第03讲 小船过河模型和关联速度模型 讲义（知识要点+解题技巧+题型归纳+巩固提升）-2025-2026学年高一下学期物理满分练曲线运动专题（新高考通用）

本讲义聚焦运动的合成与分解核心知识点，系统梳理小船过河模型（分船速大于/小于水流速，探讨最短时间与最短位移问题）和关联速度（绳/杆端速度分解，沿绳/杆与垂直绳/杆方向），衔接平抛、圆周等曲线运动，为综合题解题奠定基础。 资料以科学思维为核心，通过题型分层设计（基础题到中档题）、典型例题与变式训练结合，强化模型建构（如小船渡河情景分析）和科学推理（分运动独立性应用）。课中辅助教师系统授课，课后借助模拟真题和易错点提醒，助力学生查漏补缺，提升解决实际问题能力。

第03讲 小船过河模型和关联速度 目录 考情分析 1 学习目标 2 知识要点 2 解题策略 4 题型归纳 5 题型01：船速大于水流速 5 题型02: 船速小于水流速 9 题型03: 小船过河模型的应用 11 题型04：关联速度：绳子问题 22 题型05：关联速度：杆问题 29 模拟真题 34 1. 考查地位：高中物理运动学核心基础，平抛、圆周、类抛体运动的解题前提，常与牛顿定律、功能关系结合考查，选择题高频单独考，计算题作为解题步骤必考。 2. 考查形式：选择题多考合运动与分运动的判断、小船渡河/绳端关联速度模型；计算题多嵌入平抛、斜抛、带电粒子在电场中的偏转等综合题，侧重分解思想的应用。 3. 考频与难度：全国卷/新高考卷每年必考，基础题（送分）+中档题（核心）为主，无难题，侧重对“等效替代、独立性、等时性”三大规律的理解。 4. 高频考点：分运动的独立性、小船渡河（最短时间/最短位移）、绳/杆端的关联速度分解（沿绳/杆+垂直绳/杆）。 一.核心目标：掌握运动合成与分解的平行四边形定则，能根据运动效果合理分解合运动，利用分运动的独立性、等时性求解问题。 二．具体目标： 1. 理解合运动与分运动的关系：等效替代、同时发生（等时性）、互不干扰（独立性）、运动效果决定分解方向。 2. 会用平行四边形定则（合成）、正交分解法（分解）进行运动学量（v、a、x）的矢量运算。 3. 熟练解决3类经典模型：小船渡河、绳/杆关联速度、平抛运动的分解（平抛为水平匀速+竖直自由落体的基础分解）。 4. 能将分解思想迁移到类平抛（如带电粒子在匀强电场中偏转）、曲线运动的一般分析中。 知识点一：小船渡河问题 船在静水中速度为v船，河水流速为v水，河宽为d。船在渡河时，其合运动（实际航线）是两个分运动的合成： 分运动1：船在静水中的运动（速度为v船，方向由船头指向决定）。 分运动2：船随水流的运动（速度为v水，方向沿河岸向下游）。 三种情景 （1）过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，（d为河宽）。 （2）过河路径最短（v2<v1时）：合速度垂直于河岸时，航程最短，s短=d。船头指向上游与河岸夹角为α，。 （3）过河路径最短（v2>v1时）：合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河。确定方法如下：如图所示，以v2矢量末端为圆心，以v1矢量的大小为半径画弧，从v2矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向航程最短。由图可知：，最短航程：。 渡河 时间 (1)渡河时间： 只与船垂直于河岸方向的分速度有关，与水流速度无关； (2)船头正对河岸时，渡河时间最短，tmin＝(d为河宽) 渡河 位移 （1）若v船>v水 当船头方向与上游河岸夹角θ 满足v船cos θ＝v水时， 合速度垂直河岸 渡河位移最短，且xmin＝d （2）若v船<v水 合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河 当船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直时 渡河位移最短，且xmin＝＝ 知识点二：关联速度问题（绳/杆端速度分解） 用绳或杆连接的两个物体，当绳/杆运动时，两端点的速度通常不同，但存在关联。 1. 核心思想： ①物体的实际运动（合运动） 是我们要分解的对象。 ②绳/杆不可伸长，因此沿绳/杆方向的速度分量大小必须相等。这是列方程的物理依据。 2. 分解步骤： ①确定合运动：与绳/杆连接的物体的实际运动（通常是水平或竖直运动）。 ②确定分运动：将合速度（实际速度）分解为两个方向： 一个沿绳/杆方向（产生拉绳或推杆的效果）。 一个垂直绳/杆方向（使绳/杆转动或摆动）。 ③列等式：沿绳/杆方向的速度分量大小相等。 3.常见的模型如图所示． 情景图示 (注：A沿斜 面下滑) 分解图示 定量结论 vB＝vAcos θ vAcos θ＝v0 vAcos α＝ vBcos β vBsin α＝ vAcos α 基本思路 确定合速度(物体实际运动)→分析运动规律→确定分速度方向→平行四边形定则求解 易错点提醒 1. 混淆合运动与分运动： 合运动是实际观察到的运动。错误地将某一个分运动（如小船在静水中的运动）当成了合运动。 2. 速度分解方向错误： 在关联速度问题中，不能随意分解。必须依据： ① 实际效果（沿绳收缩和垂直绳转动）； ② 绳/杆不可伸长的约束条件。 3. 渡河问题条件混淆：牢记“时间最短”和“位移最短”是完全不同的优化目标，对应不同的船头指向。 4. 矢量运算代数化： 忘记速度、加速度是矢量，直接数值相加减。例如，合速度大小不等于分速度大小之和（除非方向相同）。 5. 忽视独立性原理：认为水平方向的力会影响竖直方向的运动。 一．核心原则：根据运动效果，优先正交分解，利用分运动独立性/等时性列方程 运动的合成与分解是矢量运算，所有规律（v、a、x的合成与分解）均遵循平行四边形定则，解题的关键是确定合运动，根据实际效果分解为两个易求解的分运动。 二．步骤化解题流程 1. 定合运动：明确研究对象的实际运动（轨迹指向的运动），此为合运动，对应的v、a、x为合矢量。 2. 选分解方向：根据运动效果分解，优先选正交方向（如水平/竖直、沿绳/垂直绳、沿斜面/垂直斜面），使分运动为匀速/匀变速直线运动（易求解）。 3. 分解合矢量：将合速度v_合、合加速度a_合、合位移x_合分别沿分解方向分解，得到分矢量 4. 用分运动规律列方程：利用分运动的独立性（各分运动遵循各自的直线运动规律）和等时性（各分运动时间与合运动时间相等），分别对分运动列运动学公式。 5. 合成求结果：若需要合运动的物理量，将分运动的结果通过平行四边形定则合成。 题型01：船速大于水流速 【典型例题1】小船在静水中的航速为5m/s，水流速度为3m/s，河宽为60m。当小船船头垂直河岸渡河时，下列说法正确的是（　　） A．小船渡河的最短时间为12s B．小船渡河的位移大小为60m C．小船会到达正对岸 D．小船在河水中的合速度大小为8m/s 【答案】A 【详解】A．小船渡河的最短时间为，故A正确； B．渡河时水流方向位移为，总位移，故B错误； C．船头垂直河岸时，水流未被抵消，小船无法到达正对岸，故C错误； D．合速度大小为，故D错误。 故选A。 【典型例题2】如图所示，有一条宽为100m的河道，一小船从岸边的某点渡河，渡河过程中保持船头指向与河岸始终垂直。已知小船在静水中的速度大小为4m/s，水流速度大小为3m/s。下列说法正确的是（　　） A．小船渡河过程中的位移大小为100m B．小船渡河的时间是25s C．小船在河水中航行的轨迹是曲线 D．小船在河水中的速度是7m/s 【答案】B 【详解】ABD．根据分运动和合运动的等时性，小船渡河的时间为 小船在河水中的速度为 小船渡河过程中的位移大小为，故AD错误，B正确； C．两个不在同一条直线上的匀速直线运动的合运动为匀速直线运动，故C错误。 故选B。 【典型例题3】一小船渡河，河宽d＝180 m，水流速度v1＝2.5 m/s。 （1）若船在静水中的速度为v2＝5 m/s，求： ①欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？ ②欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？ （2）若船在静水中的速度v2＝1.5 m/s，要使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？ 【答案】（1）①船头垂直于河岸　36 s　90m ②船头与上游河岸成60°夹角　24s　180 m （2）船头与上游河岸成53°夹角　150 s　300 m 【解析】　将船实际的速度（合速度）分解为垂直河岸方向和平行河岸方向的两个分速度，垂直分速度影响渡河的时间，而平行分速度只影响船在平行河岸方向的位移。 （1）若v2＝5 m/s。 ①欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向，当船头垂直河岸时，如图甲所示，合速度为倾斜方向，垂直分速度为v2＝5 m/s。 甲 t＝＝＝s＝36s， v合＝＝m/s， x＝v合t＝90m。 ②欲使船渡河航程最短，合速度应沿垂直河岸方向。船头应朝图乙中的v2方向。 垂直河岸过河要求v水平＝0，如图乙所示，有v2sinα＝v1，得α＝30°。 所以当船头与上游河岸成60°时航程最短。 乙 x＝d＝180 m。 t＝＝＝s＝24s。 （2）若v2＝1.5 m/s。 与（1）中②不同，因为船速小于水速，所以船一定向下游漂移，设合速度方向与河岸下游方向夹角为α，则航程x＝。欲使航程最短，需α最大，如图丙所示，由出发点A作出v1矢量，以v1矢量末端为圆心，v2大小为半径作圆，A点与圆周上某点的连线即为合速度方向，欲使v合与水平方向夹角最大，应使v合与圆相切，即v合⊥v2。 丙 sinα＝＝，得α＝37°。 所以船头应朝上游与河岸成53°方向。 t＝＝s＝150s。 v合＝v1cos 37°＝2 m/s x＝v合·t＝300 m。 【变式训练1-1】武汉渡江节是为了纪念毛主席畅游长江而举办的全民节日。2024年8月8日渡江节中，某位游泳爱好者始终保持头朝向对岸，从起点A沿直线到达终点B用时30分钟。已知该段长江宽1000米，AB连线距离为3000米。下列说法错误的是（　　） A．当天水流速度约为 B．该游泳者在静水中的速度约为 C．由于风力影响导致水速增大，为了保证轨迹仍为直线AB，需要增大游泳者速度 D．其他条件不变的情况下，由于风力影响导致水速增大，游泳者仍能到达B点 【变式训练1-2】如图所示，一条宽度为d的小河，水流速度恒为v0，小船渡河时在水流作用下的分位移为ABd，在静水中的分位移为BC，合位移为AC，已知矢量三角形ABC中的∠A为直角，下列说法正确的是（　　） A．小船在静水中的速度方向与水流速度的方向之间的夹角为150° B．小船渡河的合位移为2d C．小船渡河的合速度为 D．小船渡河的时间为 【变式训练1-3】2025年5月29日，广安迎端午。划龙舟暨游泳比赛在广安渠江游泳基地举行，众多游泳爱好者和市民以水上运动的方式喜迎端午节的到来。比赛前某运动员练习时要匀速横渡一段宽的河，运动员在静水中的速度，水流速度，则（　　） A．该运动员可能垂直河岸到达正对岸 B．该运动员渡河的时间可能小于 C．该运动员以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为 D．该运动员以最短位移渡河时，位移大小为 【变式训练1-4】（多选）某武警小队为提升水面救援能力，开展冲锋舟训练。已知冲锋舟在静水中的速度大小为10m/s，它在一条宽度为600m、水流速度大小为4m/s的河流中做渡河演练，下列说法正确的是（　　） A．冲锋舟的最短过河时间为150s B．冲锋舟的最短渡河位移大小为600m C．冲锋舟船头垂直河岸过河时，可以到达正对岸 D．冲锋舟的运动轨迹为直线 【变式训练1-5】一小船渡河，河宽，水流速度。若船在静水中的速度为，（，）求： (1)使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？最短时间是多少？ (2)使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？ (3)若船在静水中的速度为，要使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？位移是多少？ 【答案】(1)船头垂直于河岸，时间为36s (2)船头向上游偏30°，时间为 (3)要使船渡河的航程最短，船头应指向上游与河岸夹角为53°，位移是300m 题型02:船速小于水流速 【典型例题1】小船在静水中的速度为3m/s，小船在一条河宽300m，水流速度为5m/s的河流中渡河，下列说法正确的是（　　） A．小船渡河最短时间为75s B．小船以最短位移渡河时，时间为125s C．小船以最短时间渡河时，位移大小为500m D．小船以最短位移渡河时，位移大小为400m 【解答】解：A、当船头垂直对岸行驶时时间最短，最短时间是100s，故A错误； C、船以最短时间渡河，沿水流方向位移大小为x＝v水tmin＝5×100m＝500m， 船位移大小x合1m＝100m，故C错误； D、小船在静水中的速度为3m/s，水流速度为5m/s，因船速小于水速，当合速度方向与船头方向垂直时，渡河位移最短，如图所示 设此时合速度的方向与河岸的夹角为θ，， 渡河的最小位移为， 代入数据解得x合2＝500m，故D错误； B、小船以最短位移渡河的合速度v合＝v水cos37°＝5×0.8m/s＝4m/s，小船以最短位移渡河时间ts＝125s，故B正确。 故选：B。 【典型例题2】小船欲以最短位移渡过一河宽为d的河流。若小船在静水中的速度为v1，水流速度为v2，且v1＜v2，则渡河时间为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：渡河时因v1＜v2，则以最短位移渡河不能到达正对岸，若v1和合速度垂直时航程最短，如图所示 合速度大小为 合位移为 则渡河时间为，故D正确，ABC错误。 故选：D。 对应的时间，故D错误。 故选AB。 【变式训练2-1】河，该龙舟在静水中划行的速率为8m/s，河水的流速为10m/s，下列说法中正确的是（　　） A．该龙舟渡河所用时间最少为12s B．该龙舟可能沿垂直河岸的航线抵达对岸 C．该龙舟以最短位移渡河通过的位移为100m D．该龙舟渡河时船头垂直河岸，若水速突然变大，则渡河时间会变长 【变式训练2-2】有一条可视为质点的小船匀速横渡一条河宽为的河流，小船在静水中的速度为，水流速度为，则该小船（    ） A．可能垂直河岸到达正对岸 B．渡河的最短时间等于 C．以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为 D．以最短位移渡河时，位移大小为 【变式训练2-3】小船在静水中的速度为3m/s，它在一条宽为150m，水流速度为5m/s的河中渡河，下列说法正确的是（sin 53°=0.8，cos 53°=0.6）（　　） A．小船能到达到正对岸 B．渡河的最短时间为50s C．以最短位移渡河，小船的渡河时间为60.5s D．以最短时间渡河，小船的渡河位移为250m 【变式训练2-4】（多选）一艘小船在静水中的速度为3m/s，要渡过一条宽度为60m、水流速度为4m/s的河流。下列判断正确的是（　　） A．小船不可能垂直河岸到达正对岸 B．小船渡河的最短时间是20秒 C．小船以最短时间渡河时，其实际航线是垂直河岸的 D．小船以最短位移渡河时，所需的渡河时间是25秒 题型03:小船过河模型的应用 【典型例题1】有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为v的大河。小明驾着小船渡河，去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直。船在静水中的速度大小恒为（），则去程与回程所用时间的比值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 设河宽为d，则去程用时间 回程用时间 则 故选D。 【典型例题2】有一条两岸平直，河水均匀流动、流速恒为v的大河，小明驾着小船渡河，去程时船头朝向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直。去程与回程所用时间的比值为k，船在静水中的速度大小相同，则小船在静水中的速度大小为（ ） A.B.C.D. 【答案】C 【解析】可设河宽为d，船在静水中的速度为v，第一种情况时时间t=，第二种情况为t=，，可得出B是正确的。 【典型例题3】如图所示，一条小船位于200m宽的河的正中A点处，从这里向下游100m处有一危险区，当时水流速度为4m/s，为了使小船避开危险区到达对岸，则小船在静水中的速度至少是（　　） A．2m/s B．2m/s C．4m/s D．4m/s 【答案】B 【详解】要使小船避开危险区沿直线到达对岸,则有合运动的最大位移为 设小船能安全到达河岸的合速度，与水流速度的夹角为，由几何关系可知 则 作出小船速度的矢量图，如图所示，则有 故选B。 【典型例题4】如图所示，两次渡河时船相对水的速度大小和方向都不变.已知第一次实际航程为A至B，位移为，实际航速为，所用时间为.由于水速增大，第二次实际航程为A至C，位移为，实际航速为，所用时间为t2.则（ ） A.>，＝ B.>，＝ C.=，＝ D.=，＝ 【答案】C 【解析】设河宽为d，船自身的速度为v，与河岸上游的夹角为θ，对垂直河岸的分运动，过河时间t＝，则=；对合运动，过河时间t＝，故C正确. 【典型例题5】（多选）如图，某运动会上有一个骑射项目，运动员骑在奔驰的马背上沿着跑道运动拉弓放箭射向他左侧的固定目标。假设运动员静止时射出的箭速度为 ，运动员骑马奔驰的速度为，跑道离固定目标的最近距离。若不计空气阻力的影响，要想命中目标且射出的箭在空中飞行时间最短，则（    ）    A．箭射到靶心的最短时间为 B．箭射到靶心的最短时间为 C．运动员应在距离点为的地方提前放箭 D．运动员应在距离点为的地方提前放箭 【答案】AC 【详解】AB．当放出的箭垂直于马运行方向发射，此时运行时间最短，所以最短时间为 故A正确，B错误； CD．箭垂直于马运行方向发射时，箭在沿马运行方向上的位移为 即运动员应在距离A点为的地方提前放箭，故C正确，D错误。 故选AC。 【变式训练3-1】如图所示，船从A处开出后沿直线AB到达对岸，若AB与河岸成37°角，水流速度4m/s，则船在静水中的最小速度为 （sin37°=0.6，cos37°=0.8） （ ） A.5m/s B.2.4 m/s C.3 m/s D.3.2 m/s 【变式训练3-2】船在静水中的速度与时间的关系如图甲所示，河水的流速与船离河岸的距离的变化关系如图乙所示，河宽为300m，则当船沿渡河时间最短的路径渡河时（ ） A.船渡河的最短时间是60 s B.要使船以最短时间渡河，船在行驶过程中，船头必须始终与河岸垂直 C.船在河水中航行的轨迹是一条直线 D.船在河水中的最大速度是7 m/s 【变式训练3-3】某人划船渡河，当划行速度和水流速度一定，且划行速度大于水流速度时.过河的最短时间是t1；若以最小位移过河，需时间t2.则划行速度v1与水流速度v2之比为（ ） A.t2∶t1 B.t2∶ C.t1∶（t2－t1） D.t1∶ 【变式训练3-4】如图所示，小船以大小为、方向与上游河岸成θ的速度（在静水中的速度）从A处过河，经过t时间，正好到达正对岸的B处。现要使小船在更短的时间内过河并且也正好到达正对岸B处，在水流速度不变的情况下，可采取下列方法中的哪一种（ ） A.只要增大v1大小，不必改变θ角 B.只要增大θ角，不必改变v1大小 C.在增大v1的同时，也必须适当减小θ角 D.在增大v1的同时，也必须适当增大θ角 【变式训练3-5】一小船渡河，已知河水的流速与距某河岸的距离的变化关系如图甲所示，船在静水中的速度与时间的关系如图乙所示，则（　　） A.船渡河的最短时间75s　 B.要使船以最短时间渡河，船在河水中航行的轨迹是一条直线　 C.要使船以最短路程渡河，船在行驶过程中，船头必须始终与河岸垂直　 D.要使船以最短时间渡河，船在河水中的速度是5m/s 【变式训练3-6】小明同学遥控小船做过河实验，并绘制了四幅小船过河的航线图如图所示。图中实线为河岸，河水的流动速度不变，方向如图水平向右，虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线，小船相对于静水的速度不变。则(　　) A．航线图甲是正确的，船头保持图中的方向，小船过河时间最短 B．航线图乙是正确的，船头保持图中的方向，小船过河时间最短 C．航线图丙是正确的，船头保持图中的方向，小船过河位移最短 D．航线图丁是不正确的，如果船头保持图中的方向，船的轨迹应该是曲线 【变式训练3-7】如图所示，两次渡河时船在静水中的速度大小和方向都不变，已知第一次实际航程为A至B，位移为s1，实际航速为v1，所用时间为t1。由于水速增大，第二次实际航程为A至C，位移为s2，实际航速为v2，所用时间为t2，则(　　) A．t2＞t1，v2＝v1 B．t2＞t1，v2＝v1 C．t2＝t1，v2＝v1 D．t2＝t1，v2＝v1 【变式训练3-8】某物理兴趣小组的同学在研究运动的合成和分解时，驾驶一艘快艇进行了实地演练。如图所示，在宽度一定的河中的O点固定一目标靶，经测量该目标靶距离两岸的最近距离分别为MO＝15 m、NO＝12 m，水流的速度平行河岸向右，且速度大小为v1＝8 m/s，快艇在静水中的速度大小为v2＝10 m/s。现要求快艇从图示中的下方河岸出发完成以下两个过程：第一个过程以最短的时间运动到目标靶；第二个过程由目标靶以最小的位移运动到图示中的上方河岸，则下列说法正确的是(　　) A．快艇的出发点位于M点左侧8 m处 B．第一个过程所用的时间约为1.17 s C．第二个过程快艇的船头方向应垂直河岸 D．第二个过程所用的时间为2 s 【变式训练3-9】如图所示，河水流动的速度为v，且处处相同，河宽度为a。在船下水点A的下游距离为b处是瀑布。为了使小船渡河安全(不掉到瀑布里去)，则(　　) A．小船船头垂直河岸渡河时间最短，最短时间为t＝ B．小船轨迹垂直河岸渡河位移最小，渡河速度最大，最大速度为vmax＝ C．当小船沿轨迹AB渡河时，船在静水中的最小速度为vmin＝ D．当小船沿轨迹AB渡河时，船在静水中的最小速度为vmin＝ 【变式训练3-10】有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为v的大河。小明驾着小船渡河，去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直。去程与回程所用时间的比值为k，船在静水中的速度大小相同，则小船在静水中的速度大小为(　　) A.B.C.D. 【变式训练3-11】如图所示，两岸平行的小河，水流速度v＝5 m/s，小船自A处出发，沿航线AB渡河，到达对岸B处，AB与下游河岸的夹角θ=53°，则小船在静水中的速度不可能为 A．3m/s B．4m/s C．5m/s D．6m/s 【变式训练3-12】洪涝灾害给百姓的生命财产安全造成巨大威胁。如图所示，某次洪灾中救援队利用摩托艇将被困人员由河此岸P点转移到彼岸安全地M点，轨迹如图虚线PM所示，PM与PQ夹角为θ，PQ连线与河岸QM垂直。若水的流速恒为，方向平行于河岸QM，转移过程中摩托艇在静水中的速度恒定（未知）。则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-13】如图甲，某河宽为200m，小船在静水中的速度为4m/s，水流速度为3m/s。假设小船从P点出发，在匀速行驶过程中船头方向不变。下列说法中正确的是（　　） A．若想以最短时间过河，小船过河位移大小为200m B．若想以最小位移过河，小船过河时间为40s C．若大暴雨导致水流速度增大到5m/s，小船过河的最小位移为200m D．如图乙，若出发点m以下均为危险区，小船过河的最短时间为s 【变式训练3-14】如图所示，一艘炮舰沿河岸以速度大小v1自西向东行驶，某时刻发射炮弹击中正对岸的目标，已知炮弹对地发射速度大小为v2，方向与河岸夹角为θ。下列关系式正确的是（　　） A．sinθ＝1 B． C． D． 【变式训练3-15】如图所示，某登陆舰船头垂直海岸自A点出发，分别沿路径AB，AC在演练岛屿的BC两点登陆.已知登陆舰在静水中速度恒定且大于水速，则下列说法正确的是（　　） A.沿AC航行所用时间较长 B.沿AC航行时水速较大 C.实际航速两次大小相等 D.无论船头方向如何，登陆舰都无法在A点正对岸登陆 【变式训练3-16】已知某江水由西向东流，江宽为d,江水中各点水流速度大小与该点到较近岸边的距离成正比，v水=kx，k=，x是各点到近岸的距离。小船船头垂直江岸由南向北渡江，小船在静水中的划行速度为v0，以下说法中正确的是（ ） A.小船渡江的轨迹为曲线 B.小船到达离江岸边d/2处，船渡江的速度为 C.小船渡江时的轨迹为直线 D.小船到达离南江岸3d/4处，船渡江的速度为 【变式训练3-17】（多选）河水的流速与船离河岸的距离的变化关系如图1所示，船在静水中的速度与时间的关系如图2所示，若要使船以最短时间渡河，则 A．船渡河的最短时间25s B．船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直 C．船在河水中航行的加速度大小为a=0.4m/s2 D．船在河水中的最大位移为156m 【变式训练3-18】（多选）河水的流速与某河岸的距离的变化关系如图甲所示，船在静水中的速度与时间的关系如图乙所示.若要使船以最短时间渡河，下列说法正确的是(　 　) A.船渡河的最短时间为100 s B.船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直 C.船在河中航行的轨迹是一条直线 D.船在河水中的最大速度为7 m/s 【变式训练3-19】（多选）如图所示，甲、乙两船在同一条河流中同时开始渡河，MN分别是甲、乙两船的出发点。两船头与河岸均成α角，甲船船头恰好对准N点的正对岸P点。经过一段时间乙船恰好到达P点。如果划船速度大小相同，且两船相遇不影响各自的航行。下列判断正确的是(　　) A．甲船也能到达正对岸 B．两船渡河时间一定相等 C．两船相遇在NP连线上 D．渡河过程中两船不会相遇 【变式训练3-20】（多选）甲、乙两船在同一条河流中同时开始渡河，河宽为H，河水流速为v0，划船速度均为v，出发时两船相距H，甲、乙两船船头均与河岸成60°角，如图所示.已知乙船恰好能垂直到达对岸A点，则下列判断正确的是 （　　） A.甲、乙两船到达对岸的时间不同 B.v＝2v0 C.两船可能在未到达对岸前相遇 D.甲船也在A点靠岸 【变式训练3-21】（多选）如图，在河水速度恒定的小河中，一小船保持船头始终垂直河岸从一侧岸边向对岸行驶，船的轨迹是一个弯曲的“S”形，则(　　) A．小船垂直河岸的速度大小恒定不变 B．小船垂直河岸的速度大小先增大后减小 C．与船以出发时的速度匀速过河相比，过河时间长了 D．与船以出发时的速度匀速过河相比，过河时间短了 【变式训练3-22】（多选）某次抗洪抢险中，连接某条河两岸的大桥被洪水冲垮抗洪队伍只有利用快艇到河对岸村庄进行救援。已知河的宽度为96m，快艇在静水中速度-时间图像如图甲所示，河流中各处水的位移一时间图像如图乙所示。欲使快艇在最短的时间内渡河，则（　　） A．快艇最短的渡河时间为10s B．快艇到达河正对岸下游108m处 C．快艇到达河对岸时速度大小为15m/s D．快艇在河流中的运动轨迹始终为直线 【变式训练3-23】（多选）如图，在河水速度恒定的小河中，一小船保持船头始终垂直河岸从一侧岸边向对岸行驶，船的轨迹是一个弯曲的“S”形，则(　　) A．小船垂直河岸的速度大小恒定不变 B．小船垂直河岸的速度大小先增大后减小 C．与船以出发时的速度匀速过河相比，过河时间长了 D．与船以出发时的速度匀速过河相比，过河时间短了 【变式训练3-24】（多选）如图,小船在静水中的速度大小为v,方向与上游河岸成θ角,从A处过河,正好到达正对岸的B处、现水流速度变大少许,要使小船过河也正好到达正对岸的B处,下列方法可行的有() A．保持θ角不变,同时增大v B．保持θ角不变,同时减小v C．保持v不变,同时增大θ D．保持v不变,同时减小θ 【变式训练3-25】（多选）如图所示，竖直平面内有一个质量为m的质点，所受合外力F为恒力，且F与竖直方向的夹角为θ。质点以初速度从A点开始做曲线运动，图中曲线是质点的运动轨迹。已知质点到达B点时的速度方向与初速度的方向垂直，下列说法正确的是（　　） A．质点运动过程中的最小速度为 B．质点达到最小速度时所需时间为 C．质点到达B点所需时间为 D．质点到达B点时的速度大小为 【变式训练3-26】（多选）（多选）《西游记》中，一只大龟浮水作舟，驮着唐僧师徒四人和白龙马渡过了通天河。如图所示，河岸平直，A处的下游靠河岸B处是个旋涡，A点和旋涡边缘的连线与河岸的最大夹角为为锐角，河宽为d，河水的速度大小为，大龟在静水中的速度恒定，大龟经过旋涡边缘视为安全。下列说法正确的是（　　） A．只要大龟在静水中的速度大于，大龟就可以垂直河岸渡河 B．只要大龟在静水中的速度小于，大龟就无法安全渡河 C．若大龟能够安全渡河，则大龟相对河水的最小速度为 D．若大龟能够安全渡河，则大龟相对河水的最小速度为 【变式训练3-27】（多选）如图所示，某人欲乘坐小船横跨一条河流，已知河水流速为2m/s，河中央有一圆形漩涡，出发点与漩涡的两条切线与河岸的夹角分别为53°、37°，取sin37°=0.6，cos37°=0.8。若小船船头指向始终垂直河岸，且不会掉入漩涡，则小船相对河水的速度可以是（　　） A．1m/s B．2m/s C．3m/s D．4m/s 【变式训练3-28】如图所示，宽度的河岸平直，水流速度大小恒为，一只角马（图中未画出）从A点游水渡河，角马渡河的过程中做匀速直线运动。 (1)若角马垂直河岸到达对岸的B点，渡河的时间，求角马在静水中的速度大小； (2)若A点的下游C处是个旋涡，A点与旋涡边缘的点连线的最大角度，取，，求在角马安全到达对岸的条件下，角马在静水中速度的最小值。 【变式训练3-29】一条宽度为L的河，水流速度恒定， (1)若船在静水中的速度为，那么，保持发动机输出功率不变，怎样渡河时间最短？最短时间？ (2)若船在静水中速度，怎样渡河位移最小？最小位移？ (3)如图，某同学偶然发现在水流速度恒定的河流中，某渡河游艇的航迹好像是一条抛物线，又发现游艇船头指向对岸，该同学猜测该游艇可能在垂直河岸方向做匀加速运动，请你分析论证该同学的猜想。 题型04：关联速度：绳子问题 【典型例题1】（如图所示，小车以速度v匀速向右运动，通过滑轮拖动物体A上升，不计滑轮摩擦和绳子质量，当绳子与水平面的夹角为时，下列说法正确的是（　　） A．物体A在匀速上升 B．物体A的速度大小为 C．物体A的速度大小为 D．绳子对物体A的拉力小于物体A的重力 【答案】B 【详解】BC．根据绳的牵连速度规律可知，小车沿绳方向的分速度即为物体A上升速度，则有，故B正确，C错误； A．根据上述，由于小车以速度v匀速向右运动，v一定，减小，可知增大，即此过程中物体A在加速上升，故A错误； D．根据上述，物体A在加速上升，则加速度方向向上，所受外力的合力方向向上，即绳子对物体A的拉力大于物体A的重力，故D错误。 故选B。 【典型例题2】（如图所示，细线一端固定在天花板上，另一端连接在物块上，用水平铅笔与细线接触，开始铅笔上端细线竖直，现使铅笔以速度v水平向右匀速平移，运动中连接物块的细线始终水平，铅笔与铅笔两边细线所在竖直面始终垂直，则在铅笔移动过程中（　　） A．物块做匀速运动 B．物块的速度越来越大 C．物块的速度大小可能等于2v D．当连接天花板的细线与竖直方向夹角为θ时，物块速度大小为vsinθ 【解答】解：D．对线与铅笔接触点的速度分解，当连接天花板的细线与竖直方向夹角为θ时， 线与铅笔接触点的速度沿倾斜绳方向的分速度大小等于vsinθ，此时物块的速度大小v′＝v+vsinθ，故D错误； AB．由于θ不断增大，物块的速度不断增大，故A错误B正确； C．由于θ不断增大趋近于90°，物块最终的速度趋向于2v，但不可能等于2v，故C错误。 故选：B。 【典型例题3】如图所示，跨过光滑定滑轮的轻绳一端系着皮球（细绳延长线过球心）、一端连在水平台上的玩具小车上，车牵引着绳使球沿光滑竖直墙面从较低处以速度匀速上升，某一时刻细绳与竖直方向夹角为，在球未离开墙面的过程中，下列说法正确的是（   ） A．该时刻玩具小车的速度为 B．该过程玩具小车做减速运动 C．该过程球对墙的压力逐渐减小 D．该过程绳对球的拉力大小不变 【答案】B 【详解】A．分解球的运动，如图所示 将球的速度v分解，可知沿绳方向的分速度（即绳子的速度）为 即该时刻玩具小车的速度为，故A错误； B．因球匀速上滑过程中θ角将增大，所以将减小，故小车做减速运动，故B正确； CD．球受三力作用处于平衡状态，设球重为G，则绳对球的拉力大小T、球对墙的压力大小N分别为， 因球匀速上滑过程中θ角将增大，则T、N均增大，故CD错误。 故选B。 【变式训练4-1】（如图所示，通过光滑的定滑轮拉着小船靠岸，拉绳的速度恒为v0＝6m/s，开始时拴接小船的绳与水平方向的夹角α＝37°，经时间t绳与水平方向的夹角为β＝53°，已知滑轮与小船上沿的高度差为hAB＝12m，不计定滑轮大小，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。则下列说法正确的是（　　） A．小船做匀速运动 B．t＝1s C．α＝37°时小船的速度大小为7.5m/s D．β＝53°时小船的速度大小为8m/s 【变式训练4-2】为了训练飞行员将舰载机降落在航空母舰上的能力，在陆地上建设了模拟平台进行常规训练。如图所示，阻拦索绕过定滑轮与阻尼器连接，阻拦系统通阻拦索对飞机施加一作用力，使飞机在模拟甲板上短距离滑行后停止。飞机挂钩与阻拦索间不滑动。若某一时刻两端阻拦索夹角是θ，飞机沿中线运动速度为v，则阻尼器中的阻拦索绳移动速度大小是（　　） ． 【变式训练4-3】如图，趣味运动会的“聚力建高塔”活动中，两长度相等的细绳一端系在同一塔块上，两名同学分别握住绳的另一端，保持手在同一水平面以相同速率v相向运动。为使塔块沿竖直方向匀速下落，则v（　　） A．一直减小 B．一直增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小 【变式训练4-4】影视剧中，武打演员的轻功出神入化，实际上是通过吊威亚实现的，如图所示，牵引车通过细钢丝跨过定滑轮拉着特技演员上升，连接特技演员的细钢丝竖直，处于图示位置时，和牵引车相连的细钢丝与水平方向的夹角。若特技演员可视为质点，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．特技演员匀速上升时，牵引车匀速向左运动 B．牵引车匀速向左运动时，特技演员上升的速度越来越小 C．处于图示位置时，特技演员上升的速度是牵引车速度的倍 D．牵引车匀速向左运动时，特技演员处于失重状态 【变式训练4-5】一杆挥去人间冷暖，一钩钓尽水中日月。”从古至今，垂钓都能给人们带来悠然自得的乐趣。如图所示，某钓鱼爱好者收线的过程中，鱼沿水平直线从位置被拉到位置，线与杆的结点保持不动。点与鱼之间的线始终拉直，鱼视为质点，下列说法正确的是（　　） A．若该爱好者匀速收线，则鱼可能做减速运动 B．若该爱好者加速收线，则鱼可能做匀速运动 C．若该爱好者减速收线，则鱼可能做加速运动 D．无论该爱好者怎样收线，鱼都不可能做匀速运动 【变式训练4-6】建筑工人利用绳索提升货物的情景简化如图所示。绳索一端穿过固定光滑圆环连接货物，另一端由工人拉住。工人以速度沿水平向右做匀速直线运动（保持手握绳索的高度不变）。当工人所拉绳索与水平方向夹角为时，下列说法正确的是（　　） A．货物的速度大小为 B．货物的速度大小为 C．绳索对货物的拉力等于货物的重力 D．绳索对货物的拉力小于货物的重力 【变式训练4-7】如图所示，物体A套在竖直杆上，经细绳通过定滑轮拉动物体B在水平面上运动，开始时A、B间的细绳呈水平状态，现由计算机控制物体A的运动，使其恰好以速度v沿杆匀速下滑(B始终未与滑轮相碰)，则(　B　) A.绳与杆的夹角为α时，B的速率为vsin α B.绳与杆的夹角为α时，B的速率为vcos α C.物体B也做匀速直线运动 D.物体B做匀加速直线运动 【变式训练4-8】如图所示，在水平滑杆上套着一个小环，小环与细线的一端相连，人拉着绕过定滑轮的细线的另一端，若人静止不动拉细线，使小环匀速向左运动，则在将小环从右侧一定距离处拉至定滑轮的正上方的过程中，人拉细线的速度（　　） A．不变 B．变大 C．变小 D．先变小后变大 【变式训练4-9】如图所示，光滑直杆倾斜固定在竖直面内，小球A套在杆上，绕过定滑轮的轻绳一端连接在小球A上，另一端吊着小球B，由静止释放小球A、B，小球A沿杆向上运动，当轻绳与杆间的夹角为60°时，小球A的速度大小vA与小球B的速度大小vB之间的关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练4-10】如图所示，套在竖直细杆上的轻环由跨过光滑轻质定滑轮的不可伸长的轻绳与重物相连，施加外力让沿杆以速度匀速上升，从图中位置上升至与定滑轮顶端等高的位置，已知与竖直杆成角，则（　　） A．在位置处，重物的速度为 B．A运动到位置时，重物B的速度为0 C．重物B下降过程中处于失重状态 D．A匀速上升过程中，重物B加速下降 【变式训练4-11】如图所示，套在细直杆上的环A由跨过定滑轮且不可伸长的轻绳与B相连，在外力作用下A沿杆以速度vA匀速上升经过P、Q两点，经过P点时轻绳与竖直杆间的夹角为α，经过Q点时A与定滑轮的连线处于水平方向，轻绳始终保持伸直状态。则（　　） A．经过P点时，B的速度大小等于 B．当α=30°时，A、B的速度大小之比是1∶2 C．在A从P至Q的过程中，B受到的拉力大于重力 D．经过Q点时，B的速度方向向下 【变式训练4-12】第十一届全国杂技展演于2023年3月在山东省举办，如图所示，水平固定的细长杆上套有一遥控电动小车P，跨过悬挂于O点的轻小光滑圆环的细线一端连接P，另一端悬挂一杂技演员Q。设初始时细线的右边部分与水平方向的夹角为θ，现在遥控作用下使电动小车P开始向左匀速运动，电动小车和演员均可视为质点，不计空气阻力，下列判断正确的是（　　） A．当θ=90°时，杂技演员Q速度不为零 B．当θ=60°时，P、Q的速度大小之比是2∶1 C．在θ向90°增大的过程中，绳子的拉力始终等于演员的重力 D．在θ向90°增大的过程中，演员Q一直处于失重状态 【变式训练4-13】（多选）如图所示，做匀速直线运动的小车A通过一根绕过定滑轮的长绳吊起一重物B，设重物和小车速度的大小分别为vB、vA，则(　AD　) A. vA＞vB B. vA＜vB C.绳的拉力等于B的重力 D.绳的拉力大于B的重力 题型05：关联速度：杆问题 【典型例题1】如图，直杆OA的O端抵在墙角，A端始终靠在物块右侧的光滑竖直侧壁上，可以沿着侧壁滑动。用外力使物块向左运动时，直杆上的A点会在竖直面内运动，其轨迹为圆，圆心在O点。若当直杆与水平方向夹角为θ时A点的速度大小为v，则该时刻物块的速度大小为（　　） A． B． C．vsinθ D．vcosθ 【解答】解：将A点的速度分解为水平向左和竖直向下的方向，如下图所示： A点的合运动为在A点垂直于杆的方向的运动，该运动由水平向左的分运动和竖直向下的分速度组成，所以该时刻物块的速度大小为＝v sinθ，故C正确，ABD错误。 故选：C。 【典型例题2】如图所示为传动装置的简化示意图，滑块A、B放置在光滑水平面上，滑块均通过铰链和轻杆与球C相连，两杆长相同。A、B、C同时由静止释放、球C始终沿竖直方向运动，当杆与水平方向夹角均为时，球C的速度大小为v，则此时滑块A、B的速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由于轻杆不可伸长和压缩，球C速度沿轻杆方向的分速度与滑块A．B的速度在杆方向的分速度大小相等，则有，解得，故选C。 【典型例题3】如图甲是家用的人字梯，结构简图如图乙所示，该人字梯由两个完全相同的梯子AM、AN通过顶端的铰链（大小不计）连接而成。某次使用完人字梯后需要将其收拢起来，让梯子的底端M、N两点均以恒定的速率v贴着地面向中间滑动，某时刻，梯子AM、AN和竖直方向的夹角均为30°，则此时梯子顶部铰链速度大小为（　　） A．v B．v C．v D．v 【解答】解：梯顶的速度即为绕不动梯脚转动的线速度，又滑动梯子长度不变，则梯顶和梯脚沿梯子方向的速度相同，如图所示 v铰链sinθ＝vsin 由题可知30° 解得v铰链v 故A正确，BCD错误。 故选：A。 【变式训练5-1】如图甲、乙所示，一根长L的轻杆OA，O端用铰链固定于地面，另一端固定着一小球A，图甲中的小球A和图乙中的杆分别贴靠着边长为a和b的立方块，当立方块沿地面向右滑动到图示位置(杆与地面夹角为α)时，速度为v，则甲图中小球的速度大小vA和乙图中小球的速度大小v′A应为(　D　) A．vA＝，v′A＝vsin α B．vA＝，v′A＝vsin α C．vA＝vsin α，v′A＝ D．vA＝，v′A＝sin2 α 【变式训练5-2】直角侧移门结构可简化成图甲（俯视）。玻璃门的两端滑轮A、B通过一根可自由转动的轻杆连接，滑轮可沿直角导轨自由滑动（滑轮视为质点）。玻璃门的宽度为L=1m。关门时，拉住把手使滑轮A从初始位置由静止开始做加速度为1m/s²的匀加速运动，当A达到乙图位置时，滑轮B的速度大小为（　　） A． B． C．1m/s D． 【变式训练5-3】如图所示，一轻杆底端栓接在地面，可绕着地面上的O点自由转动，顶端的A点靠在木箱的侧壁。现向右以速度v匀速挪走木箱，某时刻杆与水平地面夹角为，此时A点的速度大小和方向为（　　） A．，方向垂直于OA向下 B．，方向垂直于OA向下 C．，方向竖直向下 D．，方向竖直向下 【变式训练5-4】如图所示，竖直面内有一个半开口的“L”形光滑滑槽，轻杆两端分别连接小球A、B。初始时，轻杆竖直，由于微小的扰动，小球A竖直下滑，小球B水平向右滑动。当轻杆与竖直方向的夹角为60°时，小球A、B的速度大小的比值为（　　） A． B． C． D． 【变式训练5-5】如图甲是智慧工厂里常用的机械手臂，结构简图如图乙所示。机械手臂由金属杆PQ、QO在Q点链接而成，金属杆PQ抓取到工件后，金属杆QO绕O点从竖直位置顺时针匀速转动β角到图示虚线位置，金属杆PQ始终保持水平，则工件在水平方向上（　　） A．一直加速 B．一直减速 C．一直匀速 D．无法判断 【变式训练5-6】如图所示，长为L的直棒一端可绕固定轴O转动，另一端搁在升降平台上，平台以速度v匀速上升，当棒与竖直方向的夹角为α时，棒的角速度为（　　） A． B． C． D． 【变式训练5-7】某款曲柄连杆结构的示意图如图所示。曲轴可绕固定的O点自由转动，连杆两端分别连接曲轴上的A点和活塞上的B点，活塞沿水平方向运动。若某时刻，曲轴上的A 点的线速度大小为3m/s，曲轴OA 和连杆AB垂直且连杆AB与水平方向的夹角为，则此时活塞的速度大小为（　　） A． B． C． D． 【变式训练5-8】如图所示，一根长直轻杆AB在墙角沿竖直墙与水平地面滑动。当AB杆和墙的夹角为θ时，杆的A端沿墙下滑的速度大小为v1，B端沿地面滑动的速度大小为v2，则v1、v2的关系是( C )6．（2025秋•南京月考）如图所示，两个相同的光滑立方体放在水平面上，在它们之间再放一个顶角为θ的尖劈，已知尖劈的加速度为a，则立方体的加速度为（　　） A． B． C．atanθ D．atan 【变式训练5-9】如图所示，斜劈B的倾角为37°，劈尖顶着竖直墙壁静止于水平地面上，现将一个半径为r的球A放在墙面与斜劈之间，并从图示位置由静止释放，不计一切摩擦，A落地前速度大小为vA，则此时B的速度大小为（　　） A．vA B．vA C．vA D．vA 【变式训练5-10】（多选）甲、乙两光滑小球（均可视为质点）用铰链与轻直杆连接，乙球处于光滑水平地面上，甲球套在光滑的竖直杆上，初始时轻杆竖直，杆长为5m。无初速度释放，使得乙球沿水平地面向右滑动，当乙球距离起点3m时，下列说法正确的是（　　） A．甲、乙两球的速度大小之比为3∶4 B．甲、乙两球的速度大小之比为4∶3 C．甲球即将落地时，乙球的速度与甲球的速度大小相等 D．甲球即将落地时，乙球的速度为0 【变式训练5-11】（多选）如图所示，一根长为L的轻杆，O端用铰链固定，另一端固定着一个小球A，轻杆靠在一个高为h的物块上。若物块与地面摩擦不计，则当物块以速度v向右运动至杆与水平方向夹角为时，物块与轻杆的接触点为B，下列说法正确的是（　　） A．A、B的线速度相同 B．A、B的角速度相同 C．轻杆转动的角速度为 D．小球A的线速度大小为 1.（多选）图甲为一种常见的打印机的实物图，打印喷头做轴、轴和轴方向的运动，时，打印喷头从打印平台的中心开始运动（运动范围在平面），在轴方向的位移-时间图像和轴方向的速度-时间图像如图乙、丙所示，下列说法正确的是（　　） A．末喷头的速度大小为 B．喷头运动轨迹可能是图丁中的轨迹 C．末喷头速度方向与轴正方向的夹角为 D．末喷头离打印平台中心的距离为 2.在水平路面上骑摩托车的人，遇到一个壕沟，其尺寸如图。摩托车后轮离开地面后失去动力，最终摩托车后轮落到壕沟对面安全通过，认为摩托车在空中运动过程中受到水平向后的恒定风力，忽略空气阻力及其它外界对摩托车的影响。x、y分别表示水平和竖直位移，、分别表示水平和竖直速度，t表示时间，下列描述摩托车运动过程中的图像正确的是（　　） A． B． C． D． 3.如图所示，四根长度均为L=1m的细杆用铰链连成一个四边形，O点通过铰链固定在墙上。现将B点推至与O点重合，使四根细杆都紧贴墙壁。现拉着B点沿垂直于墙壁的方向做速度为v=2m/s的匀速直线运动。当发现四根细杆恰好构成一个正方形时，图中杆的角速度是（　　） A．1rad/s B． C．2rad/s D． 4.空中一热气球在风力作用下运动，沿水平方向（x轴）、竖直方向（y轴）运动的分运动vx−x、vy−y图像如图所示，则关于热气球的运动和受力说法正确的是（　　） A．合运动为匀变速直线运动 B．合运动为变加速曲线运动 C．所受的合力为恒力 D．所受合力一直减小 5.如图所示，人在岸上拉绳，开始时绳与水面夹角为，水对船的阻力恒为f。在船匀速靠岸的过程中，下列说法正确的是（　　） A．人拉绳的速度不变 B．人拉绳的速度变大 C．人拉绳的作用力F逐渐变大 D．船受到的浮力逐渐变大 6.平面xOy中某运动物体的 的关系如图所示，则该物体的运动轨迹可能是（　　） A． B． C． D． 7.侧风着陆是指飞机在机场跑道有侧风的情况下着陆，飞行员必须调整飞行的方向以便使飞机能够沿着跑道的中心线下降，已知客机在无风情况下的速度为252km/h，在某次着陆过程中，塔台向机长报告：“机场附近空域存在5级风，风速10m/s，风向自西向东”，如图所示，欲使飞机能够沿着这条南北方向的跑道中心线着陆，下列说法中正确的是（　　） A．飞机接近机场的速度大小为70m/s B．飞机接近机场的速度大小为m/s C．飞机机头与正北方向夹角对应正切值为 D．着陆过程中，风速增大时飞机着陆速度将增大 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 小船过河模型和关联速度 目录 考情分析 1 学习目标 2 知识要点 2 解题策略 4 题型归纳 5 题型01：船速大于水流速 5 题型02: 船速小于水流速 11 题型03: 小船过河模型的应用 15 题型04：关联速度：绳子问题 35 题型05：关联速度：杆问题 45 模拟真题 53 1. 考查地位：高中物理运动学核心基础，平抛、圆周、类抛体运动的解题前提，常与牛顿定律、功能关系结合考查，选择题高频单独考，计算题作为解题步骤必考。 2. 考查形式：选择题多考合运动与分运动的判断、小船渡河/绳端关联速度模型；计算题多嵌入平抛、斜抛、带电粒子在电场中的偏转等综合题，侧重分解思想的应用。 3. 考频与难度：全国卷/新高考卷每年必考，基础题（送分）+中档题（核心）为主，无难题，侧重对“等效替代、独立性、等时性”三大规律的理解。 4. 高频考点：分运动的独立性、小船渡河（最短时间/最短位移）、绳/杆端的关联速度分解（沿绳/杆+垂直绳/杆）。 一.核心目标：掌握运动合成与分解的平行四边形定则，能根据运动效果合理分解合运动，利用分运动的独立性、等时性求解问题。 二．具体目标： 1. 理解合运动与分运动的关系：等效替代、同时发生（等时性）、互不干扰（独立性）、运动效果决定分解方向。 2. 会用平行四边形定则（合成）、正交分解法（分解）进行运动学量（v、a、x）的矢量运算。 3. 熟练解决3类经典模型：小船渡河、绳/杆关联速度、平抛运动的分解（平抛为水平匀速+竖直自由落体的基础分解）。 4. 能将分解思想迁移到类平抛（如带电粒子在匀强电场中偏转）、曲线运动的一般分析中。 知识点一：小船渡河问题 船在静水中速度为v船，河水流速为v水，河宽为d。船在渡河时，其合运动（实际航线）是两个分运动的合成： 分运动1：船在静水中的运动（速度为v船，方向由船头指向决定）。 分运动2：船随水流的运动（速度为v水，方向沿河岸向下游）。 三种情景 （1）过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，（d为河宽）。 （2）过河路径最短（v2<v1时）：合速度垂直于河岸时，航程最短，s短=d。船头指向上游与河岸夹角为α，。 （3）过河路径最短（v2>v1时）：合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河。确定方法如下：如图所示，以v2矢量末端为圆心，以v1矢量的大小为半径画弧，从v2矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向航程最短。由图可知：，最短航程：。 渡河 时间 (1)渡河时间： 只与船垂直于河岸方向的分速度有关，与水流速度无关； (2)船头正对河岸时，渡河时间最短，tmin＝(d为河宽) 渡河 位移 （1）若v船>v水 当船头方向与上游河岸夹角θ 满足v船cos θ＝v水时， 合速度垂直河岸 渡河位移最短，且xmin＝d （2）若v船<v水 合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河 当船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直时 渡河位移最短，且xmin＝＝ 知识点二：关联速度问题（绳/杆端速度分解） 用绳或杆连接的两个物体，当绳/杆运动时，两端点的速度通常不同，但存在关联。 1. 核心思想： ①物体的实际运动（合运动） 是我们要分解的对象。 ②绳/杆不可伸长，因此沿绳/杆方向的速度分量大小必须相等。这是列方程的物理依据。 2. 分解步骤： ①确定合运动：与绳/杆连接的物体的实际运动（通常是水平或竖直运动）。 ②确定分运动：将合速度（实际速度）分解为两个方向： 一个沿绳/杆方向（产生拉绳或推杆的效果）。 一个垂直绳/杆方向（使绳/杆转动或摆动）。 ③列等式：沿绳/杆方向的速度分量大小相等。 3.常见的模型如图所示． 情景图示 (注：A沿斜 面下滑) 分解图示 定量结论 vB＝vAcos θ vAcos θ＝v0 vAcos α＝ vBcos β vBsin α＝ vAcos α 基本思路 确定合速度(物体实际运动)→分析运动规律→确定分速度方向→平行四边形定则求解 易错点提醒 1. 混淆合运动与分运动： 合运动是实际观察到的运动。错误地将某一个分运动（如小船在静水中的运动）当成了合运动。 2. 速度分解方向错误： 在关联速度问题中，不能随意分解。必须依据： ① 实际效果（沿绳收缩和垂直绳转动）； ② 绳/杆不可伸长的约束条件。 3. 渡河问题条件混淆：牢记“时间最短”和“位移最短”是完全不同的优化目标，对应不同的船头指向。 4. 矢量运算代数化： 忘记速度、加速度是矢量，直接数值相加减。例如，合速度大小不等于分速度大小之和（除非方向相同）。 5. 忽视独立性原理：认为水平方向的力会影响竖直方向的运动。 一．核心原则：根据运动效果，优先正交分解，利用分运动独立性/等时性列方程 运动的合成与分解是矢量运算，所有规律（v、a、x的合成与分解）均遵循平行四边形定则，解题的关键是确定合运动，根据实际效果分解为两个易求解的分运动。 二．步骤化解题流程 1. 定合运动：明确研究对象的实际运动（轨迹指向的运动），此为合运动，对应的v、a、x为合矢量。 2. 选分解方向：根据运动效果分解，优先选正交方向（如水平/竖直、沿绳/垂直绳、沿斜面/垂直斜面），使分运动为匀速/匀变速直线运动（易求解）。 3. 分解合矢量：将合速度v_合、合加速度a_合、合位移x_合分别沿分解方向分解，得到分矢量 4. 用分运动规律列方程：利用分运动的独立性（各分运动遵循各自的直线运动规律）和等时性（各分运动时间与合运动时间相等），分别对分运动列运动学公式。 5. 合成求结果：若需要合运动的物理量，将分运动的结果通过平行四边形定则合成。 题型01：船速大于水流速 【典型例题1】小船在静水中的航速为5m/s，水流速度为3m/s，河宽为60m。当小船船头垂直河岸渡河时，下列说法正确的是（　　） A．小船渡河的最短时间为12s B．小船渡河的位移大小为60m C．小船会到达正对岸 D．小船在河水中的合速度大小为8m/s 【答案】A 【详解】A．小船渡河的最短时间为，故A正确； B．渡河时水流方向位移为，总位移，故B错误； C．船头垂直河岸时，水流未被抵消，小船无法到达正对岸，故C错误； D．合速度大小为，故D错误。 故选A。 【典型例题2】如图所示，有一条宽为100m的河道，一小船从岸边的某点渡河，渡河过程中保持船头指向与河岸始终垂直。已知小船在静水中的速度大小为4m/s，水流速度大小为3m/s。下列说法正确的是（　　） A．小船渡河过程中的位移大小为100m B．小船渡河的时间是25s C．小船在河水中航行的轨迹是曲线 D．小船在河水中的速度是7m/s 【答案】B 【详解】ABD．根据分运动和合运动的等时性，小船渡河的时间为 小船在河水中的速度为 小船渡河过程中的位移大小为，故AD错误，B正确； C．两个不在同一条直线上的匀速直线运动的合运动为匀速直线运动，故C错误。 故选B。 【典型例题3】一小船渡河，河宽d＝180 m，水流速度v1＝2.5 m/s。 （1）若船在静水中的速度为v2＝5 m/s，求： ①欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？ ②欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？ （2）若船在静水中的速度v2＝1.5 m/s，要使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？ 【答案】（1）①船头垂直于河岸　36 s　90m ②船头与上游河岸成60°夹角　24s　180 m （2）船头与上游河岸成53°夹角　150 s　300 m 【解析】　将船实际的速度（合速度）分解为垂直河岸方向和平行河岸方向的两个分速度，垂直分速度影响渡河的时间，而平行分速度只影响船在平行河岸方向的位移。 （1）若v2＝5 m/s。 ①欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向，当船头垂直河岸时，如图甲所示，合速度为倾斜方向，垂直分速度为v2＝5 m/s。 甲 t＝＝＝s＝36s， v合＝＝m/s， x＝v合t＝90m。 ②欲使船渡河航程最短，合速度应沿垂直河岸方向。船头应朝图乙中的v2方向。 垂直河岸过河要求v水平＝0，如图乙所示，有v2sinα＝v1，得α＝30°。 所以当船头与上游河岸成60°时航程最短。 乙 x＝d＝180 m。 t＝＝＝s＝24s。 （2）若v2＝1.5 m/s。 与（1）中②不同，因为船速小于水速，所以船一定向下游漂移，设合速度方向与河岸下游方向夹角为α，则航程x＝。欲使航程最短，需α最大，如图丙所示，由出发点A作出v1矢量，以v1矢量末端为圆心，v2大小为半径作圆，A点与圆周上某点的连线即为合速度方向，欲使v合与水平方向夹角最大，应使v合与圆相切，即v合⊥v2。 丙 sinα＝＝，得α＝37°。 所以船头应朝上游与河岸成53°方向。 t＝＝s＝150s。 v合＝v1cos 37°＝2 m/s x＝v合·t＝300 m。 【变式训练1-1】武汉渡江节是为了纪念毛主席畅游长江而举办的全民节日。2024年8月8日渡江节中，某位游泳爱好者始终保持头朝向对岸，从起点A沿直线到达终点B用时30分钟。已知该段长江宽1000米，AB连线距离为3000米。下列说法错误的是（　　） A．当天水流速度约为 B．该游泳者在静水中的速度约为 C．由于风力影响导致水速增大，为了保证轨迹仍为直线AB，需要增大游泳者速度 D．其他条件不变的情况下，由于风力影响导致水速增大，游泳者仍能到达B点 【答案】D 【详解】AB．垂直于河岸方向有 可得该游泳者在静水中的速度约为 由几何关系可知 可得当天水流速度约为，故AB正确； C．根据几何关系有 由于风力影响导致水速增大，为了保证轨迹仍为直线，需要增大游泳者速度，故C正确； D．根据选项C可知，其他条件不变的情况下，由于风力影响导致水速增大，游泳者能到达B点下游，故D错误。 本题选择错误的，故选D。 【变式训练1-2】如图所示，一条宽度为d的小河，水流速度恒为v0，小船渡河时在水流作用下的分位移为ABd，在静水中的分位移为BC，合位移为AC，已知矢量三角形ABC中的∠A为直角，下列说法正确的是（　　） A．小船在静水中的速度方向与水流速度的方向之间的夹角为150° B．小船渡河的合位移为2d C．小船渡河的合速度为 D．小船渡河的时间为 【解答】解：A．在矢量三角形ABC中，有 可得 ∠B＝30° 所以小船在渡河时船头指向上游，在静水中的速度方向与水流速度的方向之间的夹角为150°，故A正确； B．根据矢量合成法则可知小船渡河的合位移等于河宽d，故B错误； CD．由小船沿河岸的分运动，易知小船的渡河时间为 则小船的合速度大小为 故CD错误。 故选：A。 【变式训练1-3】2025年5月29日，广安迎端午。划龙舟暨游泳比赛在广安渠江游泳基地举行，众多游泳爱好者和市民以水上运动的方式喜迎端午节的到来。比赛前某运动员练习时要匀速横渡一段宽的河，运动员在静水中的速度，水流速度，则（　　） A．该运动员可能垂直河岸到达正对岸 B．该运动员渡河的时间可能小于 C．该运动员以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为 D．该运动员以最短位移渡河时，位移大小为 【答案】D 【详解】A．运动员在静水中的速度小于水流速度，无法抵消水流影响，故无法垂直到达正对岸，故A错误； B．最短渡河时间为 时间不可能小于70秒，故B错误； C．以最短时间渡河时，水流方向位移为，故C错误； D．当游泳方向与合速度垂直时，位移最短，此时 最短位移为 ，故D正确。 故选D。 【变式训练1-4】（多选）某武警小队为提升水面救援能力，开展冲锋舟训练。已知冲锋舟在静水中的速度大小为10m/s，它在一条宽度为600m、水流速度大小为4m/s的河流中做渡河演练，下列说法正确的是（　　） A．冲锋舟的最短过河时间为150s B．冲锋舟的最短渡河位移大小为600m C．冲锋舟船头垂直河岸过河时，可以到达正对岸 D．冲锋舟的运动轨迹为直线 【答案】BD 【详解】A．冲锋舟船头垂直河岸行驶时，渡河时间最短，可知，故A错误； B．因为冲锋舟的速度大于水速，如图所示，可知冲锋舟的最短渡河位移大小为河宽，即600m，故B正确； C．冲锋舟船头垂直河岸过河时，水平速度等于水的速度，可知船到达河的下游，与正对岸的距离为，故C错误； D．冲锋舟船速不变，根据运动的合成与分解可知两个匀速直线运动的合成仍为匀速直线运动，轨迹为直线，故D正确。 故选BD。 【变式训练1-5】一小船渡河，河宽，水流速度。若船在静水中的速度为，（，）求： (1)使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？最短时间是多少？ (2)使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？ (3)若船在静水中的速度为，要使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？位移是多少？ 【答案】(1)船头垂直于河岸，时间为36s (2)船头向上游偏30°，时间为 (3)要使船渡河的航程最短，船头应指向上游与河岸夹角为53°，位移是300m 【详解】（1）欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向。当船头垂直河岸时，如图甲所示： 合速度为倾斜方向，垂直河岸方向的分速度为船在静水中的速度，所以过河的最短时间为 （2）欲使船渡河航程最短，应垂直河岸渡河，船头应朝上游与垂直河岸方向成某一夹角，如图乙所示： 根据几何关系有，解得，所以 即当船头向上游偏30°时航程最短。此时过河的时间为 （3）因，若要使船航程最短，船头应指向上游与河岸成角，此时船在静水中的速度与合速度相互垂直，如下图所示： 根据几何关系有，则，故最短航程为 所需要的时间为 题型02:船速小于水流速 【典型例题1】小船在静水中的速度为3m/s，小船在一条河宽300m，水流速度为5m/s的河流中渡河，下列说法正确的是（　　） A．小船渡河最短时间为75s B．小船以最短位移渡河时，时间为125s C．小船以最短时间渡河时，位移大小为500m D．小船以最短位移渡河时，位移大小为400m 【解答】解：A、当船头垂直对岸行驶时时间最短，最短时间是100s，故A错误； C、船以最短时间渡河，沿水流方向位移大小为x＝v水tmin＝5×100m＝500m， 船位移大小x合1m＝100m，故C错误； D、小船在静水中的速度为3m/s，水流速度为5m/s，因船速小于水速，当合速度方向与船头方向垂直时，渡河位移最短，如图所示 设此时合速度的方向与河岸的夹角为θ，， 渡河的最小位移为， 代入数据解得x合2＝500m，故D错误； B、小船以最短位移渡河的合速度v合＝v水cos37°＝5×0.8m/s＝4m/s，小船以最短位移渡河时间ts＝125s，故B正确。 故选：B。 【典型例题2】小船欲以最短位移渡过一河宽为d的河流。若小船在静水中的速度为v1，水流速度为v2，且v1＜v2，则渡河时间为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：渡河时因v1＜v2，则以最短位移渡河不能到达正对岸，若v1和合速度垂直时航程最短，如图所示 合速度大小为 合位移为 则渡河时间为，故D正确，ABC错误。 故选：D。 对应的时间，故D错误。 故选AB。 【变式训练2-1】河，该龙舟在静水中划行的速率为8m/s，河水的流速为10m/s，下列说法中正确的是（　　） A．该龙舟渡河所用时间最少为12s B．该龙舟可能沿垂直河岸的航线抵达对岸 C．该龙舟以最短位移渡河通过的位移为100m D．该龙舟渡河时船头垂直河岸，若水速突然变大，则渡河时间会变长 【解答】解：A．当龙舟的船头始终垂直于河岸时渡河时间最短，有d＝v龙tmin，代入数据解得tmin＝10s，故A错误； B．由题可知船的速度小于水速，所以龙舟无法沿垂直河岸的航线抵达对岸，故B错误； C．结合之前的分析，当龙舟船头方向和龙舟的合速度方向垂直时，龙舟过河的位移最小，设龙舟船头与河岸上游成θ角时，最短位移过河，有，最小位移为，代入数据解得s＝100m，故C正确； D．当龙舟的船头垂直于河岸时，由之前分析可知，渡河时间仅取决于船速的垂直分量，与水速无关，所以渡河时间不变，故D错误。 故选：C。 【变式训练2-2】有一条可视为质点的小船匀速横渡一条河宽为的河流，小船在静水中的速度为，水流速度为，则该小船（    ） A．可能垂直河岸到达正对岸 B．渡河的最短时间等于 C．以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为 D．以最短位移渡河时，位移大小为 【答案】C 【详解】A．因船在静水中的速度小于水流的速度，由平行四边形定则，求得合速度不可能垂直河岸，小船不可能垂直河岸到达正对岸，A错误； B．当船在静水中的速度垂直河岸渡河时时间最短，最短时间为 tmin==s=60s 故B错误； C．船以最短时间60s渡河时，沿着河岸的位移为 故C正确； D．当船在静水中速度与船的合速度垂直时，渡河的位移最短，如图所示 由三角形相似得，最短位移为 s=d=×180m=240m 故D错误。 故选C。 【变式训练2-3】小船在静水中的速度为3m/s，它在一条宽为150m，水流速度为5m/s的河中渡河，下列说法正确的是（sin 53°=0.8，cos 53°=0.6）（　　） A．小船能到达到正对岸 B．渡河的最短时间为50s C．以最短位移渡河，小船的渡河时间为60.5s D．以最短时间渡河，小船的渡河位移为250m 【答案】B 【详解】A．由于小船在静水中的速度小于水流速度，所以小船不能到达到正对岸，故A错误； BD．当船头垂直河岸渡河时，所用时间最短，则有 小船沿河岸方向的位移大小为 小船的渡河位移大小为 故B正确，D错误； C．以最短位移渡河，此时小船在静水中的速度方向与合速度方向垂直，设合速度与河岸的夹角为，则有，则合速度大小为 合位移大小为，则小船的渡河时间为，故C错误。 故选B。 【变式训练2-4】（多选）一艘小船在静水中的速度为3m/s，要渡过一条宽度为60m、水流速度为4m/s的河流。下列判断正确的是（　　） A．小船不可能垂直河岸到达正对岸 B．小船渡河的最短时间是20秒 C．小船以最短时间渡河时，其实际航线是垂直河岸的 D．小船以最短位移渡河时，所需的渡河时间是25秒 【答案】AB 【详解】A．小船在静水中的速度（3m/s）小于水流速度（4m/s），无法通过调整航向完全抵消水流的影响，因此无法垂直河岸到达正对岸，故A正确。 B．最短渡河时间由船速的横向分量决定。当船头垂直河岸时，横向速度最大为3m/s，时间，故B正确。 C．最短时间渡河时，船的实际运动是船速（3m/s横向）与水速（4m/s纵向）的合成，合速度为斜向下游的矢量，航线不垂直河岸，故C错误。 D．最短位移渡河时，船头指向与合速度方向垂直，此时合速度大小 方向与河岸的夹角为 题型03:小船过河模型的应用 【典型例题1】有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为v的大河。小明驾着小船渡河，去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直。船在静水中的速度大小恒为（），则去程与回程所用时间的比值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 设河宽为d，则去程用时间 回程用时间 则 故选D。 【典型例题2】有一条两岸平直，河水均匀流动、流速恒为v的大河，小明驾着小船渡河，去程时船头朝向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直。去程与回程所用时间的比值为k，船在静水中的速度大小相同，则小船在静水中的速度大小为（ ） A.B.C.D. 【答案】C 【解析】可设河宽为d，船在静水中的速度为v，第一种情况时时间t=，第二种情况为t=，，可得出B是正确的。 【典型例题3】如图所示，一条小船位于200m宽的河的正中A点处，从这里向下游100m处有一危险区，当时水流速度为4m/s，为了使小船避开危险区到达对岸，则小船在静水中的速度至少是（　　） A．2m/s B．2m/s C．4m/s D．4m/s 【答案】B 【详解】要使小船避开危险区沿直线到达对岸,则有合运动的最大位移为 设小船能安全到达河岸的合速度，与水流速度的夹角为，由几何关系可知 则 作出小船速度的矢量图，如图所示，则有 故选B。 【典型例题4】如图所示，两次渡河时船相对水的速度大小和方向都不变.已知第一次实际航程为A至B，位移为，实际航速为，所用时间为.由于水速增大，第二次实际航程为A至C，位移为，实际航速为，所用时间为t2.则（ ） A.>，＝ B.>，＝ C.=，＝ D.=，＝ 【答案】C 【解析】设河宽为d，船自身的速度为v，与河岸上游的夹角为θ，对垂直河岸的分运动，过河时间t＝，则=；对合运动，过河时间t＝，故C正确. 【典型例题5】（多选）如图，某运动会上有一个骑射项目，运动员骑在奔驰的马背上沿着跑道运动拉弓放箭射向他左侧的固定目标。假设运动员静止时射出的箭速度为 ，运动员骑马奔驰的速度为，跑道离固定目标的最近距离。若不计空气阻力的影响，要想命中目标且射出的箭在空中飞行时间最短，则（    ）    A．箭射到靶心的最短时间为 B．箭射到靶心的最短时间为 C．运动员应在距离点为的地方提前放箭 D．运动员应在距离点为的地方提前放箭 【答案】AC 【详解】AB．当放出的箭垂直于马运行方向发射，此时运行时间最短，所以最短时间为 故A正确，B错误； CD．箭垂直于马运行方向发射时，箭在沿马运行方向上的位移为 即运动员应在距离A点为的地方提前放箭，故C正确，D错误。 故选AC。 【变式训练3-1】如图所示，船从A处开出后沿直线AB到达对岸，若AB与河岸成37°角，水流速度4m/s，则船在静水中的最小速度为 （sin37°=0.6，cos37°=0.8） （ ） A.5m/s B.2.4 m/s C.3 m/s D.3.2 m/s 【答案】B 【解析】根据矢量三角形法则水流速度、船相对静水的速度和合速度关系如图所示，则船在静水中的最小速度为2.4m/s，B正确。 【变式训练3-2】船在静水中的速度与时间的关系如图甲所示，河水的流速与船离河岸的距离的变化关系如图乙所示，河宽为300m，则当船沿渡河时间最短的路径渡河时（ ） A.船渡河的最短时间是60 s B.要使船以最短时间渡河，船在行驶过程中，船头必须始终与河岸垂直 C.船在河水中航行的轨迹是一条直线 D.船在河水中的最大速度是7 m/s 【答案】B 【解析】小船渡河的最短时间是由河宽和小船在静水的速度决定，既s=100s，故A选项错误，要使船以最短时间渡河，船在行驶过程中，船头必须始终与河岸垂直，故B选项正确；由乙图知水流的速度随着河宽发生变化，故小船的合速度也是变化的，故船在河水中航行的轨迹是曲线，船在河水中的最大速度m/s=5m/s，故D选项错误。 【变式训练3-3】某人划船渡河，当划行速度和水流速度一定，且划行速度大于水流速度时.过河的最短时间是t1；若以最小位移过河，需时间t2.则划行速度v1与水流速度v2之比为（ ） A.t2∶t1 B.t2∶ C.t1∶（t2－t1） D.t1∶ 【答案】B 【解析】设河宽为h，将小船过河的运动分解到沿河方向和垂直河岸方向.当船速垂直河岸时，用时最少，所以过河最短时间为：于是得：； 当船速大于水速时，合速度垂直河岸，位移最小，如图所示，最小位移过河： 解得： 所以：.故选：B. 【变式训练3-4】如图所示，小船以大小为、方向与上游河岸成θ的速度（在静水中的速度）从A处过河，经过t时间，正好到达正对岸的B处。现要使小船在更短的时间内过河并且也正好到达正对岸B处，在水流速度不变的情况下，可采取下列方法中的哪一种（ ） A.只要增大v1大小，不必改变θ角 B.只要增大θ角，不必改变v1大小 C.在增大v1的同时，也必须适当减小θ角 D.在增大v1的同时，也必须适当增大θ角 【答案】D 【解析】法一：小船过河的时间取决于垂直河岸方向的速度，即为sinθ，要使小船到达B点，且时间变短，则sinθ应增大，同时小船在沿河岸方向的速度仍应为零，即cosθ的值不变，因此需要增大，同时增大θ角，故选项D正确。 法二：可以采用作图法：如解图所示，故选项D正确。 【变式训练3-5】一小船渡河，已知河水的流速与距某河岸的距离的变化关系如图甲所示，船在静水中的速度与时间的关系如图乙所示，则（　　） A.船渡河的最短时间75s　 B.要使船以最短时间渡河，船在河水中航行的轨迹是一条直线　 C.要使船以最短路程渡河，船在行驶过程中，船头必须始终与河岸垂直　 D.要使船以最短时间渡河，船在河水中的速度是5m/s 【答案】A. 【解析】当静水速与河岸垂直时，渡河时间最短，t=.故A正确；船在沿河岸方向上做变速运动，在垂直于河岸方向上做匀速直线运动，两运动的合运动是曲线，故B错误；要使船以最短时间渡河，船在行驶过程中，船头必须始终与河岸垂直.故C错误；要使船以最短时间渡河，船在航行中与河岸垂直，根据速度的合成可知，船河水中的最大速度是5m/s，故D错误. 【变式训练3-6】小明同学遥控小船做过河实验，并绘制了四幅小船过河的航线图如图所示。图中实线为河岸，河水的流动速度不变，方向如图水平向右，虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线，小船相对于静水的速度不变。则(　　) A．航线图甲是正确的，船头保持图中的方向，小船过河时间最短 B．航线图乙是正确的，船头保持图中的方向，小船过河时间最短 C．航线图丙是正确的，船头保持图中的方向，小船过河位移最短 D．航线图丁是不正确的，如果船头保持图中的方向，船的轨迹应该是曲线 解析：选A　根据图甲，小船相对于静水的速度方向(船头指向)垂直于河岸，合速度的方向偏向下游，且过河时间最短，故A正确；根据平行四边形定则，知合速度的方向正好垂直河岸，过河的位移最小，故B错误；由于河水的流动，因此不可能出现图丙航线，故C错误；由平行四边形定则，知合速度应在两分速度之间，且合速度大小及方向一定，故D错误。 【变式训练3-7】如图所示，两次渡河时船在静水中的速度大小和方向都不变，已知第一次实际航程为A至B，位移为s1，实际航速为v1，所用时间为t1。由于水速增大，第二次实际航程为A至C，位移为s2，实际航速为v2，所用时间为t2，则(　　) A．t2＞t1，v2＝v1 B．t2＞t1，v2＝v1 C．t2＝t1，v2＝v1 D．t2＝t1，v2＝v1 解析　因船渡河的合运动是匀速直线运动，所以＝；同理＝。两次渡河时船在静水中的速度大小和方向都不变，渡河时间不变，所以＝；水速增大，实际航速增大，＝。 答案　D 【变式训练3-8】某物理兴趣小组的同学在研究运动的合成和分解时，驾驶一艘快艇进行了实地演练。如图所示，在宽度一定的河中的O点固定一目标靶，经测量该目标靶距离两岸的最近距离分别为MO＝15 m、NO＝12 m，水流的速度平行河岸向右，且速度大小为v1＝8 m/s，快艇在静水中的速度大小为v2＝10 m/s。现要求快艇从图示中的下方河岸出发完成以下两个过程：第一个过程以最短的时间运动到目标靶；第二个过程由目标靶以最小的位移运动到图示中的上方河岸，则下列说法正确的是(　　) A．快艇的出发点位于M点左侧8 m处 B．第一个过程所用的时间约为1.17 s C．第二个过程快艇的船头方向应垂直河岸 D．第二个过程所用的时间为2 s 解析　快艇在水中一方面航行前进，另一方面随水流向右运动，当快艇的速度方向垂直于河岸时，到达目标靶的时间最短，所以到达目标靶所用时间t＝＝1.5 s，快艇平行河岸向右的位移为x＝t＝12 m，则出发点应位于M点左侧12 m处，A、B错误；第二个过程要求位移最小，因此快艇应垂直到达对岸，则船头应指向河岸的上游，C错误；要使快艇由目标靶到达正对岸，快艇的位移为12 m，快艇的实际速度大小为v＝＝6 m/s，所用的时间为t′＝＝2 s，D正确。 答案　D 【变式训练3-9】如图所示，河水流动的速度为v，且处处相同，河宽度为a。在船下水点A的下游距离为b处是瀑布。为了使小船渡河安全(不掉到瀑布里去)，则(　　) A．小船船头垂直河岸渡河时间最短，最短时间为t＝ B．小船轨迹垂直河岸渡河位移最小，渡河速度最大，最大速度为vmax＝ C．当小船沿轨迹AB渡河时，船在静水中的最小速度为vmin＝ D．当小船沿轨迹AB渡河时，船在静水中的最小速度为vmin＝ D　[当小船船头垂直河岸渡河，时间最短，最短时间为t＝，且t必须小于或等于，故选项A错误；小船轨迹垂直河岸渡河，位移最小，大小为a，但船头必须指向上游，合速度不是最大，故选项B错误；小船沿轨迹AB运动，船在静水中的速度最小时，船头方向与AB垂直，可得＝，故选项C错误，D正确。 【变式训练3-10】有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为v的大河。小明驾着小船渡河，去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直。去程与回程所用时间的比值为k，船在静水中的速度大小相同，则小船在静水中的速度大小为(　　) A.B.C.D. 解析　设河宽为d，小船在静水中的速度大小为u，去程时间＝；回程时间＝；又＝k，联立解得u＝，选项B正确。 答案　B 【变式训练3-11】如图所示，两岸平行的小河，水流速度v＝5 m/s，小船自A处出发，沿航线AB渡河，到达对岸B处，AB与下游河岸的夹角θ=53°，则小船在静水中的速度不可能为 A．3m/s B．4m/s C．5m/s D．6m/s 【答案】A 【解析】 已知小船的和速度方向为AB方向，而一个分运动的速度为水速5m/s，沿河岸方向，根据合速度与分速度的关系可知时渡河的速度最小，即，故3m/s不能保证沿AB方向渡河，A项不可能．故选A． 【点睛】解决本题的关键知道合运动与分运动具有等时性，各分运动具有独立性，互不影响． 【变式训练3-12】洪涝灾害给百姓的生命财产安全造成巨大威胁。如图所示，某次洪灾中救援队利用摩托艇将被困人员由河此岸P点转移到彼岸安全地M点，轨迹如图虚线PM所示，PM与PQ夹角为θ，PQ连线与河岸QM垂直。若水的流速恒为，方向平行于河岸QM，转移过程中摩托艇在静水中的速度恒定（未知）。则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意可知，合速度方向沿PM，根据速度分解与合成规律可知，当方向垂直于PM时，达到最小值，如图所示 则有 故选C。 【变式训练3-13】如图甲，某河宽为200m，小船在静水中的速度为4m/s，水流速度为3m/s。假设小船从P点出发，在匀速行驶过程中船头方向不变。下列说法中正确的是（　　） A．若想以最短时间过河，小船过河位移大小为200m B．若想以最小位移过河，小船过河时间为40s C．若大暴雨导致水流速度增大到5m/s，小船过河的最小位移为200m D．如图乙，若出发点m以下均为危险区，小船过河的最短时间为s 【答案】D 【详解】A．若想以最短时间过河，此时船头要正对着河岸，小船过河的运动方向以及轨迹都是斜着指向下游的，小船过河的位移大小大于河宽200m，A错误； B．若以最小位移过河，前提必须满足小船的静水速度大于水流速度，记船在静水中的速度为，水流速度为，船头与水平方向的夹角为，河宽为，此时满足 渡河时间 两式联立解得 B错误； C．小船在静水中的速度小于水流速度时，小船以最短位移过河时小船轨迹是向下游的，所以此时小船的位移大于河宽，C错误； D．图乙中，设小船与岸成夹角，则有， 解得， D正确。 故选D。 【变式训练3-14】如图所示，一艘炮舰沿河岸以速度大小v1自西向东行驶，某时刻发射炮弹击中正对岸的目标，已知炮弹对地发射速度大小为v2，方向与河岸夹角为θ。下列关系式正确的是（　　） A．sinθ＝1 B． C． D． 【解答】解：一艘炮舰沿河岸以速度大小v1自西向东行驶，炮弹击中正对岸的目标，表明炮弹合速度方向垂直于河岸，根据速度合成规律有，故B正确，ACD错误。 故选：B。 【变式训练3-15】如图所示，某登陆舰船头垂直海岸自A点出发，分别沿路径AB，AC在演练岛屿的BC两点登陆.已知登陆舰在静水中速度恒定且大于水速，则下列说法正确的是（　　） A.沿AC航行所用时间较长 B.沿AC航行时水速较大 C.实际航速两次大小相等 D.无论船头方向如何，登陆舰都无法在A点正对岸登陆 【答案】A 【解析】根据沿着水速方向的位移，因沿AC航行的水速位移长，则所用时间较长，故A正确；不论沿那种航行，水速不变，故B错误；根据速度的合成，可知，实际航速两次大小不相等，故C错误；当船头偏向上游时，可以在A点正对岸登陆，故D错误； 【变式训练3-16】已知某江水由西向东流，江宽为d,江水中各点水流速度大小与该点到较近岸边的距离成正比，v水=kx，k=，x是各点到近岸的距离。小船船头垂直江岸由南向北渡江，小船在静水中的划行速度为v0，以下说法中正确的是（ ） A.小船渡江的轨迹为曲线 B.小船到达离江岸边d/2处，船渡江的速度为 C.小船渡江时的轨迹为直线 D.小船到达离南江岸3d/4处，船渡江的速度为 【答案】AB 【解析】小船在沿河岸方向的速度随时间先均匀增大后均匀减小，因此水流方向存在加速度，其方向先沿着水流方向，后逆着水流方向，则小船渡河时的轨迹为曲线.故A正确；C错误；小船到达离江岸边d/2处，水流速为v水=kd=2v0，则，B正确；小船到达离南江岸3d/4处， v水=kd=，船的速度为，D错。所以本题选择AB。 【变式训练3-17】（多选）河水的流速与船离河岸的距离的变化关系如图1所示，船在静水中的速度与时间的关系如图2所示，若要使船以最短时间渡河，则 A．船渡河的最短时间25s B．船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直 C．船在河水中航行的加速度大小为a=0.4m/s2 D．船在河水中的最大位移为156m 解析：当静水速与河岸垂直时，渡河时间最短，，故A错误，B正确．船在沿河岸方向上做变速运动，在垂直于河岸方向上做匀速直线运动，由图可知，当发生50米的位移时，所以时间秒，而水流速度变化为，根据，可得加速度大小为故C正确．船在航行中相对于河水的最大速度为，那么船在河水的位移为，故D错误．故选BC 【变式训练3-18】（多选）河水的流速与某河岸的距离的变化关系如图甲所示，船在静水中的速度与时间的关系如图乙所示.若要使船以最短时间渡河，下列说法正确的是(　 　) A.船渡河的最短时间为100 s B.船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直 C.船在河中航行的轨迹是一条直线 D.船在河水中的最大速度为7 m/s 解析　由运动的独立性可知，垂直河岸方向速度越大，渡河时间越短，即船头始终与河岸垂直，航行时所用时间最短，＝＝100 s，选项A、B正确；由题图甲可知，水流速度在变化，船的合速度大小及方向均会随位置发生变化，因此轨迹不是直线，选项C错误；船在静水中的速度与水流速度方向垂直，水流速度最大值为4 m/s，则船在河水中的最大速度为5 m/s，选项D错误。 【变式训练3-19】（多选）如图所示，甲、乙两船在同一条河流中同时开始渡河，MN分别是甲、乙两船的出发点。两船头与河岸均成α角，甲船船头恰好对准N点的正对岸P点。经过一段时间乙船恰好到达P点。如果划船速度大小相同，且两船相遇不影响各自的航行。下列判断正确的是(　　) A．甲船也能到达正对岸 B．两船渡河时间一定相等 C．两船相遇在NP连线上 D．渡河过程中两船不会相遇 解析　由题意知水流方向自左向右，甲船的合速度方向偏向下游，甲船一定不能到达正对岸，选项A错误；由于两船垂直河岸的分速度相等，所以两船渡河时间一定相等，选项B正确；沿着甲船合速度方向画出甲船的运动轨迹，该运动轨迹与PN相交，其交点为两船相遇点，所以两船相遇在NP连线上，选项C正确，D错误。 答案　BC 【变式训练3-20】（多选）甲、乙两船在同一条河流中同时开始渡河，河宽为H，河水流速为v0，划船速度均为v，出发时两船相距H，甲、乙两船船头均与河岸成60°角，如图所示.已知乙船恰好能垂直到达对岸A点，则下列判断正确的是 （　　） A.甲、乙两船到达对岸的时间不同 B.v＝2v0 C.两船可能在未到达对岸前相遇 D.甲船也在A点靠岸 【答案】BD 【解析】　渡河时间均为，乙能垂直于河岸渡河，对乙船由vcos 60°＝得v＝2，甲船在该段时间内沿水流方向的位移为（vcos 60°＋）＝H，刚好到达A点，综上所述，A，C错误，B，D正确. 【变式训练3-21】（多选）如图，在河水速度恒定的小河中，一小船保持船头始终垂直河岸从一侧岸边向对岸行驶，船的轨迹是一个弯曲的“S”形，则(　　) A．小船垂直河岸的速度大小恒定不变 B．小船垂直河岸的速度大小先增大后减小 C．与船以出发时的速度匀速过河相比，过河时间长了 D．与船以出发时的速度匀速过河相比，过河时间短了 解析　船在沿河岸的方向上做匀速直线运动，即在相同的时间间隔内，在河岸方向上的位移是相同的；在垂直于河岸的方向上，在相等的时间间隔内(参照船在沿河岸方向上的时间)，开始时位移的变化逐渐增大再逐渐减小，所以速度先增大后减小；因中间那段时间速度较大，所以与船保持恒定的初始速度过河相比过河时间短了，选项B、D正确。 答案　BD 【变式训练3-22】（多选）某次抗洪抢险中，连接某条河两岸的大桥被洪水冲垮抗洪队伍只有利用快艇到河对岸村庄进行救援。已知河的宽度为96m，快艇在静水中速度-时间图像如图甲所示，河流中各处水的位移一时间图像如图乙所示。欲使快艇在最短的时间内渡河，则（　　） A．快艇最短的渡河时间为10s B．快艇到达河正对岸下游108m处 C．快艇到达河对岸时速度大小为15m/s D．快艇在河流中的运动轨迹始终为直线 【答案】BC 【详解】 A．快艇在最短的时间内渡河，就要快艇头与河岸垂直渡河，由于分运动的独立性，水的流速不影响快艇过河的时间，由甲图可知，前8s内快艇做初速度为零的匀加速运动，其位移为 则快艇匀速运动的位移 则匀速运动的时间 所以快艇最短的渡河时间为 故A错误； B．由乙图可知，水速为 所以快艇到达河正对岸下游 故B正确； C．快艇到达河对岸的速度为 故C正确； D．前8s内快艇的运动由初速度为零的匀加速直线运动和匀速直线运动合成，轨迹为曲线，8s后轨迹为直线，故D错误。 故选BC。 【变式训练3-23】（多选）如图，在河水速度恒定的小河中，一小船保持船头始终垂直河岸从一侧岸边向对岸行驶，船的轨迹是一个弯曲的“S”形，则(　　) A．小船垂直河岸的速度大小恒定不变 B．小船垂直河岸的速度大小先增大后减小 C．与船以出发时的速度匀速过河相比，过河时间长了 D．与船以出发时的速度匀速过河相比，过河时间短了 【答案】BD 【分析】 把渡河时间分成若干个相等的时间间隔，分别研究沿河岸和垂直于河岸方向上的位移变化，可得知船垂直河岸的速度的大小变化，和船保持恒定的初始速度过河相比过河时间的变化情况． 【详解】 船在沿河岸的方向上是匀速直线运动，即在相同的时间间隔内，在河岸方向上的位移是相同的；在垂直于河岸的方向上，在相等的时间间隔内（参照船在沿河岸方向上的时间），开始时位移较小，后逐渐增大再逐渐减小，所以速度是先增大后减小；因中间那段时间速度较大，所以与船保持恒定的初始速度过河相比过河时间要短了；故A，C错误，B，D正确； 故选BD. 【点睛】 该题考查了渡河问题，运用图象结合船沿河岸方向上的运动情况来分析船在垂直于河岸方向上的运动情况的变化，该题船的实际速度不变，则根据轨迹判断船垂直于河岸的速度发生变化，这是易错点． 【变式训练3-24】（多选）如图,小船在静水中的速度大小为v,方向与上游河岸成θ角,从A处过河,正好到达正对岸的B处、现水流速度变大少许,要使小船过河也正好到达正对岸的B处,下列方法可行的有() A．保持θ角不变,同时增大v B．保持θ角不变,同时减小v C．保持v不变,同时增大θ D．保持v不变,同时减小θ 【答案】AD 【分析】 将小船的运动分解为沿河岸方向和垂直于河岸方向，抓住分运动与合运动具有等时性，求出到达对岸沿水流方向上的位移以及时间．当实际航线与河岸垂直，则合速度的方向垂直于河岸，根据平行四边形定则求出船头与河岸所成的夹角． 【详解】 由题意可知，船相对水的速度为v，其航线恰好垂直于河岸，当水流速度稍有增大，为保持航线不变，即θ角不变，且能到达对岸，则如图所示，可知要增大v，故A正确，B错误； 由上图可知，当保持v大小不变，若减小θ角，则可实现垂直到达河岸，故C错误，D正确，故选AD． 【点睛】 解决本题的关键知道分运动和合运动具有等时性，以及会根据平行四边形定则对运动进行合成和分解，注意正确画出运动的合成与分解是解题的关键，同时关注速度是矢量． 【变式训练3-25】（多选）如图所示，竖直平面内有一个质量为m的质点，所受合外力F为恒力，且F与竖直方向的夹角为θ。质点以初速度从A点开始做曲线运动，图中曲线是质点的运动轨迹。已知质点到达B点时的速度方向与初速度的方向垂直，下列说法正确的是（　　） A．质点运动过程中的最小速度为 B．质点达到最小速度时所需时间为 C．质点到达B点所需时间为 D．质点到达B点时的速度大小为 【答案】BC 【详解】AB．到达B点时的速度方向与初速度的方向垂直，恒力F的方向与速度方向成钝角，建立坐标系 图中v为最小速度，则，，其中，解得 故A错误，B正确； CD．设质点从A点运动到B经历时间，设在方向上的加速度大小为，在垂直方向上的加速度大小为，根据牛顿第二定律可得， 根据运动学公式可得， 解得，，故C正确，D错误； 故选BC。 【变式训练3-26】（多选）（多选）《西游记》中，一只大龟浮水作舟，驮着唐僧师徒四人和白龙马渡过了通天河。如图所示，河岸平直，A处的下游靠河岸B处是个旋涡，A点和旋涡边缘的连线与河岸的最大夹角为为锐角，河宽为d，河水的速度大小为，大龟在静水中的速度恒定，大龟经过旋涡边缘视为安全。下列说法正确的是（　　） A．只要大龟在静水中的速度大于，大龟就可以垂直河岸渡河 B．只要大龟在静水中的速度小于，大龟就无法安全渡河 C．若大龟能够安全渡河，则大龟相对河水的最小速度为 D．若大龟能够安全渡河，则大龟相对河水的最小速度为 【答案】AC 【详解】A．设大龟在静水中的速度大小为，只要在沿河岸方向分量等于河水速度，即，大龟的合速度方向就可能垂直于河岸，大龟就可以垂直河岸渡河，故A正确； BCD．要使大龟从A点以恒定的速度安全到达对岸，当龟的速度与合速度垂直时龟的速度最小，如图所示 由图示可知，大龟在静水中的最小速度 只要大龟的合速度与河岸的夹角，大龟就可以安全渡河，故BD错误，C正确。 故选AC。 【变式训练3-27】（多选）如图所示，某人欲乘坐小船横跨一条河流，已知河水流速为2m/s，河中央有一圆形漩涡，出发点与漩涡的两条切线与河岸的夹角分别为53°、37°，取sin37°=0.6，cos37°=0.8。若小船船头指向始终垂直河岸，且不会掉入漩涡，则小船相对河水的速度可以是（　　） A．1m/s B．2m/s C．3m/s D．4m/s 【答案】ACD 【详解】小船若从左边绕过漩涡，则合速度方向与河岸夹角至少为53°，可得 解得 小船若从右边绕过漩涡，则合速度方向与河岸夹角最大为37°，可得 解得 可知使小船不会掉入漩涡，小船相对河水的速度范围为或者。 故选ACD。 【变式训练3-28】如图所示，宽度的河岸平直，水流速度大小恒为，一只角马（图中未画出）从A点游水渡河，角马渡河的过程中做匀速直线运动。 (1)若角马垂直河岸到达对岸的B点，渡河的时间，求角马在静水中的速度大小； (2)若A点的下游C处是个旋涡，A点与旋涡边缘的点连线的最大角度，取，，求在角马安全到达对岸的条件下，角马在静水中速度的最小值。 【答案】(1)5m/s (2)2.4m/s 【详解】（1）若角马垂直河岸到达对岸的B点，渡河的时间，则渡河的合速度 角马在静水中的速度大小 （2）当角马在静水中速度最小时，速度方向垂直合速度方向，则 【变式训练3-29】一条宽度为L的河，水流速度恒定， (1)若船在静水中的速度为，那么，保持发动机输出功率不变，怎样渡河时间最短？最短时间？ (2)若船在静水中速度，怎样渡河位移最小？最小位移？ (3)如图，某同学偶然发现在水流速度恒定的河流中，某渡河游艇的航迹好像是一条抛物线，又发现游艇船头指向对岸，该同学猜测该游艇可能在垂直河岸方向做匀加速运动，请你分析论证该同学的猜想。 【答案】（1）船头垂直河岸时间最短，；（2）船头与河岸的角度满足时有最小位移，L；（3）见解析。 【详解】 （1）如图所示 设船头斜向上游与河岸成任意角θ，这时船速在垂直与河岸方向的速度分量为 渡河所用时间为 由此可知L、v船一定时，t随sinθ增大而减小；当θ=90°时，sinθ=1（最大），所以船头与河岸垂直时，渡河时间最小为 （2））如图所示，渡河的最小位移即河的宽度 为使船能直达对岸，船头应指向河的上游，并与河岸成一定角度θ，根据三角函数关系有 因为0≤cosθ≤1，所以只有在v船＞v水时，船才有可能垂直河岸渡河，此时渡河最短位移为L； （3）由题可知水流速度不变，而游艇的运动轨迹是曲线，故游艇的速度发生变化，根据运动轨迹可知，游艇的加速度沿y轴正方向，与游艇的初速度方向相同，故游艇沿y轴方向做匀加速直线运动。 题型04：关联速度：绳子问题 【典型例题1】（如图所示，小车以速度v匀速向右运动，通过滑轮拖动物体A上升，不计滑轮摩擦和绳子质量，当绳子与水平面的夹角为时，下列说法正确的是（　　） A．物体A在匀速上升 B．物体A的速度大小为 C．物体A的速度大小为 D．绳子对物体A的拉力小于物体A的重力 【答案】B 【详解】BC．根据绳的牵连速度规律可知，小车沿绳方向的分速度即为物体A上升速度，则有，故B正确，C错误； A．根据上述，由于小车以速度v匀速向右运动，v一定，减小，可知增大，即此过程中物体A在加速上升，故A错误； D．根据上述，物体A在加速上升，则加速度方向向上，所受外力的合力方向向上，即绳子对物体A的拉力大于物体A的重力，故D错误。 故选B。 【典型例题2】（如图所示，细线一端固定在天花板上，另一端连接在物块上，用水平铅笔与细线接触，开始铅笔上端细线竖直，现使铅笔以速度v水平向右匀速平移，运动中连接物块的细线始终水平，铅笔与铅笔两边细线所在竖直面始终垂直，则在铅笔移动过程中（　　） A．物块做匀速运动 B．物块的速度越来越大 C．物块的速度大小可能等于2v D．当连接天花板的细线与竖直方向夹角为θ时，物块速度大小为vsinθ 【解答】解：D．对线与铅笔接触点的速度分解，当连接天花板的细线与竖直方向夹角为θ时， 线与铅笔接触点的速度沿倾斜绳方向的分速度大小等于vsinθ，此时物块的速度大小v′＝v+vsinθ，故D错误； AB．由于θ不断增大，物块的速度不断增大，故A错误B正确； C．由于θ不断增大趋近于90°，物块最终的速度趋向于2v，但不可能等于2v，故C错误。 故选：B。 【典型例题3】如图所示，跨过光滑定滑轮的轻绳一端系着皮球（细绳延长线过球心）、一端连在水平台上的玩具小车上，车牵引着绳使球沿光滑竖直墙面从较低处以速度匀速上升，某一时刻细绳与竖直方向夹角为，在球未离开墙面的过程中，下列说法正确的是（   ） A．该时刻玩具小车的速度为 B．该过程玩具小车做减速运动 C．该过程球对墙的压力逐渐减小 D．该过程绳对球的拉力大小不变 【答案】B 【详解】A．分解球的运动，如图所示 将球的速度v分解，可知沿绳方向的分速度（即绳子的速度）为 即该时刻玩具小车的速度为，故A错误； B．因球匀速上滑过程中θ角将增大，所以将减小，故小车做减速运动，故B正确； CD．球受三力作用处于平衡状态，设球重为G，则绳对球的拉力大小T、球对墙的压力大小N分别为， 因球匀速上滑过程中θ角将增大，则T、N均增大，故CD错误。 故选B。 【变式训练4-1】（如图所示，通过光滑的定滑轮拉着小船靠岸，拉绳的速度恒为v0＝6m/s，开始时拴接小船的绳与水平方向的夹角α＝37°，经时间t绳与水平方向的夹角为β＝53°，已知滑轮与小船上沿的高度差为hAB＝12m，不计定滑轮大小，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。则下列说法正确的是（　　） A．小船做匀速运动 B．t＝1s C．α＝37°时小船的速度大小为7.5m/s D．β＝53°时小船的速度大小为8m/s 【解答】解：A．将船速分解为沿绳方向和垂直绳方向，如图所示 则v0＝vccosθ，θ为绳和水平方向夹角，随着角度变大，船速变大，所以小船不会做匀速运动，故A错误； B．根据几何关系有，代入数据解得，故B错误； C．α＝37°时小船的速度大小为，故C正确； D．β＝53°时小船的速度大小为，故D错误。 故选：C。 【变式训练4-2】为了训练飞行员将舰载机降落在航空母舰上的能力，在陆地上建设了模拟平台进行常规训练。如图所示，阻拦索绕过定滑轮与阻尼器连接，阻拦系统通阻拦索对飞机施加一作用力，使飞机在模拟甲板上短距离滑行后停止。飞机挂钩与阻拦索间不滑动。若某一时刻两端阻拦索夹角是θ，飞机沿中线运动速度为v，则阻尼器中的阻拦索绳移动速度大小是（　　） ． 【变式训练4-3】如图，趣味运动会的“聚力建高塔”活动中，两长度相等的细绳一端系在同一塔块上，两名同学分别握住绳的另一端，保持手在同一水平面以相同速率v相向运动。为使塔块沿竖直方向匀速下落，则v（　　） A．一直减小 B．一直增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小 【解答】解：设两边绳与竖直方向的夹角为θ，塔块沿竖直方向匀速下落的速度为v块，将v块沿绳方向和垂直绳方向分解，将v沿绳子方向和垂直绳方向分解， 可得v块cosθ＝vsinθ，解得，由于塔块匀速下落时θ在减小，故可知v一直增大，故B正确，ACD错误。 故选：B。 【变式训练4-4】影视剧中，武打演员的轻功出神入化，实际上是通过吊威亚实现的，如图所示，牵引车通过细钢丝跨过定滑轮拉着特技演员上升，连接特技演员的细钢丝竖直，处于图示位置时，和牵引车相连的细钢丝与水平方向的夹角。若特技演员可视为质点，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．特技演员匀速上升时，牵引车匀速向左运动 B．牵引车匀速向左运动时，特技演员上升的速度越来越小 C．处于图示位置时，特技演员上升的速度是牵引车速度的倍 D．牵引车匀速向左运动时，特技演员处于失重状态 【答案】C 【详解】A．设牵引车的速度为，将其沿钢丝方向和垂直于钢丝方向分解，沿钢丝方向的分速度为，若特技演员匀速上升，随着牵引车向左运动，逐渐减小，逐渐增大。为保持不变，需逐渐减小，即牵引车做减速运动，而非匀速运动。故A错误； BD．若牵引车匀速向左运动，不变，由A选项可知，随着牵引车向左运动，逐渐减小，逐渐增大，因此会逐渐增大，而非越来越小，特技演员加速上升，处于超重状态，而非失重状态，故BD错误； C．图示位置时，则，即特技演员上升的速度是牵引车速度的倍，故C正确． 故选C。 【变式训练4-5】一杆挥去人间冷暖，一钩钓尽水中日月。”从古至今，垂钓都能给人们带来悠然自得的乐趣。如图所示，某钓鱼爱好者收线的过程中，鱼沿水平直线从位置被拉到位置，线与杆的结点保持不动。点与鱼之间的线始终拉直，鱼视为质点，下列说法正确的是（　　） A．若该爱好者匀速收线，则鱼可能做减速运动 B．若该爱好者加速收线，则鱼可能做匀速运动 C．若该爱好者减速收线，则鱼可能做加速运动 D．无论该爱好者怎样收线，鱼都不可能做匀速运动 【答案】C 【详解】A．设线与水面的夹角为，由题意可知 若不变，增大，则减小，增大，选项A错误； B．若增大，减小，则一定增大，选项B错误； CD．若减小，减小，则可能增大，可能减小，也可能不变，选项C正确、D错误。 故选C。 【变式训练4-6】建筑工人利用绳索提升货物的情景简化如图所示。绳索一端穿过固定光滑圆环连接货物，另一端由工人拉住。工人以速度沿水平向右做匀速直线运动（保持手握绳索的高度不变）。当工人所拉绳索与水平方向夹角为时，下列说法正确的是（　　） A．货物的速度大小为 B．货物的速度大小为 C．绳索对货物的拉力等于货物的重力 D．绳索对货物的拉力小于货物的重力 【答案】B 【详解】AB．将工人的速度沿绳方向和垂直于绳方向分解，根据速度的分解可知，货物的速度大小为，故A错误，B正确； CD．人向右运动时，减小，则货物的速度增大，可见货物向上加速运动，则绳索对货物的拉力大于货物的重力，故CD错误； 故选B。 【变式训练4-7】如图所示，物体A套在竖直杆上，经细绳通过定滑轮拉动物体B在水平面上运动，开始时A、B间的细绳呈水平状态，现由计算机控制物体A的运动，使其恰好以速度v沿杆匀速下滑(B始终未与滑轮相碰)，则(　B　) A.绳与杆的夹角为α时，B的速率为vsin α B.绳与杆的夹角为α时，B的速率为vcos α C.物体B也做匀速直线运动 D.物体B做匀加速直线运动 将A物体的速度按图示两个方向分解，绳子速率＝vcos α；而绳子速率等于物体B的速率，则物体B的速率＝＝vcos α，故A错误，B正确；因物体A向下运动的过程中α减小，则cos α增大，增大，B物体加速运动，但不是匀加速运动，故C、D错误. 【变式训练4-8】如图所示，在水平滑杆上套着一个小环，小环与细线的一端相连，人拉着绕过定滑轮的细线的另一端，若人静止不动拉细线，使小环匀速向左运动，则在将小环从右侧一定距离处拉至定滑轮的正上方的过程中，人拉细线的速度（　　） A．不变 B．变大 C．变小 D．先变小后变大 【解答】解：如图所示，把小环水平运动的速度v正交分解， 可知人拉细线的速度＝vcosθ是逐渐减小的，故ABD错误，C正确。 故选：C。 【变式训练4-9】如图所示，光滑直杆倾斜固定在竖直面内，小球A套在杆上，绕过定滑轮的轻绳一端连接在小球A上，另一端吊着小球B，由静止释放小球A、B，小球A沿杆向上运动，当轻绳与杆间的夹角为60°时，小球A的速度大小vA与小球B的速度大小vB之间的关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】A、B小球沿绳方向的速度大小相等，则有 即 故选A。 【变式训练4-10】如图所示，套在竖直细杆上的轻环由跨过光滑轻质定滑轮的不可伸长的轻绳与重物相连，施加外力让沿杆以速度匀速上升，从图中位置上升至与定滑轮顶端等高的位置，已知与竖直杆成角，则（　　） A．在位置处，重物的速度为 B．A运动到位置时，重物B的速度为0 C．重物B下降过程中处于失重状态 D．A匀速上升过程中，重物B加速下降 【答案】B 【详解】A．刚开始在M位置处，重物B的速度为，故A错误； B．当A运动到N位置时有 根据 解得 即当A运动到N位置时，重物的速度为0，故B正确； CD．根据 可知匀速上升时，角变大，则重物速度减小，即重物减速下降。再根据牛顿第二定律可知，重物减速下降过程，加速度向上，绳对的拉力大于的重力，所以重物处于超重状态。故CD错误。 故选B。 【变式训练4-11】如图所示，套在细直杆上的环A由跨过定滑轮且不可伸长的轻绳与B相连，在外力作用下A沿杆以速度vA匀速上升经过P、Q两点，经过P点时轻绳与竖直杆间的夹角为α，经过Q点时A与定滑轮的连线处于水平方向，轻绳始终保持伸直状态。则（　　） A．经过P点时，B的速度大小等于 B．当α=30°时，A、B的速度大小之比是1∶2 C．在A从P至Q的过程中，B受到的拉力大于重力 D．经过Q点时，B的速度方向向下 【答案】C 【详解】AB．A的速度沿轻绳方向的分速度与B的速度vB大小相等，则有 当时，A、B的速度大小之比是，AB错误； CD．当A环上升至与定滑轮的连线处于水平方向的位置Q时，B的速度vB=0，当A上升时，夹角α增大，由可知，B向下做减速运动，加速度方向向上，由牛顿第二定律可知，轻绳对B的拉力大于B的重力，C正确，D错误。 故选C。 【变式训练4-12】第十一届全国杂技展演于2023年3月在山东省举办，如图所示，水平固定的细长杆上套有一遥控电动小车P，跨过悬挂于O点的轻小光滑圆环的细线一端连接P，另一端悬挂一杂技演员Q。设初始时细线的右边部分与水平方向的夹角为θ，现在遥控作用下使电动小车P开始向左匀速运动，电动小车和演员均可视为质点，不计空气阻力，下列判断正确的是（　　） A．当θ=90°时，杂技演员Q速度不为零 B．当θ=60°时，P、Q的速度大小之比是2∶1 C．在θ向90°增大的过程中，绳子的拉力始终等于演员的重力 D．在θ向90°增大的过程中，演员Q一直处于失重状态 【答案】B 【详解】A．当θ=90°时，即为电动小车P到达O点正下方时，此时演员Q的速度为零，故A错误； B．由题可知，P、Q用同一根细线连接，则电动小车P沿细线方向的速度与演员Q的速度相等，则当θ=60°时则有 解得，故B正确； CD．演员Q从开始运动到最低点的过程中，向下做减速运动，加速度向上，处于超重状态，绳子的拉力始终大于演员的重力，故CD错误。 故选B。 【变式训练4-13】（多选）如图所示，做匀速直线运动的小车A通过一根绕过定滑轮的长绳吊起一重物B，设重物和小车速度的大小分别为vB、vA，则(　AD　) A. vA＞vB B. vA＜vB C.绳的拉力等于B的重力 D.绳的拉力大于B的重力 　变式训练：小车A向左运动的过程中，小车的速度是合速度，可分解为沿绳方向与垂直于绳方向的速度，如图所示，由图可知＝cos θ，则＜，小车向左运动的过程中θ角减小，增大，B向上做加速运动，故绳的拉力大于B的重力．故选项A、D正确． 题型05：关联速度：杆问题 【典型例题1】如图，直杆OA的O端抵在墙角，A端始终靠在物块右侧的光滑竖直侧壁上，可以沿着侧壁滑动。用外力使物块向左运动时，直杆上的A点会在竖直面内运动，其轨迹为圆，圆心在O点。若当直杆与水平方向夹角为θ时A点的速度大小为v，则该时刻物块的速度大小为（　　） A． B． C．vsinθ D．vcosθ 【解答】解：将A点的速度分解为水平向左和竖直向下的方向，如下图所示： A点的合运动为在A点垂直于杆的方向的运动，该运动由水平向左的分运动和竖直向下的分速度组成，所以该时刻物块的速度大小为＝v sinθ，故C正确，ABD错误。 故选：C。 【典型例题2】如图所示为传动装置的简化示意图，滑块A、B放置在光滑水平面上，滑块均通过铰链和轻杆与球C相连，两杆长相同。A、B、C同时由静止释放、球C始终沿竖直方向运动，当杆与水平方向夹角均为时，球C的速度大小为v，则此时滑块A、B的速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由于轻杆不可伸长和压缩，球C速度沿轻杆方向的分速度与滑块A．B的速度在杆方向的分速度大小相等，则有，解得，故选C。 【典型例题3】如图甲是家用的人字梯，结构简图如图乙所示，该人字梯由两个完全相同的梯子AM、AN通过顶端的铰链（大小不计）连接而成。某次使用完人字梯后需要将其收拢起来，让梯子的底端M、N两点均以恒定的速率v贴着地面向中间滑动，某时刻，梯子AM、AN和竖直方向的夹角均为30°，则此时梯子顶部铰链速度大小为（　　） A．v B．v C．v D．v 【解答】解：梯顶的速度即为绕不动梯脚转动的线速度，又滑动梯子长度不变，则梯顶和梯脚沿梯子方向的速度相同，如图所示 v铰链sinθ＝vsin 由题可知30° 解得v铰链v 故A正确，BCD错误。 故选：A。 【变式训练5-1】如图甲、乙所示，一根长L的轻杆OA，O端用铰链固定于地面，另一端固定着一小球A，图甲中的小球A和图乙中的杆分别贴靠着边长为a和b的立方块，当立方块沿地面向右滑动到图示位置(杆与地面夹角为α)时，速度为v，则甲图中小球的速度大小vA和乙图中小球的速度大小v′A应为(　D　) A．vA＝，v′A＝vsin α B．vA＝，v′A＝vsin α C．vA＝vsin α，v′A＝ D．vA＝，v′A＝sin2 α 【解析】图甲中，杆绕O转动，球A的速度垂直于杆，将速度沿水平和竖直两方向正交分解，则垂直于接触面的水平分速度与立方块的速度相等，如图(a)所示，得sin α＝v，故＝，故B、C错误； 图乙中，杆绕O转动，杆顶端小球的速度v′A 和杆与立方块接触点的速度的方向都垂直于杆，杆上各点的角速度ω相同，则有 ＝.将立方块的速度v沿杆的方向和垂直杆的方向正交分解，如图(b)所示，则杆与立方块接触点的速度应与立方块垂直杆的方向的分速度相等，即＝vsin α，联立以上两式得v′A＝sin2α，故A错误，D正确． 【变式训练5-2】直角侧移门结构可简化成图甲（俯视）。玻璃门的两端滑轮A、B通过一根可自由转动的轻杆连接，滑轮可沿直角导轨自由滑动（滑轮视为质点）。玻璃门的宽度为L=1m。关门时，拉住把手使滑轮A从初始位置由静止开始做加速度为1m/s²的匀加速运动，当A达到乙图位置时，滑轮B的速度大小为（　　） A． B． C．1m/s D． 【答案】A 【详解】拉住把手使滑轮A从初始位置由静止开始做加速度为1m/s²的匀加速运动，当A达到乙图位置时，对A有 解得此时滑轮A的速度大小为 滑轮A与滑轮B沿玻璃门方向的分速度大小相等，则有 解得滑轮B的速度大小为 故选A。 【变式训练5-3】如图所示，一轻杆底端栓接在地面，可绕着地面上的O点自由转动，顶端的A点靠在木箱的侧壁。现向右以速度v匀速挪走木箱，某时刻杆与水平地面夹角为，此时A点的速度大小和方向为（　　） A．，方向垂直于OA向下 B．，方向垂直于OA向下 C．，方向竖直向下 D．，方向竖直向下 【答案】A 【详解】点A绕点O转动，速度方向沿圆弧轨迹切线，即方向垂直于OA向下，将如图分解 则有 解得 方向垂直于OA向下。 故选A。 【变式训练5-4】如图所示，竖直面内有一个半开口的“L”形光滑滑槽，轻杆两端分别连接小球A、B。初始时，轻杆竖直，由于微小的扰动，小球A竖直下滑，小球B水平向右滑动。当轻杆与竖直方向的夹角为60°时，小球A、B的速度大小的比值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将两球相对地面的速度沿杆、垂直杆方向正交分解，两球沿杆方向速度相同，则 故 故选C。 【变式训练5-5】如图甲是智慧工厂里常用的机械手臂，结构简图如图乙所示。机械手臂由金属杆PQ、QO在Q点链接而成，金属杆PQ抓取到工件后，金属杆QO绕O点从竖直位置顺时针匀速转动β角到图示虚线位置，金属杆PQ始终保持水平，则工件在水平方向上（　　） A．一直加速 B．一直减速 C．一直匀速 D．无法判断 【答案】B 【详解】工件与Q点运动状态相同，将Q点的速度v分解，如图所示，水平方向有 增大，减小，所以工件在水平方向速度一直减小 故选B。 【变式训练5-6】如图所示，长为L的直棒一端可绕固定轴O转动，另一端搁在升降平台上，平台以速度v匀速上升，当棒与竖直方向的夹角为α时，棒的角速度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】棒与平台接触点的实际运动即合运动方向是垂直于棒指向左上，如图所示 合速度 沿竖直向上方向上的速度分量等于v，即 所以 故选B。 【变式训练5-7】某款曲柄连杆结构的示意图如图所示。曲轴可绕固定的O点自由转动，连杆两端分别连接曲轴上的A点和活塞上的B点，活塞沿水平方向运动。若某时刻，曲轴上的A 点的线速度大小为3m/s，曲轴OA 和连杆AB垂直且连杆AB与水平方向的夹角为，则此时活塞的速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】OA与AB垂直时，A点的速度沿杆方向，则有 解得此时活塞的速度大小为故选A。 【变式训练5-8】如图所示，一根长直轻杆AB在墙角沿竖直墙与水平地面滑动。当AB杆和墙的夹角为θ时，杆的A端沿墙下滑的速度大小为v1，B端沿地面滑动的速度大小为v2，则v1、v2的关系是( C )6．（2025秋•南京月考）如图所示，两个相同的光滑立方体放在水平面上，在它们之间再放一个顶角为θ的尖劈，已知尖劈的加速度为a，则立方体的加速度为（　　） A． B． C．atanθ D．atan 【解答】解：设经过一段时间t，尖劈下降的距离为h，有，单个立方体移动的距离为x，立方体的加速度ax，则有，根据尖劈和立方体的运动关系可得，解得立方体的加速度为，故ABC错误，D正确。 故选：D。 【变式训练5-9】如图所示，斜劈B的倾角为37°，劈尖顶着竖直墙壁静止于水平地面上，现将一个半径为r的球A放在墙面与斜劈之间，并从图示位置由静止释放，不计一切摩擦，A落地前速度大小为vA，则此时B的速度大小为（　　） A．vA B．vA C．vA D．vA 【答案】B 【详解】A与B的接触点，有沿着斜面向下运动，与水平向右的运动，而其合运动为竖直向下运动，即A的运动，如图所示， 根据矢量合成法则有 解得 故选B。 【变式训练5-10】（多选）甲、乙两光滑小球（均可视为质点）用铰链与轻直杆连接，乙球处于光滑水平地面上，甲球套在光滑的竖直杆上，初始时轻杆竖直，杆长为5m。无初速度释放，使得乙球沿水平地面向右滑动，当乙球距离起点3m时，下列说法正确的是（　　） A．甲、乙两球的速度大小之比为3∶4 B．甲、乙两球的速度大小之比为4∶3 C．甲球即将落地时，乙球的速度与甲球的速度大小相等 D．甲球即将落地时，乙球的速度为0 【答案】AD 【详解】AB．设轻杆与竖直方向的夹角为，则有 将、分别沿杆和垂直于杆的方向进行分解，则有 解得，故A正确，B错误； CD．当甲球即将落地时，即，此时甲球的速度达到最大，而乙球的速度为零，故C错误，D正确。 故选AD。 【变式训练5-11】（多选）如图所示，一根长为L的轻杆，O端用铰链固定，另一端固定着一个小球A，轻杆靠在一个高为h的物块上。若物块与地面摩擦不计，则当物块以速度v向右运动至杆与水平方向夹角为时，物块与轻杆的接触点为B，下列说法正确的是（　　） A．A、B的线速度相同 B．A、B的角速度相同 C．轻杆转动的角速度为 D．小球A的线速度大小为 【答案】BC 【详解】AB．A、B两点都在杆上，所以A、B的角速度相同，根据 可知A、B的线速度大小不相等，故A错误，B正确； CD．此时B点的线速度大小为 则轻杆转动的角速度为 小球A的线速度大小为 故C正确，D错误。 故选BC。 1.（多选）图甲为一种常见的打印机的实物图，打印喷头做轴、轴和轴方向的运动，时，打印喷头从打印平台的中心开始运动（运动范围在平面），在轴方向的位移-时间图像和轴方向的速度-时间图像如图乙、丙所示，下列说法正确的是（　　） A．末喷头的速度大小为 B．喷头运动轨迹可能是图丁中的轨迹 C．末喷头速度方向与轴正方向的夹角为 D．末喷头离打印平台中心的距离为 【答案】BD 【详解】A．由图乙可知，在x轴方向做匀速直线运动，速度大小为 由图丙可知，在y轴方向做匀加速直线运动，加速度大小为 末喷头在y轴的分速度大小为 末喷头的速度大小为，故A错误； B．由以上分析可知，喷头在x轴方向做匀速直线运动，在y轴方向做匀加速直线运动，所以合力沿y轴方向，所以轨迹可能为P，故B正确； C．末喷头沿y轴方向的分速度大小为 设末喷头速度方向与x轴正方向的夹角为，则 解得，故C错误； D．末喷头沿x轴的位移大小为 在y轴方向的位移大小为 所以，末喷头离打印平台中心的距离为，故D正确。 故选BD。 2.在水平路面上骑摩托车的人，遇到一个壕沟，其尺寸如图。摩托车后轮离开地面后失去动力，最终摩托车后轮落到壕沟对面安全通过，认为摩托车在空中运动过程中受到水平向后的恒定风力，忽略空气阻力及其它外界对摩托车的影响。x、y分别表示水平和竖直位移，、分别表示水平和竖直速度，t表示时间，下列描述摩托车运动过程中的图像正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】AC．由题可知，摩托车在水平方向上做匀减速直线运动，AC错误； BD．摩托车在竖直方向上做自由落体运动，B错误，D正确； 故选D。 3.如图所示，四根长度均为L=1m的细杆用铰链连成一个四边形，O点通过铰链固定在墙上。现将B点推至与O点重合，使四根细杆都紧贴墙壁。现拉着B点沿垂直于墙壁的方向做速度为v=2m/s的匀速直线运动。当发现四根细杆恰好构成一个正方形时，图中杆的角速度是（　　） A．1rad/s B． C．2rad/s D． 【答案】D 【详解】由图可知，A点的线速度等于杆的速度，把B点的速度分解到互相垂直的方向，如图所示 有 由 有 解得 故选D。 4.空中一热气球在风力作用下运动，沿水平方向（x轴）、竖直方向（y轴）运动的分运动vx−x、vy−y图像如图所示，则关于热气球的运动和受力说法正确的是（　　） A．合运动为匀变速直线运动 B．合运动为变加速曲线运动 C．所受的合力为恒力 D．所受合力一直减小 【答案】B 【详解】由图像可知，热气球竖直方向做匀速直线运动，水平方向做加速直线运动，由图可知，相等的位移速度增加量相等，平均速度增大，所用的时间减少，根据，所以加速度增大。根据牛顿第二定律可知，热气球受到的合力一直增大，与合速度方向不在同一直线上，做变加速曲线运动。 故选B。 5.如图所示，人在岸上拉绳，开始时绳与水面夹角为，水对船的阻力恒为f。在船匀速靠岸的过程中，下列说法正确的是（　　） A．人拉绳的速度不变 B．人拉绳的速度变大 C．人拉绳的作用力F逐渐变大 D．船受到的浮力逐渐变大 【答案】C 【详解】AB．根据运动的分解可知 在船匀速靠岸的过程中，绳与水面夹角逐渐增大，人拉绳的速度变小，故AB错误； CD．对船受力分析，由平衡条件可知， 解得， 可知人拉绳的作用力F逐渐变大，船受到的浮力逐渐变小，故C正确、D错误。 故选C。 6.平面xOy中某运动物体的 的关系如图所示，则该物体的运动轨迹可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设在任意一段极小的时间内，物体在x、y方向的分位移分别为、，则 由数学知识可知，上式中表示y-x图像上某点切线的斜率，表示图像上某点与原点O连线的斜率。由题图可知，在一个运动周期内，图像上点按顺时针运动时，先从正无穷大逐渐变化至零，然后再从零逐渐变化至负无穷大，而的变化规律应和的变化规律相同。 AB．在一个运动周期内，图像上点的切线斜率先从正无穷大变化至零，然后再变化至负无穷大，之后再变化至零，最后再变化至正无穷大，变化过程与前面分析不符，故AB不符合题意； C．在一个运动周期内，图像上点的切线斜率先从零变化至正无穷大，然后再变化至零，变化过程与前面分析不符，故C不符合题意； D．在一个运动周期内，图像上点的切线斜率先从正无穷大变化至零，然后再变化至负无穷大，变化过程与前面分析相符，故D符合题意。 故选D。 7.侧风着陆是指飞机在机场跑道有侧风的情况下着陆，飞行员必须调整飞行的方向以便使飞机能够沿着跑道的中心线下降，已知客机在无风情况下的速度为252km/h，在某次着陆过程中，塔台向机长报告：“机场附近空域存在5级风，风速10m/s，风向自西向东”，如图所示，欲使飞机能够沿着这条南北方向的跑道中心线着陆，下列说法中正确的是（　　） A．飞机接近机场的速度大小为70m/s B．飞机接近机场的速度大小为m/s C．飞机机头与正北方向夹角对应正切值为 D．着陆过程中，风速增大时飞机着陆速度将增大 【答案】B 【详解】A．飞机无风时的速度 风速方向自西向东，大小 飞机需沿南北方向的跑道中心线着陆，所以飞机的合速度方向为南北方向。需调整方向，抵消风速的东西分量，根据勾股定理计算，A错误，B正确； C．设飞机机头与正北方向的夹角为，飞机沿东西方向的分速度需抵消风速，即 沿南北方向的分速度为，即合速度大小。由 得 可得，C错误； D．飞机着陆速度是合速度，大小为 当风速增大时，的数值会减小，D错误。 故选B。 1 学科网（北京）股份有限公司 $