2.1 圆的对称性（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（湘教版）

该初中数学课件聚焦圆的概念、点与圆的位置关系、弦与弧的概念及圆的对称性，通过投圈游戏情境导入，引导学生思考公平性问题，自然引出圆的定义，再经概念学习、典例分析（如矩形顶点共圆证明）、动手探究（旋转、折叠圆），构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以情境创设和动手操作培养数学眼光，如投圈游戏抽象出圆的定义；通过推理证明（矩形顶点共圆）发展数学思维，用d与r数量关系表达位置关系体现数学语言。采用“情境-探究-应用”模式，当堂练习巩固知识，助力学生直观理解与逻辑推理，教师可直接使用提升教学效率。

2.1 圆的对称性 第2章 圆 优翼九下数学教学课件（XJ） 情境引入 如图所示，一些学生正在做投圈游戏，他们呈“一”字排开. 问题 这样的队形对每一人都公平吗？你认为他们应当怎样站队？ 不公平；四个人应该站在离玩偶距离相等的位置上. 导入新课 概念学习 圆是到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形. · 定长叫作半径. 这个定点叫作圆心. O A 圆的概念 新课讲授 · r O A 圆也可以看成是一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形，定点叫作圆心. 以点 O 为圆心的圆叫作圆 O，记作 ⊙O. 定点与动点的连线段叫作半径. 如图，点 O 是圆心. 线段 OA 的长度是一条半径. 线段 OA 的长度也叫作半径， 记作半径 r . 概念学习 典例精析 例1 矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于 O. 求证：A、B、C、D 在以 O 为圆心的同一圆上. A B C D O 证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AO = OC，OB = OD. 又∵AC = BD， ∴OA = OB = OC = OD. ∴A、B、C、D 在以 O 为圆心，以 OA 为半径的圆上. . 问题1：观察下图中点和圆的位置关系有哪几种？ . o . C . . . . B . .A 点与圆的位置关系有三种： 点在圆内，点在圆上，点在圆外. 点和圆的位置关系 问题2：设点到圆心的距离为 d,圆的半径为 r，量一量在点和圆三种不同位置关系时，d 与 r 有怎样的数量关系？ 点 P 在⊙O 内 点 P 在⊙O上 点 P 在 ⊙O 外 d d d r P d P r d P r d ＜ r r = ＞ r 反过来，由 d 与 r 的数量关系，怎样判定点与圆的位置关系呢？ O O O 要点归纳 r P d P r d P r d 点 P 在 ⊙O 内 d < r 点 P 在 ⊙O 上 d = r 点 P 在 ⊙O 外 d > r 数形结合： 位置关系 数量关系 O O O 1.⊙O 的半径为 10 cm，A、B、C 三点到圆心的距离分别为 8 cm、10 cm、12 cm，则点 A、B、C 与⊙O 的位置关系是：点 A 在 ；点 B 在 ；点 C在 . 圆内 圆上 圆外 典例精析 2. 圆心为 O 的两个同心圆，半径分别为 1 和 2 ，若OP = ，则点 P 在 ( ) A.大圆内 B.小圆内 C.小圆外 D.大圆内，小圆外 o D 弦: · C O A B 连接圆上任意两点的线段(如图中的 AC，AB )叫做弦. 经过圆心的弦(如图中的 AB )叫做直径． 1. 弦和直径都是线段. 2. 直径是弦，是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径. 注意 圆的有关概念 弧: · C O A B 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 半圆 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，弧用符号“ ”表示. 以A、B为端点的弧记作 ，读作“圆弧AB”或“弧AB”． 劣弧与优弧 小于半圆的弧叫做劣弧.如图中的 ; 大于半圆的弧叫做优弧.如图中的 . · C O A B 如图. (1) 请写出以点 A 为端点的优弧及劣弧; (2) 请写出以点 A 为端点的弦及直径. 弦 AF, AB , AC.其中弦 AB 又是直径. A B C E F D O 劣弧： 优弧： AF, ( AD, ( AC, ( AE. ( AFE, ( AFC, ( AED, ( AEF. ( 练一练 知识要点 1. 根据圆的定义,“圆”指的是“圆周”,而不是“圆面”. 2. 直径是圆中最长的弦. 附图解释： · C O A B 连接OC， 在 △AOC 中，根据三角形三边关系有 AO+OC ＞ AC， 而 AB = 2OA，AO = OC，所以 AB ＞AC. 这两个圆 问题3 用一块硬纸板和一张薄的白纸分别画一个圆，它们的半径相等，把白纸放在硬纸板上面，使两个圆的圆心重合，观察这两个圆是否重合？ 重合 圆的对称性 探究 把能够互相重合的弧叫作等弧. 概念学习 问题4 现在用一根大头针穿过这两个圆的圆心，让硬纸板保持不动，让白纸绕圆心旋转任意角度，观察旋转后，白纸上的圆是否仍然与硬纸板上的圆重合？ 能够重合的两个圆叫作等圆， · 仍然重合 问题5 这体现圆具有什么样的性质？ 圆绕圆心旋转任意角度，都能与自身重合.特别地，将圆绕圆心旋转180° 时能与自身重合. 圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心. 知识要点 问题6 在白纸的圆上面画任意一条直径，把白纸沿着这条直径所在的直线折叠．观察圆的两部分是否互相重合？ · O A B C D E 能够重合 你能讲出圆具有这种对称性的道理吗？ 圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆 的对称轴. 知识要点 为什么车轮要做成圆形的？ 中心与路面距离相等 中心与边缘距离相等 中心与边缘距离不相等 中心与路面距离不相等 观察与思考 把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心(圆心)的距离都等于车轮的半径，当车轮在平面上滚动时，车轮中心与平面的距离保持不变，因此，当车辆在平坦的路上行驶时，坐车的人会感觉到非常平稳，这也是车轮都做成圆形的数学道理． 1. 填空： （1）______是圆中最长的弦，它是______的 2 倍． （2）图中有 条直径， 条非直径的弦， 圆中以 A 为一个端点的优弧有 条， 劣弧有 条． 直径 半径 一 二 四 四 A B C D O F E 当堂练习 2. 判断下列说法的正误，并说明理由或举反例. (1) 弦是直径； (2) 半圆是弧； (3) 过圆心的线段是直径； (4) 过圆心的直线是直径； (5) 半圆是最长的弧； (6) 直径是最长的弦； (7) 长度相等的弧是等弧. 3. 正方形 ABCD 的边长为 2 cm，以 A 为圆心，2 cm 为 半径作 ⊙A，则点 B 在⊙A ；点 C 在⊙A ；点 D 在⊙A . 上 外 上 4. ⊙O 的半径 r 为 5 cm，O 为原点，点 P 的坐标为(3，4)，则点 P 与⊙O的位置关系为 ( ) A.在⊙O内 B.在⊙O上 C.在⊙O外 D.在⊙O上或⊙O外 B 5. 观察下列图形： 请问以上三个图形中是轴对称图形的有______，是中心对称图形的有______(分别用以上三个图形的代号填空)． ①③ ①②③　 6. 一点和 ⊙O 上的最近点距离为 4 cm，最远的距离为 10 cm，则这个圆的半径是 . 7 cm或3 cm ①一石激起千层浪 ②方向盘 ③铜钱 定义 平面内到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形 平面内一动点绕一定点旋转一周所形成的图形 有关 概念 弦(直径) 直径是圆中最长的弦 弧 半圆是特殊的弧 劣弧 半圆 优弧 等圆、等弧 课堂小结 位置关系数量化 点与圆的位置关系 点在圆外 点在圆上 点在圆内 d>r d=r d<r 圆 的 对 称 性 圆是中心对称图形， 圆心是它的对称中心 圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴 $