精品解析：江苏苏州工业园区星海实验高级中学2025-2026学年高一年级期中调研测试一数学试题

2025级高一年级期中调研测试一 高一数学 命题人：吴荣正，审核人：王娜，2026.4 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 9 2. 已知平面向量，，满足，，，则与的夹角为( ) A. B. C. D. 3. 设 ，是向量，则“”是“或”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若函数的图象上相邻的两个最小值点都在抛物线上,则的值等于(　　) A. 2 B. C. 1 D. 5. 在矩形中，，，，点F在边上.若，则（ ） A. B. C. D. 6. 记的内角的对边分别为，若，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知的内角，，满足，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知梯形中，，，点为边上的动点，若，则的范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分． 9. 已知，则下列说法中正确的是（ ）． A. 函数的最小正周期为 B. 函数在上单调递减 C. 是函数图象的一个对称中心 D. 函数的图象可以由函数图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到 10. 已知为坐标原点，点，，，，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数在区间上有且仅有两个不同的零点，则（ ） A. 在区间上有两条对称轴 B. 的取值范围是 C. 在区间上单调递增 D. 若，则或 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知角满足，则________． 13. 已知函数在内恰有2个最小值点，则的取值范围是______. 14. 已知O为的外心，若，则实数m的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知． （1）若，求的坐标； （2）若，求与的夹角． 16. 记的内角的对边分别为，已知． （1）证明：； （2）若，求的周长． 17. 某医院发热门诊改造，如图，原发热门诊是区域，可利用部分为扇形区域，，米，米，区域为三角形，区域为以为半径的扇形，且. （1）若需在区域外轮廓设置隔离带，求隔离带的总长度; （2）在区域中，设置矩形区域作为便民门诊，求便民门诊面积最大值. 18. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）若，求B； （2）求的最小值． 19. 设是单位圆上不同的两个定点，点为圆心，点是单位圆上的动点，点满足（为锐角）线段交于点（不包括），点在射线上运动且在圆外，过作圆的两条切线． （1）求的范围 （2）求的最小值， （3）若，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025级高一年级期中调研测试一 高一数学 命题人：吴荣正，审核人：王娜，2026.4 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的坐标表示求解即可. 【详解】由，， 所以. 故选：A. 2. 已知平面向量，，满足，，，则与的夹角为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据可得，两边平方即可根据向量数量积运算方法求出与的夹角的余弦，从而求出与的夹角． 【详解】 ， ，． 故选：A． 3. 设 ，是向量，则“”是“或”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量数量积分析可知等价于，结合充分、必要条件分析判断. 【详解】因为，可得，即， 可知等价于， 若或，可得，即，可知必要性成立； 若，即，无法得出或， 例如，满足，但且，可知充分性不成立； 综上所述，“”是“或”的必要不充分条件. 故选：B. 4. 若函数的图象上相邻的两个最小值点都在抛物线上,则的值等于(　　) A. 2 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象上相邻的两个最小值点在抛物线上可得两个最小值点的坐标，代入抛物线的解析式可得 【详解】由题意得，函数的周期为． ∵抛物线关于y轴对称， ∴函数的图象上有相邻的两个最小值点在抛物线上，这两点只能是和， 将点代入抛物线可得，∴，又，∴． 故选：B 5. 在矩形中，，，，点F在边上.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由点F在边上，可设，.根据可求得的值，用和表示出和，结合数量积的运算律即可求解. 【详解】 ∵点F在边上，∴设，. ∵，∴，∴. ∵，∴. 故选：B. 6. 记的内角的对边分别为，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理得，再利用余弦定理有，由正弦定理得到的值，最后代入计算即可. 【详解】因为，则由正弦定理得. 由余弦定理可得:， 即:，根据正弦定理得， 所以， 因为为三角形内角，则，则. 故选：C. 7. 已知的内角，，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由代入化简得，再构造齐次分式根据商数关系计算即可. 【详解】因为，得， 所以， 因为，所以， 即， 因为，，是的内角，所以，得，， 所以. 故选：D. 8. 已知梯形中，，，点为边上的动点，若，则的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，应用向量的夹角公式计算最后结合值域求解． 【详解】以的中点为原点，如图所示建立平面直角坐标系，则 ，， 设，则，， ， 令，则， ，可得. 故选：D． 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分． 9. 已知，则下列说法中正确的是（ ）． A. 函数的最小正周期为 B. 函数在上单调递减 C. 是函数图象的一个对称中心 D. 函数的图象可以由函数图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到 【答案】AB 【解析】 【分析】化简函数，根据三角函数的性质判断选项. 【详解】 ， ，选项A正确； ，令，在单调递减， 所以在上单调递减，选项B正确； ，所以函数图象的对称中心为， 选项C错误； 函数图象上各点的横坐标不变， 纵坐标伸长为原来的2倍得到，选项D错误. 10. 已知为坐标原点，点，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】A、B写出，、，的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误. 【详解】A：，，所以，，故，正确； B：，，所以，同理，故不一定相等，错误； C：由题意得：，，正确； D：由题意得：， ，故一般来说故错误； 故选：AC 11. 已知函数在区间上有且仅有两个不同的零点，则（ ） A. 在区间上有两条对称轴 B. 的取值范围是 C. 在区间上单调递增 D. 若，则或 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题设令，有在上有且仅有两个不同的零点，结合正弦函数性质求得，再由各项描述逐项判断各项正误. 【详解】对于B，令，因为，且，所以， 即在区间上有且仅有两个不同的零点， 所以，得，故B正确； 对于A，当时，，此时只有一条对称轴， 即在上可能只有一条对称轴，故A错误； 对于C，当时，，且， 所以，所以在区间上单调递增，故C正确； 对于D，由，即，又， 所以或，可得或，故D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知角满足，则________． 【答案】 【解析】 【详解】, . 13. 已知函数在内恰有2个最小值点，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】计算得到，得到，和，计算得到答案. 【详解】，则， 故，且故 故，要有2个最小值点，故， 解得 综上所述： 故答案为： 【点睛】本题考查了三角函数的参数范围问题，确定包含周期的个数是解题的关键. 14. 已知O为的外心，若，则实数m的最大值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用向量数量积的几何意义，将已知条件化简整理为，结合正弦定理、三角形内角性质、三角恒等变换得到，进而有，应用基本不等式求最值，注意取等条件. 【详解】如图，过点作于点,因点是的外心，则. 则，同理 故由可得： ， 令外接圆半径，，由正弦定理，得， 所以，， 所以，而， 所以， 所以， 由，可得，则， 当且仅当时取等号，故， 所以实数m的最大值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知． （1）若，求的坐标； （2）若，求与的夹角． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）设，结合向量的模长公式求解即可； （2）根据垂直向量数量积为0，结合向量的夹角公式求解即可. 【小问1详解】 因为，设，则，解得． 因此或． 【小问2详解】 由已知可得，因为， 则，可得， ． 16. 记的内角的对边分别为，已知． （1）证明：； （2）若，求的周长． 【答案】（1）见解析 （2）14 【解析】 【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证； （2）根据（1）的结论结合余弦定理求出，从而可求得，即可得解. 【小问1详解】 证明：因为， 所以， 所以， 即， 所以； 【小问2详解】 解：因为， 由（1）得， 由余弦定理可得， 则， 所以， 故， 所以， 所以的周长为. 17. 某医院发热门诊改造，如图，原发热门诊是区域，可利用部分为扇形区域，，米，米，区域为三角形，区域为以为半径的扇形，且. （1）若需在区域外轮廓设置隔离带，求隔离带的总长度; （2）在区域中，设置矩形区域作为便民门诊，求便民门诊面积最大值. 【答案】（1）（米） （2）（平方米） 【解析】 【分析】（1）根据已知求得，再利用弧长公式求出弧的长即可求解； （2）连接，设，结合已知条件分别求出的值，表示出矩形的面积，化简后利用正弦函数的性质即可求出最大值. 【小问1详解】 因为，，， 所以， 则， 所以弧的长为， 所以隔离带的总长度为（米）. 【小问2详解】 连接，如图: 设， 因为，所以， 因为，所以， 所以， 所以 ， 因为， 所以， 当即时取得最大值. 所以便民门诊面积最大值为（平方米）. 18. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）若，求B； （2）求的最小值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）方法一：直接根据待求表达式变形处理，方法二：先二倍角公式处理等式右边，在变形，方法三：根据诱导公式可将题干同构处理，结合导数判断单调性，推知即可求解，方法四：根据半角公式和两角差的正切公式化简后求解. （2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式将化成，然后利用基本不等式即可解出． 【小问1详解】 方法一：直接法 可得， 则，即， 注意到，于是， 展开可得，则， 又，. 方法二：二倍角公式处理+直接法 因为， 即， 而，所以； 方法三：导数同构法 根据可知，， 设，， 则在上单调递减，， 故，结合，解得. 方法四：恒等变换化简 ， 结合正切函数的单调性，，则， 结合，解得. 【小问2详解】 由（1）知，，所以， 而， 所以，即有，所以 所以由正弦定理得 ． 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 19. 设是单位圆上不同的两个定点，点为圆心，点是单位圆上的动点，点满足（为锐角）线段交于点（不包括），点在射线上运动且在圆外，过作圆的两条切线． （1）求的范围 （2）求的最小值， （3）若，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）解法主要是将所给条件通过数量积运算实数化进而通过实数运算结合基本不等式求解即可；解法将向量问题坐标化，进而通过实数运算结合不等式求解即可. （2）解法将向量通过模的运算及数量积公式实数化，进而转为实数运算，结合不等式解出答案；解法通过坐标法和数量积运算将问题转化为实数运算问题，结合不等式求解即可；解法主要是根据题意设参数，再根据数量积运算结合三角函数、不等式求最值. （3）解法1主要是通过平面向量基本定理选择基底表示向量，再设参数结合不等式求解；解法通过坐标法将问题实数化，进而求出参数最值；解法设参数两个参数，由向量相等得出它们的三角表示，再由三角函数性质结合不等式求解即可. 【小问1详解】 ， ， 为锐角，， 解法一： . 取的中点为，， . 解法二：以为原点，以为轴，建立直角坐标系， ， ， ，， ， . 故小问1答案为：. 【小问2详解】 解法一：由题意知： ， ， ， 当且仅当时，等号成立，的最小值为． 解法二：由题意知： 以为原点，以为轴，建立直角坐标系设点，则， ， ， 当且仅当时，等号成立，的最小值为． 解法三： 设， ， 当且仅当时，等号成立，的最小值为． 故小问答案为： 【小问3详解】 解法一：由题意知： 令，则原式 当且仅当即，等号成立，的最小值为 解法二：由题意知： 以为原点，以为轴，建立直角坐标系 三点共线 ， ， ， ， ， . 解法三：由题意知： ， ， ， 下同解法二. 故小问答案为：. 【点睛】方法点睛：建立直角坐标系，将向量问题坐标化进而通过实数运算求解即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $