精品解析：江苏苏州市工业园区星海实验高级中学2025-2026学年高二下学期期中调研测试一数学试题

2024级高二年级期中调研测试一 高二数学 命题人：孙志辉，审核人：冯军，2026.4 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知向量．若，则（ ） A. B. 4 C. 1 D. 2. 函数的导数为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在四面体中，M是棱OA上靠近A的三等分点，N，P分别是BC，MN的中点，设，，，用，，表示，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的单调增区间为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数在上是单调递增函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的定义域为，且，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 三个数，，的大小顺序为（　　） A. B. C. D. 8. 已知函数, ，若对任意的，存在，使，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在空间直角坐标系中，为坐标原点，若点，则下列叙述正确的有（ ） A. 点关于轴的对称点是 B. 点关于平面的对称点是 C. 点关于轴的对称点是 D. 点关于原点的对称点是 10. （多选）已知函数的图象在x＝1处的切线的斜率为-3，则（ ） A. B. 在处取得极大值 C. 当时，有最小值 D. 的极大值为 11. 已知关于的方程有两个不等的实根，且，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若A，B，C三点共线，则______． 13. 已知函数，当时，取得极小值0，则______. 14. 设函数，若，则的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在棱长为1的正方体中，是棱的中点，、分别为线段，上的点，且. （1）求的长度； （2）若，，求的值. 16. 已知函数，若有极大值，且极大值为2． （1）求的值； （2）若在上恒成立，求的取值范围． 17. 已知函数，其图象在点处的切线方程为. （1）求函数的解析式； （2）求函数在区间上的最值. 18. 已知． （1）若曲线在处的切线与垂直，求实数a的值； （2）若函数存在两个不同的极值点，，求证：． 19. 已知，． （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）是的极值点，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高二年级期中调研测试一 高二数学 命题人：孙志辉，审核人：冯军，2026.4 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知向量．若，则（ ） A. B. 4 C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意，，即. 2. 函数的导数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】令，则， 所以. 3. 如图，在四面体中，M是棱OA上靠近A的三等分点，N，P分别是BC，MN的中点，设，，，用，，表示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算及基本定理计算即可得． 【详解】由题可知，，， ， 所以， 故选：D． 4. 函数的单调增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定函数的定义域，再利用导数求函数的单调区间即可. 【详解】函数的定义域为， 因为，所以， 令，即，所以，解得， 所以函数的单调递增区间为. 故选：B. 5. 已知函数在上是单调递增函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据区间单调性得对任意恒成立，即，利用导数研究右侧单调性，进而求参数a的范围. 【详解】因为函数在上是单调递增函数， 所以对任意恒成立，所以， 令，则， 所以在内为减函数， 所以，则． 故选：C 6. 已知函数的定义域为，且，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题设不等式整理后构造函数满足，得出在上单调递增，整理待求不等式，利用函数的单调性即可求得. 【详解】由可得，即， 设，，则由可得，在上单调递增. 又， 由可得，，即，解得. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查利用构建函数的单调性求抽象不等式的解集的问题，属于难题. 解题的关键在于观察已知不等式和题设不等式的组成，提炼出构造函数的基本形式，结合函数定义域和函数值等条件，利用单调性求解抽象不等式. 7. 三个数，，的大小顺序为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】据题意可设，求导，从而可根据导数符号得出在上单调递减，并且可得出，，，从而得出，，的大小顺序． 【详解】设，则， 当时，则，可得， 可知在上单调递减， 因为，，， 且，则，所以． 故选：D． 8. 已知函数, ，若对任意的，存在，使，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知，转化为分别求两个函数的最小值，利用导数求函数最小值，对于函数，讨论函数的对称轴和定义域的关系，求函数的最小值. 【详解】由题意可知，因为， 所以，且， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以当时，取得最小值，， 函数在单调递增，故， 故，解得，综上可知：. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在空间直角坐标系中，为坐标原点，若点，则下列叙述正确的有（ ） A. 点关于轴的对称点是 B. 点关于平面的对称点是 C. 点关于轴的对称点是 D. 点关于原点的对称点是 【答案】ABD 【解析】 【详解】由空间直角坐标系对称性知：点关于轴的对称点是， 点关于平面的对称点是， 点关于轴的对称点是， 点关于原点的对称点是. 所以选项ABD正确，选项C错误. 10. （多选）已知函数的图象在x＝1处的切线的斜率为-3，则（ ） A. B. 在处取得极大值 C. 当时，有最小值 D. 的极大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据，求出的值，判断A; 根据的值，求出导数，利用导数判断B,C,D即可. 【详解】解：因为，所以，所以，故A正确； 因为， 所以当时，；当时，； 当时，，所以在处取得极大值，为， 故B错误，D正确； 因为在上单调递减，在上单调递增，所以在上的最小值为，故C正确． 故选：ACD． 11. 已知关于的方程有两个不等的实根，且，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由已知与有两个不同的交点，利用导数研究函数性质，结合图象确定的范围，判断A，要证明只需证明，结合函数单调性只需证明，故构建函数，利用导数证明结论，判断B，利用比差法比较，判断C，利用的范围，结合指数函数性质证明，判断D. 【详解】方程，可化为， 因为方程有两个不等的实根， 所以与有两个不同的交点， 令，则， 令，可得， 当时，，函数在单调递减， 当时，，函数在单调递增， ， 当时，，且，当时，， 当时，与一次函数相比，指数函数呈爆炸性增长， 故， 当时，，， 根据以上信息，可得函数的大致图象如下： ，且，故A正确． 因为， 构造， ， 在上单调递增， ， ，即， 由在单调递增 所以，故B正确． 对于C，由，， 所以， 又，所以，则，所以，故C错误． 对于D，由，可得， 所以，D正确． 故选：ABD． 【点睛】关键点点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若A，B，C三点共线，则______． 【答案】 【解析】 【详解】由A，B，C三点共线，即，共线， 显然存在实数使得，即可得 所以可得. 13. 已知函数，当时，取得极小值0，则______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据极值的概念可得和，解出的值即可得结果. 【详解】由题知，， 解得，此时， 当时，，当，时，， 所以在时取极小值，符合题意， 所以，. 又，解得， 所以. 14. 设函数，若，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】变形给定不等式，再构造函数与，求出它们的最值即可得解. 【详解】函数定义域为， 不等式 ， 设，求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，； 设，则，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，，因此， 于是，则， 所以的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在棱长为1的正方体中，是棱的中点，、分别为线段，上的点，且. （1）求的长度； （2）若，，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出的坐标，设点P的坐标为，根据求出点坐标，即可利用向量的模求出的长度； （2）设Q的坐标为，根据向量垂直即可求出Q的坐标，进而利用可求出. 【小问1详解】 以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向， 建立空间直角坐标系，如图， 则， 由题意，可设点P的坐标为，因为3＝， 所以，所以，解得， 所以点P的坐标为，所以， 所以，即的长度为. 【小问2详解】 由题意可设点Q的坐标为， 因为，所以＝0， 所以·＝0，即，解得 ， 所以点Q的坐标为， 因为，所以＝λ， 所以，故. 16. 已知函数，若有极大值，且极大值为2． （1）求的值； （2）若在上恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）判断的极大值即可求解的值； （2）分离参数，得到，然后令，所以，则在上恒成立，求出对应的最大值，即为的最小值，然后得到范围. 【小问1详解】 易知函数的定义域为， 根据题意可得，令，得， 当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减； 所以， 解得 【小问2详解】 由（1）知， 因为，所以可化为， 设， 所以，则在上恒成立， 即可得在上单调递减，， 因此的取值范围是 【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法： 若在区间上有最值，则： （1）恒成立： （2）能成立： 若能分离常数，即将问题转化为：（或），则 （1）恒成立： （2）能成立： 17. 已知函数，其图象在点处的切线方程为. （1）求函数的解析式； （2）求函数在区间上的最值. 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义可得出，可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出函数的解析式； （2）利用导数求出函数的极大值和极小值，再与、进行大小比较，即可得出结论. 【小问1详解】 解：因为，则， 因为函数的图象在点处的切线方程为， 则，解得，故. 【小问2详解】 解：因为，则，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 又因为，， 所以，函数在上的最大值为，最小值为. 18. 已知． （1）若曲线在处的切线与垂直，求实数a的值； （2）若函数存在两个不同的极值点，，求证：． 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义可得，即可解得实数的值； （2）函数在定义域上有两个极值，等价于在上有两个不相等的根，解不等式组，求得的范围，化简得到，再构造，利用导数证明即得. 【小问1详解】 的定义域为，且， 因为曲线在点处的切线与直线垂直. 所以，解得． 【小问2详解】 由题意可得，， 因为函数有两个极值点，， 即在上有两个不等实根，， 则，， 由题意得，解得. 则 令，其中， ， ，，故在上单调递减； 所以，即， 故得证． 19. 已知，． （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）是的极值点，求证：． 【答案】（1）答案见解析； （2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据实数的正负性，结合导数与单调性的关系分类讨论求解即可； （2）（ⅰ）根据零点的定义，结合（1）的结论，通过构造新函数，通过导数的性质、零点存在原理进行求解即可； （ⅱ）根据极值的定义，结合导数的性质，通过构造函数进行证明即可. 【小问1详解】 的定义域是， ， ①时，，在单调递增， ②时，， 令，解得：，令，解得：， 故在递减，在递增， 综上：时，在单调递增， 时，在递减，在递增； 【小问2详解】 （ⅰ）由（1）知要使有两个零点，则， 此时在上单调递减，在单调递增， 依题意需， 此时，故， 而，， 当时，令， 则，故， ∴，∴， 由零点存在定理知，在与上分别存在唯一零点． （ⅱ）因为，，令， 由， 即， 而， 即， 由，，只需证， 令， 则， 令，则， 故在上单调递增，， 故在上单调递增，； ∴ 【点睛】关键点睛：通过构造新函数，利用导数进行求解是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $