离散型随机变量的分布列、数学期望与方差专项训练-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

随机变量及其分布：离散型随机变量的分布列、数学期望与方差专项训练 随机变量及其分布：离散型随机变量的分布列、数学期望与方差专项训练 考点一 离散型随机变量的分布列 1．（24-25高二下·重庆·阶段练习）设离散型随机变量服从两点分布，其分布列如下表，则（ ） 0 1 A． B． C． D． 2．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）设离散型随机变量的分布列如表，若随机变量，则（    ） X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 3．（24-25高二下·河北邢台·阶段练习）已知随机变量X的分布列为，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·江苏泰州·期末）已知随机变量的取值为1，2，3，若，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·广东广州·阶段练习·多选）已知随机变量的分布列为，其中是常数，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·陕西西安·阶段练习）已知随机变量服从两点分布，且，则实数的值为 . 7．（24-25高二下·安徽·阶段练习）若随机变量的分布列为，则 ． 8．（24-25高二下·江苏连云港·阶段练习）若随机变量X的分布列如下表所示，则的最小值为 ． X 0 1 2 3 P a b 9．（24-25高二下·山东青岛·期中）甲和乙两个箱子各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有8个红球、2个白球． (1)从甲箱中随机摸出3个球，求这3个球中恰有2个红球的概率； (2)先从甲箱中随机摸出1个球，再从乙箱中随机摸出1个球，求这两次摸出的球中红球个数的分布列； (3)掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲箱子随机摸出1个球；如果点数为3，4，5，6，从乙箱子中随机摸出1个球，求摸到红球的概率． 10．（24-25高二下·河北石家庄·期中）我校高二年级组织“风华杯”篮球比赛，甲、乙两班进入决赛．规定：先累计胜两场者为冠军，一场比赛中犯规4次以上的球员在该场比赛结束后，将不能参加后面场次的比赛．在规则允许的情况下，甲班球员M都会参赛，他上场与不上场甲班一场比赛获胜的概率分别为和，且球员M每场比赛犯规4次以上的概率为． (1)求甲班第二场比赛获胜的概率； (2)用X表示比赛结束时比赛场数，求X的分布列； (3)已知球员M在第一场比赛中犯规4次以上，求甲班比赛获胜的概率． 11．（24-25高二下·广东茂名·期中）近年来，随着5G网络、人工智能等技术的发展，无人驾驶技术也日趋成熟．为了尽快在实际生活中应用无人驾驶技术，国内各大汽车研发企业都在积极进行无人驾驶汽车的道路安全行驶测试、某机构调查了部分企业参与测试的若干辆无人驾驶汽车，按照每辆车的行驶里程（单位：万公里）将这些汽车分为4组：并整理得到如图的频率分布直方图： (1)求的值； (2)该机构用分层抽样的方法从上述4组无人驾驶汽车中随机抽取了10辆作为样本．从样本中行驶里程不小于7万公里的无人驾驶汽车中随机抽取2辆，其中有辆汽车行驶里程不小于8万公里，求的分布列． 12．（24-25高二下·重庆南岸·期中）2025年世界游泳锦标赛将在新加坡举办，游泳比赛分为预赛、半决赛和决赛三个阶段，只有预赛、半决赛都获胜才有资格进入决赛．已知甲在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，乙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，丙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为p和，其中．假设每次比赛结果相互独立． (1)甲、乙、丙进入决赛的概率分别是多少？ (2)如果甲、乙、丙三人都进入决赛的概率为，求p的值； (3)在（2）的条件下，设甲、乙、丙三人中进入决赛的人数为X，求X的分布列． 13．（24-25高二下·广东佛山·期中）甲、乙两个不透明的箱子中各装有9个大小和质地完全相同的球．其中甲箱中有4个白球，5个黑球乙箱中有7个白球，2个黑球． (1)若采用不放回抽取的方式，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从甲箱中任取2个球．设取出的2个球的得分的和为．求随机变量的分布列； (2)现从甲箱中任取2个球放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个球，求从乙箱中取出的这个球是黑球的概率． 14．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）学校举办学生与智能机器人的围棋比赛，现有来自两个班的学生报名表，分别装入两袋，第一袋有5名男生和4名女生的报名表，第二袋有6名男生和5名女生的报名表，现随机选择一袋，然后从中随机抽取2名学生，让他们参加比赛． (1)求恰好抽到一名男生和一名女生的概率； (2)比赛记分规则如下：在一轮比赛中，两人同时赢积2分，一赢一输积0分，两人同时输积分．现抽中甲、乙两位同学，每轮比赛甲赢概率为，乙赢概率为，在一轮比赛中，求这两名学生得分的分布列． 15．（24-25高二下·黑龙江牡丹江·阶段练习）盒中有标记数字1，2的小球各3个，标记数字3的小球2个，随机一次取出3个小球. (1)求取出的3个小球上的数字互不相同的概率； (2)记取出的3个小球上的最大数字为X，求X的分布列. 16．（2025·湖南岳阳·模拟预测）某班4名男生3名女生组队参加学校组织的知识竞赛，题库中只有学科类或常识类问题，且题库中学科类问题占比为.每轮问答中主持人随机从题库中抽取一道题目，再从该小队中随机选出两名男生两名女生分别独立作答，每人是否答对题目互不影响.若抽中学科类问题，男生中有且仅有三人能答对，女生能答对的概率均为；若抽中常识类问题，男生能答对的概率为，女生中有且仅有两人能答对， (1)求一轮问答中该小队至少有两人答对的概率； (2)一轮问答中该小队至少有三人答对，小队积分加1分，否则扣1分，小队初始积分为1分，主持人最多提问四轮，当小队积分为3分时则成功晋级，积分为0分或四轮作答完毕积分不足3分时淘汰，小队晋级或淘汰均停止作答，设随机变量为小队停止作答时被提问的轮数，求的分布列. 考点二 离散型随机变量的数学期望 1．（24-25高二下·四川成都·期末）若随机变量X的期望，则（   ） A．3 B．9 C．11 D．27 2．（24-25高二下·福建泉州·阶段练习）随机变量的分布列为，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·山西·阶段练习）一只智能玩具狗在起点处，每次向前或向后跳动一个单位长度，且每次向前、向后跳动的概率均为，记第6次跳动后到起点处的距离为个单位长度，则（   ） A．3 B． C． D． 4．（24-25高二下·河南郑州·期末）某次知识竞赛中，题库共有9道题目，选手需随机抽取3道作答.答对题数未达到2道的视为不合格，记为分；恰好答对2道的为合格，记为0分；3道题全部答对为优秀，记为2分.已知某位选手仅能答对其中5道题，记该选手的得分为，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·云南楚雄·期末·多选）已知随机变量的分布列为 1 2 3 下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·广东佛山·期中·多选）已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则（    ） 2 4 7 A． B． C． D． 7．（24-25高二下·北京西城·期中）已知，，随机变量的分布列如下： p q P q p 若，则 ． 8．（24-25高二下·天津滨海新·阶段练习）如图，一个质点在随机外力的作用下，从0出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动3次，设质点最终所在位置的坐标为X，则 9．（2025·全国一卷·高考真题）一个箱子里有5个相同的球，分别以1~5标号，若每次取一颗，有放回地取三次，记至少取出一次的球的个数X，则数学期望 . 10．（24-25高二下·河北·阶段练习）以石墨烯电池、量子计算、AI等颠覆性技术为引领的前沿趋势，正在或将重塑世界工业的发展模式，对人类生产力的创新提升意义重大，我国某公司为了抢抓机遇，成立了A、B、C三个科研小组针对某技术难题同时进行科研攻关，攻克技术难题的小组会受到奖励．已知A、B、C三个小组攻克该技术难题的概率分别为，，，且三个小组各自独立进行科研攻关． (1)求只有C小组受到奖励的概率； (2)求受到奖励的小组数的期望值． 11．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）甲、乙两人进行游戏比赛，游戏共五局，先获得三局胜利的人赢得比赛；比赛分为进攻方与防守方，一方进攻则另一方防守，进攻成功或防守成功的人均看作获得本局游戏胜利，一方进攻成功则继续进攻，一方进攻失败则更换进攻方；甲在进攻方胜率为a，乙在进攻方胜率为，甲优先进攻． (1)第二局乙获胜的概率； (2)若，求甲在四局以内赢得比赛的概率； (3)若，记游戏局数为，求的最大值． 12．（24-25高二下·陕西咸阳·阶段练习）如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.如图所示的高尔顿板有7层小木块，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2，…，7的球槽内. (1)如图进行一次高尔顿板试验，求小球落入6号球槽的概率； (2)某商场店庆期间利用如图的高尔顿板举行有奖促销活动，顾客只要在商场购物消费每满200元就能得到一次抽奖机会，如消费180元没有抽奖机会，消费300元有一次抽奖机会，消费400元有两次抽奖机会等，一次抽奖小球掉入号球槽得到的奖金为（元），其中. ①求一次抽奖的奖金（元）的分布列及数学期望； ②已知某顾客在商场消费500元，设他所得的奖金为（元），求. 13．（24-25高二下·天津静海·阶段练习）某社团共有12名成员，其中高一男生2人，女生4人，高二男生3人，女生3人．现从中随机抽选2人参加数学知识问答． (1)若逐个抽选，求恰好第一个抽选的是男生的概率； (2)若恰好抽选了 1名男生与1名女生，求这2人都是高二学生的概率； (3)若逐个抽选，求在第一次抽选到男生的条件下第二次也抽到男生的概率； (4)若恰好抽选了1名高一学生与1名高二学生，记抽选出来的男生与女生的人数之差的绝对值为，求的分布列与均值． 14．（24-25高二下·河南周口·期末）为加强消防安全管理，某公司组织全体员工进行消防安全知识考试，所有考试成绩（单位：分）按照分组，绘制成如图所示的频率分布直方图，规定成绩不低于60分为合格. (1)求图中的值； (2)按照各组人数比例用分层随机抽样的方法抽取20人，求抽取的成绩不合格的员工人数； (3)公司对成绩不合格的员工进行培训后补考，假设成绩在内的员工有的概率补考合格，成绩在内的员工有的概率补考合格，且每个人补考是否合格相互独立，设（2）中抽取的成绩不合格的员工中补考合格的人数为，求的分布列和数学期望. 15．（24-25高二下·上海浦东新·期末）某校桥牌社每个月要和兄弟学校的桥牌社进行一次友谊赛，为此要从5名社员中随机选择3名参加友谊赛．新学年友谊赛从10月份开始，此时5名社员中有2名新社员没有参加过此前的友谊赛． (1)设10月份参加比赛的新社员的人数为，求的分布与期望； (2)求11月份参加比赛的社员中，恰有1个没有友谊赛经验的概率． 16．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）已知给定两个集合，，从这两个集合中各随机取出两个元素合并成为一个集合． (1)若，求集合中恰有三个元素的概率； (2)若，设集合中元素的个数为，求随机变量的分布列与期望． 17．（24-25高二下·山东·阶段练习）课外活动时间，甲、乙两位同学进行投篮练习，均进行次投篮，用（，且）表示甲第次投篮的结果，若投中，则；若未投中，则.用（，且）表示乙第次投篮的结果，若投中，则；若未投中，则.已知甲、乙每次投篮投中的概率均为，且甲、乙每次投篮是否投中互不影响. (1)记，. （i）求的概率； （ii）求在的情况下，的概率； (2)记，求随机变量的分布列及数学期望. 考点三 离散型随机变量的方差 1．（24-25高二下·山西长治·期中）已知离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 P p 且，则（   ） A．5 B．7 C． D． 2．（24-25高二下·山东·阶段练习）随机变量的概率分布为，其中是常数，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·重庆·阶段练习）某企业将9个培训名额分配给4个部门，每个部门至少分得1个名额，设为这4个部门中分得的最少名额数，则的方差为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·安徽·阶段练习）已知随机变量X的取值为0，1，若，则方差（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·上海·阶段练习）设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则下列结论错误的是（    ） 0 1 2 3 4 0.1 0.4 0.2 0.2 A． B． C． D． 6．（24-25高二下·四川南充·阶段练习·多选）已知离散型随机变量的分布列如表所示，若离散型随机变量满足，则（   ） 1 2 3 4 0.5 0.3 0.1 A． B． C． D． 7．（24-25高二下·山东临沂·阶段练习）已知为两所高校举行的自主招生考试，某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为，该同学一旦通过某所高校的考试，就不再参加其他高校的考试，设该同学通过高校的个数为随机变量，则 ． 8．（24-25高二下·江苏·期末）某果园有单棵产量为95千克的“高产果树”3棵，有单棵产量为55千克的“低产果树”2棵，从这5棵果树中任意抽取2棵，则2棵果树的产量之和的方差为 ． 9．（24-25高二下·广东揭阳·阶段练习）某质地不均匀的正四面体骰子各面上分别有1，2，3，4的编号，随意抛掷该骰子，记该骰子落下后朝下的一面编号为.若数列为等差数列，且的期望，则的方差 . 10．（24-25高二下·四川绵阳·阶段练习）为了研究学生数学成绩与整理数学错题是否有关，某课题组在某中学生中随机抽取了100名学生调查了他们本期期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，将所得数据整理如下表： 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 经常整理错题 40 20 60 不经常整理错题 20 20 40 合计 60 40 100 用频率估计概率，在该中学生中按“经常整理错题”与“不经常整理错题”用等比例分层抽样随机抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈. (1)用X表示抽取的2人中经常整理错题的人数，求X的分布列和数学期望及方差； (2)求抽取的这2名学生中恰有1名学生经常整理错题且数学成绩优秀的概率. 11．（24-25高二下·福建·期中）某同学参加投篮比赛.比赛规则如下：先后在两个不同位置投篮.其中第一次投篮投进得1分，投不进得0分，第二次投篮投进得2分，投不进得分，两次投篮的总得分不低于0分就能获奖.已知这位同学在第一个位置投篮投进的概率是，在第二个位置投篮投进的概率为，每次投篮是否投进相互之间没有影响. (1)求至少投进一个球的概率； (2)求这位同学两次投篮的总得分的分布列、期望及方差； (3)求这位同学能获奖的概率. 12．（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期中）五月初，某中学举行了“庆祝劳动光荣，共绘五一华章”主题征文活动，旨在通过文字的力量，展现劳动者的风采，传递劳动之美，弘扬劳动精神．征文筛选由A、B、C三名老师负责．首先由A、B两位老师对征文进行初审，若两位老师均审核通过，则征文通过筛选；若均审核不通过，则征文落选；若只有一名老师审核通过，则由老师C进行复审，复审合格才能通过筛选．已知每篇征文通过A、B、C三位老师审核的概率分别为，，，且各老师的审核互不影响． (1)求每篇征文通过筛选的概率； (2)从投稿的征文中随机抽出4篇，设其中通过筛选的篇数为X，求X的分布列、均值和方差． 13．（24-25高二下·福建福州·期中）某同学买了7个盲盒，每个盲盒中都有一个礼物，有4个装小兔和3个装小狗，依次不放回地从中取出2个盲盒． (1)求第1次、第2次取到的都是小兔盲盒的概率； (2)求第2次取到的是小狗盲盒的概率； (3)若随机变量表示取到小狗的盲盒数，求的分布列，数学期望及方差． 14．（2025·云南曲靖·模拟预测）某学校对高中生体质健康调研，随机抽取100名学生的体重（单位：kg）得到如下频数分布表： 分组 频数 5 25 40 20 10 (1)估计样本的中位数； (2)从样本和中按分层抽样抽取学生6人，再从这6人中随机抽取3人，其中体重在，的人数分别为，，记． （i）求的分布列及期望； （ii）求． 15．（24-25高二下·河北承德·期中）甲、乙两同学进行答题比赛，比赛规则如下：每位选手从4道备选题中，随机选取2道题独立作答.已知甲同学这4道题中只会3道题，乙同学每题正确完成的概率都是.记随机变量和分别是甲、乙答对的题数. (1)求“甲恰好答对2道题且乙也恰好答对2道题”的概率； (2)若，求随机变量的分布列、数学期望、方差. 16．（2025·上海黄浦·三模）甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下： 场次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 8 10 10 7 12 8 8 10 10 13 乙 9 13 8 12 14 11 7 9 12 10 丙 12 11 9 11 11 9 9 8 9 11 (1)从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率； (2)在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设表示乙得分大于丙得分的场数，求的分布列和数学期望； (3)假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率.甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设为甲获胜的场数，为乙获胜的场数，为丙获胜的场数，写出方差，，的大小关系，并说明理由. 17．（24-25高二下·甘肃定西·阶段练习）在一个不透明的袋子里装有3个黑球，2个红球，1个白球，从中任意取出2个球，然后再放入1个红球和1个白球. (1)求取球放球结束后袋子里白球的个数为2的概率； (2)设取球放球结束后袋子里红球的个数为随机变量X，求X的分布列及方差. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$随机变量及其分布：离散型随机变量的分布列、数学期望与方差专项训练 随机变量及其分布：离散型随机变量的分布列、数学期望与方差专项训练 考点一 离散型随机变量的分布列 1．（24-25高二下·重庆·阶段练习）设离散型随机变量服从两点分布，其分布列如下表，则（ ） 0 1 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意可得，解得. 故选：B 2．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）设离散型随机变量的分布列如表，若随机变量，则（    ） X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 【答案】D 【详解】由分布列性质可得：，解得； 因为，故. 故选：D. 3．（24-25高二下·河北邢台·阶段练习）已知随机变量X的分布列为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据分布列概率之和为1，得，解得， 则． 故选：B. 4．（24-25高二下·江苏泰州·期末）已知随机变量的取值为1，2，3，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据分布列的性质，因为随机变量的取值为1，2，3， 所以， 因此. 故选：C. 5．（24-25高二下·广东广州·阶段练习·多选）已知随机变量的分布列为，其中是常数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】根据题意，随机变量的分布列为， 则有，解得， 则， ． 故选：ABC. 6．（24-25高二下·陕西西安·阶段练习）已知随机变量服从两点分布，且，则实数的值为 . 【答案】 【详解】由题意知，，解得或， 若，则，符合题意； 若，则，不符合题意， 故. 故答案为： 7．（24-25高二下·安徽·阶段练习）若随机变量的分布列为，则 ． 【答案】/0.6 【详解】由，得， 解得，所以． 故答案为： 8．（24-25高二下·江苏连云港·阶段练习）若随机变量X的分布列如下表所示，则的最小值为 ． X 0 1 2 3 P a b 【答案】/ 【详解】由题设，可得， 由，当且仅当时取等号. 所以的最小值为. 故答案为： 9．（24-25高二下·山东青岛·期中）甲和乙两个箱子各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有8个红球、2个白球． (1)从甲箱中随机摸出3个球，求这3个球中恰有2个红球的概率； (2)先从甲箱中随机摸出1个球，再从乙箱中随机摸出1个球，求这两次摸出的球中红球个数的分布列； (3)掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲箱子随机摸出1个球；如果点数为3，4，5，6，从乙箱子中随机摸出1个球，求摸到红球的概率． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【详解】（1）由题意，这3个球中恰有2个红球的概率为. （2）由题意，的所有取值为， 则，， ， 则的分布列为： 0 1 2 （3）从甲箱中摸红球：掷到点数为1或2的概率为，再从甲箱中摸到红球的概率为， 故从甲箱中摸到红球的概率为； 从乙箱中摸红球：掷到点数为3，4，5，6的概率为，再从乙箱中摸到红球的概率为， 故从乙箱中摸到红球的概率为； 综上所述：摸到红球的概率为. 10．（24-25高二下·河北石家庄·期中）我校高二年级组织“风华杯”篮球比赛，甲、乙两班进入决赛．规定：先累计胜两场者为冠军，一场比赛中犯规4次以上的球员在该场比赛结束后，将不能参加后面场次的比赛．在规则允许的情况下，甲班球员M都会参赛，他上场与不上场甲班一场比赛获胜的概率分别为和，且球员M每场比赛犯规4次以上的概率为． (1)求甲班第二场比赛获胜的概率； (2)用X表示比赛结束时比赛场数，求X的分布列； (3)已知球员M在第一场比赛中犯规4次以上，求甲班比赛获胜的概率． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【详解】（1）设为“第场甲队获胜“，为“球员第场上场比赛“，，2，3， 根据全概率公式可得； （2）由题意可得，3， 又，由（1）知， ，， ， ， 所以X的分布列为： X P （3），此时， 所求概率为：． 11．（24-25高二下·广东茂名·期中）近年来，随着5G网络、人工智能等技术的发展，无人驾驶技术也日趋成熟．为了尽快在实际生活中应用无人驾驶技术，国内各大汽车研发企业都在积极进行无人驾驶汽车的道路安全行驶测试、某机构调查了部分企业参与测试的若干辆无人驾驶汽车，按照每辆车的行驶里程（单位：万公里）将这些汽车分为4组：并整理得到如图的频率分布直方图： (1)求的值； (2)该机构用分层抽样的方法从上述4组无人驾驶汽车中随机抽取了10辆作为样本．从样本中行驶里程不小于7万公里的无人驾驶汽车中随机抽取2辆，其中有辆汽车行驶里程不小于8万公里，求的分布列． 【答案】(1) (2)分布列见解析 【详解】（1）由频率分布直方图的性质，可得，解得. （2）由4组无人驾驶汽车的数量比为：， 若采用分层抽样抽取10辆汽车，则行驶里程在，这一组的无人驾驶汽车有辆， 在行驶里程，这一组的无人驾驶汽车有辆， 由题意知，随机变量的可能取值为， 可得， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 12．（24-25高二下·重庆南岸·期中）2025年世界游泳锦标赛将在新加坡举办，游泳比赛分为预赛、半决赛和决赛三个阶段，只有预赛、半决赛都获胜才有资格进入决赛．已知甲在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，乙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，丙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为p和，其中．假设每次比赛结果相互独立． (1)甲、乙、丙进入决赛的概率分别是多少？ (2)如果甲、乙、丙三人都进入决赛的概率为，求p的值； (3)在（2）的条件下，设甲、乙、丙三人中进入决赛的人数为X，求X的分布列． 【答案】(1)，， (2) (3)分布列见解析 【详解】（1）甲进入决赛的概率为， 乙进入决赛的概率为， 丙进入决赛的概率为. （2）因为甲、乙、丙三人都进入决赛的概率为， 则， 整理得，解得或， 因为，所以. （3）由（2）知，丙进入决赛的概率为， 所以甲、乙、丙三人进入决赛的概率分别为，，， 根据题意可得，随机变量X的可能取值为0，1，2，3， 可得； ， ， 则， 所以随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 P 13．（24-25高二下·广东佛山·期中）甲、乙两个不透明的箱子中各装有9个大小和质地完全相同的球．其中甲箱中有4个白球，5个黑球乙箱中有7个白球，2个黑球． (1)若采用不放回抽取的方式，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从甲箱中任取2个球．设取出的2个球的得分的和为．求随机变量的分布列； (2)现从甲箱中任取2个球放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个球，求从乙箱中取出的这个球是黑球的概率． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）解：由题意，随机变量的可能取值为， 可得， 所以的分布列为 2 3 4 （2）解：设事件为“从乙箱中取出的这个球是黑球”， 事件为“从甲箱中取出的2个球都是白球”，事件为“从甲箱中取出1个白球1个黑球”，事件为“从甲箱中取出2个球都是黑球”， 则，，彼此互斥，且， 可得， 且， 所以 14．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）学校举办学生与智能机器人的围棋比赛，现有来自两个班的学生报名表，分别装入两袋，第一袋有5名男生和4名女生的报名表，第二袋有6名男生和5名女生的报名表，现随机选择一袋，然后从中随机抽取2名学生，让他们参加比赛． (1)求恰好抽到一名男生和一名女生的概率； (2)比赛记分规则如下：在一轮比赛中，两人同时赢积2分，一赢一输积0分，两人同时输积分．现抽中甲、乙两位同学，每轮比赛甲赢概率为，乙赢概率为，在一轮比赛中，求这两名学生得分的分布列． 【答案】(1) (2)分布列见解析 【详解】（1）解：设“抽到第一袋”，“抽到第二袋”， “随机抽取2正，恰好抽到一名男生和一名女生的报名表”， 则，且， 由全概率公式，可得. （2）设在一轮比赛中的得分为随机变量，则可能取值为， 则，， ， 所以得分的分布列为： 15．（24-25高二下·黑龙江牡丹江·阶段练习）盒中有标记数字1，2的小球各3个，标记数字3的小球2个，随机一次取出3个小球. (1)求取出的3个小球上的数字互不相同的概率； (2)记取出的3个小球上的最大数字为X，求X的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析 【详解】（1）记“取出的3个小球上的数字互不相同”为事件M， 所以. （2）由题意可知，X的可取值为1，2，3 所以， ， ， 所以X的分布列为： X 1 2 3 P 16．（2025·湖南岳阳·模拟预测）某班4名男生3名女生组队参加学校组织的知识竞赛，题库中只有学科类或常识类问题，且题库中学科类问题占比为.每轮问答中主持人随机从题库中抽取一道题目，再从该小队中随机选出两名男生两名女生分别独立作答，每人是否答对题目互不影响.若抽中学科类问题，男生中有且仅有三人能答对，女生能答对的概率均为；若抽中常识类问题，男生能答对的概率为，女生中有且仅有两人能答对， (1)求一轮问答中该小队至少有两人答对的概率； (2)一轮问答中该小队至少有三人答对，小队积分加1分，否则扣1分，小队初始积分为1分，主持人最多提问四轮，当小队积分为3分时则成功晋级，积分为0分或四轮作答完毕积分不足3分时淘汰，小队晋级或淘汰均停止作答，设随机变量为小队停止作答时被提问的轮数，求的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析 【详解】（1）设随机变量为一轮问答中该小队答对的题目数，则， ， 则； （2） 则， 即一轮问答中该小队至少有三人答对的概率为.且 ， 故的分布列为： 1 2 4 考点二 离散型随机变量的数学期望 1．（24-25高二下·四川成都·期末）若随机变量X的期望，则（   ） A．3 B．9 C．11 D．27 【答案】C 【详解】， 故选：C． 2．（24-25高二下·福建泉州·阶段练习）随机变量的分布列为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得，， 则. 故选：C. 3．（24-25高二下·山西·阶段练习）一只智能玩具狗在起点处，每次向前或向后跳动一个单位长度，且每次向前、向后跳动的概率均为，记第6次跳动后到起点处的距离为个单位长度，则（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知的取值依次为0，2，4，6，其中 ， 所以． 故选：D. 4．（24-25高二下·河南郑州·期末）某次知识竞赛中，题库共有9道题目，选手需随机抽取3道作答.答对题数未达到2道的视为不合格，记为分；恰好答对2道的为合格，记为0分；3道题全部答对为优秀，记为2分.已知某位选手仅能答对其中5道题，记该选手的得分为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】的所有可能取值为，0，2， 所以， ， ， 则的分布列为： 0 2 所以. 故选：B. 5．（24-25高三上·云南楚雄·期末·多选）已知随机变量的分布列为 1 2 3 下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】由，得，故A正确； 则故B正确； 因，故C正确； 因故D错误. 故选：ABC. 6．（24-25高二下·广东佛山·期中·多选）已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则（    ） 2 4 7 A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】由离散型随机变量分布列的性质可得，解得，故A错误，B正确; 由期望公式可得，故C正确; 错误. 故选：BC. 7．（24-25高二下·北京西城·期中）已知，，随机变量的分布列如下： p q P q p 若，则 ． 【答案】 【详解】根据表格可知①. 因为，所以. 将①平方得：. 所以. 故答案为：. 8．（24-25高二下·天津滨海新·阶段练习）如图，一个质点在随机外力的作用下，从0出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动3次，设质点最终所在位置的坐标为X，则 【答案】0 【详解】因为质点从出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动次，所以质点最终所在位置的坐标的可能取值为，，，. 表示质点次都向左移动，每次向左移动的概率为，由于每次移动是相互独立事件，根据独立事件同时发生的概率公式可得. 表示质点次移动中有次向左移动，次向右移动，从次移动中选次向左移动的组合数为，每次向左移动的概率为，每次向右移动的概率也为， 所以. 表示质点次移动中有次向右移动，次向左移动，从次移动中选次向右移动的组合数为每次向右移动的概率为，每次向左移动的概率为， 所以. 表示质点次都向右移动，每次向右移动的概率为，所以. 所以 故答案为：. 9．（2025·全国一卷·高考真题）一个箱子里有5个相同的球，分别以1~5标号，若每次取一颗，有放回地取三次，记至少取出一次的球的个数X，则数学期望 . 【答案】/ 【详解】法一：依题意，的可能取值为1、2、3， 总的选取可能数为， 其中：三次抽取同一球，选择球的编号有5种方式， 故， ：恰好两种不同球被取出（即一球出现两次，另一球出现一次）， 选取出现两次的球有5种方式，选取出现一次的球有4种方式， 其中选取出现一次球的位置有3种可能，故事件的可能情况有种， 故， ：三种不同球被取出， 由排列数可知事件的可能情有况种， 故， 所以 . 故答案为：. 法二：依题意，假设随机变量，其中： 其中，则， 由于球的对称性，易知所有相等， 则由期望的线性性质，得， 由题意可知，球在单次抽取中未被取出的概率为， 由于抽取独立，三次均未取出球的概率为， 因此球至少被取出一次的概率为：， 故， 所以. 故答案为：. 10．（24-25高二下·河北·阶段练习）以石墨烯电池、量子计算、AI等颠覆性技术为引领的前沿趋势，正在或将重塑世界工业的发展模式，对人类生产力的创新提升意义重大，我国某公司为了抢抓机遇，成立了A、B、C三个科研小组针对某技术难题同时进行科研攻关，攻克技术难题的小组会受到奖励．已知A、B、C三个小组攻克该技术难题的概率分别为，，，且三个小组各自独立进行科研攻关． (1)求只有C小组受到奖励的概率； (2)求受到奖励的小组数的期望值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设A、B、C三个小组攻克该技术难题分别为事件A、B、C， 即，，，A，B，C相互独立， 只有小组受到奖励的概率. （2）设受到奖励的小组数为，则的可能取值为0，1，2，3， ， ， ， ， 所以． 11．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）甲、乙两人进行游戏比赛，游戏共五局，先获得三局胜利的人赢得比赛；比赛分为进攻方与防守方，一方进攻则另一方防守，进攻成功或防守成功的人均看作获得本局游戏胜利，一方进攻成功则继续进攻，一方进攻失败则更换进攻方；甲在进攻方胜率为a，乙在进攻方胜率为，甲优先进攻． (1)第二局乙获胜的概率； (2)若，求甲在四局以内赢得比赛的概率； (3)若，记游戏局数为，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设第二局乙获胜的概率为， 则． （2）设比赛三局甲获胜的概率为，比赛四局甲获胜的概率为， 则， 代入，得甲在四局以内赢得比赛的概率. （3）若，则每局游戏中甲获胜的概率为，失败的概率为． 由题意，．    于是，利用， 因为，所以时，取得最大值． 12．（24-25高二下·陕西咸阳·阶段练习）如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.如图所示的高尔顿板有7层小木块，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2，…，7的球槽内. (1)如图进行一次高尔顿板试验，求小球落入6号球槽的概率； (2)某商场店庆期间利用如图的高尔顿板举行有奖促销活动，顾客只要在商场购物消费每满200元就能得到一次抽奖机会，如消费180元没有抽奖机会，消费300元有一次抽奖机会，消费400元有两次抽奖机会等，一次抽奖小球掉入号球槽得到的奖金为（元），其中. ①求一次抽奖的奖金（元）的分布列及数学期望； ②已知某顾客在商场消费500元，设他所得的奖金为（元），求. 【答案】(1) (2)①分布列见解析，数学期望；②. 【详解】（1）记事件A：小球落入6号球槽，需要在6次碰撞中有1次向左，5次向右. 所以； （2）①记随机变量M：小球掉入号球槽，则M的可能取值为：1，2，3，4，5，6，7. 由题意可得； ；； ； 所以M的分布列为： M 1 2 3 4 5 6 7 P 因为，所以X的可能取值为：0，10，20，30. 其中,, ,. 所以一次抽奖的奖金（元）的分布列为： X 0 10 20 30 P 所以数学期望为. ②某顾客在商场消费500元，可以抽奖2次，所以他所得的奖金为. 因为，所以. 13．（24-25高二下·天津静海·阶段练习）某社团共有12名成员，其中高一男生2人，女生4人，高二男生3人，女生3人．现从中随机抽选2人参加数学知识问答． (1)若逐个抽选，求恰好第一个抽选的是男生的概率； (2)若恰好抽选了 1名男生与1名女生，求这2人都是高二学生的概率； (3)若逐个抽选，求在第一次抽选到男生的条件下第二次也抽到男生的概率； (4)若恰好抽选了1名高一学生与1名高二学生，记抽选出来的男生与女生的人数之差的绝对值为，求的分布列与均值． 【答案】(1) (2) (3) (4)分布列见解析； 【详解】（1）若逐个抽选，恰好第一个抽选的是男生的概率为男生在成员总人数中所占的比率，即； （2）记事件为恰好抽选了 1名男生与1名女生，事件为这2人都是高二学生.由题知男生总共5人，女生总共7人. 则，由条件概率可得： . （3）对于“在第一次抽选到男生的条件下第二次也抽到男生”的概率，可采用缩小样本空间的方法， 计算从去掉1个男生后的4个男生中抽取1人的方法数，除以从去掉1个男生后的11人中抽取1人的方法总数的比值， 即得其概率为. （4）因为恰好抽选了1名高一学生与1名高二学生，可能的情况包含“1名高一男学生与1名高二男学生” 、 “1名高一男学生与1名高二女学生”、 “1名高一女学生与1名高二男学生”、“1名高一女学生与1名高二女学生”. 抽选出来的男生与女生的人数之差的绝对值为，则的可能取值为0和2. 则，， 则的分布列为： 0 1 则均值为. 14．（24-25高二下·河南周口·期末）为加强消防安全管理，某公司组织全体员工进行消防安全知识考试，所有考试成绩（单位：分）按照分组，绘制成如图所示的频率分布直方图，规定成绩不低于60分为合格. (1)求图中的值； (2)按照各组人数比例用分层随机抽样的方法抽取20人，求抽取的成绩不合格的员工人数； (3)公司对成绩不合格的员工进行培训后补考，假设成绩在内的员工有的概率补考合格，成绩在内的员工有的概率补考合格，且每个人补考是否合格相互独立，设（2）中抽取的成绩不合格的员工中补考合格的人数为，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)4 (3)分布列见解析， 【详解】（1）由已知条件可得， 所以. （2）因为低于60分的成绩为不合格，根据频率分布直方图， 成绩不合格的员工频率为， 故抽取的成绩不合格的员工人数为. （3）因为与的频率之比为， 所以抽取的成绩不合格的员工中，成绩在内的有1人，在内的有3人.           的所有可能取值为0，1，2，3，4， ， ， ， ， .           所以的分布列为 0 1 2 3 4 . 15．（24-25高二下·上海浦东新·期末）某校桥牌社每个月要和兄弟学校的桥牌社进行一次友谊赛，为此要从5名社员中随机选择3名参加友谊赛．新学年友谊赛从10月份开始，此时5名社员中有2名新社员没有参加过此前的友谊赛． (1)设10月份参加比赛的新社员的人数为，求的分布与期望； (2)求11月份参加比赛的社员中，恰有1个没有友谊赛经验的概率． 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【详解】（1）的可能取值是0、1、2， ，，， 故的分布列是 数学期望. （2）设事件、、分别表示“10月份的友谊赛中恰有0、1、2名新社员参加比赛”． 事件表示“11月参加比赛的社员中恰有1个没有参加友谊赛经验”． 由（1），可知，，． 发生时，5名社员中有2名没有比赛经验，故． 发生时，5名社员中有1名没有比赛经验，故． 发生时，7名社员中有0名没有比赛经验，故． 由全概率公式，得 ． 16．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）已知给定两个集合，，从这两个集合中各随机取出两个元素合并成为一个集合． (1)若，求集合中恰有三个元素的概率； (2)若，设集合中元素的个数为，求随机变量的分布列与期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【详解】（1）因为，所以， 因为集合中恰有三个元素，即从集合中取出的两个元素与集合中取出的两个元素， 恰有一个是相同的，另一个是不同的， 所以集合中恰有三个元素的概率为； （2）因为，所以， 则可取， ， ， ． 所以的概率分布列为： X 2 3 4 P X的期望为． 17．（24-25高二下·山东·阶段练习）课外活动时间，甲、乙两位同学进行投篮练习，均进行次投篮，用（，且）表示甲第次投篮的结果，若投中，则；若未投中，则.用（，且）表示乙第次投篮的结果，若投中，则；若未投中，则.已知甲、乙每次投篮投中的概率均为，且甲、乙每次投篮是否投中互不影响. (1)记，. （i）求的概率； （ii）求在的情况下，的概率； (2)记，求随机变量的分布列及数学期望. 【答案】(1)（i）；（ii） (2)分布列见解析；. 【详解】（1）（i）当时，，均有8种情况， 分别为，，，，，，，， 则，， ，， 所以 ， 所以的概率为. （ii）因为，， 所以， 故在的情况下，的概率为. （2）的所有可能取值为， ，， 故随机变量的分布列为 0 1 2 3 … … 因为， 所以 . 考点三 离散型随机变量的方差 1．（24-25高二下·山西长治·期中）已知离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 P p 且，则（   ） A．5 B．7 C． D． 【答案】A 【详解】由题意有，解得， 所以， 所以， 所以， 故选：A. 2．（24-25高二下·山东·阶段练习）随机变量的概率分布为，其中是常数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为随机变量的概率分布为， 故得， 所以，，， 故, 又， 而， 故. 故选：B 3．（24-25高二下·重庆·阶段练习）某企业将9个培训名额分配给4个部门，每个部门至少分得1个名额，设为这4个部门中分得的最少名额数，则的方差为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，的可能值为1，2，， 则的期望，方差. 故选：C 4．（24-25高二下·安徽·阶段练习）已知随机变量X的取值为0，1，若，则方差（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由已知可得， 由两点分布的方差公式可得. 故选：D 5．（24-25高二下·上海·阶段练习）设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则下列结论错误的是（    ） 0 1 2 3 4 0.1 0.4 0.2 0.2 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，由分布列的性质可得， 解得，故A正确； 对于B，C，由分布列可得：， 故， 故B错误，C正确， 对于D，因为， 所以，故D正确． 故选：B． 6．（24-25高二下·四川南充·阶段练习·多选）已知离散型随机变量的分布列如表所示，若离散型随机变量满足，则（   ） 1 2 3 4 0.5 0.3 0.1 A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】依题意，，解得， 对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：ABD 7．（24-25高二下·山东临沂·阶段练习）已知为两所高校举行的自主招生考试，某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为，该同学一旦通过某所高校的考试，就不再参加其他高校的考试，设该同学通过高校的个数为随机变量，则 ． 【答案】/0.1875 【详解】由条可知，，，， 则， . 故答案为： 8．（24-25高二下·江苏·期末）某果园有单棵产量为95千克的“高产果树”3棵，有单棵产量为55千克的“低产果树”2棵，从这5棵果树中任意抽取2棵，则2棵果树的产量之和的方差为 ． 【答案】576 【详解】依题意，的可能取值为190，150，110， 且，，， 则的期望， 所以方差. 故答案为：576 9．（24-25高二下·广东揭阳·阶段练习）某质地不均匀的正四面体骰子各面上分别有1，2，3，4的编号，随意抛掷该骰子，记该骰子落下后朝下的一面编号为.若数列为等差数列，且的期望，则的方差 . 【答案】 【详解】由题意可知的所有可能取值有：. 因为数列为等差数列， 所以设该数列的首项为，公差为， 则，，，. 根据概率和为，， 可得：，解得：. 所以，，，. 所以. 故答案为：. 10．（24-25高二下·四川绵阳·阶段练习）为了研究学生数学成绩与整理数学错题是否有关，某课题组在某中学生中随机抽取了100名学生调查了他们本期期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，将所得数据整理如下表： 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 经常整理错题 40 20 60 不经常整理错题 20 20 40 合计 60 40 100 用频率估计概率，在该中学生中按“经常整理错题”与“不经常整理错题”用等比例分层抽样随机抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈. (1)用X表示抽取的2人中经常整理错题的人数，求X的分布列和数学期望及方差； (2)求抽取的这2名学生中恰有1名学生经常整理错题且数学成绩优秀的概率. 【答案】(1)分布列见解析，，; (2) 【详解】（1）在该中学生中按“经常整理错题”与“不经常整理错题”用等比例分层抽样随机抽取5名学生， 根据的比例，可知这5名学生中有3人是“经常整理错题”，有2人是“不经常整理错题” 再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈，用X表示抽取的2人中经常整理错题的人数， 则X的可能取值有， 即，，， 所以X的分布列为： X 0 1 2 P 则， ； （2）设“这2名学生中含有经常整理错题的有1人”， “这2名学生中含有经常整理错题的有2人”，“这2名学生中恰有1名同学经常整理错题且数学成绩优秀” 则 根据全概率公式可得：， 所以抽取的这2名学生中恰有1名学生经常整理错题且数学成绩优秀的概率为. 11．（24-25高二下·福建·期中）某同学参加投篮比赛.比赛规则如下：先后在两个不同位置投篮.其中第一次投篮投进得1分，投不进得0分，第二次投篮投进得2分，投不进得分，两次投篮的总得分不低于0分就能获奖.已知这位同学在第一个位置投篮投进的概率是，在第二个位置投篮投进的概率为，每次投篮是否投进相互之间没有影响. (1)求至少投进一个球的概率； (2)求这位同学两次投篮的总得分的分布列、期望及方差； (3)求这位同学能获奖的概率. 【答案】(1) (2)分布列见解析，， (3) 【详解】（1）设至少投进一个球为事件，则. （2）这位同学投篮三次的总得分的所有可能取值为，0，2，3， ，， ，， 随机变量的分布列是 0 2 3 ，， 所以. （3）设这位同学获奖为事件，则，所以获奖的概率为. 12．（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期中）五月初，某中学举行了“庆祝劳动光荣，共绘五一华章”主题征文活动，旨在通过文字的力量，展现劳动者的风采，传递劳动之美，弘扬劳动精神．征文筛选由A、B、C三名老师负责．首先由A、B两位老师对征文进行初审，若两位老师均审核通过，则征文通过筛选；若均审核不通过，则征文落选；若只有一名老师审核通过，则由老师C进行复审，复审合格才能通过筛选．已知每篇征文通过A、B、C三位老师审核的概率分别为，，，且各老师的审核互不影响． (1)求每篇征文通过筛选的概率； (2)从投稿的征文中随机抽出4篇，设其中通过筛选的篇数为X，求X的分布列、均值和方差． 【答案】(1) (2)分布列见解析，， 【详解】（1）设事件{A老师审核通过}，事件{B老师审核通过}，事件{C老师审核通过}， 事件{征文通过筛选}，事件{征文经过复审}， 则，，， ， 所以，每篇征文通过筛选的概率为； （2）依题意，随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4， 则，， ， ， ， ， 所以的分布列如下： X 0 1 2 3 4 P 故，. 13．（24-25高二下·福建福州·期中）某同学买了7个盲盒，每个盲盒中都有一个礼物，有4个装小兔和3个装小狗，依次不放回地从中取出2个盲盒． (1)求第1次、第2次取到的都是小兔盲盒的概率； (2)求第2次取到的是小狗盲盒的概率； (3)若随机变量表示取到小狗的盲盒数，求的分布列，数学期望及方差． 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析，， 【详解】（1）设事件“第次取到的是小兔盲盒”，， 因为，， 所以， 即第次、第次取到的都是小兔盲盒的概率为. （2）设事件“第次取到的是小狗盲盒”，， 因为，，， 所以由全概率公式，可知第次取到的是小狗盲盒的概率为 ； （3）由题意可取，，， 所以，，. 所以的分布列为： 0 1 2 则，. 14．（2025·云南曲靖·模拟预测）某学校对高中生体质健康调研，随机抽取100名学生的体重（单位：kg）得到如下频数分布表： 分组 频数 5 25 40 20 10 (1)估计样本的中位数； (2)从样本和中按分层抽样抽取学生6人，再从这6人中随机抽取3人，其中体重在，的人数分别为，，记． （i）求的分布列及期望； （ii）求． 【答案】(1)65 (2)（i）分布列见解析，数学期望为1；（ii）. 【详解】（1）因为，， 故样本的中位数落在内，                            又，故中位数为 （2）（i）和的人数比为，          分层抽样抽取学生6人中，和的人数分别为和， 故这6人中随机抽取3人，的可能取值为，对应的的取值为， 所以的可能取值为，                         ，，，    故的分布列为 期望为，              （ii）由（i）知 ， 所以． 15．（24-25高二下·河北承德·期中）甲、乙两同学进行答题比赛，比赛规则如下：每位选手从4道备选题中，随机选取2道题独立作答.已知甲同学这4道题中只会3道题，乙同学每题正确完成的概率都是.记随机变量和分别是甲、乙答对的题数. (1)求“甲恰好答对2道题且乙也恰好答对2道题”的概率； (2)若，求随机变量的分布列、数学期望、方差. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【详解】（1）甲答对2道题的概率为，乙答对2道题的概率为， 故“甲恰好答对2道题且乙也恰好答对2道题”的概率为. （2）由题意知可取1，2，可取0，1，2，故可取1，2，3，4， ， ， ， ， 故的分布列为： 1 2 3 4 期望， 方差. 16．（2025·上海黄浦·三模）甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下： 场次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 8 10 10 7 12 8 8 10 10 13 乙 9 13 8 12 14 11 7 9 12 10 丙 12 11 9 11 11 9 9 8 9 11 (1)从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率； (2)在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设表示乙得分大于丙得分的场数，求的分布列和数学期望； (3)假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率.甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设为甲获胜的场数，为乙获胜的场数，为丙获胜的场数，写出方差，，的大小关系，并说明理由. 【答案】(1)； (2)分布列见解析，期望； (3)，理由见解析 【详解】（1）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲共获胜3场，分别是第3场，第8场，第10场. 设表示“从10场比赛中随机选择一场，甲获胜”，则. （2）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲得分不低于10分的场次有6场， 分别是第2场，第3场，第5场，第8场，第9场，第10场，其中乙得分大于丙得分的场次有4场， 分别是第2场、第5场、第8场、第9场. 所以的所有可能取值为0，1，2. ，，. 所以的分布列为 0 1 2 所以. （3）由题意，每场比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，丙获胜的概率为，还需要进行6场比赛， 而甲、乙、丙获胜的场数服从二项分布， 所以，，， 故. 17．（24-25高二下·甘肃定西·阶段练习）在一个不透明的袋子里装有3个黑球，2个红球，1个白球，从中任意取出2个球，然后再放入1个红球和1个白球. (1)求取球放球结束后袋子里白球的个数为2的概率； (2)设取球放球结束后袋子里红球的个数为随机变量X，求X的分布列及方差. 【答案】(1)； (2)分布列见解析，. 【详解】（1）由题意，取球放球结束后袋子里白球的个数为2，即从3黑2红中取出2个球， 所以所求概率为； （2）由题设，的可能值为，且，，， 所以的分布列如下， 1 2 3 则，故. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$