10.5分式方程（第3课时 用分式方程解决问题）（课件）-【满分全攻略备课系列】2025-2026学年苏科版数学八年级下册

八年级苏科版数学下册 第十章 分式 10.5 分式方程 第三课时 用分式方程解决问题 布置作业 3 学习目标 1 5 课堂小结 习题巩固 4 知识详解 2 6 布置作业 典例分析 学习目标 1. 理解分式方程的实际应用场景，能准确识别可通过分式方程解决的实际问题类型（如行程问题、工程问题、利润问题、浓度问题等）； 2. 掌握用分式方程解决实际问题的一般步骤，能根据题意找出等量关系，列出分式方程并正确求解； 3. 能检验分式方程的解是否符合实际意义，避免出现不符合题意的增根，提升解题的准确性和严谨性。 1.7.2013 首先，我们来看一下本节课的学习目标。在知识与技能方面，我们要学会如何根据实际问题列出分式方程，并掌握规范的解题步骤，特别是检验的重要性。在过程与方法方面，我们将重点体会数学建模和化归这两种重要的数学思想，并学习如何运用列表、画图等方法来分析问题。希望通过这节课的学习，大家都能达成这些目标。 ‹#› 同学们，我们先一起来回顾两个问题，检验一下大家上一节课的学习成果：第一，什么是分式方程？第二，我们如何解分式方程？ 我们学会了解分式方程，它能帮我们解决什么实际问题呢？ 今天，我们就带着这个疑问，一起学习用分式方程解决实际问题，把我们学到的知识运用到实际中去。 大家已经掌握了分式方程的定义和解法，知道解分式方程的关键是去分母转化为整式方程，并且一定要检验，避免增根。 分母中含有未知数的方程叫作分式方程 步骤：去分母 → 解整式方程 → 代入最简公分母检验 → 写出最终结论。 教材P144 例题 刘大妈在超市购买大米.第一次按原价购买，用了105元.几天后，大米8折出售，她用140元又买了一些，两次一共购买了40kg，这种大米的原价是多少? 解：设这种大米的原价为x元/kg. 根据题意，得 解这个方程，得x=7. 经检验，x=7是所列方程的解. 答:这种大米的原价为7元/kg. ● 例4 解 项　目 第一次 第二次 单价（元/kg） x 0.8x 数量/kg 总价/元 105 140 例5 某校师生到离学校15km处参加义务植树活动，部分师生骑自行车出发，40min后，其余师生乘汽车出发，汽车速度是自行车速度的3倍，全体师生同时到达.分别求自行车与汽车的平均速度. 解：设自行车的平均速度为xkm/h. 根据题意，得 解这个方程，得x=15. 经检验，x=15是所列方程的解. 答:自行车的平均速度是15km/h，汽车的平均速度是45km/h. ● 例5 解 项　目 骑自行车师生 乘汽车师生 速度（km/h） x 3x 时间/min 路程/km 15 15 列分式方程解决实际问题的一般步骤： 审清题意 设未知数 找等量关系 列出分式方程 解分式方程 验根 是否是原分式方程的根 是否符合题意 写出答案 参见解分式方程的一般步骤 注意：检验是分式方程不可缺少的步骤，既要检验是不是所列方程的解，又要检验是否符合问题的实际意义. 在章头活动中，某条高速铁路干线上的甲、乙两地相距约700km,普通动车组列车的平均速度为akm/h,“复兴号”动车组列车的速度约为普通动车组列车的1.75倍 . 如何分别求出普通动车组列车和“复兴号”动车组列车的平均速度? 讨论 设定前提：具体的行驶时间 为了让计算过程更直观，我们引入一个具体的假设条件： 普通动车组列车从甲地到乙地，全程需要行驶5 小时。 核心计算：求解列车平均速度 已知总路程 S = 700km，行驶时间 t = 5h。 根据速度公式 V = S / t，代入数值计算： V = 700 km ÷ 5 h =140 km/h 结论：普通动车组的平均速度为 140 km/h 利用速度倍数关系 “复兴号”速度 =1.75 ×普通动车组速度 计算结果 = 1.75 × 140 km/h =245 km/h 教材P145 练习 课内练习 1.一个分数的分母比它的分子大5，如果将这个分数的分子加上14，分母减去1，那么所得分数是原分数的倒数，求原分数. 解:设原来分数的分子为x，则分母为(x+5)， 根据题意得: 解得:x=4 经检验，x=4是原方程的解， ∴ 答:原分数为 2.A，B两种机器人搬运货物，A型机器人每小时搬运货物的质量是B型机器人的1.5倍，A型机器人搬运900kg货物的时间比B型机器人搬运800kg货物的时间少1h.两种机器人每小时分别搬运多少货物? 解：设B型机器人每小时搬运2kg货物: 则A型机器人每小时搬运1.5xkg货物 A型机器人搬运900kg货物的时间:小时 B型机器人搬运800kg货物的时间:小时 根据题意，列方程:. 解得：x=200 A型机器人每小时搬运:1.5X200=300kg 答:A型机器人每小时搬运300kg，B型机器人每小时搬运200kg 课内练习 教材P145 练习 3．某农业基地改进蔬菜的浇水方式，将喷灌方式改为滴灌。改进后，一块菜地平均每天用水量减少1t，20t水可以使用的天数是原来的2倍，浇水方式改进后一块菜地平均每天用水多少吨? 解：设改进后平均每天用水 x 吨，则原来每天用水 (x+1) 吨。 根据题意列方程： 解得x=1 经检验，x=1 是原方程的解，且符合题意。 答：改进后平均每天用水 1 吨。 课内练习 教材P146 习题 4．某科技企业接到生产300万个智能手机芯片的订单，为了满足客户尽快交货的要求，工厂增开了一条生产线，实际每月生产能力比原计划提高了50%，结果比原计划提前2个月完成交货，求每个月实际生产智能手机芯片多少万个？ 解：设原计划每月生产智能手机芯片x万个． 根据题意，得 ＝2． 解这个方程，得 x＝50． 经检验，x＝50是所列方程的解，且符合题意． 所以 (1＋50%)×50＝75． 答：每个月实际生产智能手机芯片75万个． 教材P146 习题 课内练习 5．为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树960棵．由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵数是原计划的倍，结果提前4天完成任务．原计划每天种树多少棵？ 解：设原计划每天种树 x 棵． 根据题意，得 ＝4． 解这个方程，得 x＝60． 经检验，x＝60是所列方程的解，且符合题意． 答：原计划每天种树 60棵． 教材P147 习题 课内练习 6.甲、乙城市间的高速铁路长600km，高速公路长580km，从甲城到乙城乘高铁列车比乘汽车少用3.8h，已知高铁列车的平均速度是汽车平均速度的3倍，求高铁列车的平均速度。 解：设汽车的平均速度是 x km/h,高铁列车的平均速度 3x km/h. 根据题意，得 ＝3.8． 解这个方程，得 x＝100． 经检验，x＝60是所列方程的解，且符合题意． 3x=300 答：高铁列车的平均速度 300 km/h. 教材P147 习题 课内练习 基础巩固题 知识点1 列分式方程解应用题的步骤 1.注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种分析问题的方法，你可以依照这个方法按 要求完成本题的解答，也可以选用其他方法，按照解答题的一般要求进行解答. 一辆汽车开往距离出发地180千米的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时 后以原来速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前40分钟到达目的地.求汽车原计划的行驶速度. 设汽车原计划的行驶速度为 千米/时. （1）用含 的代数式完成下面的填空： ①若一直按原计划的速度匀速行驶，从出发地到目的地行驶的时间为_ ___小时. 【解析】路程为180千米，速度为千米/时，则行驶时间为小时，故答案为 . ②出发一小时后，距离目的地__________千米. 【解析】一小时行驶千米，出发一小时后，距离目的地 千米,故答案为 . ③汽车以原来速度的1.5倍匀速行驶的时间为_ _____小时. 【解析】路程为千米，速度为千米/时，行驶时间为 小时，故答案为 . （2）列出方程，并完成此题的解答. 【解】40分 小时.根据题意，得 ，解得 .检验：当时， , 是所列分式方程的解，且符合题意.答：汽车原计划的行驶速度为60千米/时. 2.【2024河北邯郸模拟】某市需要紧急生产一批民生物资，现有甲、乙两家资质 合格的工厂招标，加工一天需付甲厂货款1.5万元，付乙厂货款1.1万元.指挥中心 的负责人根据甲、乙两厂的投标测算，可有三种施工方案： 方案①：甲厂单独完成这项任务刚好如期完成； 方案②：乙厂单独完成这项任务比规定日期多用5天； 方案③：若甲、乙两厂合做4天后，余下的工程由乙厂单独做也正好如期完成. 在不耽误工期的前提下，最节省费用的施工方案是( ) C A.方案① B.方案② C.方案③ D.方案①和方案③ 知识点2 列分式方程解应用题 【解析】设甲厂单独完成这项任务需天，则乙厂单独完成这项任务需 天. 依题意得，解得，经检验， 是原分式方程的解，且符合 题意，.这三种施工方案需要的费用如下：方案①： （万元）；方案②： （万元），但乙厂单独完成这项任务超过了规 定日期，不能选；方案③：（万元）， 在不 耽误工期的前提下，第③种施工方案最节省费用. 16 3.某中学组织学生去离学校 的教育基地参加活动.先遣队与大队同时出发， 先遣队的速度是大队速度的1.2倍，结果先遣队比大队早到 ，则先遣队的速度 是___ . 6 【解析】设大队的速度为.由题意得，解得 .经检验, 是原分式方程的解，且符合题意，所以先遣队的速度是 ， 故答案为6. 关键点拨 根据题意列出方程是解题关键． 17 4.【2025河北邢台质检】为美化校园，某校安排甲、乙两人种植花苗，已知甲种 植40棵花苗所用时间是乙种植15棵花苗所用时间的2倍， ，求甲、乙两人每小 时各种植多少棵花苗？设甲每小时种植棵花苗，则可得方程 .根据以上 信息，题中用“…”表示的缺失的条件应为_________________________， ___． 两人每小时共种植7棵花苗 4 【解析】由题意得乙每小时种植棵花苗，则 ，故缺失的条件 为两人每小时共种植7棵花苗.解分式方程，得，经检验， 是 原方程的解，且符合题意.故答案为两人每小时共种植7棵花苗，4． 18 能力提升题 5.[自贡中考]去年暑假，小张和小李同学主动帮刘大爷掰玉米，他们各掰了36筐和30筐，两人劳动时间相同，小张平均每小时比小李多掰2筐，请问小李平均每小时掰玉米多少筐？ 解：设小李平均每小时掰玉米x筐，则小张平均每小时掰玉米(x＋2)筐，根据题意，得，解得x＝10， 经检验，x＝10是所列方程的解． 答：小李平均每小时掰玉米10筐． (2)若延期完成，超出工期的时间，公司每天要损失0.4万元，则单独找________工程队更实 惠(填“甲”或“乙”)． 6.某公司的某项工程在招标时接到甲、乙两个工程队的投标书，甲工程队施工一天需付工程款1.5万元，单独施工20天完成；乙工程队每天需付工程款1.1万元；如果甲、乙两工程队合作施工4天后，剩余的工程由乙工程队单独施工16天正好如期完成. 25 (1)若乙工程队单独完成该工程，则需要________天； 解：设乙工程队单独完成需要x天，则乙工程队的日工作量为，根据题意，得()×4＋ ×16＝1，整理，得＋ ＝1，解得x＝25.经检验，x＝25是原方程的解． ∴乙工程队单独完成该工程需要25天． 乙 【点拨】∵两工程队合作4天，乙工程队又单独施工16天正好如期完工，∴工期为4＋16＝20(天)． 甲工程队单独完成需要的费用为1.5×20＝30(万元)，乙工程队单独完成需要的费用为1.1×25＋0.4×(25－20)＝29.5(万元)．∵30万元>29.5万元，∴单独找乙工程队更实惠． 7.2025年8月7日至17日，第十二届世界运动会在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱．某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个. (1)求每个A种挂件的价格； 解：设每个A种挂件的价格为x元，则每个B种挂件的价格为x元，由题意得＝＋7，解得x＝25.经检验，x＝25是原方程的解．答：每个A种挂件的价格为25元． (2)某游客计划用不超过600元购买A，B两种挂件，且购买B种挂件的数量比购买A种挂件的 数量多5个，求该游客最多购买多少个A种挂件． 解：设该游客购买m个A种挂件，则购买(m＋5)个B种挂件． 由(1)知每个A种挂件的价格为25元，每个B种挂件的价格为×25＝20(元)，∴25m＋20(m＋5)≤600.∴m≤11. 又∵m为整数，∴m的最大值为11.答：该游客最多购买11个A种挂件． 8.[广安中考]某景区需要购买A，B两种型号的帐篷．已知用1 800元购买A种帐篷的数量与用3 000元购买B种帐篷的数量相等，且B种帐篷的单价比A种帐篷的单价多400元． (1)求A，B两种帐篷的单价． 解：设A种帐篷的单价为x元，则B种帐篷的单价为(x＋400)元，由题意，得＝，解得x＝600.经检验，x＝600是原方程的解，∴x＋400＝600＋400＝1 000. 答：A种帐篷的单价为600元，B种帐篷的单价为1 000元． (2)若该景区需要购买A，B两种型号的帐篷共20顶(两种型号的帐篷均需购买)，且购买B种帐篷的 数量不少于A种帐篷数量的，则购买A，B两种型号的帐篷各多少顶时，总费用最低？最低总费 用是多少元？ 解：设购买A种帐篷m顶，总费用为W元，则购买B种帐篷(20－m)顶． 由题意，得20－m≥m，解得m≤15.又∵两种型号的帐篷均需购买，∴0＜m≤15. 由题意得W＝600m＋1 000(20－m)＝－400m＋20 000.∵－400＜0，∴W随m的增大而减小， ∴当m＝15时，W取最小值，W最小＝－400×15＋20 000＝14 000，此时20－m＝5. 答：当购买A种帐篷15顶，B种帐篷5顶时，总费用最低，最低总费用为14 000元． 列分式方程解应用题的步骤： (1) 审：审清题意，找出题中的相等关系，分清题中的已知量、未知量． (2) 设：设出恰当的未知数，注意单位和语言的完整性． (3) 列：根据相等关系列出分式方程． (4) 解：解所列的分式方程． (5) 验：既要检验所得的解是否为所列分式方程的解，还要检验是否符合实际意义． (6) 答：写出答案． 课堂小结 教科书第145页练习 第1，2题 布置作业 $