9.3.1 平面向量基本定理 同步测试-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

9.3.1 平面向量基本定理 同步测试-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 一、单项选择题 1 (2025无锡期中)设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与2a－b共线，则实数λ的值为(　　) A.0 B.－ C.－2 D. 2 如图，在△ABC中，P是线段BC上的一点，若 ＝t＋，则实数t的值为(　　) A. B. C. D. 3 (2025湖北期中)在△ABC中，D为边BC的中点，点O在线段AD上，且＝2.若＝λ＋μ，则λ＋μ等于(　　) A. B. C. D. 4 (2025山东五岳联盟联考)已知向量i与j不共线，且＝i＋mj，＝ni＋j，m≠1.若A，B，D 三点共线，则mn等于(　　) A. B.2 C.1 D.－3 5 (2025河北期中)如图，在△ABC中，D为边AB上靠近点B的三等分点，E为线段CD的中点．设＝a，＝b，则等于(　　) A.a＋b B.－a－b C.－a＋b D.a－b 6 (2025连云港期中)在平行四边形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，AF与DE交于点N，＝x＋y，则x＋y等于(　　) A. B. C. D. 二、多项选择题 7 (2025邢台期中)若平面向量a，b不共线，则下列各组向量中可以作为平面向量的一组基底的是(　　) A.a＋2b，2a＋b B.a－2b，－2a＋4b C.a＋b，a－b D.a－2b，a＋b 8 (2025华师元一赤壁学校月考)若e1，e2是平面内两个不共线的向量，则下列说法中正确的是(　　) A.λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面内的所有向量 B.对于平面内的任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数λ，μ有无数多对 C.若λ1，μ1，λ2，μ2均为实数，且向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2) D.若存在实数λ，μ，使λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0 三、填空题 9 已知AM是△ABC的边BC的中线，若＝a，＝b，则＝________．(用a，b表示) 10 (2025四川期中)在△ABC中，已知D是边BC上一点，若＝λ，＝＋，则实数λ的值是________． 11 (2025齐齐哈尔六中月考)已知O为△ABC内一点，且＝＋，则△AOB的面积与△ABC的面积的比值为________． 四、解答题 12 (2025莆田月考)如图，已知在△AOB中，C是以点A为对称中心的点B的对称点，＝2，DC与OA交于点E，设＝a，＝b. (1) 用a和b表示向量，； (2) 若＝λ，求实数λ的值． 13 (2025恩施州期中)在平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝1，AB＝2.设＝a，＝b，＝，＝. (1) 用a，b表示，，并求·； (2) 已知点M在线段AE上，且＝k，若MD∥FE，求实数k的值． 参 考 答 案 1.B　因为向量a＋λb与2a－b共线，所以存在t∈R，使得a＋λb＝t(2a－b)＝2ta－tb.又a与b是两个不共线向量，所以解得λ＝－. 2.C　因为B，P，C三点共线，所以设＝n(n≥0)，即－＝n(－)，整理，得＝＋.因为＝t＋，所以解得t＝. 3.B　因为＝2，所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝＋.又＝λ＋μ，所以λ＝μ＝，所以λ＋μ＝. 4.C　因为向量i与j不共线，所以i与j可以作为平面内的一组基底.由A，B，D 三点共线，得＝λ(λ∈R)，即i＋mj＝λni＋λj，则故mn＝1. 5.C　由题意，得＝，＝，则＝＋＝＋＝＋－＝＋，故＝－＝－＝－＝－＋＝－a＋b. 6.C　由题意，得＝＋＝＋＝＋.因为∥，所以设＝λ，λ∈R，则λ＝＋＝2＋，显然λ≠0，则＝＋.又D，N，E三点共线，故＋＝1，解得λ＝，则＝＋，即＝＋，则x＝，y＝，故x＋y＝. 7.ACD　对于A，若向量a＋2b，2a＋b共线，则a＋2b＝λ(2a＋b)，即无解，故向量a＋2b，2a＋b不共线；对于B，因为a－2b＝－(－2a＋4b)，所以向量a－2b与－2a＋4b共线；对于C，若向量a＋b，a－b共线，则a＋b＝λ(a－b)，即无解，故向量a＋b，a－b不共线；对于D，若向量a－2b，a＋b共线，则a－2b＝λ，即无解，故向量a－2b，a＋b不共线．综上，向量a＋2b与2a＋b，向量a＋b与a－b，向量a－2b与a＋b都可以作为平面向量的一组基底，向量a－2b与－2a＋4b不可以作为平面向量的一组基底．故选ACD. 8.AD　对于A，B，D，向量e1，e2可视为一组基底，则由平面向量基本定理可知A，D正确，B错误；对于C，当λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个，故C错误．故选AD. 9.(a＋b)　由AM是边BC的中线，得＝.又＝＋＝＋，所以＝(＋)＝(a＋b). 10.　因为＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ，且＝＋，所以λ＝. 11.　如图，取AC的中点D，连接BD.因为＝2，所以＝＋，则O，B，D三点共线，易知△AOB与△ABC的公共边为AB，设点D到边AB的距离为h，则点O到边AB的距离为h，点C到边AB的距离为2h，所以＝＝. 12.(1) 由题意，得＝. 由＝2，得＝， 所以＝＋＝＋＝＋－＝2－＝2a－b， ＝－＝－＝2a－b. (2) 设＝μ(μ∈R)， 则＝＋＝＋μ＝2a－b－μ＝(2－2μ)a＋b. 又＝λ＝λa， 所以解得 即实数λ的值为. 13.(1) 因为＝，＝， 所以＝＋＝＋＝＋＝a＋b， ＝＋＝＋＝＋＝a＋b. 又a·b＝|a|·|b|·cos 60°＝2×1×＝1， 所以·＝·＝a2＋a·b＋b2＝×22＋×1＋×12＝3. (2) 由(1)知，＝a＋b，＝a＋b， 所以＝－＝a－b. 因为＝k＝ka＋b， 所以＝－＝b－ka－b＝－ka＋b. 因为MD∥FE，所以存在非零实数λ，使得＝λ， 所以－ka＋b＝a－b， 所以解得k＝，λ＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $