离散型随机变量的数学期望、离散型随机变量的方差 专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

离散型随机变量的数学期望、离散型随机变量的方差专项训练 离散型随机变量的数学期望、离散型随机变量的方差专项训练 考点目录 离散型随机变量的分布列 离散型随机变量的数学期望 考点一 离散型随机变量的数学期望 例1．（25-26高三上·湖北黄冈·期中）某学校心理咨询老师为了对一份心理健康测试卷进行评估，安排了一个实验组参与测试，实验组由已经确诊为心理异常的青少年患者和心理健康的青少年组成，其中心理异常者占10%.测试结果显示，确诊心理异常的测试者中有80%的测试卷诊断呈阳性；另一方面，心理健康的测试者中有10%的测试卷诊断也呈阳性. (1)从测试卷中随机抽取一份，在该测试卷诊断结果为阴性的条件下，测试者为心理异常的概率是多少? (2)如果参与本次测试的实验组总人数为100人，那么其中确诊为心理异常者的测试卷中有若干份被误诊为阴性，在此称之为漏诊卷.专家们要对这几份漏诊卷作进一步的分析.现在采取不放回的方式从这10份确诊为心理异常者的测试卷中每次随机抽取一份，直到把所有漏诊卷找出来.若已经抽取的5份测试卷均不是漏诊卷，设还需要抽取份才可以找出所有漏诊卷，写出的分布列并计算. 例2．（24-25高三上·云南大理·开学考试）一个不透明的口袋中装有3个红球、2个黄球和2个绿球，这些球除颜色外其他完全相同，现从这个口袋中一次性地摸出3个球. (1)求摸出的红球个数比黄球个数多的概率； (2)记摸出的球的颜色种类为，求的分布列与期望. 例3．（25-26高二上·陕西渭南·期末）某商场举行抽奖促销活动，顾客购物金额每满200元可抽奖一次（抽奖次数可以叠加），抽奖规则如下：每次抽奖从装有6个白球、3个黄球、1个红球的箱子中随机摸出1个球，记下颜色后放回，摸出白球无奖励，摸出1个黄球可获得奖金20元，摸出1个红球可获得奖金40元.多次抽奖的奖金可以叠加. (1)求抽奖一次就获得奖金的概率； (2)若甲的购物金额为510元，且参与抽奖，求甲获得的奖金总额为40元的概率； (3)若乙的购物金额为605元，且参与抽奖，在乙每次抽奖都获得奖金的情况下，乙的奖金总额为元，求的分布列与期望. 变式1．（25-26高二上·北京昌平·期末）某学生参加研学活动，需依次前往3个打卡点，且每个打卡点遇到排队的概率均为，若遇到排队，则每次排队均需额外耗时20分钟．假设在各打卡点是否遇到排队相互独立． (1)求该生首次遇到排队发生在第3个打卡点的概率； (2)设该生在上述3个打卡点排队的额外总耗时为（单位：分钟），求的分布列及数学期望. 变式2．（25-26高三上·云南昆明·月考）云南省城市足球联赛，简称“滇超联赛”，覆盖全省16个州（市），于2025年11月29日开赛．赛事的第一阶段又称为积分赛阶段，16支球队进行15轮比赛，即每支球队与其他15支球队各对阵一场，第一阶段积分前八的球队方能进入第二阶段．其积分规则：常规时间90分钟内获胜的球队积3分，负者积0分；若常规时间战平，点球大战胜者积2分，负者积0分．假设某个球队甲，对其他所有球队常规时间取胜的概率均为，战平的概率均为，若进入点球大战则取胜的概率均为，且每场比赛相互独立． (1)求甲球队在接下来的三场比赛中恰有两场获胜的概率； (2)设X为甲球队在接下来的两场比赛中的积分，求X的分布列与期望． 变式3．（25-26高二下·福建厦门·月考）2025年端午期间，某百货公司举办了一次有奖促销活动，顾客消费满600元（含600元）可抽奖一次，抽奖方案有两种（只能选择其中的一种）. 方案一：从装有10个形状､大小完全相同的小球（其中红球2个，黑球8个）的抽奖盒中，有放回摸出3个球，每摸到1次红球，立减200元. 方案二：从装有10个形状，大小完全相同的小球（其中红球2个，白球1个，黑球7个）的抽奖盒中，不放回摸出3个球，中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球则打5折；若摸出1个红球，1个白球和1个黑球，则打7.5折；其余情况不打折. (1)某顾客恰好消费600元，选择抽奖方案一，求他实付金额的分布列和期望； (2)若顾客消费1000元，试从实付金额的期望值分析顾客选择何种抽奖方案更合理？ 考点二 离散型随机变量的数学期望 例1．（25-26高二下·福建厦门·月考）某班级联欢会设置抽奖环节，在一个不透明的盒子中装有9个大小相同的小球，其中6个红球，3个白球．规定：每位同学从中一次性随机摸出3个球． (1)求某位同学摸出的红球个数多于白球个数的概率； (2)设随机变量表示该同学摸出的3个球中白球的个数，求的分布列； (3)求（2）中X的均值与方差． 例2．（25-26高二上·上海普陀·期末）为激发学习数学的兴趣，高二年级举行数学知识竞赛，赛制规定：共进行5轮比赛，每轮比赛每个班可以从、两个题库中任选1题作答，在前两轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，后三轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，题库每题20分，题库每题30分，一班能正确回答、题库每题的概率分别为、，且每轮答题结果互不影响. (1)若一班前两轮选题库，后三轮选题库，求其总分不少于100分的概率； (2)若一班在前两轮比赛中选了题库，而且两轮得分60分，后三轮换成题库，设一班最后的总分为，求的分布､期望及方差. 例3．（25-26高二上·江西南昌·期末）DeepSeek是北京一家人工智能技术研究公司推出的AI助手．它能进行逻辑推理、解决复杂问题，实现多模态数据融合与学习．某科技公司在使用DeepSeek对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为；如果出现语法错误，它回答正确的概率为．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为，且每次输入问题，DeepSeek的回答是否正确相互独立．该公司科技人员小张想挑战DeepSeek，小张和DeepSeek各自从给定的10个问题中随机抽取9个作答．已知在这10个问题中，小张能正确作答其中的9个． (1)求小张能全部回答正确的概率； (2)求一个问题能被DeepSeek回答正确的概率； (3)设小张答对的题数为，求的分布列，并求出的期望和方差． 变式1．（24-25高二下·福建福州·期中）某同学买了7个盲盒，每个盲盒中都有一个礼物，有4个装小兔和3个装小狗，依次不放回地从中取出2个盲盒． (1)求第1次、第2次取到的都是小兔盲盒的概率； (2)求第2次取到的是小狗盲盒的概率； (3)若随机变量表示取到小狗的盲盒数，求的分布列，数学期望及方差． 变式2．（24-25高二下·天津滨海新区·期中）袋中有大小、质地都相同的6个球，其中有4个黑球，2个白球. (1)若从袋中任取3球， （i）其中有白球的概率； （ii）设3个球中黑球的个数为X，求X的分布列、期望和方差 (2)若从袋中有放回的抽取2次，每次取1球，取到黑球的个数为Y，求Y的分布列 变式3．（24-25高二下·安徽池州·期中）甲、乙两人轮流射击，每人每次射击一次，先射中者获胜，射击进行到有人获胜或每人都已射击3次时结束.设甲每次射击命中的概率为，乙每次射击命中的概率为，且每次射击互不影响，约定由甲先射击. (1)求甲获胜的概率； (2)求射击结束时甲的射击次数X的分布列、均值和方差. 2 学科网（北京）股份有限公司 $离散型随机变量的数学期望、离散型随机变量的方差专项训练 离散型随机变量的数学期望、离散型随机变量的方差专项训练 考点目录 离散型随机变量的分布列 离散型随机变量的数学期望 考点一 离散型随机变量的数学期望 例1．（25-26高三上·湖北黄冈·期中）某学校心理咨询老师为了对一份心理健康测试卷进行评估，安排了一个实验组参与测试，实验组由已经确诊为心理异常的青少年患者和心理健康的青少年组成，其中心理异常者占10%.测试结果显示，确诊心理异常的测试者中有80%的测试卷诊断呈阳性；另一方面，心理健康的测试者中有10%的测试卷诊断也呈阳性. (1)从测试卷中随机抽取一份，在该测试卷诊断结果为阴性的条件下，测试者为心理异常的概率是多少? (2)如果参与本次测试的实验组总人数为100人，那么其中确诊为心理异常者的测试卷中有若干份被误诊为阴性，在此称之为漏诊卷.专家们要对这几份漏诊卷作进一步的分析.现在采取不放回的方式从这10份确诊为心理异常者的测试卷中每次随机抽取一份，直到把所有漏诊卷找出来.若已经抽取的5份测试卷均不是漏诊卷，设还需要抽取份才可以找出所有漏诊卷，写出的分布列并计算. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用条件概率以及全概率公式直接代入计算可得结果； （2）计算出样本中漏诊卷为2份，并根据剩余试卷中的漏诊份数写出的所有可能取值，求出对应概率即可得出分布列和期望值. 【详解】（1）依题意记“确诊为心理异常”为事件，则“确诊为心理健康”为； “测试卷诊断结果为阳性”为事件，“测试卷诊断结果为阴性”为事件， 易知； 所以，可得； 在该测试卷诊断结果为阴性的条件下，测试者为心理异常的概率是； 所以， 因此在该测试卷诊断结果为阴性的条件下，测试者为心理异常的概率为； （2）由实验组总人数为100人，心理异常者占10%可得心理异常者共10人， 又确诊心理异常的测试者中有80%的测试卷诊断呈阳性，所以诊断卷为阳性的共8人，阴性的2人，即漏诊卷为2份， 若已经抽取的5份测试卷均不是漏诊卷，则剩下的5份测试卷中还有2份漏诊卷， 设还需要抽取份才可以找出所有漏诊卷，则的所有可能取值为2,3,4； 可得； ； ； 则的分布列为 所以 例2．（24-25高三上·云南大理·开学考试）一个不透明的口袋中装有3个红球、2个黄球和2个绿球，这些球除颜色外其他完全相同，现从这个口袋中一次性地摸出3个球. (1)求摸出的红球个数比黄球个数多的概率； (2)记摸出的球的颜色种类为，求的分布列与期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据互斥事件的概率加法公式和古典概率公式计算即可； （2）确定的所有可能取值为1，2，3，分别求出对应事件的概率，列出分布列，求出数学期望即可. 【详解】（1）由摸出的红球个数比黄球个数多，可知摸出的球可能为3个红球，可能为2个红球和1个黄球（或1个绿球），可能为1个红球和2个绿球， 其中摸出3个红球的概率为， 摸出2个红球和1个黄球（或1个绿球）的概率为， 摸出1个红球和2个绿球的概率为， 故摸出的红球个数比黄球个数多的概率为. （2）由题可知，的所有可能取值为1，2，3， ，，， 则的分布列为 1 2 3 故. 例3．（25-26高二上·陕西渭南·期末）某商场举行抽奖促销活动，顾客购物金额每满200元可抽奖一次（抽奖次数可以叠加），抽奖规则如下：每次抽奖从装有6个白球、3个黄球、1个红球的箱子中随机摸出1个球，记下颜色后放回，摸出白球无奖励，摸出1个黄球可获得奖金20元，摸出1个红球可获得奖金40元.多次抽奖的奖金可以叠加. (1)求抽奖一次就获得奖金的概率； (2)若甲的购物金额为510元，且参与抽奖，求甲获得的奖金总额为40元的概率； (3)若乙的购物金额为605元，且参与抽奖，在乙每次抽奖都获得奖金的情况下，乙的奖金总额为元，求的分布列与期望. 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析，期望为75. 【分析】（1）根据已知条件抽奖一次就获得奖金的概率是摸出1个黄球的概率与摸出1个红球的概率之和. （2）甲获得的奖金总额为40元的情况有：甲两次摸出一个黄球以及甲只有一次摸出1个红球，进而可得到结果. （3）在乙每次抽奖都获得奖金的情况下，乙的奖金总额为元，那么的可能取值为. 然后求出对应的概率，进而得到分布列和期望. 【详解】（1）由题意可知，抽奖一次就获得奖金的概率为 . （2）因为甲的购物金额为510元，且参与抽奖，所以甲可以抽奖2次. 甲获得的奖金总额为40元的情况有：甲两次摸出一个黄球以及甲只有一次摸出1个红球. 所以甲获得的奖金总额为40元的概率为. （3）因为乙的购物金额为605元，且参与抽奖，所以乙可抽奖3次. 在乙每次抽奖都获得奖金的情况下，乙的奖金总额为元，那么的可能取值为. 所以. . . . 所以的分布列为： 60 80 100 120 所以. 变式1．（25-26高二上·北京昌平·期末）某学生参加研学活动，需依次前往3个打卡点，且每个打卡点遇到排队的概率均为，若遇到排队，则每次排队均需额外耗时20分钟．假设在各打卡点是否遇到排队相互独立． (1)求该生首次遇到排队发生在第3个打卡点的概率； (2)设该生在上述3个打卡点排队的额外总耗时为（单位：分钟），求的分布列及数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析，15 【分析】（1）先确定事件：这名学生在第一和第二个打卡点没有遇到排队，在第三个打卡点遇到排队，再根据独立事件概率公式求概率； （2）先确定随机变量的取值，再依次求对应概率，列表可得分布列，最后根据数学期望公式求期望. 【详解】（1）设这名学生首次遇到排队发生在第3个打卡点的事件为， 因为事件等于事件“这名学生在第一和第二个打卡点没有遇到排队，在第三个打卡点遇到排队”， 所以. （2）的所有可能取值为0，20，40， 60,(单位:分)， ，, ，， 故的分布列为： 所以. 变式2．（25-26高三上·云南昆明·月考）云南省城市足球联赛，简称“滇超联赛”，覆盖全省16个州（市），于2025年11月29日开赛．赛事的第一阶段又称为积分赛阶段，16支球队进行15轮比赛，即每支球队与其他15支球队各对阵一场，第一阶段积分前八的球队方能进入第二阶段．其积分规则：常规时间90分钟内获胜的球队积3分，负者积0分；若常规时间战平，点球大战胜者积2分，负者积0分．假设某个球队甲，对其他所有球队常规时间取胜的概率均为，战平的概率均为，若进入点球大战则取胜的概率均为，且每场比赛相互独立． (1)求甲球队在接下来的三场比赛中恰有两场获胜的概率； (2)设X为甲球队在接下来的两场比赛中的积分，求X的分布列与期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析；期望为 【分析】（1）根据题意，甲单场获胜分为直接获胜和常规时间战平后点球获胜，分别求得其概率，结合互斥事件概率的加法公式，求得单场获胜的概率，再利用重复试验的概率公式，即可求解； （2）先求得甲单场比赛积分分别为3分，2分和0分的概率，根据题意，得到变量的可能取值为，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解. 【详解】（1）解：根据题意，甲单场获胜包含两种情况： ①直接获胜，其概率为； ②常规时间战平后点球获胜，其概率为， 所以甲单场获胜的概率为， 则三场比赛恰有两场获胜的概率为. （2）解：甲单场比赛的积分有3种情况： 单场比赛积3分，其概率为；单场比赛积2分，其概率为； 单场比赛积0分，其概率为， 设为甲球队在接下来的两场比赛中的积分，则的可能取值为， 可得，， ，， ，， 所以随机变量分布列为： 0 2 3 4 5 6 则期望为. 变式3．（25-26高二下·福建厦门·月考）2025年端午期间，某百货公司举办了一次有奖促销活动，顾客消费满600元（含600元）可抽奖一次，抽奖方案有两种（只能选择其中的一种）. 方案一：从装有10个形状､大小完全相同的小球（其中红球2个，黑球8个）的抽奖盒中，有放回摸出3个球，每摸到1次红球，立减200元. 方案二：从装有10个形状，大小完全相同的小球（其中红球2个，白球1个，黑球7个）的抽奖盒中，不放回摸出3个球，中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球则打5折；若摸出1个红球，1个白球和1个黑球，则打7.5折；其余情况不打折. (1)某顾客恰好消费600元，选择抽奖方案一，求他实付金额的分布列和期望； (2)若顾客消费1000元，试从实付金额的期望值分析顾客选择何种抽奖方案更合理？ 【答案】(1)分布列为： 0 200 400 600 (2)方案一 【详解】（1）设实付金额为元 顾客消费600元，方案一为有放回摸出3个球，每摸到1次红球，立减200元. 摸到红球的次数可能为0，1，2，3次，对应实付金额的取值为： 摸到0次红球：元，摸到1次红球：元， 摸到2次红球：元，摸到3次红球：元， 的可能取值为0，200，400，600. 有放回摸球，红球2个，黑球8个 每次摸到红球的概率为，摸到黑球的概率为 ， ， 故的分布列为 0 200 400 600 (元). （2）(1)若选择方案一，设摸到红球的个数为，实付金额为，则 由已知可得，则 (元). (2)若选择方案二，设实付金额为，则的可能取值为0，500，750，1000. ， ， 故的分布列为 0 500 750 1000 (元). ， 从实付金额的期望值分析顾客选择方案一更合理 考点二 离散型随机变量的数学期望 例1．（25-26高二下·福建厦门·月考）某班级联欢会设置抽奖环节，在一个不透明的盒子中装有9个大小相同的小球，其中6个红球，3个白球．规定：每位同学从中一次性随机摸出3个球． (1)求某位同学摸出的红球个数多于白球个数的概率； (2)设随机变量表示该同学摸出的3个球中白球的个数，求的分布列； (3)求（2）中X的均值与方差． 【答案】(1)； (2)分布列见解析； (3)， 【分析】（1）先求出总的情况，再求出红球个数多于白球个数的情况，即可得答案; （2）由题意可得，求出每一种情况所对应的概率，即可列出分布列; （3）根据均值公式、方差公式求解即可. 【详解】（1）从9个球中摸出3个球，共有种， 其中红球个数多于白球个数的情况有：3红0白，2红1白两种情况， 所以一共有种可能， 所以摸出的红球个数多于白球个数的概率为 （2）由题意可得， 且，， ，， 所以的分布列如下： 0 1 2 3 （3）由题意可得， 例2．（25-26高二上·上海普陀·期末）为激发学习数学的兴趣，高二年级举行数学知识竞赛，赛制规定：共进行5轮比赛，每轮比赛每个班可以从、两个题库中任选1题作答，在前两轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，后三轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，题库每题20分，题库每题30分，一班能正确回答、题库每题的概率分别为、，且每轮答题结果互不影响. (1)若一班前两轮选题库，后三轮选题库，求其总分不少于100分的概率； (2)若一班在前两轮比赛中选了题库，而且两轮得分60分，后三轮换成题库，设一班最后的总分为，求的分布､期望及方差. 【答案】(1) (2)分布列见解析，， 【分析】（1）由概率的乘法公式与加法公式求解； （2）随机变量的可能取值为，，，，求出相应的概率，即可求出分布列、期望与方差. 【详解】（1）由条件知，若一班在前两轮得分，后三轮得分，总分为分， 其概率为， 若一班在前两轮得分，后三轮得分或分，总分为或分， 其概率为， 于是一班总分不少于分的概率为 . （2）依题意随机变量的可能取值为，，，， 所以，， ，． 所以的分布列为： 60 80 100 120 所以， . 例3．（25-26高二上·江西南昌·期末）DeepSeek是北京一家人工智能技术研究公司推出的AI助手．它能进行逻辑推理、解决复杂问题，实现多模态数据融合与学习．某科技公司在使用DeepSeek对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为；如果出现语法错误，它回答正确的概率为．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为，且每次输入问题，DeepSeek的回答是否正确相互独立．该公司科技人员小张想挑战DeepSeek，小张和DeepSeek各自从给定的10个问题中随机抽取9个作答．已知在这10个问题中，小张能正确作答其中的9个． (1)求小张能全部回答正确的概率； (2)求一个问题能被DeepSeek回答正确的概率； (3)设小张答对的题数为，求的分布列，并求出的期望和方差． 【答案】(1) (2)0.9 (3)答案见解析 【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算可得； （2）设事件表示“输入的问题没有语法错误”，事件表示“一个问题能被DeepSeek正确回答”，将所求事件表示为，再利用全概率公式计算可得； （3）X的可能取值是，求出所对应的概率，即可求出分布列、期望和方差． 【详解】（1）由题意，小张能全部回答正确当且仅当抽到的9个问题均来自他能正确回答的9个问题. 则由古典概型的概率公式可得， 小张能全部回答正确的概率， 故小张能全部回答正确的概率为； （2）设事件表示“输入的问题没有语法错误”，事件表示“一个问题能被DeepSeek正确回答”， 则，且事件与互斥， 由题意知， 则， 由全概率公式可得， ． 故一个问题能被DeepSeek回答正确的概率为； （3）已知小张答对的题数为X，则X的可能取值是， 且， 所以X的分布列为： 8 9 则， . 故的期望为，方差为. 变式1．（24-25高二下·福建福州·期中）某同学买了7个盲盒，每个盲盒中都有一个礼物，有4个装小兔和3个装小狗，依次不放回地从中取出2个盲盒． (1)求第1次、第2次取到的都是小兔盲盒的概率； (2)求第2次取到的是小狗盲盒的概率； (3)若随机变量表示取到小狗的盲盒数，求的分布列，数学期望及方差． 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析，， 【分析】（1）设事件“第次取到的是小兔盲盒”，，求出，，再根据条件概率的概率公式计算可得； （2）设事件“第次取到的是小狗盲盒”，，求出，，，再根据全概率的概率公式计算可得； （3）列出随机变量的所有可能的值，求出对应的概率，可得分布列，并求期望与方差. 【详解】（1）设事件“第次取到的是小兔盲盒”，， 因为，， 所以， 即第次、第次取到的都是小兔盲盒的概率为. （2）设事件“第次取到的是小狗盲盒”，， 因为，，， 所以由全概率公式，可知第次取到的是小狗盲盒的概率为 ； （3）由题意可取，，， 所以，，. 所以的分布列为： 0 1 2 则，. 变式2．（24-25高二下·天津滨海新区·期中）袋中有大小、质地都相同的6个球，其中有4个黑球，2个白球. (1)若从袋中任取3球， （i）其中有白球的概率； （ii）设3个球中黑球的个数为X，求X的分布列、期望和方差 (2)若从袋中有放回的抽取2次，每次取1球，取到黑球的个数为Y，求Y的分布列 【答案】(1)（i）；（ii）分布列见解析，期望为2，方差为 (2)分布列见解析 【分析】（1）（i）先求出从袋中任取3球，共有情况数，并得到有白球的情况数，求出概率； （ii）X的可能取值为1,2,3，并得到相应的概率，得到分布列，利用期望和方差公式求出答案； （2）的可能取值为0,1,2，并得到相应的概率，得到分布列. 【详解】（1）（i）从袋中任取3球，共有种情况， 其中全为黑球的情况为种情况，故有白球的情况为种， 故有白球的概率为； （ii）X的可能取值为1,2,3， ，即任取3球，有1个黑球，2个白球，故， ，即任取3球，有2个黑球，1个白球，故， ，即任取3球，有3个黑球，0个白球，故， 所以X的分布列如下： 1 2 3 期望为， 方差为. （2）若从袋中有放回的抽取2次，每次取1球，取到黑球的概率为， 取到黑球的个数的可能取值为0,1,2， 则，， ， 故的分布列为 0 1 2 变式3．（24-25高二下·安徽池州·期中）甲、乙两人轮流射击，每人每次射击一次，先射中者获胜，射击进行到有人获胜或每人都已射击3次时结束.设甲每次射击命中的概率为，乙每次射击命中的概率为，且每次射击互不影响，约定由甲先射击. (1)求甲获胜的概率； (2)求射击结束时甲的射击次数X的分布列、均值和方差. 【答案】(1) (2)分布列见解析，均值为，方差为 【分析】（1）利用相互独立事件的乘法公式来求概率即可； （2）先求随机变量分布列，再根据公式求期望和方差即可. 【详解】（1）记甲第次射中并获胜为，则彼此互斥， 记事件B表示甲获胜，则 . （2）的所有可能的取值为1，2，3， 则 所以的分布列为： X 1 2 3 p 所以的均值为：， 所以的方差为： . 2 学科网（北京）股份有限公司 $