1.6.2 菱形的判定（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（湘教版）

该初中数学课件聚焦菱形的判定，通过复习菱形定义及边、角、对角线性质导入，搭建新旧知识桥梁，引导学生从定义出发探究判定方法，形成完整知识脉络。 其亮点是以“探究-证明-应用”为主线，通过“4支等长铅笔拼四边形”等活动培养数学眼光（抽象与创新），例题中规范推理过程发展数学思维（推理能力），几何语言描述强化数学语言表达。助力学生掌握判定定理并应用，教师可借助典例和练习提升教学效率。

1.6 菱形 第1章 四边形 1.6.2 菱形的判定 ÷ 八年级下册数学（湘教版） 学习目标 1.经历菱形判定定理的探究过程，掌握菱形的判 定定理．（重点） 2.会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算. （难点） 一组邻边相等 有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形 平行四边形 菱形的性质 菱形 两组对边平行 四条边相等 两组对角分别相等 邻角互补 两条对角线互相垂直平分 每一条对角线平分一组对角 边 角 对角线 问题：菱形的定义是什么？性质有哪些？ 复习导入 根据菱形的定义，可得菱形的第一个判定的方法： AB = AD， ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴四边形 ABCD 是菱形. 数学语言 有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形. A B C D 思考 还有其他的判定方法吗？ 四条边相等的四边形是菱形 1 如图，用 4 支长度相等的铅笔首尾相接组成一个四边形，这个四边形是菱形吗？ 为什么? 思考 尝试证明一下！ 探究新知 证明：如图，在四边形 ABCD 中， AB = BC = CD = DA. 因为 AB= D C ， BC = AD. 所以四边形 ABCD 是平行四边形. 又因为AB = BC， 由菱形的定义得，四边形 ABCD 是菱形. A B C D 已知：如图，四边形 ABCD 中，AB = BC = CD = AD. 求证：四边形 ABCD 是菱形. 证一证 四条边都相等的四边形是菱形. AB = BC = CD = AD 几何语言描述： ∵在四边形 ABCD 中，AB = BC = CD = AD， ∴四边形 ABCD 是菱形. A B C D 菱形 ABCD 菱形的判定定理 1： 四边形 ABCD A B C D 归纳总结 典例精析 例1 如图，在四边形 ABCD 中，线段 BD 垂直平分 AC，且相交于点 O，∠1＝∠2. 求证：四边形ABCD 是菱形. 证明 因为线段 BD 垂直平分 AC， 所以 BA = BC，DA = DC，OA = OC. 在△AOB 和△COD 中， 因为∠1 =∠2，∠AOB=∠COD，OA = OC， 所以△AOB≌△COD (角角边)， 从而 AB = CD， 因此 AB = BC = CD = DA. 于是四边形ABCD是菱形(四条边都相等的四边形是菱形). 1 2 A B C D O 1. 下列命题中正确的是 （ ） A. 一组邻边相等的四边形是菱形 B. 三条边相等的四边形是菱形 C. 四条边相等的四边形是菱形 D. 四个角相等的四边形是菱形 C 练一练 证明： ∵ ∠1 = ∠2， AE = AC，AD = AD， ∴ △ACD≌△AED (边角边). 同理△ACF≌△AEF(边角边) . ∴CD = ED， CF = EF. 又∵EF = ED，∴CD = ED = CF = EF， ∴四边形 CDEF 是菱形. 2 例2 如图，在△ABC 中， AD 是角平分线，点 E，F 分别在 AB， AD 上，且 AE = AC，EF = ED. 求证：四边形 CDEF 是菱形. A C B E D F 1 典例精析 H G F E D C B A 证明：连接 AC，BD. ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AC = BD. ∵点 E，F，G，H 为各边中点， ∴EF = FG = GH = HE. ∴四边形 EFGH 是菱形. 例3 如图，顺次连接矩形 ABCD 各边中点，得到四边形 EFGH，求证：四边形 EFGH 是菱形. C A B D E F G H 【变式题】如图，顺次连接对角线相等的四边形ABCD 各边中点，得到四边形 EFGH 是什么四边形？ 解：四边形 EFGH 是菱形. 又∵AC=BD， ∵点 E，F，G，H 为各边中点， ∴EF=FG=GH=HE， ∴四边形 EFGH 是菱形. 归纳：顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，得到四边形是菱形. 理由如下：连接 AC，BD. A B C D E F G H 拓展1 如图，顺次连接平行四边形 ABCD 各边中点，得到四边形 EFGH 是什么四边形？ 解：连接 AC，BD. ∵点 E，F，G，H 为各边中点， ∴四边形 EFGH 是平行四边形. 拓展2 如图，若四边形 ABCD 是菱形，顺次连接菱形ABCD 各边中点，得到四边形 EFGH 是什么四边形？ 四边形 EFGH 是矩形. 同学们自己去解答吧 探究：前面已经知道，菱形的两条对角线互相垂直，反过来，两条对角线互相垂直的四边形是菱形吗？两条对角线互相垂直的平行四边形呢？ 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 2 如图，在四边形ABCD 中，AC⊥BD，垂足为 O，BO≠OD，于是四边形 ABCD 不是平行四边形， 从而四边形 ABCD 不是菱形. 因此，两条对角线互相垂直的四边形不一定是菱形. 证明：如图，在□ABCD 中，AC⊥BD，垂足为 O， 则 OA = OC， 于是直线 BD 是线段 AC 的垂直平分线. 根据线段垂直平分线的性质定理得， DA = DC 于是□ABCD 是菱形. 已知：如图，四边形 ABCD 是平行四边形，对角线AC 与 BD 相交于点 O ，AC⊥BD. 求证：□ABCD 是菱形. A B C O D 证一证 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 AC⊥BD 几何语言描述： ∵在□ABCD中，AC⊥BD， ∴ □ABCD 是菱形. A B C D 菱形 ABCD A B C D □ABCD 菱形的判定定理 2： 归纳总结 例3 如图，在□ABCD 中，AC = 6，BD = 8，AD = 5. 求 AB 的长. 所以 OA = AC = 3，OD = BD = 4. A B C D O 解 ：因为四边形 ABCD 为平行四边形， 又因为 AD = 5，满足AD² = OA² + OD²， 所以△DAO 是直角三角形，∠DOA = 90°， 即 DB⊥AC. 于是□ABCD 是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形). 因此 AB = AD = 5. 例4 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD，BC 分别交于点E，F，求证：四边形 AFCE 是菱形． A B C D E F O 1 2 证明:∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AE∥FC，∴∠1 = ∠2. ∵EF 垂直平分 AC， ∴AO = OC . 又∵∠AOE =∠COF， ∴△AOE≌△COF. ∴EO = FO. ∴四边形 AFCE 是平行四边形. 又∵EF⊥AC， ∴ 四边形 AFCE 是菱形. 2. 在四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 互相平分，若添加一个条件使得四边形 ABCD 是菱形，则这个条件可以是 （ 　 ） A．∠ABC = 90° B．AC⊥BD C．AB = CD D．AB∥CD B 练一练 例5 如图，在△ABC中，D，E 分别是 AB，AC 的中点，BE＝2DE，延长 DE 到点 F，使得 EF＝BE，连接 CF. (1) 求证：四边形 BCFE 是菱形； (1) 证明：∵D，E 分别是 AB，AC 的中点， ∴DE∥BC 且 2DE＝BC. 又∵BE＝2DE，EF＝BE， ∴EF＝BC，EF∥BC. ∴四边形 BCFE 是平行四边形． 又∵EF＝BE， ∴四边形 BCFE 是菱形. 菱形的性质与判定的综合运用 3 (2) 解：∵∠BCF＝120°， ∴∠ECB＝60°. ∴△EBC 是等边三角形. ∴菱形的边长为 4，高为 . ∴菱形的面积为 . (2) 若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形 BCFE 的面积． 归纳：判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活选择方法．如果可以证明四条边相等，可直接证出菱形；如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直，可以先尝试证出这个四边形是平行四边形． 3. 如图，在平行四边形 ABCD 中，AC 平分∠DAB，AB = 2，求平行四边形 ABCD 的周长. 解：∵四边形 ABCD 为平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD. ∴∠BAC = ∠ACD. ∵AC 平分∠DAB，∴∠DAC = ∠BAC. ∴∠DAC = ∠ACD. ∴AD = DC. ∴四边形 ABCD 为菱形. ∴四边形 ABCD 的周长 = 4×2 = 8． 练一练 2. 一边长为 13 cm 的平行四边形的两条对角线的长分别 为 24 cm 和 10 cm，则平行四边形的面积是 . 120 cm2 1. 判断下列说法是否正确 (1) 对角线互相垂直的四边形是菱形； (2) 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形； (3) 对角线互相垂直，且有一组邻边相等的 四边形是菱形； (4) 两条邻边相等，且一条对角线平分一组 对角的四边形是菱形． √ ╳ ╳ ╳ 课堂练习 3. 如图，将△ABC 沿 BC 方向平移得到△DCE，连接 AD，下列条件能够判定四边形 ACED 为菱形的是（　　） A．AB = BC B．AC = BC C．∠B = 60° D．∠ACB = 60° B 解析：∵将△ABC 沿 BC 方向平移得到 △DCE， ∴AC∥DE，AC = DE. ∴四边形 ACED 为平行四边形. 当 AC = BC 时， 平行四边形 ACED 是菱形． 故选 B． A B C D O E 4. 如图，矩形 ABCD 的对角线相交于点 O，DE∥AC， CE∥BD.求证：四边形 OCED 是菱形. 证明：∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形 OCED 是平行四边形. ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴OC = OD. ∴四边形 OCED 是菱形． B C A D O E M N 证明：∵MN 是 AC 的垂直平分线， ∴AE = CE，AD = CD，OA = OC， ∠AOD = ∠EOC = 90°. ∵CE∥AB，∴∠DAO = ∠ECO. ∴△ADO≌△CEO(角边角)． ∴AD = CE. ∴四边形 ADCE 是平行四边形. 又∵∠AOD = 90°， ∴四边形 ADCE 是菱形． 5. 如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线 MN 交 AB 于点 D，交AC于点 O，CE∥AB交 MN 于点 E，连接AE，CD.求证：四边形 ADCE 是菱形. （1）证明：由尺规作 ∠BAF 的平分线的过程可得 AB = AF，∠BAE = ∠FAE， ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC，∴∠FAE = ∠AEB. ∴∠BAE = ∠AEB. ∴AB = BE. ∴BE = FA. ∴四边形 ABEF 为平行四边形. ∵AB = AF， ∴四边形 ABEF 为菱形. 6. 如图，在平行四边形 ABCD 中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交 BC 于点 E，连接 EF． （1）求证：四边形 ABEF 为菱形； （2）AE，BF 相交于点 O，若BF=6，AB=5，求AE的长． （2）AE，BF 相交于点 O，若 BF = 6，AB = 5， 求 AE 的长． 解：∵四边形 ABEF 为菱形， ∴AE⊥BF，BO = FB = 3，AE = 2AO. 在 Rt△AOB 中，由勾股定理得 AO = 4. ∴AE = 2AO = 8． 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 四边相等的四边形是菱形 运用定理进行计算和证明 菱形的判定 定义法 判定定理 课堂小结 $