填写两个答案，则两个答案都选错的概率为____________． 【答案】/ 【分析】首先由题意抽象为独立事件同时发生的事件，再代入概率公式，即可求解. 【详解】设答错第一道选择题为事件，答错第二道选择题为事件,两事件相互独立， 且， 两个题都选错为事件，则. 故答案为： 10．（25-26高二下·全国·单元测试）现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次命中的概率为，向乙靶射击两次，每次命中的概率为，该射手每次射击的结果相互独立．该射手完成以上三次射击，恰好命中一次的概率为________． 【答案】 【分析】根据独立事件的乘法公式和互斥事件的加法公式可得. 【详解】记“该射手恰好命中一次”为事件，“该射手射击甲靶命中”为事件，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件． 由题意知，，. 根据事件的独立性和互斥性， 得 ． 故答案为：. 11．（24-25高一下·安徽黄山·期末）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，每轮比赛甲、乙各射击一次，已知甲中靶的概率，乙中靶的概率为，每轮比赛中甲、乙两人射击的结果互不影响，若在一轮射击中，恰好有一人中靶的概率为，则___________. 【答案】/ 【分析】利用独立事件同时发生的概率公式，即可求解. 【详解】由题意可知，，解得：. 故答案为： 12．（24-25高一下·江苏无锡·期末）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，共进行两轮活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，在每轮活动中，甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响． (1)求“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率； (2)求两轮活动结束后，甲恰好比乙多猜对一个成语的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意转化为事件“甲猜对1个，乙猜对2个”，事件“甲猜对2个，乙猜对1个”的和事件发生，根据独立事件概率公式，即可求解； （2）根据题意转化为事件“甲猜对1个，乙猜对0个”，事件“甲猜对2个，乙猜对1个”的和事件发生，根据独立事件概率公式，即可求解； 【详解】（1）设，分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，，分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件，根据独立事件的性质，可得 ，，，， 设“两轮活动星对猜对3个成语”，则， 所以， ， 因此“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率为. （2）设表示乙两轮都没猜对的事件，， 设事件“两轮活动结束后，甲恰好比乙多猜对一个成语”则 ， . 13．（24-25高一下·福建福州·期末）目前低碳的生活理念流行，越来越多的年轻人加入自行车骑游行列.某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过小时免费，超过小时的部分每小时收费元（不足一小时的部分按一小时计算）.有甲、乙两人分别来该租车点租车骑游（各租一车一次），设甲、乙不超过小时还车的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时还车的概率分别为，；两人租车时间互不影响且都不会超过3小时. (1)求甲、乙两人租车时间超过2小时，且不超过3小时的概率； (2)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率； (3)求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据互斥事件的概率公式和对立事件概率公式计算可得； （2）根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得； （3）甲、乙两人所付的租车费用之和为元可能的情况是甲、乙的租车费用分别为： ①元、元，②元、元，③元、元，再根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得. 【详解】（1）甲租车时间超过2小时，且不超过3小时的概率为：， 乙租车时间超过2小时，且不超过3小时的概率为：； （2）甲、乙两人所付的租车费用相同可分为租车费用都为元、元、元三种情况， 甲、乙两人租车费用都为元的概率为， 甲、乙两人租车费用都为元的概率为， 甲、乙两人租车费用都为元的概率为， 所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为； （3）甲、乙两人所付的租车费用之和为元可能的情况是甲、乙的租车费用分别为： ①元、元，②元、元，③元、元， 所以甲、乙两人所付的租车费用之和为元的概率为： . 14．（2025·广东·三模）甲乙两人独立破译一份密码，已知各人能破译的概率分别是，，求： (1)两人中只有一人成功破译的概率； (2)密码被成功破译的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据独立事件乘法概率公式和互斥事件的概率公式进行求解即可； （2）根据独立事件乘法概率公式和对立事件的概率公式进行求解即可. 【详解】（1）记“甲破译出密码”为事件A，“乙破译出密码”为事件B， 则，， 设“甲乙只有一人破译出密码”为事件C，则， 故两人中只有一人破译出密码的概率为. （2）密码未被破译的概率为， 密码被成功破译的概率为． 15．（25-26高一上·辽宁大连·期末）在一次数学练习中，甲､乙两人同时独立做同一道数学题，已知甲､乙能做对的概率分别是0.7和0.6. (1)求两人都做对此数学题的概率； (2)求恰有一人做对此数学题的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据概率的乘法公式求解即可； （2）根据概率的加法与乘法公式求解即可. 【详解】（1）设事件：“甲做对”，事件：“乙做对”，则“两人都做对”为事件， 因为相互独立，故； （2）恰有一人做对为事件，事件互斥, 相互独立，相互独立， 所以. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $